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CAPÍTULO 2
Modelos de Jogos: Representando uma Situação de Interação
Estratégica
2.1. Seja um jogo qualquer, ao qual foram aplicadas as seguintes transformações às
recompensas dos jogadores, onde r representa a recompensa do jogo original.
Identifique, entre essas transformações, aquelas que não alteram o jogo original.
Para que as transformações não alterem o jogo, é necessário que se mantenha a
ordem das preferências. Ou seja, para qualquer r 1
r 2
, f ( r 1
) > f ( r 2
a. f(r) = 3r- 17
Multiplicação por um número maior que zero, adição ou subtração não provocam
qualquer modificação no ordenamento das preferências.
b. f(r) = r³
A elevação a um expoente maior que um e ímpar não provoca qualquer
modificação. Se y > x, f(y) > f(x), para todo x e y.
c. f(r) = r²
Há alteração. A elevação a um expoente maior que um e par faz com que os
valores negativos de r provoquem valores de f positivos.
d. f(r) = - 2
−𝒓
𝒓
Não há alteração no ordenamento, embora a função sempre assuma valores
negativos. O gráfico desta função, posicionada no terceiro e quarto quadrante, é uma
assíntota crescente que se aproxima de zero.
e. f(r) = - (1 /r²)
2
2
Há alteração se r puder assumir valores negativos. A elevação a um expoente
maior que um e par implica igualdade da função para valores de r iguais em módulo.
f. f(r) = log(r)
Há alteração. O fato de se tratar de um logaritmo impõe a restrição de que r não
pode assumir valores negativos.
2.2 Considere uma transformação que, dadas duas recompensas r, e r2 do jogador,
obedece à seguinte condição:
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
Tal transformação é dita monotônica e possui a propriedade de não alterar as
preferências do jogador. Verifique, para as transformações do Exercício 2.1, qual
delas é monotônica.
Basta aplicar exemplos às funções do exercício anterior.
2.3 Suponha uma situação de interação estratégica entre duas empresas, a empresa
Vermelha e a empresa Azul. A empresa Azul está considerando a possibilidade de
adquirir a empresa Vermelha, que vem apresentando baixa lucratividade, fazendo
uma oferta aos acionistas da empresa Vermelha: R$ 1,00 por cada ação (a empresa
Vermelha possui 1 milhão de ações no mercado), que valem hoje R$ 0,90 cada.
Considere os seguintes fatos na sua modelagem:
- A empresa Azul acredita que, substituindo a administração da empresa
Vermelha, conseguirá aumentar a lucratividade e revender as ações que
adquiriu da empresa Vermelha por R$ 1,20, obtendo assim uma taxa de
retorno de 20% sobre seu investimento (R$ 200.000,00).
- Os executivos da empresa Vermelha podem decidir tomar a "pílula
envenenada" (do inglês, poison pil1 ). No jargão de administração de
empresas, tomar uma pílula envenenada significa adotar medidas
administrativas que prejudicam a própria empresa (por exemplo,
aumentando exageradamente os benefícios aos empregados), reduzindo seu
valor no mercado.
c. Descrever os conjuntos que formam o espaço de estratégias da empresa Azul e dos
executivos da empresa Vermelha, supondo que os executivos da empresa Vermelha
escolhem suas ações conhecendo as ações da empresa Azul.
Se somente a vermelha conhece as ações da Azul, as estratégias da Azul
permanecem iguais a suas ações.
Azul: {Comprar, Não Comprar}
Vermelha: {Tomar sabendo que Comprou, Tomar sabendo que Não Comprou; Tomar
sabendo que Comprou, Não Tomar sabendo que Não Comprou; Não Tomar sabendo que
Comprou, Tomar sabendo que Não Comprou; Não Tomar sabendo que Comprou, Não
Tomar sabendo que Não Comprou}
d. Representar a situação de interação estratégica entre os dois jogadores na forma
estratégica, supondo que ambos tomam suas decisões sem conhecer as decisões do
outro.
Azul
Vermelha
Tomar a pílula Não tomar
Compra (0, - 50) (200, - 50)
Não compra (0, - 50) (0, 50)
e. Representar a situação de interação estratégica entre os dois jogadores na forma
estratégica, supondo que os executivos da empresa Vermelha tomam suas decisões
conhecendo as ações da empresa Azul.
Azul
Vermelha
Tomar Tomar Não tomar Não tomar
Tomar Não tomar Tomar Não tomar
Compra
(0, - 50) (0, - 50) (200, - 50) (200, - 50)
Não compra
(0, - 50) (0, 50) (0, - 50) (0, 50)
f. Representar a situação de interação estratégica entre os dois jogadores na forma
estendida, supondo que os executivos da empresa Vermelha tomam suas decisões
conhecendo as ações da empresa Azul.
g. Representar a situação de interação estratégica entre os dois jogadores na forma
estendida, supondo que ambos tomam suas decisões sem conhecer as decisões do
outro.
2.4 James D. Morrow, em seu livro Game Theory for Political Scientists, analisa a
decisão do presidente norte-americano Richard M. Nixon de bombardear, no Natal
de 1972, o então Vietnã do Norte. Vamos analisar aqui uma adaptação desse jogo.
Após um acordo inicial acerca da retirada das tropas norte-americanas da guerra,
houve uma discordância sobre a natureza do acordo. Considere as seguintes
informações no momento de modelar a situação que se seguiu:
Azul
V
1
V
2
Azul
V
1
V
2
Conjunto de
Informação
b. Na forma estendida.
2.5 Suponha dois vendedores que vêem, simultaneamente, entrar um cliente em uma
loja. Ambos estão perto do cliente. Se um deles aborda o cliente, ele marca um ponto
na sua avaliação com o gerente da loja, o que pode lhe render uma promoção ao fim
do mês, enquanto o outro que não abordou perde um ponto, pois não mostrou
iniciativa, e muito provavelmente perde a promoção. Se nenhum dos dois aborda o
cliente, nenhum deles marca pontos com o gerente. Mas se os dois abordam o cliente,
ele fica irritado e vai embora, e cada um dos dois perde um ponto com o gerente.
Modele esse jogo, supondo que nenhum dos dois tem tempo de perceber o que o
outro irá fazer.
a. Descreva as ações disponíveis para cada jogador.
Vendedor 1: {Aborda, Não aborda}
Vendedor 2: {Aborda, Não aborda}
b. Represente a situação de interação estratégica entre os dois jogadores na forma
estratégica, supondo que ambos tomam suas decisões sem conhecer as decisões do
outro.
A
B
Aborda Não aborda
Aborda (-1,-1) (1,-1)
Não aborda (-1,1) (0,0)
Vietnã
do Norte
EUA
1
EUA
2
Conjunto de
Informação
2.6 Assinale, dentre as árvores de jogos a seguir, construídas para um jogo entre os
jogadores 1, 2 e 3, quais violam alguma das condições de representação de um jogo
na forma estendida, explicando qual condição foi violada em cada caso (as
recompensas foram omitidas para simplificar):
a)
b)
a)
b)
2 a
1 2b
2a
2b
1a
1b
1 b
1 a
2a
3 2b
2b
3 a
3 b
1 b
1 a
2a
c)
Regras dos conjuntos de informação para a modelagem na forma estendida por
meio de árvore de jogos:
- Conjuntos de Informação não podem conter nós que pertençam a jogadores
diferentes. A razão é trivial: o jogador B sabe que não pode jogar no nó que não
lhe pertence. Ele sabe que as ações do nó que não lhe pertence não são possíveis
de serem tomadas por ele.
- Conjuntos de Informação não podem conter nós em sequência. O jogador A sabe
que só pode jogar em A 2
se tiver executado a ação I no momento anterior A1.
- Cada Conjunto de Informação não pode conter nós com possibilidades de ação
diferentes. Caso o Conjunto, por exemplo, contenha 2 nós, com 2 possibilidades
de ação em cada, o jogador saberá em qual nó encontra-se pelas ações possíveis.
a) A primeira condição foi violada. O conjunto contém nó dos jogadores 1 e 2.
b) O conjunto está propriamente construído.
c) O conjunto viola a 3ªcondição: engloba 2 nós com possibilidades de ação
diferentes. Assim, sabendo quais são as ações possíveis, o jogador sabe em qual
nó está.
2.8 Considere o seguinte jogo representado em forma estendida.
2a
1 2c
2b
1 a
1b
1 b
1a
2a
b. Se o Banco decide emprestar, é a vez da Ponzy decidir: seus proprietários podem
enviar o dinheiro para um paraíso fiscal, obtendo um ganho financeiro e fechar a
empresa, deixando o Banco com o prejuízo, ou pedir uma renovação do empréstimo.
Assim, se eles decidirem encerrar a empresa, o Banco perde os 10 milhões, enquanto
os donos da Ponzy lucram 1,5 milhão além dos l0 milhões do banco, e o jogo acaba.
c. Caso a Ponzy decida pedir a renovação de seu empréstimo, é a vez do Banco
decidir, exatamente como na primeira etapa, se renova ou não o empréstimo inicial.
Se o Banco decidir não renovar a Ponzy é obrigada a vender seus ativos e pagar o
empréstimo inicial (10 milhões) mais 1 milhão de juros. O Banco termina o jogo com
11 milhões e os donos da empresa Ponzy com um prejuízo de 1 milhão.
d. Se o Banco decidir renovar, Ponzy decide fechar e aplicar os 10 milhões do
empréstimo em um paraíso fiscal (ganhando 2,0 milhões além dos 10 milhões do
Banco), e o Banco perde os 10 milhões originalmente aplicados.
e. Modele este jogo na forma estendida.
2.10 Considere os jogos na forma extensiva, apresentados a seguir. Descreva o Jogo
1 e o Jogo 2 em forma estratégica, e aponte as diferenças na sequência em que os
jogadores fazem seus movimentos em cada um dos jogos.
B
P
B
JOGO 1 (Laura sabe o que Helena Jogou)
Helena
Laura
W W Z Z
Z W W Z
I (2, 0) (2, 0) (1, 1) (1, 1)
II (0, 0) (1, 1) (1, 1) (0, 0)
JOGO 1 (Laura não sabe o que Helena Jogou)
Helena
Laura
W Z
I (2, 0) (1, 1)
II (1, 1) (0, 0)
JOGO 2 (Helena sabe o que Laura Jogou)
Laura
Helena
I I II II
I II I II
W (2, 0) (2, 0) (1, 1) (1, 1)
Z (1, 1) (0, 0) (1, 1) (0, 0)
JOGO 2 (Helena não sabe o que Laura Jogou)
Laura
Helena
I II
W (2, 0) (1, 1)
Z (1, 1) (0, 0)
I
I II II
W Z
W Z W Z
I II
Helena
Helena
Laura
Laura Laura
Helena
