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CAPÍTULO 3
Jogos Simultâneos: Encontrando as Melhores Respostas Estratégicas
3.1. Determine o equilíbrio a partir da forma estratégica dos jogadores A (linhas) e
B (colunas) a seguir, utilizando a eliminação iterativa de estratégias estritamente
dominadas.
B(1) B(2) B(3) B(4)
A(1) 3,0 1,1 5,4 0,
A(2) 1,1 3,2 6,0 2,- 1
A(3) 0,2 4,4 7,2 3,
Observando-se as estratégias do jogador A, vê-se que não há qualquer estratégia
dominada. Ao analisar as do jogador B, podemos eliminar a estratégia 1, estritamente
dominada pela estratégia 2, e a estratégia 4, estritamente dominada pela 3. O jogo fica
como segue:
B(2) B(3)
A(1) 1,1 5,
A(2) 3,2 6,
A(3) 4,4 7,
Analisando-se as estratégias de A, percebe-se que a 3ª é estritamente dominante
em relação às duas primeiras.
B(2) B(3)
A(3) 4,4 7,
Para B, diante deste novo cenário, a estratégia dominante passa a ser a 2. Portanto,
tem-se um equilíbrio em estratégias estritamente dominantes em (A3, B2).
3.2. Considere o seguinte jogo:
i ii iii
I 1,1 1, ½, 2,
II 1,0 0,1 2,
Pede-se:
a. Determinar quantos equilíbrios de Nash há no jogo.
Para copiar e colar: (l) , (c).
i ii iii
I (l) 1,1 (c) (l) 1, ½ (l) 2,
II (l) 1,0 0,1 (l) 2,2 (c)
Tem-se 2 equilíbrios de Nash em (I, i) e em (II, iii).
b. Verificar que, ao eliminar uma estratégia fracamente dominada, elimina-se
também um dos equilíbrios de Nash do jogo.
i ii iii
I 1,1 1, ½, 2,
II 1,0 0,1 2,
A estratégia I é fracamente dominante em relação à II. Ao eliminarmos a
estratégia II, eliminamos o equilíbrio de Nash (II, iii).
3.3. Considere a seguinte forma estratégica para os jogadores S (linhas) e s (colunas):
s' s''
S' (l) 3, 3 (c) 0, 1
S'' 1, 1 (l) 2, 3 (c)
a. Determinar se existe alguma estratégia estritamente dominante para algum
jogador.
Não há estratégias estrita ou fracamente dominantes para nenhum dos jogadores.
b. Determinar se existe algum equilíbrio de Nash. Caso exista mais de um equilíbrio,
determinar quantos e quais são.
Há dois equilíbrios de Nash em (S’, s’) e (S”, s”).
c. Determinar, caso existam equilíbrios de Nash, se são ótimos de Pareto.
O equilíbrio de Nash em (S’, s’) é ótimo de Pareto. O equilíbrio de Nash em (S”,
s”) não é, dado que o jogador das linhas pode alcançar um resultado melhor sem que o
jogador das colunas tenha um prejuízo no seu resultado.
3.4. A partir da forma estratégica a seguir para o jogador nas linhas e para o jogador
nas colunas, determine:
1 2
I (l) 3, 2 4, 3 (c)
II 1, 0 (l) 5, 2 (c)
a. Se algum jogador possui alguma estratégia estritamente dominante.
A estratégia 2 do jogador das colunas é estritamente dominante em relação à 1. O
jogador das linhas não tem estratégia dominante.
b. Se existe algum equilíbrio de Nash; caso exista, quantos.
Há um equilíbrio de Nash em (II, 2).
a. A combinação de estratégias (a, d) é um equilíbrio de Nash desse jogo.
Falsa. Não é um equilíbrio de Nash. Dada a estratégia c do jogador 2, a melhor
opção para 1 é b. E, dada a estratégia d, a melhor opção também é b. Portanto, não há
equilíbrio de Nash com a estratégia a.
b. O jogo possui um único equilíbrio de Nash.
Verdadeira. Neste jogo, há estratégias estritamente dominantes para os dois
jogadores. Desta forma, só há um equilíbrio de Nash, que é estrito.
c. b é uma estratégia dominante para o agente 1.
Verdadeira. É uma estratégia estritamente dominante, pois não há, para 1,
estratégia tão boa quanto essa para quaisquer estratégias que o agente 2 adote.
d. Esse é um jogo do tipo do “galinha”.
Falsa. No jogo do galinha, apresentam-se as mesmas estratégias para os jogadores.
E, em segundo lugar, não há estratégias dominantes, como no jogo do presente exercício.
Os jogadores não têm de “descoordenar” suas ações.
3.7. Considere o jogo descrito pela seguinte forma estratégica:
Agente 1
Agente 2
a b
A
3, 2 5, 5
B
0, 0 7, 4
Verifique quais das afirmações a seguir são verdadeiras:
a. As estratégias B e b são dominantes para os agentes 1 e 2, respectivamente.
Falsa. A estratégia B não é fraca nem estritamente dominante. Para o agente 2, a
estratégia b é estritamente dominante.
b. O par de estratégias (B, b) é um equilíbrio de Nash.
Verdadeira. É o único equilíbrio de Nash do jogo.
c. O par de estratégias (A, b) é eficiente no sentido de Pareto.
Verdadeira. Não há, para o agente 2, resultado sequer tão bom quanto este. Porém,
não é o melhor para o agente 1. Por tal razão, para que 1 alcance melhor resultado, o
agente 2 teria de obter resultado pior, contrariando o conceito de Pareto.
d. Todo equilíbrio de Nash desse jogo é eficiente no sentido de Pareto.
Verdadeira. Neste jogo, há somente o equilíbrio de Nash (B, b). Ele é eficiente no
sentido de Pareto pois um melhor resultado para o agente 2 implicaria um pior para o
agente 1.
3.8. Dado o jogo seguinte, considere as afirmativas e indique quais são falsas e quais
são verdadeiras, justificando suas respostas:
Jogador 1
Jogador 2
x y
a
15, 0 15, 1
b
a. Em relação ao jogo descrito na matriz anterior, pode-se afirmar que as estratégias
a e y são dominantes.
Falsa. A estratégia a não é dominante pois, dada a estratégia y, a melhor ação para
o jogador 1 é b. A estratégia y é estritamente dominante.
b. Pode-se afirmar que o par ( b, y ) constitui um equilíbrio de Nash.
Verdadeira. O par (b, y) constitui equilíbrio de Nash estrito.
c. Não há equilíbrio de Nash nesse jogo.
Falsa. O par (b, y) constitui equilíbrio de Nash estrito.
d. Todo equilíbrio de Nash nesse jogo é ótimo de Pareto.
Verdadeira. O único equilíbrio de Nash em (b, y) não só é ótimo de Pareto como
é o melhor resultado para ambos jogadores.
e. Há um equilíbrio de Nash: ( a, x ) que, no entanto, não é um equilíbrio de Nash
estrito.
Falsa. O único equilíbrio de Nash é em (b, y), que é estrito.
3.9. Reveja o capítulo anterior no tópico sobre modelagem de jogos e identifique os
equilíbrios de Nash dos jogos a seguir examinando-os na forma estratégica.
a.
a
b
I
I
II
II
c.
O jogo pode ser expresso em forma estratégica como segue:
1
2
I II
a c 3, 3 (c) (l) 5, 1
a d 3, 3 3, 6 (c)
b e 4, 2 (c) 2, 2 (c)
b f (l) 9, 0 2, 2 (c)
Não há equilíbrio de Nash.
a
b
I
I
II
II
e
f
c
d
d.
Na forma estratégica, o jogo expressa-se como segue:
1
2
I II
a 2, 1 1, 2 (c)
b (l) 6, 8 (c) 4, 3
c 2, 1 (l) 8, 7 (c)
Como se pode inferir da apresentação do jogo simultâneo em forma estratégica,
há dois equilíbrios de Nash: (b, I) e (c, II).
3.10. Indique quais das afirmações abaixo são verdadeiras e quais são falsas.
Justificando:
a. Em relação à teoria dos jogos, pode-se dizer que o “dilema dos prisioneiros”
ocorre quando o equilíbrio de Nash não é um equilíbrio em estratégias
dominantes.
Falsa. O equilíbrio de Nash no dilema dos prisioneiros é um equilíbrio em
estratégias dominantes. Confessar é dominante em relação a não confessar para os
dois prisioneiros.
b. Todo equilíbrio de Nash em um jogo simultâneo é ótimo de Pareto.
Falsa. O caso do dilema dos prisioneiros ilustra este fato. Caso houvesse
cooperação entre os ladrões, ambos sairiam com resultado melhor. O equilíbrio de
Nash exige que todas as estratégias adotadas por todos os jogadores sejam as melhores
I
I
I
II
II
II
a
b
c
