Baixe f - brunetti - exercícios resolvidos - Cap. 6 e outras Exercícios em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity!
Capítulo 6
ANÁLISE DIMENSIONAL – SEMELHANÇA
Neste capítulo o leitor deverá compreender a utilidade da análise dimensional para a
construção de leis da Física. O agrupamento de grandezas em números adimensionais facilita
a análise empírica das funções que representam os fenômenos da natureza.
O capítulo é dedicado à interpretação dos principais adimensionais utilizados na Mecânica
dos Fluidos e à teoria dos modelos ou semelhança, de grande utilidade em análise
experimental.
Exercício 6.
Base FLT
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
1
2 1
2
1 2 1 1 m
1 G
3 1
2
2
3
4 2
1 2
2
3
2
N FLT
W FL
M FL
L T
FL T
Q FL T T FL T
Q FT
Q LT
FL
p FL
FL
FL T
F F
m FL T
a LT
V L
A L
−
−
−
− − −
−
−
−
−
−
−
−
−
ν =
μ=
= × =
τ =
γ =
ρ=
Exercício 6.
( )
(coeficient edevazão) nD
Q
n D Q
númerodeReynolds
nD Re nD nD
n D
Base: ,n,D
(^23)
1 2 3 2
2
1
1 2 3 1
π =ρ ⇒ π = = φ
ν
ν
ρ
μ π =ρ μ ⇒ π =
ρ
β β β
α α α
Base MLT
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
2 1 2 3
2 2
2 2 2
2 1
2 2 1 1
1 m
2 1 3 G
3 1
1 2
2 2 1 2
2 3 2 2
3
2
2
3
2
N MLT LT ML T
W MLT
M MLT L ML T
L T
MLT L T ML T
Q MT
Q MLT T MLT
Q L T
ML T
p MLT L ML T
MLT L ML T
ML
F MLT
m M
a LT
V L
A L
− − −
−
− −
−
− − − −
−
− − −
−
− −
− − − −
− − − −
−
−
−
= × =
= × =
ν =
μ= × =
= × =
τ =
= × =
γ = × =
ρ=
(coeficient emanométrico) n D
gH
n D
H
n D H 2 2
B 2 2
B B 3
1 2 3 3 = =Ψ ρ
γ π =ρ γ ⇒ π =
δ δ δ
Exercício 6.
f ( p, ,g,h) 0 f( ) 0
p f( ,g,h)
ρ = → π =
= ρ
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]h L
g LT
FL T
p FL
2 1
4 2
2
ρ=
−
−
−
Como só existe um adimensional, ele será uma constante.
C p C gh gh
p = ⇒ = ρ ρ
π=
Exercício 6.
( )
g
T C
g g T T
g T L L T T L T
fT, ,g 0
2
1 2
1
2 1 2
1 2
1 2 1 2 2 2 1 2 2 21
l
l
l
l
l
π= = ⇒ =
− α + = ⇒ α =− α =
α +α =
π= → π= → π=
−
α α α α − α α+α − α+
Exercício 6.
( )
f(Q ,D, ,p) 0 f( ) 0
Q fD, ,p
ρ = → π =
= ρ
Como só existe um adimensional, ele será uma constante.
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
2
4 2
3 1
p FL
FL T
D L
Q LT
−
−
−
ρ =
m = n – r = 4 – 3 = 1
Base: ,p,D
m n r 4 3 1
ρ
( ) ( )
F L T
Q H N FL LT L FLT
2
1 2 3
1
11 313 2 31 21
3 1 3 1 2 3 1 B
3 B
1 2
−α − =
− α + α +α + =
α + =
π=
π=γ =
α+ −α+α+α+ −α −
α α α − α − α α −
N (^) B =CγQH B
Exercício 6.
( )
( )
( )
( (^) Mach) c
v
v
c v Lc
Froude Lg
v Fr v
Lg v Lg
Euler v L
F
Eu v L
F
v L F
Reynolds
vL Re vL
v L
v L c F L T L T L LT
v L g F L T L T L LT
v L F F L T L T L F
v L F L T L T L FL T
Base: ,v,L
Grandezas: ,v,L, ,F,g,c
0 1 0 4
2
3
1
1 2
1 2 3
1
2
2
0 2 3
2
3
1
1 2
1 2 3
1
2 2 2 2
1 2 2 2
2
3
1
1 2
1 2 3
1
1 1 1 1
2
3
1
1 2
1 2 3
1
1 41 21 2 2 3 1 1
1 2 3 4
1 41 21 2 2 3 2 1
1 2 3 3
1 41 21 2 2 3 1
1 2 3 2
1 41 21 2 2 3 2 1
1 2 3 1
⇒ π =ρ = ⇒ Μ =
λ =−
λ =
λ =
λ −λ − =
− λ +λ +λ + =
λ =
⇒ π =ρ = ⇒ =
δ =−
δ =
δ =
δ −δ − =
− δ +δ +δ + =
δ =
ρ
ρ
⇒ π =ρ =
β =−
β =−
β =−
β −β =
− β +β +β =
β + =
μ
ρ ⇒ = ρ
μ ⇒ π =ρ μ=
α =−
α =−
α =−
α −α + =
− α +α +α − =
α + =
π =ρ ⇒ π =
π =ρ ⇒ π =
π =ρ ⇒ π =
π =ρ μ ⇒ π =
ρ
ρ μ
−
−
− − −
− − −
λ λ λ λ −λ λ λ −λ λ −
δ δ δ δ −δ δ δ −δ δ −
β β β β −β β β −β β
α α α α −α α α −α α −
Exercício 6.
( )
f( F,v, ,D, , ,c) 0 f( 1 , 2 , 3 , 4 )
F fv, ,D, , ,c
ω ρμ = → π π π π
= ω ρμ
2
3
1
α = −
α =−
α =−
B
1 B
1 1 Q H N
− − − ⇒ π=γ
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
1
2
4 2
1
1
c LT
FL T
FL T
D L
T
v LT
F F
−
−
−
−
−
μ =
ρ =
ω=
1 2
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
4 2 1 1 4 2 1
4
3
2
1
FL T LT L F F L T
v D c
v D
v D
v D F
α α+ − α+α +α α− α α − α −
λ λ λ
δ δ δ
β β β
α α α
π = =
π =ρ
π =ρ μ
π =ρ ω
π =ρ
1 2
1 2 3
1
α −α =
− α +α +α =
α + =
É necessário observar que nos outros sistemas de equações a parte das incógnitas será a
mesma, apenas mudando o símbolo e os coeficientes independentes das incógnitas
dependerão da contribuição dos expoentes das variáveis independentes de cada adimensional.
1 2
1 2 3
1
β −β − =
− β +β +β =
β =
1 2
1 2 3
1
δ −δ + =
− δ +δ +δ − =
δ + =
Base: ,v, D
m n r 7 3 4
ρ
Vale lembrar que se existir esta base, deverá ser preferida,
pois, pode conduzir a alguns adimensionais conhecidos.
deve-se lembrar que no lugar de D, pode ser qualquer grandeza
de equação dimensional L.
F
L
T
v D
F
2 Eu
v D
F
1 v D F
2
2 2 3
2 2
1 2 2 1 1
α = −
ρ
α =− ⇒ =
ρ
α =− π =ρ =
− − −
F
L
T
2
3
1
β = −
β = ⇒
β =
v
D
v
D
v D
2
0 1 1 2
ω π =
ω π =ρ ω=
−
F
L
T 1
2
3
1
δ = −
δ =− ⇒
δ =−
μ
ρ
ρ
μ π =ρ μ=
− − −
vD Re
vD
v D
1 1 1 3
F
L
T 1
2
3
1
λ = −
λ = ⇒
λ =
c
v M
v
c v D c
0 1 0 4
π =ρ =
−
1 2
1 2 3
1
λ −λ − =
− λ +λ +λ + =
λ =
s
m 3 , 2 4 , 9 6 , 4
v 6 , 4
v v
v
k (^) p m p
m
4
v (^4)
= = ⇒ = = × =
×
×
×
−
−
Exercício 6.
( )
( 3 ) k 1
n 3 , 16 120 379 rpm n
n 3 , 16
k
k ( 1 ) k
s
m 2 , 37 3 , 16
v v
v
( 2 ) k k k
; k 1 ; k 1 (supondo a água do modeloigual à água do protótipo) 10
k
Eu Eu k k k k ( 3 ) v D
F
Eu
Fr Fr k k k ( 2 ) Dg
v Fr
k k k ( 1 ) v
n D
v
n D
,Fr,Eu 0 v
nD f ,v,D,n,g,F 0 f
2 2
F
m p
m
D
v n
m p
m v D g
D g
2 D
2 m p F v 2 2
D g
2 m p v
2
v n D p
p p
m
m m
⎟^ =
⎟ ×
= ×
= = = = → = × =
= = × = = → = =
ρ
ρ = →
ρ
ρ
Exercício 6.
b 15 2 30 cm
1 , 5 2 3 m Placacom
L 2 L
L
L
k
k k
0 , 1 ; k 10
; k 1 , 2
k
k k k
vL vL Re
k k k k v L
F
Eu
Base: ,v,L
p m p
m
v
L
5 v
6
2 v L
2 L
2 1 2 2 F v
= × =
= × =
ν
μ
ρ π = =
ρ
π = =
ρ
ν
−
−
ρ ν
ν
ρ
l
1 , 8 N
F
F
F
F
k
m p p
(^22) m F = × × = = ⇒ = = =
Exercício 6.
coeficiente manométrico
n D
gH
coeficiente de vazão nD
Q
2 2
B
3
φ=
79 m 0 , 316
H
H
H
k
k k ( 2 ) k
- 844 rpm 0 , 422
n n
n 0 , 422 1 , 333
k
k ( 1 ) k
1 , 333 ; k 1 15
D
D
k 1 ; k
k k k ( 2 )
k k k ( 1 )
p p
m B
B
B B
B
2 2
g
2 D
2 n H
p p
m 3 3 D
Q n
g p
m Q D
2 D
2 m p H n
3 m p Q n D
×
φ =φ → =
Exercício 6.
s
m 9 , 6 10
- 247
v D
- 247
v D
Re 1. 247 8 , 5 12 , 8
Re 1. 000 Interpolandolinearmente:
v
p Eu
2 p p 5 p p
p p
p
p
2
3
2 p p
p p
− = ×
×
= ⇒ ν = = ν
×
×
ρ
Exercício 6.
( )
s
m v 2 , 5 3 7 , 5 v
v 2 , 5 1 0 , 4
k k
k ( 2 ) k
D
D
k 1 ; k 1 ; k
Re Re k k k k ( 2 )
Eu Eu k kk k ( 1 )
vD ;Re vD
F
fF, ,v,D, 0 f Eu
1 2
1
D
v
2
1 D
m p v D
2 D
2 m p F v
2 2
= = → = × =
×
μ
ρ
ρ
ρ μ = → =
ρ
μ
ρ μ
μ ρ
ρ
Para bombas:
⎟ ×
=Ψ× =Ψ×
=φ =φ× × = φ
= = = = = × =
⎟ ×
g
n D H
Q n D
- 750 rpm e D 2 D 2 0 , 15 0 , 3 m 2
n Paraoprotótipo: n
0 , 128 H
9 , 8 H
n D
gH
2
2
2 p
2 p Bp
3 3 p p p
p m
m p
B 2
2
B 2 2
B
Com essas expressões é possível construir a tabela a seguir e, portanto, as curvas da bomba.
Q(m
3 /s) 0 5x
HB (m) 25 24 23 20 14
φ 0 0,0254^ 0,0508^ 0,0762^ 0,
ψ 3,20^ 3,07^ 2,94^ 2,56^ 1,
Qp (m
3 /s) 0 20x
HBp 25 24 23 20 14
Exercício 6.
3. 700 N
F
F
F
F
k 1 1 , 73 3 27
s
m 5 , 2 1 , 73
v v v
v k 3 1 1 , 73
k k k Lg
v Fr
k k k k v L
F
Eu
5 1 2 2
(^221) F
1 2 2
1 v
L g
2 v
2
2 L
2 2 2 F v
= × × = = ⇒ = = =
= × = = ⇒ = = =
ρ
= (^) ρ
Exercício 6.
Se a perda de carga de (5) a (7) é a mesma nas duas situações, como é função de v
2 , deve-se
entender que a vazão nas duas situações deve ser a mesma, logo, kQ = 1.
( )
H z H 8 ( 1 3 4 ) 16 m
H z H 8 3 3 4 18 m
k k k
k
k k k k k k k
k
k k k k
B 2 7 p 1 , 7
B 1 7 p 1 , 7
4
3
n HB
3
4 n 3
2 n
2 g HB n
2 D
2 g HB n
3
n
D
3 Q n D
- 158 rpm 1 , 092
n n
n
n 1 , 092 16
k
1 2
2
1
4
3
n
Exercício 6.
( )
N
N
b) N QH 8. 500 91 , 8 10 100 10 78 kW
s
L
Q 27 Q 27 3 , 4 91 , 8
Q
Q
k k k 1 3 27
s
L
11 , 1 m Q 3 , 5 9
H
H
H
H
k
k k a) k
B
B
3 3 B
1 2 2
3 3 1 Q n D
2
B 1 B 2 B 2
B 1
2 2
g
2 D
2 n HB
η = = =
=γ = × × × × =
= = × = = ⇒ = = × =
×
− −
Exercício 6.
A curva representa Eu = f(Re). Quando o efeito da viscosidade torna-se desprezível, o Eu não
varia mais com Re e, portanto, Eu = constante.
Essa situação acontece para
4 Re ≅ 5 × 10 , onde Eu ≅ 3 .Logo:
3 F 3 1 10 0 , 05 0 , 75 N
v D
F
Eu 3
s
m 10 0 , 05
D
5 10 v
vD
2 2 2 2
4 4 5 4
= → = × × × =
ρ
× ×
× ν = × → = ν
−
Exercício 6.
( )
5 , 9 10 m 5 , 9 mm 100 10
2 10 p
Q
D
D p
Q
D pD
Q
pD
D
Q
Adimensionais
Base: , ,D
Q f p, , ,D
3 2 3
3
2
2 2 2
2
2
1
2
2
2
1
= × =
× ×
×
ρ
×
= ×
ρ
Δ
ρν
ν
π
π
ρν
π =
ν
π =
ρν
= Δ νρ
− −
−
−
−
