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Capítulo 1 - MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO
Rubens Pantano Filho
3.1 Introdução 3.2 Sistemas unidimensionais 3.3 Velocidade média 3.4 Velocidade instantânea 3.5 Movimento uniforme 3.6 Aceleração 3.7 Movimento com aceleração constante 3.8 Queda livre 3.9 Movimento com aceleração variável Resumo Questões e problemas
3.1 – Introdução
Nas experiências cotidianas, observamos que os movimentos estão sempre presentes nas mais variadas situações que nos cercam, quer sejam nos momentos de trabalho ou nos instantes de lazer. Entre esses inúmeros movimentos, encontramos alguns relativamente simples, tais como os movimentos dos ponteiros de um relógio ou, ainda, a queda de um corpo nas proximidades da Terra, sob a ação da gravidade.
Figura 3.1 – Carros de corrida em movimento numa prova de Fórmula 1.
Além desses movimentos mais elementares, há também muitos outros mais complexos como, por exemplo, os movimentos dos corpos celestes, os movimentos de partículas carregadas submetidas à ação de campos elétricos e/ou magnéticos, como ocorre nos aceleradores de partículas ou, ainda, os movimentos das peças de um complexo equipamento industrial quando em funcionamento.
Figura 3.2 – Trajetórias de partículas carregadas numa câmara de bolhas.
A compreensão desses movimentos que observamos permite-nos um melhor entendimento do mundo em que vivemos, bem como o desenvolvimento de novas tecnologias importantes ao homem contemporâneo. Para que possamos adquirir os conhecimentos que nos permitam entender os movimentos mais complexos, começamos pelas análises dos mais simples, tais como alguns que ocorrem sobre uma reta, ou seja, os movimentos denominados unidimensionais. Convém ressaltar que vários movimentos na Natureza acontecem dessa forma: a queda de um corpo nas proximidades da Terra é um bom exemplo disso.
Figura 3.3 – A queda de uma maçã.
Nos estudos que faremos nesse capítulo, assim como no seguinte, os movimentos analisados serão descritos sem que se tenha preocupação alguma com as causas que lhe deram origem. Em outras palavras, procuraremos descrever o movimento de um corpo através da caracterização de sua posição, da rapidez com que se desloca – a velocidade – e também da análise da variação dessa rapidez – a aceleração. Esse estudo apenas descritivo dos movimentos, sem a análise das causas, é o que denominamos Cinemática. A discussão das causas – a Dinâmica - será feita num conjunto de capítulos seguintes. Outra consideração que se faz importante nesse momento tem a ver com o fato de que o movimento de um corpo pode incluir translação e rotação. Como exemplo, imaginemos o movimento de uma bola de futebol quando chutada pelo jogador. Além do deslocamento a partir de sua posição inicial, a bola pode também girar em torno de si mesma, dependendo, entre outros fatores, de como foi chutada pelo atleta. Também nessa fase introdutória, imaginaremos um corpo ideal, ao qual denominaremos partícula, cujas dimensões não levaremos em conta face às demais dimensões envolvidas no problema. Em outras palavras, o corpo será tratado como um ponto geométrico, porém dotado de massa; por isso mesmo o denominamos ponto material. Note-se que, não tendo dimensões, não há possibilidade de falarmos em rotação; o movimento de uma partícula é exclusivamente translacional.
3.2 - Sistemas unidimensionais
Uma análise inicial e relativamente simples dos movimentos unidimensionais nos permitirá a compreensão de conceitos importantes, tais como velocidade e aceleração, grandezas estas extremamente úteis na descrição de um movimento qualquer. Num momento seguinte, veremos que a extensão de alguns conceitos definidos no caso de uma dimensão pode ser feita sem grandes dificuldades para duas ou três dimensões.
Figura 3.4 – Um avião voando horizontalmente em linha reta.
A rigor, as duas grandezas citadas, velocidade e aceleração, são grandezas que dizemos vetoriais. Conforme visto no Capítulo 2, são grandezas para as quais a perfeita caracterização necessita dos conhecimentos de magnitude (módulo), direção e sentido; sem um desses atributos a grandeza estará conhecida apenas parcialmente. No entanto, como a análise inicial dos movimentos será feita em uma única dimensão, não necessitaremos discutir o caráter vetorial de tais grandezas, tratando-as, dessa forma, como se fossem elementos escalares. No Capítulo 4, os conceitos de velocidade e aceleração serão ampliados e essas duas grandezas serão definidas em seus aspectos mais amplos, ou seja, vetorialmente. Imaginemos então uma partícula que se desloca sobre uma reta. Como esse deslocamento pode se dar tanto num sentido como em outro, sobre a mesma reta, ou seja, sobre a mesma direção, convém atribuirmos a essa direção dois sentidos. Em outras palavras, convém estabelecer nessa direção um eixo orientado e dotado de um ponto de origem ou de referência. Podemos utilizar esse ponto de referência para especificar a
e voltado a x (^) 1; houve movimento, mas o deslocamento no intervalo foi nulo, indicando que
a posição final é coincidente com a posição inicial.
3.3 - Velocidade média
Continuando com as considerações anteriores, para cada posição ocupada pela partícula teremos um instante de tempo associado. Da mesma forma que fizemos para o deslocamento, também para o tempo utilizaremos a representação F 04 4 t como indicativo da
magnitude do intervalo de tempo entre os instantes t 1 e^ t 2. Assim:
(3.3)
Analisando as dimensões da igualdade acima, [ t ] = [F 04 4 t ] = T. Assim, no SI, a unidade utilizada será o segundo (s). Agora, podemos definir a velocidade média de uma partícula num certo intervalo de tempo. Considerando que a mesma sofre um deslocamento F 04 4 x num intervalo de tempo F 04 4 t , definimos velocidade média como sendo a taxa média de variação de posição em relação ao tempo, ou seja:
Pela definição, observa-se que [ vm ] = L.T -1^ , ou seja, no SI a unidade de velocidade
é o m/s ou m.s-^.
Exemplo 3.1:
Como é muito comum medirmos a velocidade em km/h, como no caso dos automóveis de passeio ou nos veículos de carga, como podemos fazer a conversão de m/s para km/h?
A solução é muito simples; vejamos:
1 m/s = 10-3^ km/(1/3600) h = 3,6 km/h
Convém observar que a velocidade média representa uma velocidade única, tal que, se mantida constante em todo o intervalo, faria com que a partícula tivesse saído do mesmo local e chegado ao mesmo ponto que chegou, no mesmo intervalo de tempo. Uma situação interessante para refletir é o caso de uma partícula que está numa determinada posição, sai dela e volta à posição inicial depois de certo tempo. Nesse caso, de acordo com a definição proposta, a velocidade média associada é nula, uma vez que o deslocamento no intervalo considerado também foi nulo. Mas, qual o significado de velocidade média nula? Se o corpo avançou à 60 km/h e depois voltou pela mesma reta, também a 60 km/h, por que então a velocidade média não é também 60 km/h? Note que, no exemplo proposto, o fato de a partícula ter seu sentido de movimento invertido, nos garante que a velocidade já não é mais a mesma. Lembre-se de que velocidade é uma grandeza vetorial; se mudou o sentido, mudou a velocidade: 60 km/h num sentido não é mesma velocidade que 60 km/h em sentido oposto. Note também que ter
velocidade média nula significa que as posições iniciais e finais serão coincidentes, ou seja, é a velocidade que mantida durante todo o intervalo fará com que o corpo apresente-se na mesma posição no início e no final do processo. Reflita um pouco mais sobre isto.
3.4 - Velocidade instantânea
A velocidade média nos dá informações relativamente importantes sobre o
movimento num determinado intervalo. Por exemplo, quando dizemos que, numa viagem de Campinas ao Rio de Janeiro a velocidade média foi de 80 km/h, concluímos que a viagem deve ter durado umas cinco horas aproximadamente, na medida em que, medindo- se pela estrada, Campinas dista aproximadamente 400 km do Rio de Janeiro. Apesar disso, a velocidade média não nos informa o que aconteceu instante por instante. No exemplo proposto não conseguiríamos dizer, por exemplo, a velocidade do veículo quando o mesmo passou pelo quilômetro 165 da Via Dutra, nem mesmo se o motorista parou por alguns instantes em algum posto de combustível ou em algum restaurante. Significa então que o fato de conhecermos a velocidade média num certo intervalo de tempo não nos garante conhecer a velocidade num determinado instante qualquer desse mesmo intervalo. A velocidade num determinado instante pode ser obtida da seguinte forma. Imagine que escolhemos um certo intervalo de tempo e calculamos nele a velocidade média de uma partícula. Depois, reduzimos a duração do intervalo de tempo e calculamos novamente a velocidade nesse novo intervalo. Se fizermos isso sucessivamente, ou seja, se diminuirmos sucessivamente o intervalo de tempo no qual calculamos a velocidade média, chegaremos, por extensão a uma velocidade média num intervalo de tempo tão pequeno que o valor calculado é praticamente a velocidade instantânea num dos pontos do intervalo, uma vez que o mesmo é tão pequeno que a velocidade não poderá ter variado tão significativamente. Na linguagem do cálculo escrevemos assim:
Exemplo 3.2:
Para entendermos melhor a expressão acima, ou seja, o conceito de velocidade instantânea, tomemos como exemplo a equação de movimento de uma partícula: x =t 2.
Como poderíamos determinar a velocidade instantânea da partícula no instante t = 2,000 s? Com a equação, calculemos a velocidade média em vários intervalos de tempo, todos eles com início no instante 2,000 s. Vamos, propositadamente, fazer os intervalos irem diminuindo, mantendo-se o instante inicial t = 2,000 s.
t 1 (s) x1 (m) t 2 (s) x2 (m) Δx (m) Δt (s) vm = Δx/Δt (m/s) 2,000 4,000 4,000 16,000 12,000 2,000 6, 2,000 4,000 3,000 9,000 5,000 1,000 5, 2,000 4,000 2,500 6,250 2,250 0,500 4, 2,000 4,000 2,400 5,760 1,760 0,400 4, 2,000 4,000 2,300 5,290 1,290 0,300 4, 2,000 4,000 2,200 4,840 0,840 0,200 4, 2,000 4,000 2,100 4,410 0,410 0,100 4,
Assim, a velocidade da partícula em cada instante pode ser dada pela expressão
acima.
b) No instante t = 5 s, por exemplo, a velocidade instantânea será v = 6.5 = 30 m/s.
c) O valor 30 corresponde à inclinação da reta tangente à curva x =3 t^2 pelo ponto da mesma cujas coordenadas são: (5 s, 75 m).
Sabendo que a operação inversa da derivação é a integração, conhecida a equação de velocidade como função do tempo, ou seja, a equação v = f(t), podemos obter a equação de movimento, ou seja, x = f(t), promovendo-se a integração da primeira em relação ao tempo. Simbolicamente, indicamos assim:
Nesse ponto, devemos lembrar que a integral representa, numericamente, a área sob a curva no intervalo delimitado. Assim, a integral do lado esquerdo da igualdade representa a área sob a curva v = f(t), entre os instantes definidos na integração.
Figura 3.7 – A integral como área sob a curva num interalo.
Definidos os intervalos de integração, de um lado e de outro da equação acima, obtém-se então x = f(t). Observe o exemplo a seguir:
Exemplo 3.4:
Sabe-se que a equação de velocidade de uma partícula é dada por v = 8,0t, em unidade SI. Além disso, sabe-se também que para o instante t = 0 a partícula se encontrava a 2,0 m da origem das abscissas. Assim:
F 0 F 2 v.dt =^
F 0 F 2 dx F 0 F 2 8,0.t.dt =^
F 0 F 2 dx
Resolvendo a integral para o intervalo proposto, tem-se:
4,0.t^2 – 4,0.02^ = x – 2,
x = 2,0 + 4,0.t 2
Agora, conhecida a equação de movimento, podemos obter, por exemplo, a posição da partícula para um instante futuro. Por exemplo, substituindo t = 3,0 s na equação acima, obtemos x = 2,0 + 4,0.3,0^2 = 38 m. Observe-se, dessa forma, que a equação de movimento nos permite fazer previsões de como se comporta a partícula num momento futuro ou como se comportou num momento passado, desde que as características fundamentais do movimento tenham sido mantidas.
3.5 – Movimento uniforme
O movimento mais simples que podemos analisar em linha reta é o movimento de um corpo que se desloca com velocidade constate, ou seja, um movimento que apresenta velocidade igual em qualquer instante do intervalo considerado. Note que, se a velocidade é constante, podemos escrever:
Em outras palavras, podemos afirmar que a velocidade média em qualquer intervalo é igual a velocidade instantânea em qualquer um dos instantes desses intervalos. Assim:
Se considerarmos t 0 = 0, a expressão ficará:
(3.9)
Dessa forma, observamos que a equação de movimento para uma partícula em movimento uniforme é uma equação de primeiro grau na qual o coeficiente de t representa a velocidade do movimento e o termo independente representa a posição inicial.
Figura 3.8 – Fotografia de múltipla exposição de uma bolha de bilhar em MRU.
3.6 – Aceleração
Nem todos os movimento apresentam velocidade constante com o tempo. Na verdade, a grande maioria deles não é assim, ou seja, os movimentos que observamos na Natureza em geral apresentam velocidade variável e que variam mais ou menos rapidamente. Para descrevermos a taxa de variação de velocidade introduzimos o conceito de aceleração. A idéia é que um movimento apresenta aceleração quando sua velocidade muda de alguma maneira. Ressaltamos que, nesse capítulo, estamos levando em conta somente a variação da magnitude da velocidade, ou seja, a mudança de seu valor. No
F 0 F 2 a.dt =^
F 0 F 2 dv^ (3.14)
Mais uma vez observemos que a integral do lado esquerdo da igualdade, ou seja, F 0 F 2 a.dt, representa agora a área sob a curva da função a = f(t). Definidos os intervalos de integração, de um lado e de outro da equação acima, obtém-se então v = f(t). Observe o exemplo a seguir:
Exemplo 3.3:
Sabe-se que a equação de aceleração de uma partícula é dada por a = 2,0t, em unidade SI. Além disso, sabe-se também que para o instante t = 0 a partícula apresentava
velocidade inicial de 3,0 m/s na posição x = 2,0 m. Assim:
F 0 F 2 a.dt =^
F 0 F 2 dv F 0 F 2 2,0.t.dt =^
F 0 F 2 dv
Resolvendo a integral para o intervalo proposto, tem-se:
1,0.t^2 – 1,0.02^ = v – 3,
v = 3,0 + 1,0.t 2
Agora, conhecida a equação de velocidade, podemos obter, por exemplo, a velocidade da partícula para um instante futuro. Por exemplo, substituindo t = 2,0 s na equação acima, obtemos v = 3,0 + 1,0.2,0^2 = 7 m/s. Em seguida, também podemos determinar a equação de posição da partícula, integrando a função v = f(f) obtida.
v = dx/dt
F 0 F 2 v.dt =^
F 0 F 2 dx
F 0 F 2 (3,0 + 1,0.t
(^2) ).dt = F 0 F 2 dx
3,0.t + 1,0.t 3 /3 = x – 2,
x = 2,0 + 3,0.t + 1,0.t 3 /
3.7 – Movimento com aceleração constante
Um outro movimento relativamente simples, em linha reta, é o movimento de um corpo que se desloca com aceleração constante, ou seja, um movimento retilíneo que apresenta aceleração igual em qualquer instante do intervalo considerado. Note que, se a aceleração é constante, podemos escrever:
am = F 04 4 v/F 04 4 t = a (3.15)
Em outras palavras, podemos afirmar que a aceleração média em qualquer intervalo de tempo é igual a aceleração instantânea em qualquer dos instantes desses intervalos. Assim:
a = F 04 4 v/F 04 4 t
a = (v – v0)/(t – t0)
a.(t – t0) = v – v (^0)
Se considerarmos t 0 = 0, a expressão ficará:
v = v 0 + a.t (3.16)
Então, observamos que a equação de velocidade para uma partícula em movimento com aceleração constante é uma função de grau um, na qual o coeficiente de t representa a aceleração do movimento e o termo independente representa a velocidade inicial, ou seja, a velocidade no instante t = 0. Sabendo que a função de posição, ou seja, a equação de movimento pode ser obtida pela integração da velocidade em relação ao tempo, temos:
A integral do primeiro membro resulta em x + C 1 e a do segundo membro em v0.t +a.t^2 /2 + C^ 2. Observe que essas constantes C 1 e C^2 podem ser quaisquer, na medida em que suas derivadas são nulas. Em outras palavras, quando integramos uma função sem definir o intervalo de integração – a integral indefinida – obtemos não uma única função, mas sim uma família de funções que diferem uma da outra apenas pelo valor da constante. Note que todas essas funções têm a mesma derivada, qualquer que seja o valor da constante. De outra forma, se definidos os extremos de integração de 0 a t, para a variável tempo, e de x 0 a x para a variável x, temos:
(3.17)
Representando graficamente as funções descritas por (3.17), (3.16) e (3.15) respectivamente, obtemos as seguintes figuras:
Figura 3.9 – Gráficos x = f(t), v = f(t) e a = f(t) para um movimento com aceleração constante
Com a equação acima (3.17) e com a equação (3.16) podemos obter uma terceira equação (3.18) que poderá ser muito útil na análise de movimentos com aceleração constante. (3.18)
esse valor varia de 9,78 m/s 2 (nas proximidades do equador) a 9,83 m/s 2 (nas proximidades
dos pólos). Veremos nos próximos capítulos que essa diferença de valor da chamada aceleração local da gravidade tem a ver com o achatamento da Terra nos pólos bem com a rotação da Terra em torno de seu próprio eixo. Nesse capítulo, utilizaremos o valor médio de 9,81 m/s^2 para indicar a gravidade terrestre.
Dessa maneira, as equações características para um corpo pequeno e compacto em queda livre da resistência do ar, nas proximidades da Terra, são as equações de um movimento com aceleração constante, visto no parágrafo anterior. Assim:
a = F 0B 1 g
v = v 0 F 0B 1 g.t
x = x 0 + v (^) 0.t F 0B 1 g.t^2 /
v 2 = v 02 F 0B 1 2.g.F 04 4 x^ (3.20)
O sinal + ou - adotado para g tem a ver com uma orientação positiva escolhida para a trajetória, para baixo ou para cima respectivamente.
3.9 – Movimento com aceleração variável
Tendo analisado alguns movimentos mais simples, agora estamos aptos a discutir o fato de que os movimento mais complexos apresentarão velocidade e aceleração variáveis, não só em magnitude como também em direção. Apenas para iniciarmos essa discussão, observamos, ainda sobre a reta, o movimento de um corpo que executa um movimento de vai e vem em torno de uma posição de equilíbrio. Esse movimento, denominado movimento harmônico simples, será analisado posteriormente. Por ora, observemos que as ferramentas de cálculo diferencial e integral utilizadas nesse capítulo são gerais, ou seja, pode-se aplica-las a qualquer movimento. Assim:
x = f(t)
v = dx/dt
F 0 F 2 v.dt =^
F 0 F 2 dx
a = dv/dt
F 0 F 2 a.dt =^
F 0 F 2 dv^ (3.21)
Observemos que se o corpo oscila - um movimento de vai e vem - sua velocidade deve mudar, uma vez que nos extremos da trajetória por ele descrita, sua velocidade deverá ser momentaneamente nula. Um movimento desse tipo, como no caso do pêndulo da Figura 3.4, apresenta uma equação de movimento do tipo:
Assim, sua velocidade pode ser obtida através da derivada dessa função:
Figura 3.11 – Fotografia de múltipla exposição de um pêndulo em oscilação
Da mesma forma, sua aceleração pode ser obtida derivando-se novamente a função
obtida ou, então, derivando duas vezes a primeira.
Assim, o importante é ressaltarmos que as definições de velocidade e de aceleração são genéricas, permitindo que analisemos movimentos mais complexos que esses propriamente discutidos.
Figura 3.12 – Pêndulo de Foucault no Pantheon de Paris.
Nesse capítulo, toda discussão foi feita considerando uma partícula em movimento sobre uma reta, ou seja, em movimento unidimensional. Veremos no capítulo seguinte que os movimentos em duas ou três dimensões também podem ser analisados como se fossem compostos de movimentos parciais segundo as direções de dois ou três eixos de um sistema cartesiano tomado como referência. As discussões realizadas aqui e as equações obtidas serão muito úteis nessas análises.
3.11– Resumo
3.1 – Introdução
Movimentos unidimensionais: movimentos sobre uma reta
Cinemática: estudo descritivo dos movimentos, sem a análise das causas
Partícula: corpo cujas dimensões não levamos em conta; como se fosse um ponto geométrico dotado de massa (ponto material)
O movimento de uma partícula é exclusivamente translacional
3.2 - Sistemas unidimensionais
Equação de movimento: x = f(t)
Deslocamento: F 04 4 x = x 2 - x (^1)
[x] = [F 04 4 x] = L
am = a
v = v 0 + a.t
x = x 0 + v (^) 0.t + a.t 2 /
v 2 = v 02 + 2.a.F 0 4 4x
vm = (v 0 + v)/
3.8 - Queda livre
a = F 0B 1 g
v = v 0 F 0B 1 g.t
x = x 0 + v (^) 0.t F 0B 1 g.t^2 /
v^2 = v 02 F 0B 1 2.g.F 0 4 4x
Sinal F 0B 1 para g: trajetória orientada para baixo ou para cima.
3.9 – Movimento com aceleração variável
Equação de movimento: x = f(t)
v = dx/dt
F 0 F 2 v.dt =^
F 0 F 2 dx
a = dv/dt
F 0 F 2 a.dt =^
F 0 F 2 dv
Questões e Problemas
3.1 - Introdução
- Podemos considerar a Terra como sendo uma partícula quando descrevemos seus
movimentos de rotação em torno de seu próprio eixo? E quando descrevemos o de translação em torno do Sol?
- Ao jogarmos uma moeda para verificarmos se dá “cara ou coroa”, para decidirmos algo
como, por exemplo, “quem começa o jogo”, podemos tratá-la como uma partícula?
Resolvendo-se uma equação de movimento de uma determinada partícula, encontram-se dois valores de tempo, um positivo e outro negativo. Esse valor negativo pode ter algum significado físico?
Massa e força são grandezas importantes na análise cinemática do movimento de um corpo?
Velocidade e aceleração são termos sinônimos? Um corpo pode apresentar velocidade sem ter aceleração? E aceleração sem ter velocidade?
3.2 - Sistemas unidimensionais
- A equação de movimento de uma partícula é dada por x = 5,0.t 2 , onde x representa a
coordenada de posição da partícula sobre o eixo x e t o tempo, ambos medidos em unidades SI. Determinar as posições da partícula para: a) t = 2,0 s; b) t = 3,0 s; c) t = 4,0 s.
Considerando os cálculos do exercício anterior, determinar os deslocamentos da partícula: a) de 2,0 a 3,0 s; b) de 3,0 a 4,0 s; c) levando em conta os valores obtidos em a) e b), pode-se dizer que a rapidez com que a partícula se deslocou foi a mesma nos dois intervalos considerados? Justificar.
A equação de movimento de uma partícula é x = A + Bt + Ct 2 + Dt^3 , na qual x representa
a coordenada de posição e t o tempo. Quais as dimensões de A, B, C e D no SI?
A igualdade t = (x – 2).(x – 3), sendo t o tempo e x a coordenada de posição, pode representar a equação de movimento de uma partícula?
Imagine uma partícula que se move sobre um eixo x, obedecendo à equação de movimento x = 20.cos(F 07 0 t), em unidades CGS. Na igualdade, x é a coordenada que estabelece a posição da partícula no instante t. A partícula executa um movimento oscilatório (de vai e vem)? Em caso positivo, seu movimento está confinado num segmento de quantos centímetros? Justificar
3.3 - Velocidade média
- A equação de movimento de uma partícula é x = 3 + 2t 2 , em unidade SI. Determinar a
velocidade média da partícula no intervalo de: a) de 0 a 4 s; b) 3 a 7 s.
Um veículo se descola a 72 km/h. Se o motorista de distrai por 1,0 s, qual é a distância percorrida pelo veículo nesse tempo?
Um corpo em movimento pode apresentar velocidade escalar média não nula se seu deslocamento no mesmo intervalo foi nulo? Justificar.
Na rodovia dos Bandeirantes, que liga São Paulo a Campinas, o limite de velocidade para os veículos de passeio é 120 km/h. Qual o valor desse limite expresso em m/s?
próxima. Completada a travessia, cada barco aguarda no respectivo cais por 10 minutos, partindo em seguida, de volta, mantendo os mesmos valores das velocidades iniciais. O novo encontro se dá a 400 metros da outra margem. Com essas informações, determinar a largura do lago.
3.6 – Aceleração
A velocidade de um veículo decresce de 72 km/h para 36 km/h em 5 s. Determinar a aceleração média nesse intervalo de tempo.
Um corpo pode apresentar velocidade crescente e aceleração decrescente? Justificar.
Em competições de atletismo, nas provas de 100 metros rasos para homens, os grandes campeões já completam a prova em pouco menos de 10 segundos. Qual a velocidade média que o atleta desenvolve nessas provas? Admitindo que o movimento ocorra com aceleração constante, qual a velocidade do atleta ao final dos 100 m?
Numa revista especializada em automóveis, pode-se encontrar a informação sobre o tempo que um veículo comum de passeio gasta para ir de 0 a 100 km/h. Um corpo em queda livre apresenta aceleração próxima de 10 m/s 2. Quanto tempo leva um objeto abandonado, em queda livre, para atingir 100 km/h? Comparar esse tempo com aquele gasto pelo veículo para ir de 0 a 100 km/h.
Um corpo é atirado verticalmente para cima e se move, a partir do lançamento, sob ação exclusiva da gravidade local. No ponto mais alto de sua trajetória ele pára momentaneamente e seu movimento é, então, invertido. É correto dizer que, no referido instante, sua aceleração também é nula?
3.7 – Movimento com aceleração constante
Uma partícula em movimento retilíneo apresenta equação de movimento x = 6 – 5t + t^2 , em unidades SI. Determinar: a) a posição inicial, a velocidade inicial e a aceleração da partícula; b) o instante em que a partícula passa pela origem do eixo; c) a equação de velocidade; d) o instante em que há inversão no sentido de movimento; e) esboçar os gráficos x = f(t), v= f(t) e a = f(t).
Um elétron emitido num tubo de TV atinge a tela com velocidade 3x10 6 m/s, tendo
percorrido uma distância de 50 cm entre o sistema emissor e a tela, a partir do repouso. Determinar a aceleração do elétron, supostamente constante.
- O tempo de reação médio de um motorista, ou seja, o tempo entre a percepção de um sinal para parar, por exemplo, e o acionamento dos freios é da ordem de 0,8 s. Se um veículo trafega a 40 km/h e pode ser freado a 5 m/s^2 , qual será a distância percorrida pelo
veículo entre a percepção do sinal vermelho pelo motorista e a parada do veículo?
- Um projétil, ao ser disparado por um rifle, apresenta velocidade da ordem de 700 m/s ao sair do cano da arma. Supondo que o mesmo percorra o cano com aceleração aproximadamente constante, estimar o valor desta aceleração.
- Dois veículos se movem em sentidos opostos em um trecho reto e estreito de uma estrada, um a 100 km/h e o outro a 120 km/h. Avistando um ao outro, no mesmo instante, os dois motoristas acionam os freios, impondo aos veículos acelerações de retardamento de 6 m/s^2 e 8 m/s^2 , respectivamente. Nesse momento, qual a mínima distância entre eles para
que não ocorra colisão?
3.8 - Queda livre
Uma bola de tênis é atirada para cima, de uma altura de 1,5 m em relação ao solo, com velocidade inicial 10 m/s. Aproximando o valor da gravidade local para 10 m/s 2 , determinar: a) a altura máxima atingida; b) o tempo de subida; c) a velocidade ao retornar ao local de lançamento; d) o instante em que a mesma toca o solo; e) a velocidade de impacto no solo.
Uma pulga pode atingir uma altura aproximada de 45,0 cm quando salta. Considerando g = 10 m/s^2 , determinar: a) a velocidade inicial do salto; b) o tempo de ascensão do salto.
Um garoto abandona uma pedra na borda de um poço e ouve o ruído do impacto com a água 4 s após ter abandonado o objeto. Considerando g = 10 m/s 2 e 340 m/s a velocidade do som no ar, calcular a profundidade do poço.
Um garoto está a uma certa altura h acima do solo e, num determinado instante, lança duas bolas; uma para cima e outra para baixo, ambas com a mesma velocidade inicial v (^0) (módulo). Qual das bolas terá maior velocidade ao tocar o solo?
Um corpo é abandonado nas proximidades da Terra e cai sob ação da gravidade. Desprezando a resistência do ar sobre o movimento, demonstrar que as diferenças entre os deslocamentos em dois intervalos sucessivos e unitários são iguais, numericamente, à aceleração de queda.
3.9 – Movimento com aceleração variável
Uma esfera se move sobre uma superfície retilínea e obedece à equação de movimento x = 0,4 + 0,5t^3 , em unidades SI. Determine: a) a equação de velocidade; b) a equação de aceleração; c) a posição, a velocidade e a aceleração iniciais da esfera.
A velocidade de um carrinho de brinquedo é dada por v = 2t.(3t - t 2 ), sendo x medido
em centímetros e t medido em segundos. Sabendo-se que o carrinho se apresenta na origem dos espaços quando t = 0, determine: a) a equação de movimento (das posições) do
carrinho; b) a equação de aceleração do carrinho; c) a velocidade do carrinho quando sua aceleração se anula.
- A aceleração de um corpo em movimento é dada por a = 2,0t – 0,4t 2 (SI). O corpo está
inicialmente em repouso e parte da origem no instante t = 0. a) Determine as equações de velocidade e de movimento em função do tempo; b) Calcule a posição, a velocidade e a aceleração para t = 3,0 s.
