Fisica matematica- metodos matematicos para engenharia e fisica George Arfken e Hans Weber, Manuais, Projetos, Pesquisas de Física

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“fcatalo” — 2007/5/30 — 14:37 — page i — #

Do original Mathematical methods for physicists Traduc¸ ˜ao autorizada da edic¸ ˜ao publicada por Elsevier Inc. Copyright c© 2005

©^ c2007, Elsevier Editora Ltda.

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ISBN 10: 85-352-2050-X ISBN 13: 978-85-352-2050-

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CIP-Brasil, catalogac¸ ˜ao-na-fonte. Sindicato Nacional dos Editores de Livros, RJ. A732f Arfken, George B. (George Brown), 1922. F´ısica matem´atica: m´etodos matem´aticos para engenharia e f´ısica/ George Arfken e Hans Weber. traduc¸ ˜ao de Arlete Simille Marques

• Rio de Janeiro: Elsevier, 2007.

Traduc¸ ˜ao de: Mathematical methods for physicists, 6th ed ISBN 978-85-352-2050-

1. F´ısica. 2. F´ısica. I. Weber, Hans-Jurgen. II. T´ıtulo. 07-0469. CDD 510 CDU 51 12.02.07 16.02.07 000480

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Pref´acio

Por seis edic¸ ˜oes at´e agora, M´etodos matem´aticos para f´ısicos forneceu todos os m´etodos matem´aticos que os pretendentes `as carreiras de cientistas e engenheiros provavelmente encontrar˜ao como estudantes e pesquisadores. H´a material mais do que suficiente para um curso de graduac¸ ˜ao ou p´os-graduac¸ ˜ao de dois semestres.

O livro ´e avanc¸ado no sentido de que as relac¸ ˜oes matem´aticas quase sempre s˜ao provadas, al´em de ilustradas em termos de exemplos. Essas provas n˜ao s˜ao o que um matem´atico consideraria como rigorosas, mas d˜ao um esboc¸o das id´eias e enfatizam as relac¸ ˜oes que s˜ao essenciais para o estudo da f´ısica e campos relacionados. Essa abordagem incorpora teoremas que normalmente n˜ao s˜ao citados nas abordagens mais gerais, mas se adaptam perfeitamente bem `as aplicac¸ ˜oes mais restritas exigidas pela f´ısica. Por exemplo, um f´ısico normalmente aplica o teorema de Stokes a uma superf´ıcie partindo do entendimento t´acito de que ela ´e simplesmente conectada. Neste livro, essas suposic¸ ˜oes ficam mais expl´ıcitas.

Habilidades para Resolver Problemas

O livro tamb´em adota um foco deliberado sobre habilidades para resolver problemas. Esse n´ıvel mais avanc¸ado de entendimento e aprendizado ativo ´e rotineiro em cursos de f´ısica e requer pr´atica da parte do leitor. Seguindo esse princ´ıpio, os conjuntos extensivos de problemas apresentados em cada cap´ıtulo fazem parte integral do livro. Foram revisados e atualizados com cuidado e seu n´umero aumentou nesta Sexta Edic¸ ˜ao.

Como o Livro deve ser Usado

Estudantes de graduac¸ ˜ao ter˜ao melhor aproveitamento se comec¸arem revendo o Cap´ıtulo 1 de acordo com o n´ıvel de treinamento da classe. A Sec¸ ˜ao 1.2 sobre as propriedades de transformac¸ ˜ao de vetores, o produto cruzado e a invariˆancia do produto escalar sob rotac¸ ˜oes pode ser adiada at´e o in´ıcio da an´alise tensorial, para a qual essas sec¸ ˜oes funcionam como uma introduc¸ ˜ao e servem como exemplos. Podem continuar seus estudos com ´algebra linear no Cap´ıtulo 3 e ent˜ao, talvez passar para tensores e simetrias (Cap´ıtulos 2 e 4) e, em seguida, an´alise real e complexa (Cap´ıtulos 5 a 7), equac¸ ˜oes diferenciais (Cap´ıtulos 9 e 10) e func¸ ˜oes especiais (Cap´ıtulos 11 a 13).

Em geral, o n´ucleo de um curso de graduac¸ ˜ao de um semestre compreende os Cap´ıtulos 5 a 10 e 11 a 13, que tratam de an´alise real e complexa, equac¸ ˜oes diferenciais e func¸ ˜oes especiais. Dependendo do n´ıvel dos estudantes em um curso, pode-se estudar um pouco de ´algebra linear no Cap´ıtulo 3 (eigenvalores, por exemplo,), juntamente com simetrias (teoria de grupo no Cap´ıtulo 4). Tensores (Cap´ıtulo 2) podem ser estudados se necess´ario ou se desejado. A teoria de grupo tamb´em pode ser inclu´ıda com equac¸ ˜oes diferenciais (Cap´ıtulos 9 e 10). Relac¸ ˜oes adequadas foram inclu´ıdas e discutidas nos Cap´ıtulos 4 e 9.

Um curso de dois semestres pode abordar tensores, teoria de grupo e func¸ ˜oes especiais (Cap´ıtulos 11 a 13) mais extensivamente e adicionar s´eries de Fourier (Cap´ıtulo 14), transformadas integrais (Cap´ıtulo 15), equac¸ ˜oes integrais (Cap´ıtulo 16) e c´alculo de variac¸ ˜oes (Cap´ıtulo 17).

v

Sum´ario

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An´alise Vetorial

1.1 Definic¸ ˜oes, Abordagem Elementar

Na ciˆencia e na engenharia, freq¨uentemente encontramos quantidades que tˆem grandeza e apenas grandeza: massa, tempo e temperatura. Denominamos essas grandezas quantidades escalares e elas continuam as mesmas, n˜ao importando as coordenadas que usarmos. Ao contr´ario, muitas quantidades f´ısicas interessantes tˆem grandeza e, al´em disso, uma direc¸ ˜ao associada. Esse segundo grupo inclui deslocamento, velocidade, acelerac¸ ˜ao, forc¸a, momento linear e momento angular. Quantidades que tˆem grandeza e direc¸ ˜ao s˜ao denominadas quantidades vetoriais. Em geral, em tratamentos elementares, um vetor ´e definido como uma quantidade que tem grandeza e direc¸ ˜ao. Para distinguir vetores de escalares, identificamos quantidades vetoriais com letras em negrito, isto ´e, V. Nosso vetor pode ser convenientemente representado por uma seta de comprimento proporcional `a grandeza. A direc¸ ˜ao da seta d´a a direc¸ ˜ao do vetor, e o sentido positivo de direc¸ ˜ao ´e indicado pela ponta. Por essa representac¸ ˜ao, a adic¸ ˜ao vetorial

C = A + B (1.1)

consiste em colocar a extremidade traseira do vetor B na ponta do vetor A. Ent˜ao o vetor C e representado por´ uma seta desenhada a partir da extremidade traseira de A at´e a ponta de B. Esse procedimento, a lei de adic¸ ˜ao do triˆangulo, atribui significado `a Equac¸ ˜ao (1.1) e ´e ilustrado na Figura 1.1. Completando o paralelogramo, vemos que

Figura 1.1: Lei do triˆangulo da adic¸ ˜ao vetorial.

C = A + B = B + A, (1.2)

como mostra a Figura 1.2. Em palavras, a adic¸ ˜ao de vetores ´e comutativa. Para a soma de trˆes vetores, (Figura 1.3),

D = A + B + C,

podemos primeiro somar A e B:

A + B = E. Ent˜ao, essa soma ´e adicionada a C: D = E + C.

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2 F´ısica Matem´atica Arfken • Weber

Figura 1.2: Lei do paralelogramo da adic¸ ˜ao vetorial.

Figura 1.3: A adic¸ ˜ao de vetores ´e associativa.

De modo semelhante, podemos primeiro somar B e C:

B + C = F.

Ent˜ao, D = A + F.

Em termos da express˜ao original, (A + B) + C = A + (B + C).

A adic¸ ˜ao de vetores ´e associativa. Um exemplo f´ısico direto da lei de adic¸ ˜ao do paralelogramo ´e dado por um peso suspenso por dois fios. Se o ponto de junc¸ ˜ao (O na Figura 1.4) estiver em equil´ıbrio, a soma vetorial das duas forc¸as F 1 e F 2 deve exatamente anular a forc¸a da gravidade dirigida para baixo, F 3. Nesse caso, a lei de adic¸ ˜ao do paralelogramo est´a sujeita `a verificac¸ ˜ao experimental imediata.^1 A subtrac¸ ˜ao pode ser executada definindo o negativo de um vetor como um vetor da mesma grandeza, mas com sentido inverso. Ent˜ao, A − B = A + (−B).

Na Figura 1.3, A = E − B. Note que os vetores s˜ao tratados como objetos geom´etricos que s˜ao independentes de qualquer sistema de coordenadas. Esse conceito de independˆencia de um sistema de coordenadas preferencial ´e desenvolvido com detalhes na sec¸ ˜ao seguinte. A representac¸ ˜ao do vetor A por uma seta sugere uma segunda possibilidade. A seta A (Figura 1.5), iniciando na origem,^2 termina no ponto (Ax, Ay , Az ). Assim, se concordarmos que o vetor deve comec¸ar na origem, a extremidade positiva pode ser especificada dando as coordenadas cartesianas (Ax, Ay , Az ) da ponta da seta. Embora A possa representar qualquer quantidade vetorial (momento linear, campo el´etrico etc.), uma quantidade vetorial particularmente importante, o deslocamento da origem at´e o ponto (x, y, z) ´e denotado pelo

(^1) Em termos estritos, a adic¸ ˜ao pela regra do paralelogramo foi introduzida como uma definic¸ ˜ao. Experimentos mostram que, se admitirmos que as forc¸as s˜ao quantidades vetoriais e as combinarmos pela adic¸ ˜ao do paralelogramo, a condic¸ ˜ao de equil´ıbrio de forc¸a resultante zero ´e satisfeita. (^2) Poder´ıamos iniciar em qualquer ponto de nosso sistema cartesiano de referˆencia; escolhemos a origem por simplicidade. Essa liberdade de deslocar a origem do sistema de coordenadas sem afetar a geometria ´e denominada invariˆancia de translac¸ ˜ao.

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4 F´ısica Matem´atica Arfken • Weber

s´ımbolo especial r. Ent˜ao, podemos escolher entre nos referirmos ao deslocamento como o vetor r ou como a colec¸ ˜ao (x, y, z), as coordenadas de sua extremidade:

r ↔ (x, y, z). (1.3)

Usando r para a grandeza do vetor r, constatamos que a Figura 1.5 mostra que as coordenadas da extremidade e a grandeza s˜ao relacionadas por

x = r cos α, y = r cos β, z = r cos γ. (1.4)

Aqui, cos α, cos β e cos γ s˜ao denominados co-senos diretores, sendo α o ˆangulo entre o vetor dado e o eixo x positivo e assim por diante. Um pouco mais de vocabul´ario: as quantidades Ax, Ay e Az s˜ao conhecidas como as componentes (cartesianas) de A ou as projec¸ ˜oes de A, com cos^2 α + cos^2 β + cos^2 γ = 1. Assim, qualquer vetor A pode ser resolvido em suas componentes (ou projetado sobre os eixos coordenados) para resultar Ax = A cos α etc., como na Equac¸ ˜ao (1.4). Podemos escolher entre nos referirmos ao vetor como uma quantidade ´unica A ou `as suas componentes (Ax, Ay , Az ). Note que o ´ındice x em Ax denota a componente x e n˜ao uma dependˆencia da vari´avel x. A decis˜ao de utilizar A ou suas componentes (Ax, Ay , Az ) ´e, em essˆencia, uma escolha entre uma representac¸ ˜ao geom´etrica ou uma representac¸ ˜ao alg´ebrica. Use qualquer das representac¸ ˜oes segundo sua conveniˆencia. A representac¸ ˜ao “geom´etrica da seta no espac¸o” pode ajudar na visualizac¸ ˜ao. O conjunto alg´ebrico de componentes em geral ´e mais adequado para c´alculos precisos num´ericos ou alg´ebricos. Vetores entram na f´ısica em duas formas distintas: (1) um vetor A pode representar uma ´unica forc¸a agindo sobre um ´unico ponto. A forc¸a da gravidade agindo no centro de gravidade ilustra essa forma; (2) um vetor A pode ser definido sobre uma regi˜ao estendida, isto ´e, A e suas componentes podem ser func¸ ˜oes da posic¸ ˜ao Ax = Ax(x, y, z) e assim por diante. Exemplos desse tipo s˜ao a velocidade de um fluido variando de ponto a ponto em um dado volume e campos el´etricos e magn´eticos. Esses dois casos podem ser distinguidos referindo-se ao vetor definido sobre uma regi˜ao como um campo vetorial. O conceito do vetor definido sobre uma regi˜ao e sendo uma func¸ ˜ao de posic¸ ˜ao se tornar´a de extrema importˆancia na diferenciac¸ ˜ao e integrac¸ ˜ao de vetores. Neste est´agio ´e conveniente introduzir vetores unit´arios ao longo de cada um dos eixos coordenados. Seja ˆx um vetor de grandeza unit´aria apontando na direc¸ ˜ao positiva x, ˆy, um vetor de grandeza unit´aria na direc¸ ˜ao positiva y, e ˆz um vetor de grandeza unit´aria na direc¸ ˜ao positiva z. Ent˜ao, xˆAx ´e um vetor de grandeza igual a |Ax| e na direc¸ ˜ao x. Por adic¸ ˜ao de vetores, A = ˆxAx + yˆAy + ˆzAz. (1.5)

Note que, se A se anular, todas as suas componentes devem se anular individualmente, isto ´e, se

A = 0, ent˜ao Ax = Ay = Az = 0.

Isso significa que esses vetores unit´arios servem como uma base ou um conjunto completo de vetores no espac¸o euclidiano tridimensional, em termos do qual qualquer vetor pode ser expandido. Assim, a Equac¸ ˜ao (1.5) ´e uma afirmac¸ ˜ao de que os trˆes vetores unit´arios ˆx, ˆy e ˆz varrem nosso espac¸o tridimensional real: qualquer vetor pode ser escrito como uma combinac¸ ˜ao linear de ˆx, ˆy e ˆz. Visto que ˆx, ˆy e ˆz s˜ao linearmente independentes (nenhum ´e uma combinac¸ ˜ao linear dos outros dois), eles formam uma base para o espac¸o euclidiano tridimensional real. Por fim, pelo teorema de Pit´agoras, o m´odulo do vetor A ´e

|A| =

A^2 x + A^2 y + A^2 z

Note que os vetores unit´arios associados as coordenadas n˜ao s˜ao o ´unico conjunto completo ou base. Essa resoluc¸ ˜ao de um vetor em suas componentes pode ser realizada em uma variedade de sistemas coordenados, como ser´a mostrado no Cap´ıtulo 2. Aqui, vamos nos restringiras coordenadas cartesianas, em que os vetores unit´arios tˆem as coordenadas xˆ = (1, 0 , 0), ˆy = (0, 1 , 0) e ˆz = (0, 0 , 1), e todos tˆem comprimento e direc¸ ˜ao constantes, propriedades caracter´ısticas das coordenadas cartesianas. Em substituic¸ ˜ao `a t´ecnica gr´afica, a adic¸ ˜ao e a subtrac¸ ˜ao de vetores agora podem ser realizadas em termos de suas componentes. Para A = ˆxAx + yˆAy + ˆzAz e B = ˆxBx + ˆyBy + ˆzBz ,

A ± B = xˆ(Ax ± Bx) + ˆy(Ay ± By ) + ˆz(Az ± Bz ). (1.7)

Deve-se enfatizar aqui que os vetores unit´arios ˆx, ˆy e ˆz s˜ao usados por conveniˆencia. Eles n˜ao s˜ao essenciais; podemos descrever vetores e us´a-los exclusivamente em termos de suas componentes: A ↔ (Ax, Ay , Az ). Essa

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1. AN ALISE´ VETORIAL 5

´e a abordagem das duas mais poderosas e mais sofisticadas definic¸ ˜oes de vetor que ser˜ao discutidas na pr´oxima sec¸ ˜ao. Contudo, ˆx, ˆy e ˆz enfatizam a direc¸ ˜ao. At´e aqui definimos as operac¸ ˜oes de adic¸ ˜ao e subtrac¸ ˜ao de vetores. Nas pr´oximas sec¸ ˜oes ser˜ao definidas trˆes variedades de multiplicac¸ ˜ao com base em sua aplicabilidade: um produto escalar, ou interno, um produto vetorial peculiar ao espac¸o tridimensional e um produto direto, ou externo, que resulta em um tensor de segunda ordem. A divis˜ao por um vetor n˜ao ´e definida.

Exerc´ıcios

1.1.1 Mostre como encontrar A e B, dados A + B e A − B. 1.1.2 O vetor A, cuja grandeza ´e 1 , 732 unidade e faz ˆangulos iguais com os eixos coordenados. Ache AxAy e Az. 1.1.3 Calcule as componentes de um vetor unit´ario que se encontra no plano xy e faz ˆangulos iguais com as direc¸ ˜oes positivas dos eixos x e y. 1.1.4 A velocidade do veleiro A em relac¸ ˜ao ao veleiro B, vrel, ´e definida pela equac¸ ˜ao vrel = vA − vB , onde vA e a velocidade de´ A e vB ´e a velocidade de B. Determine a velocidade de A em relac¸ ˜ao a B se vA = 30 km/h no sentido leste vB = 40 km/h no sentido norte. Resposta: vrel = 50 km/h, 53 , 1 ◦^ no sentido sudeste. 1.1.5 Um veleiro navega durante 1 h a 4 km/h (em relac¸ ˜ao a ´agua) no rumo constante de b´ussola de 40 ◦ nordeste. O veleiro ´e levado simultaneamente por uma corrente. Ao final de uma hora o barco est´a a 6,12 km de seu ponto de partida. A reta entre seu ponto de partida e sua localizac¸ ˜ao est´a a 60 ◦ nordeste. Ache as componentes x (rumo leste) e y (rumo norte) da velocidade da ´agua. Resposta: vleste = 2, 73 km/h, vnorte ≈ 0 km/h. 1.1.6 Uma equac¸ ˜ao vetorial pode ser reduzidaa forma A = B. A partir disso, mostre que a equac¸ ˜ao vetorial ´unica ´e equivalente a trˆes equac¸ ˜oes escalares. Admitindo a validade da segunda lei de Newton, F = ma, como uma equac¸ ˜ao vetorial, isso significa que ax depende somente de Fx e ´e independente de Fy e Fz. 1.1.7 Os v´ertices A, B e C de um triˆangulo s˜ao dados pelos pontos (− 1 , 0 , 2), (0, 1 , 0) e (1, − 1 , 0), respectivamente. Ache o ponto D, tal que a figura ABCD forme um paralelogramo plano. Resposta: (0, − 2 , 2) ou (2, 0 , −2). 1.1.8 Um triˆangulo ´e definido pelos v´ertices de trˆes vetores A, B e C, que se estendem da origem. Em termos de A, B e C, mostre que a soma vetorial dos lados sucessivos do triˆangulo (AB+BC+CA) e zero, sendo que o lado ´ AB vai de A a B etc. 1.1.9 Uma esfera de raio a tem centro em um ponto r 1. (a) Escreva a equac¸ ˜ao alg´ebrica para a esfera. (b) Escreva uma equac¸ ˜ao vetorial para a esfera. Resposta: (a) (x − x 1 )^2 + (y − y 1 )^2 + (z − z 1 )^2 = a^2. (b) r = r 1 + a, com r 1 = centro. (a assume todas as direc¸ ˜oes mas tem uma grandeza fixa a.) 1.1.10 Um refletor de canto ´e formado por trˆes superf´ıcies refletoras mutuamente perpendiculares. Mostre que um raio de luz que incide sobre esse refletor (atingindo todas as trˆes superf´ıcies) ´e refletido de volta ao longo de uma linha paralela a linha de incidˆencia. Sugest˜ao: Considere o efeito de uma reflex˜ao sobre as componentes de um vetor que descreve a direc¸ ˜ao do raio de luz. 1.1.11 Lei de Hubble. Hubble descobriu que gal´axias distantes est˜ao se afastando com uma velocidade proporcionala sua distˆancia do local onde estamos na Terra. Para a i-´esima gal´axia,

vi = H 0 ri,

tendo n´os na origem. Mostre que esse afastamento das gal´axias em relac¸ ˜ao a n´os n˜ao implica que estamos no centro do universo. Especificamente, considere a gal´axia em r 1 uma nova origem e mostre que ainda assim a lei de Hubble ´e obedecida.

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1. AN ALISE´ VETORIAL 7

Figura 1.6: Rotac¸ ˜ao de eixos coordenados cartesianos ao redor do eixo z.

E isso que dizem as Equac´ ¸ ˜oes (1.9). Mas a variac¸ ˜ao com o ˆangulo ´e tal que as componentes no sistema coordenado rotacionado A′ x e A′ y definem um vetor com a mesma grandeza e a mesma direc¸ ˜ao do vetor definido pelas componentes Ax e Ay em relac¸ ˜ao aos eixos coordenados x e y (compare com o Exerc´ıcio 1.2.1). As componentes de A em um determinado sistema de coordenadas constituem a representac¸ ˜ao de A naquele sistema de coordenadas. As Equac¸ ˜oes (1.9), as relac¸ ˜oes de transformac¸ ˜ao, s˜ao uma garantia de que a entidade A ´e independente da rotac¸ ˜ao do sistema de coordenada. Para passar para trˆes e, mais adiante, quatro dimens˜oes, achamos conveniente usar uma notac¸ ˜ao mais compacta. Seja

x → x 1 y → x 2 (1.10)

a 11 = cos ϕ, a 12 = sen ϕ, a 21 = −sen ϕ, a 22 = cos ϕ.

Ent˜ao as Equac¸ ˜oes (1.8) tornam-se x′ 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 , x′ 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2.

O coeficiente aij pode ser interpretado como um co-seno diretor, o co-seno do ˆangulo entre x′ i e xj ; isto ´e,

a 12 = cos(x′ 1 , x 2 ) = sen ϕ, a 21 = cos(x′ 2 , x 1 ) = cos

ϕ + π 2

= −sen ϕ.

A vantagem da nova notac¸ ˜ao^5 e que ela nos permite usar o s´´ ımbolo de somat´orio e reescrever as Equac¸ ˜oes (1.12) como

x′ i =

∑^2

j=

aij xj , i = 1, 2. (1.14)

(^5) Vocˆe talvez estranhe a substituic¸ ˜ao de uma parˆametro ϕ por quatro parˆametros aij. ´E claro que aij n˜ao constitui um conjunto m´ınimo de parˆametros. Para duas dimens˜oes os quatro aij est˜ao sujeitos `as trˆes limitac¸ ˜oes dadas na Equac¸ ˜oes (1.18). A justificativa para esse conjunto redundante de co-senos diretores ´e a conveniˆencia que ele oferece. Esperamos que essa conveniˆencia se torne mais evidente nos Cap´ıtulos 2 e 3. Para rotac¸ ˜oes tridimensionais (9 aij , mas somente trˆes independentes) s˜ao fornecidas descric¸ ˜oes alternativas por: (1) ˆangulos de Euler discutidos na Sec¸ ˜ao 3.3, (2) quat´ernions, e (3) parˆametros de Cayley-Klein. Essas alternativas tˆem suas respectivas vantagens e desvantagens.

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8 F´ısica Matem´atica Arfken • Weber

Note que i continua como um parˆametro que d´a origem a uma ´unica equac¸ ˜ao quando for igualado a 1 e a uma segunda equac¸ ˜ao quando for igualado a 2. O ´ındice j, ´e claro, ´e um ´ındice de somat´orio, um ´ındice fict´ıcio e, como acontece com uma vari´avel de integrac¸ ˜ao, j pode ser substitu´ıdo por qualquer outro s´ımbolo conveniente. Agora, a generalizac¸ ˜ao para trˆes, quatro ou N dimens˜oes ´e simples. Diz-se que o conjunto de N quantidades Vj forma as componentes de um vetor N -dimensional V se e somente se seus valores relativos aos eixos coordenados rotacionados forem dados por

V (^) i′ =

∑^ N

j=

aij Vj , i = 1, 2 ,... , N. (1.15)

Como antes, aij e o co-seno do ˆ´ angulo entre x′ i e xj. Muitas vezes o limite superior de N e a faixa correspondente de i n˜ao ser˜ao indicados. ´E dado como certo que vocˆe sabe quantas dimens˜oes seu espac¸o tem. Pela definic¸ ˜ao de aij como o co-seno do ˆangulo entre a direc¸ ˜ao x′ i positiva e a direc¸ ˜ao xj positiva, podemos escrever (coordenadas cartesianas)^6

aij =

∂x′ i ∂xj

. (1.16a)

Usando a rotac¸ ˜ao inversa (ϕ → −ϕ) temos

xj =

∑^2

i=

aij x′ i ou

∂xj ∂x′ i

= aij. (1.16b)

Note que essas s˜ao derivadas parciais. Usando as Equac¸ ˜oes (1.16a) e (1.16b), a Equac¸ ˜ao (1.15) torna-se

V (^) i′ =

∑^ N

j=

∂x′ i ∂xj

Vj =

∑^ N

j=

∂xj ∂x′ i

Vj. (1.17)

Os co-senos diretores aij satisfazem uma condic¸ ˜ao de ortogonalidade

∑

i

aij aik = δjk , (1.18)

ou, equivalentemente, (^) ∑

i

ajiaki = δjk. (1.19)

Aqui, o s´ımbolo δjk e o delta de Kronecker definido por´

δjk = 1 para j = k, δjk = 0 para j 6 = k.

E f´´ acil verificar que as Equac¸ ˜oes (1.18) e a Equac¸ ˜ao (1.19) s˜ao v´alidas no caso bidimensional, substituindo os aij espec´ıficos das Equac¸ ˜oes (1.11). O resultado ´e a bem conhecida identidade sen^2 ϕ + cos^2 ϕ = 1 para o caso de n˜ao-nulo. Para verificar a Equac¸ ˜ao (1.18) na forma geral, podemos usar as formas das derivadas parciais das Equac¸ ˜oes (1.16a) e (1.16b) para obter

∑

i

∂xj ∂x′ i

∂xk ∂x′ i

i

∂xj ∂x′ i

∂x′ i ∂xk

∂xj ∂xk

A ´ultima etapa ´e obtida usando-se as regras padr˜oes para a diferenciac¸ ˜ao parcial, admitindo que xj ´e uma func¸ ˜ao de x′ 1 , x′ 2 , x′ 3 e assim por diante. O resultado final, ∂xj /∂xk, ´e igual a δjk, j´a que se admite que xj e xk, como eixos coordenados, s˜ao perpendiculares (duas ou trˆes dimens˜oes) ou ortogonais (para qualquer n´umero de dimens˜oes). De modo equivalente, podemos admitir que xj e xk (j 6 = k) s˜ao vari´aveis totalmente independentes. Se j = k, a derivada parcial ´e claramente igual a 1. Ao redefinir um vetor em termos do modo como suas componentes se transformam sob uma rotac¸ ˜ao do sistema de coordenadas, devemos enfatizar dois pontos:

(^6) Diferencie x′ i em relac¸ ˜ao a xj. Veja a discuss˜ao ap´os a Equac¸ ˜ao (1.21).