Baixe Problemas Resolvidos de Física: Vetores - Halliday, Resnick, Walker (8ª Edição) e outras Exercícios em PDF para Física, somente na Docsity!
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HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FUNDAMENTOS DE FÍSICA, 8.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 200 8.
FÍSICA 1
CAPÍTULO 3 – VETORES
16. Na soma A + B = C , o vetor A tem um módulo de 12,0 m e um ângulo de 40,
o no sentido anti-
horário em relação ao semi-eixo x positivo, e o vetor C tem um módulo de 15,0 m e um ângulo
de 20,
o no sentido anti-horário em relação ao semi-eixo x negativo. Determine (a) o módulo de
B e (b) o ângulo de B em relação ao semi-eixo x positivo.
( Pág. 59 )
Solução.
Considere o esquema abaixo, que mostra os vetores A e C :
(a) O módulo de B é calculado por meio da seguinte relação:
2 2 B = B x + By
Portanto, precisamos agora calcular Bx e By para, em seguida, substituí-los em (1). Esse cálculo
pode ser feito por meio das duas equações escalares contidas na equação vetorial A + B = C. A
primeira delas é:
Ax + Bx = Cx
A cos A + Bx = − C cos C
Bx = − A cos A − C cos C
Bx = − ( 12, 0 m cos 40, 0) ( )− (15, 0 m cos 20, 0 ) ( )= −23, 2879 m
A segunda equação escalar é:
Ay + By = Cy
A sen A + B y = − C sen C
By = − A sen A − C sen C
By = − ( 12, 0 m sen 40, 0) ( )− (15, 0 m sen 20, 0 ) ( )= −12,8437 m
Substituindo-se os valores de Bx e By em (1), teremos:
( ) ( )
2 2 B = − 23, 2879 m + −12,8437 m =26,5949 m
B 26,6 m
(b) O ângulo que B faz em relação ao semi-eixo x positivo é dado por:
x
y A
C
A
C
Cx
Cy
Ax
Ay
2
1 1 12,8437^ m tan tan 28, 23, 2879 m
y B x
B
B
− ^ ^ −^ −
^ −
Embora a calculadora forneça como resultado para B o valor 28,
o , podemos ver na figura abaixo
que devemos acrescentar 180 o a esse resultado para obter a resposta correta.
Logo:
B = 180 + 28,8776 =208,
B 209
25. Se B é somado a C = 3,0 i + 4,0 j , o resultado é um vetor no sentido do semi-eixo y positivo,
com um módulo igual ao de C. Qual é o módulo de B?
( Pág. 59 )
Solução.
Em primeiro lugar vamos determinar o módulo de C :
2 2 2 2 C = Cx + Cy = 3,0 + 4,0 = 25 =5,
Vamos chamar de D o vetor soma de B e C. Como D aponta no sentido + y e possui módulo 5,0,
teremos:
D =5,0 j
Agora precisamos efetuar a operação mencionada no enunciado para obter B :
B + A = D
B = D − C
B = ( 5,0 j ) − ( 3,0 i +4,0 j )
B = −3,0 i −1,0 j
Portanto, o módulo de B vale:
( ) ( )
2 2 2 2 B = Bx + By = −3, 0 + −1, 0 = 10 =3,
B 3,
Os vetores B , C e D podem ser vistos no esquema abaixo:
x
y
A
C
B
B
28,
o
4
(c)
' ' ' ax = ax cos + ay sen = 9,5062 m cos 18 + 14, 0936 m sen 18 =13,3961 m
' a (^) x 13 m
(d)
' ' ' a (^) y = ay cos − ax sen = 14, 0936 m cos 18 − 9,5062 m sen 18 =10, 4662 m
' a (^) x 10 m
42. No produto F = q v B , faça q =2, v = 2,0 i + 4,0 j + 6,0 k e F = 4,0 i − 20 j + 12 k. Determine B ,
em termos dos vetores unitários, para Bx = By.
( Pág. 60 )
Solução.
Os vetores q v e B são definidos por:
q v = 4,0 i + 8,0 j + 12 k
B = Bx i + B (^) y j + Bz k
O produto vetorial q v B é definido por:
det (^) x y z det 4,0 8,0 12
x y z x y z
q qv qv qv
B B B B B B
i j k i j k
v B
A solução deste determinante é:
q v B = (^) ( 8,0 Bz − 12 By (^) ) i + (^) ( 12 Bx − 4,0 Bz (^) ) j + (^) ( 4.0 By −8, 0 Bx ) k
Como Bx = By , temos:
q v B = ( 8,0 Bz − 12 Bx ) i + ( 12 Bx − 4,0 Bz ) j + ( 4.0 Bx −8,0 Bx ) k
q v B = (^) ( 8,0 Bz − 12 Bx (^) ) i + (^) ( 12 Bx − 4,0 Bz (^) ) j + −( 4.0 Bx ) k
O vetor F é dado por:
F = 4,0 i − 20 j + 12 k
Comparando os componentes z de F e q v , teremos:
−4, 0 Bx = 12
Bx = By = −3, 0
Comparando os componentes x de F e q v , teremos:
8,0 Bz − 12 Bx =4,
8,0 Bz − 12 ( −3,0 ) =4,
8, 0 Bz = − 32
Bz = −4,
Logo:
F = −3,0 i − 3,0 j −4,0 k
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43. Os três vetores na Fig. 3-35 têm módulos a = 3,00 m, b = 4,00 m e c = 10,0 m; = 30,
o .
Determine (a) a componente x e (b) a componente y de a ; (c) a componente x e (d) a
componente y de b ; (e) a componente x e (f) a componente y de c. Se c = p a + q b , quais são os
valores de (g) p e (h) q?
Fig. 3- 35 Problema 43
( Pág. 60 )
Solução.
(a) Como A está sobre o eixo x , teremos:
ax =3,00 m
(b) a^ y =0, 00 m
Vetor B :
(c) bx = b cos = ( 4, 00 m cos 30, 0) ( )=3, 4641 m
bx 3,46 m
(d) by = b sen =( 4, 00 m sen 30, 0) ( )
by =2, 00 m
(e) cx = c cos ( + 90 )= (10, 0 m cos 120, 0 ) ( )
c (^) x = −5,00 m
(f) c y = c sen ( + 90 )= ( 10, 0 m sen 120,0) ( )=8, 6602 m
c (^) y 8,66 m
(g) e (h) Para calcular p e q devemos resolver o sistema de duas equações escalares embutidas na
equação vetorial c = p a + q b , que são cx = p ax + q bx e cy = p ay + q by. Da primeira equação,
teremos:
cx = pax + qbx
x x
x
c pa q b
Da segunda, teremos:
y y
y
c pa q b
=^ (2)
Igualando-se (1) e (2):
x x y^ y
x y
c pa^ c^ pa
b b
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54. São dados três deslocamentos em metros: d 1 = 4,0 i + 5,0 j − 6,0 k , d 2 = −1,0 i + 2,0 j + 3,0 k e
d 3 = 4,0 i + 3,0 j + 2,0 k. (a) Determine r = d 1 − d 2 + d 3. (b) Determine o ângulo entre r e o
semi-eixo z positivo. (c) Determine a componente de d 1 em relação a d 2. (d) Qual é a
componente de d 1 que é perpendicular a d 2 e está no plano de d 1 e d 2? ( Sugestão: Para resolver
o item (c), considere a Eq. 3-20 e a Fig. 3-20; para resolver o item (d), considere a Eq. 3-27.)
a b = ab cos (3-20)
Fig. 3- 20
c = ab sen ^ (3-27)
( Pág. 61 )
Solução.
(a)
r = d 1 (^) − d (^) 2 + d 3
r = (^) ( 4,0 i + 5,0 j − 6,0 k (^) ) − −( 1,0 i + 2,0 j + 3,0 k (^) ) + (^) ( 4,0 i + 3,0 j +2,0 k )
= 4, 0 − −( 1, 0 (^) ) + 4, 0 + (^) 5, 0 − 2, 0 + 3, 0 + − 6, 0 − 3, 0 +2, 0
r i j k
r = 9,0 i + 6,0 j −7,0 k
(b) O ângulo entre r e o eixo z pode ser obtido por meio do produto escalar entre r e o vetor unitário
k :
r k = r k cos rz = r 1 cos rz
cos (^) rz r
r k (1)
Agora precisamos calcular r. k e r. Cálculo de r. k :
r k = (^) ( 9,0 i + 6,0 j − 7,0 k (^) ) ( k )= 0 + 0 −7,
r k = −7,
Cálculo de r :
8
2 2 2 2 2 2 r = rx + ry + rz = 9, 0 + 6, 0 + −7, 0
r =12,
Substituindo-se esses valores em (1), teremos:
cos 0, 12,
rz
( )
1
rz cos 0,5433 122,
− = − =
rz 123
(c) A componente de d 1 em relação a d 2 , que chamaremos d 12 , é d 1 cos 12. Esse termo aparece no
produto escalar dos dois vetores:
d 1 (^) d 2 = d d 1 2 cos 12
1 2 1 12 2
d cos d
d d
Ou seja:
1 2 12 2
d d
d d (2)
Agora precisamos calcular d 1 d 2 e o módulo de d 2. O produto escalar vale:
( ) ( )
2 d 1 (^) d 2 (^) = 4,0 i + 5,0 j − 6,0 k −1,0 i + 2,0 j + 3,0 k = −4,0 + 10 − 18 = −12 m
O módulo de d 2 vale:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1, 0 2, 0 3, 0 3, 7416 m x y z d = d + d + d = − + + =
Substituindo-se os valores de d 1 d 2 e d 2 em (2), teremos:
2
12
12 m 3, 2071 m 3,7416 m
d
d 12 (^) −3, 2 m
(d) A componente de d 1 que é perpendicular a d 2 e está no plano de d 1 e d 2 , que chamaremos d 12 ⊥, é
d 1 sen 12. Esse termo aparece no módulo do produto vetorial dos dois vetores:
d 1 d 2 = d d 1 2 sen 12 = d 12 ⊥ d 2
1 2 12 2
d d
⊥
d d (3)
Agora só precisamos calcular | d 1 × d 2 |. O produto vetorial vale:
d 1 (^) d 2 (^) = (^) ( 4,0 i + 5,0 j − 6,0 k (^) ) −( 1,0 i + 2,0 j + 3,0 k (^) )= 27 i − 6,0 j + 13 k
O módulo de d 1 × d 2 é:
(^2 2 2 ) 1 2 d d = 27 + −6, 0 + 13 =30,5614 m
Substituindo-se os valores de | d 1 × d 2 | e d 2 em (3), teremos:
2 1 2 12 2
30,5614 m 8,1678 m 3, 7416 m
d d
⊥
d d
10
(a) O módulo de d vale:
( ) ( )
2 2 2 2 d = d (^) x + dy = 0, 6505 m + 1, 7225 m =1,8412 m
d 1,84 m
(b) O ângulo que d faz em relação ao semi-eixo x positivo é dado por:
1 1 1,7225^ m tan tan 69, 0,6505 m
y d x
d
d
− ^ ^ − ^
^
d 69
O vetor d pode ser visto no esquema abaixo:
69. Um manifestante, com sua placa de protesto, parte da origem de um sistema de coordenadas xyz ,
com o plano xy na horizontal. Ele se desloca 40 m no sentido negativo do eixo x , faz uma curva
de 90
o à esquerda, caminha mais 20 m e sobe até o alto de uma torre de 25 m de altura. (a) Em
termos de vetores unitários, qual é o deslocamento da placa do início ao fim? (b) O manifestante
deixa cair a placa, que vai parar na base da torre. Qual á o módulo do deslocamento total, do
início até este novo fim?
( Pág. 62 )
Solução.
Considere o seguinte gráfico que mostra os deslocamentos sofridos pela placa:
(a) O deslocamento total d é dado por:
d = a + b + c
d = −( 40 m ) i + −( 20 m ) j +( 25 m) k
O vetor d pode ser visto na figura abaixo.
x
y
a
c
b
d
69
o
y
x
z
a
b
c
d
11
(b) Quando a placa cai no chão, sofre um deslocamento igual a − c. Logo, seu novo deslocamento
total e vale:
e = a + b + c − c = a + b
e = −( 40 m (^) ) i + −( 20 m) j
O módulo de e vale:
( ) ( )
2 2 e = − 40 m + −20 m =44, 7213 m
e 45 m
O esquema vetorial para essa situação será:
71. Se B é somado a A , o resultado é 6,0 i + 1,0 j. Se B é subtraído de A , o resultado é −4,0 i + 7,
j. Qual é o módulo de A?
( Pág. 62 )
Solução.
Vamos somar as duas equações mencionadas no enunciado para eliminar B e obter A.
B + A = 6,0 i +1,0 j
A − B = −4,0 i +7,0 j
O resultado da soma é:
2 A = 2,0 i +8,0 j
Ou:
A = 1,0 i +4,0 j
O módulo de A vale:
2 2 2 2 A = Ax + Ay = 1,0 + 4,0 = 17 =4,
A 4,
y
x
z
a
b
c
d
y
x
z
a
b
c
e
− c
Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 a^ Ed. - LTC - 1996. Cap. 03 – Vetores
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do míssil durante o período de contacto com o radar.
( Pág. 46 )
Solução.
Considere o seguinte esquema da situação:
A posição inicial do míssil é dada por:
r 0 (^) = r 0 (^) x i + r 0 y j
r 0 (^) = r 0 (^) cos i + r 0 sen j
A posição final do míssil é dada por:
r = rx i + ry j
r = r cos (^) ( + ) i + r sen( +) j
O vetor deslocamento do míssil é dado por:
r = x i + y j
= r cos ( + ) − r 0 (^) cos + r sen ( + )− r 0 sen r i j
r = − (^) ( 10.216,9370 m (^) ) i −( 33,5360 m) j
r − (^) ( 10 km (^) ) i −( 33 m) j
O módulo do deslocamento é:
2 2 r = r (^) x + r (^) y =10.216,9921 m
r 10 km
r 0 r
r
x
y
