UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEAR´
A
Campus Cariri
Coordena¸c˜ao de Engenharia Civil
Pontos Tem´aticos de F´ısica
Formalismos Lagrangiano e Hamiltoniano
Wilson Hugo C. Freire
————–
Juazeiro do Norte - CE
Fevereiro de 2008
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Formalismos Lagrangiano e Hamiltoniano, Notas de estudo de Matemática
estudo das tecnicas de lagrange e hamiltom na física
Tipologia: Notas de estudo
2010
1 / 24
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARA´
Campus Cariri
Coordena¸c˜ao de Engenharia Civil
Pontos Tem´aticos de F´ısica
Formalismos Lagrangiano e Hamiltoniano
Wilson Hugo C. Freire
Juazeiro do Norte - CE Fevereiro de 2008
Conte´udo
- 1 Introdu¸c˜ao
- 2 C´alculo Variacional
- 3 O Formalismo Lagrangiano
- 4 O Formalismo Hamiltoniano
- 5 Exemplos
- 6 Parˆenteses de Poisson
2 C´alculo Variacional
Inicialmente vamos apresentar de forma breve as no¸c˜oes matem´aticas apropriadas para desenvolver o formalismo lagrangiano. Estas no¸c˜oes fazem parte do chamado C´alculo Variacional que, a grosso modo, ´e o C´alculo Diferencial de funcionais. Dessa forma enquanto o C´alculo Diferencial usual trata, por exemplo, do problema de determinar pontos de m´aximo ou de m´ınimo local (ou, em geral, pontos cr´ıticos) de uma fun¸c˜ao de v´arias vari´aveis g : D ⊂ Rm^ −→ R, o C´alculo Variacional permite determinar pontos de m´aximo ou de m´ınimo (ou, em geral, pontos estacion´arios) de um dado funcional A : F −→ R, onde F ´e um espa¸co vetorial de fun¸c˜oes suficientemente comportadas. Assim os “pontos”(elementos) de F s˜ao fun¸c˜oes, como por exemplo q : [t 1 ; t 2 ] −→ Rn que a cada t ∈ [t 1 ; t 2 ] associa q(t) ≡ (q 1 (t), ..., qn(t)) ∈ Rn.
Na formalismo lagrangiano, como veremos, a dinˆamica de um sistema f´ısico ´e de- scrita em termos de um funcional A, chamado a¸c˜ao do sistema, o qual est´a definido sobre fun¸c˜oes q que representam as poss´ıveis trajet´orias deste sistema no espa¸co de configura¸c˜oes.
Funcionais
Neste contexto os funcionais de interesse s˜ao usualmente dados por integrais. Por exemplo: considere um espa¸co de fun¸c˜oes suficientemente diferenci´aveis, digamos
F = {q : [t 1 ; t 2 ] −→ Rn^ | q diferenci´avel Ck},
e defina o funcional A : F −→ R por
A[q] =
∫ (^) t 2 t 1
∑^ n i=1^ qi(t)[ ˙qi(t)]
(^2) dt
onde ˙q = dq/dt ´e a derivada de q. Note que para cada q no espa¸co F temos que A[q] ´e um n´umero real bem definido e, ent˜ao, A ´e de fato um funcional. Note que o valor do funcional A no “ponto”(fun¸c˜ao ou curva de Rn) q, denotado por A[q], depende em geral n˜ao apenas de um valor espec´ıfico q(t) (de q em um certo t) mas de todos os valores da fun¸c˜ao q.
Especificamente os funcionais que descrevem os sistemas mecˆanicos s˜ao da forma
A[q] =
∫ (^) t 2 t 1 L(q(t),^ q˙(t), t)^ ·^ dt^ (2-1) onde L(q, q, t˙ ) ≡ L(q 1 , ...qn, q˙ 1 , ... q˙n, t) ´e uma fun¸c˜ao diferenci´avel a valores num´ericos (em R). No contexto da mecˆanica, como veremos mais adiante, L ´e a lagrangiana do sistema em considera¸c˜ao.
Derivada Funcional
O conceito chave no C´alculo Diferencial de fun¸c˜oes ´e o de derivada; no contexto das fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis surgem as derivadas parciais e, em geral, as derivadas dire- cionais ou derivadas de Gateaux (as derivadas parciais s˜ao derivadas direcionais par- ticulares) al´em do conceito mais forte de diferenciabilidade (de Frechet). No C´alculo Variacional h´a o conceito de derivada de um funcional (derivada funcional), o qual desempenha para os funcionais o mesmo papel que as derivadas direcionais desempen- ham para fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis (Gelfand-Fomin, Calculus of Variations, Dover inic., 2000, pg. 27). Vejamos o conceito de derivada funcional e a no¸c˜ao de ponto cr´ıtico (ou estacion´ario) de um funcional.
Lembremos que no caso de uma fun¸c˜ao g : D ⊂ Rm^ −→ R a derivada direcional de g no ponto x = (x 1 , ..., xm) ∈ D relativamente ao vetor v = (v 1 , ..., vm) ∈ Rm, ´e denotada
considere o funcional A : F −→ R,
A[q] =
∫ (^) t 2 t 1 L(q(t),^ q˙(t), t)^ ·^ dt^ (2-4) onde L(q, q, t˙ ) ≡ L(q 1 , ...qn, q˙ 1 , ... q˙n, t) ´e uma fun¸c˜ao diferenci´avel a valores num´ericos. Dentre todas as “curvas”q conectando os pontos q(t 1 ) = (q 1 (t 1 ), ..., qn(t 1 )) e q(t 2 ) = (q 1 (t 2 ), ..., qn(t 2 )) qual delas maximiza ou minimiza (ou, em geral, torna estacion´ario) o valor do funcional A.
Para encontrar esta curva ou, pelo menos, caracteriza-la matematicamente de alguma maneira, vamos a seguir calcular a derivada funcional δηA[q] e, na sequˆencia, fazˆe-la igual a zero. O resultado, como veremos a seguir, ser´a constitu´ıdo pelas chamadas equa¸c˜oes de Euler do C´alculo Variacional.
As Equa¸c˜oes de Euler
Vamos primeiramente calcular a derivada do funcional dado pela equa¸c˜ao (2-4), usando a defini¸c˜ao (2-3) que acabamos de apresentar:
δηA[q] = (^) d≤d{A[q + ≤η]}
∣∣≤=0 = (^) d≤d^ {∫^ t 1 t^2 L(q + ≤η, q˙ + ≤ η, t˙ ) · dt^ }∣∣∣∣ ≤=^. Tendo em vista que esta derivada ´e relativa a ≤ e que a integral ´e com respeito a t podemos derivar sob o sinal de integra¸c˜ao e, em seguinda, aplicar a regra da cadeia. Denotando Q = q + ≤η e ˙q + ≤ η˙ = Q˙, temos
δηA[q] =
∫ (^) t 2 t 1
i
{ ∂L
∂Qi
∂Qi ∂≤ +^
∂L
∂ Q˙i
∂ Q˙i ∂≤
≤=
dt =
=
∫ (^) t 2 t 1
i
( ∂L
∂qi^ ·^ ηi^ +^
∂L
∂ q˙i^ ·^ η˙i
dt
Realizando uma integra¸c˜ao por partes e usando o teorema fundamental do c´alculo
temos
δηA[q] =
∫ (^) t 2 t 1
i
( ∂L
∂qi^ −^
d dt
∂L
∂ q˙i
ηi · dt + ∑ i
( ∂L
∂ q˙i^ ηi
∣t 2 −^ ∂∂L q˙i^ ηi
∣t 1
Lembremos que a defini¸c˜ao de derivada do funcional envolve a express˜ao A[q + ≤η], de modo que, por consistˆencia, q + ≤η deve residir no espa¸co F das fun¸c˜oes que descrevem curvas conectando os extremos fixos q(t 1 ) e q(t 2 ); logo
q(t 1 ) + ≤η(t 1 ) = q(t 1 ) =⇒ η(t 1 ) = 0, q(t 2 ) + ≤η(t 2 ) = q(t 2 ) =⇒ η(t 2 ) = 0.
A´ı est˜ao os η’s admiss´ıveis: eles devem ser tais que η(t 1 ) = η(t 2 ) = 0. Assim
δηA[q] =
∫ (^) t 2 t 1
i
( ∂L
∂qi^ −^
d dt
∂L
∂ q˙i
ηi · dt.
Se “a curva q(t)”que liga q(t 1 ) `a q(t 2 ) torna estacion´ario o valor de A ent˜ao
δηA[q] =
∫ (^) t 2 t 1
i
( ∂L
∂qi^ −^
d dt
∂L
∂ q˙i
ηi · dt = 0,
para todo vetor admiss´ıvel η (tal que η(t 1 ) = η(t 2 ) = 0). Mas como η ´e bastante arbitr´ario isto nos leva a suspeitar que
d dt
( ∂L
∂ q˙i
− ∂L∂qi = 0, i = 1, ..., n;
esta conclus˜ao ´e na verdade consequˆencia do lema mostrado a seguir.
Lema: Se f : [t 1 ; t 2 ] −→ R ´e cont´ınua e ∫ (^) t 2 t 1 f^ (t)η(t)dt^ = 0 para qualquer η : [t 1 ; t 2 ] −→ R cont´ınua satisfazendo η(t 1 ) = η(t 2 ) = 0 ent˜ao f (t) = 0 para todo t ∈ [t 1 ; t 2 ].
3 O Formalismo Lagrangiano
Coordenadas Generalizadas
Em geral, os sistemas f´ısicos est˜ao sujeitos a condi¸c˜oes denominadas v´ınculos os quais restringem o n´umero de coordenadas necess´arias para descrever o movimento destes sistemas. Se considerarmos um sistema de N part´ıculas cujo movimento ´e descrito por {~ra}a=1,...,N e se este sistema est´a submetido a K v´ınculos, K < 3 N , equacionados por
ψβ (~r, t) = 0, β = 1, ..., K,
os quais s˜ao chamados v´ınculos holonˆomicos, podemos notar que das 3N coordenadas (xa, ya, za), a = 1, ..., N , podemos selecionar 3N −K ≡ n coordenadas independentes (o n´umero n ´e chamado n´umero de graus de liberdade). Mais ainda, o uso de coordenadas cartesianas n˜ao ´e obrigat´orio: Podemos escolher n = 3N − K coordenadas, digamos
{q ≡ (q 1 , ..., qn)},
que possibilite descrever completamente o movimento do sistema. Tais coordenadas s˜ao englobadas sob o nome de coordenadas generalizadas e uma escolha conveniente de tais coordenadas depende de cada problema espec´ıfico.
Princ´ıpio de Hamilton e Equa¸c˜oes de Euler-Lagrange
Uma configura¸c˜ao (ou estado) do sistema ´e definido por um conjunto de valores que suas coordenadas generalizadas (q 1 , ..., qn) podem assumir. Uma tal configura¸c˜ao ´e imaginada como sendo representada por um ponto q = (q 1 , ..., qn) no chamado espa¸co de configura¸c˜oes do sistema. A medida que o tempo t vai passando o sistema pode
“evoluir”ou “se mover”de uma configura¸c˜ao q(t 1 ) = (q 1 (t 1 ), ..., qn(t 1 )) para outra con- figura¸c˜ao q(t 2 ) = (q 1 (t 2 ), ..., qn(t 2 )).
♣ O problema geral da mecˆanica passa ser formulado nos seguintes termos: dentre todas as trajet´orias ligando q(t 1 ) `a q(t 2 ) no espa¸co de configura¸c˜oes do sistema, qual ´e aquela que o sistema segue. O guia para resposta ´e o Princ´ıpio de Hamilton:
♣ Princ´ıpio de Hamilton: A trajet´oria q(t) = (q 1 (t), ..., qn(t)) que descreve o movi- mento do sistema da configura¸c˜ao q(t 1 ) para a configura¸c˜ao q(t 2 ) ´e tal que o funcional a¸c˜ao do sistema, A[q] =
∫ (^) t 2 t 1 L(q,^ q, t˙ )dt, assume um valor m´ınimo (mais geralmente, estacion´ario). Aqui a fun¸c˜ao L(q, q, t˙ ) ´e uma fun¸c˜ao que caracteriza o sistema, chamada lagrangiana deste sistema, a qual ´e usualmente dada por L = T − V
onde T ´e a energia cin´etica e V ´e a energia potencial do sistema em considera¸c˜ao. Estamos nos referindo a um sistema que admitam uma fun¸c˜ao energia potencial V , por exemplo um sistema conservativo.
Pelo que vimos anteriormente, a “trajet´oria q(t)”que “mapeia”o movimento do sistema no espa¸co das configura¸c˜oes, a qual torna estacion´ario o valor do funcional a¸c˜ao deste sistema, deve ser solu¸c˜ao das equa¸c˜oes de Euler, d dt
( ∂L
∂ q˙i
− ∂L∂qi = 0, i = 1, ..., n, (3-6)
com as condi¸c˜oes de contorno que fixam os pontos extremos q(t 1 ) e q(t 2 ). Estas equa¸c˜oes passaram ent˜ao a se chamar equa¸c˜oes de Euler-Lagrange (o nome Euler est´a
4 O Formalismo Hamiltoniano
Preliminares. O Momento Canˆonico e a Hamiltoniana
Ainda no contexto do formalismo lagrangiano, temos que para um sistema mecˆanico com n graus de liberdade descrito pela lagrangiana L(q, q, t˙ ) as equa¸c˜oes de movimento s˜ao as equa¸c˜oes de Euler-Lagrange (3-6):
d dt
( ∂L
∂ q˙i
− ∂L∂qi = 0, i = 1, ..., n.
Note que se a lagrangiana L n˜ao depender explicitamente de uma coordenada qj (chamada coordenada c´ıclica), embora dependa de ˙qj para n˜ao modificar o n´umero de graus de liberdade, ent˜ao a correspondente equa¸c˜ao de movimento nos fornece uma quantidade conservada durante o movimento do sistema:
d dt
( ∂L
∂ q˙j
= 0 =⇒ (^) ∂∂L q˙j = const. de movim.
A quantidade ∂L/∂ q˙i recebe uma denomina¸c˜ao especial, mesmo que n˜ao se conserve, ou seja, mesmo que qi esteja explicita em L (ou, que qi n˜ao seja c´ıclica). Tal quantidade ´e denominada momento generalizado canˆonico conjugado `a coordenada qi e denotada como
pi = ∂L∂ q˙i. (4-7)
Por outro lado se L n˜ao depender explicitamente do tempo (tempo c´ıclico!) temos ∂L/∂t = 0 e, ent˜ao, levando em conta as equa¸c˜oes de Euler-Lagrange,
dL dt =^
j
( ∂L
∂qjq^ ˙j^ +^
∂L
∂ q˙jq^ ¨j
= ∑ j
[ (^) d dt
( ∂L
∂ q˙j
q ˙j + (^) ∂∂L q˙jq ¨j
]
= ∑ j dt^ d
( ∂L
∂ q˙jq^ ˙j
de modo que, considerando a defini¸c˜ao de momento canˆonico,
d dt
j
∂L
∂ q˙jq^ ˙j^ −^ L
=⇒ ∑ j^ ∂L∂ q˙jq ˙j − L = ∑ j pj q˙j − L = const. de movim.
A quantidade ∑ j pj q˙j − L, independente de se conservar ou n˜ao (L sem dependˆencia ou com dependˆencia expl´ıcita de t ), ´e chamada hamiltoniana do sistema:
H = ∑ j pj q˙j − L. (4-8)
A hamiltoniana se identifica com a energia total do sistema se supormos que a energia cin´etica ´e quadr´atica nas velocidades generalizadas e o potencial depende apenas das coordenadas generalizadas:
L =^12 ∑ i^ ∑ j aij (q) ˙qi q˙j − V (q) ≡ 12 ∑ ij aij q˙i q˙j − V (q).
De fato H = ∑ i^ ∂L∂ q˙iq ˙i − L = ∑ i q ˙i^12 ∑ jl ajl∂^ ∂ q˙i ( ˙qj q˙l) − L =
=^12 ∑ i q ˙i
l^ ail^ q˙l^ +^
j^ aji^ q˙j
− L =
= ∑ ij aij q˙i q˙j −
ij^ aij^ q˙i^ q˙j^ −^ V
∴ H =^12 ∑ ij aij q˙i q˙j + V = T + V,
que ´e a energia total do sistema.
at´e em pontos que n˜ao constituem a trajet´oria seguida pelo sistema. Mas se consider- armos somente os pontos da trajet´oria seguida pelo sistema ent˜ao, pelas equa¸c˜oes de Euler-Lagrange (3-6), temos
dH = ∑ j q ˙j dpj − ∑ j dt^ d
( ∂L
∂ q˙j
dqj − ∂L∂t dt ∴
∴ dH = ∑ j q ˙j dpj − ∑ j p ˙j dqj − ∂L∂t dt.
Por outro lado, sendo H(p, q, t), temos
dH = ∑ j^ ∂H∂pj dpj + ∑ j^ ∂H∂qj dqj + ∂H∂t dt.
Comparando estas duas ´ultimas equa¸c˜oes
q˙j = ∂H∂pj , (4-10) p˙j = ∂H∂qj , (4-11) −∂L∂t = ∂H∂t. (4-12)
A terceira destas equa¸c˜oes ´e uma consequˆencia da defini¸c˜ao de H:
∂H ∂t =^
∂t
[∑
j^ pj^ q˙j^ (q,^ q, t˙ )^ −^ L(q,^ q˙(p, q, t), t)
]
= ∑ j
pj^ ∂∂t^ q˙ − (^) ∂∂L q˙j^ ∂ ∂t^ q˙j
− ∂L∂t ;
tendo em vista a defini¸c˜ao de momento canˆonico (4-7), obtemos portanto
∂H ∂t =^ −
∂L
∂t.
As duas outras equa¸c˜oes, (4-10) e (4-11),
q˙j = ∂H∂pj ,
p˙j = ∂H∂qj , j = 1, ..., n,
s˜ao as equa¸c˜oes de Hamilton que correspondem as equa¸c˜oes de movimento no formal- ismo hamiltoniano para o sistema em considera¸c˜ao. Neste formalismo os estados do sistema s˜ao representados por pontos (p, q) no chamado espa¸co de fases deste sistema. Note que as equa¸c˜oes hamiltonianas formam um sistema de 2n equa¸c˜oes diferenciais de primeira ordem em (p, q) de modo que sua solu¸c˜ao geral, digamos
pj = pj (t; C 1 , ..., Cn), qj = qj (t; D 1 , ..., Dn),
envolve 2n constantes de integra¸c˜ao, as quais podem ser determinadas univocamente mediante condi¸c˜oes iniciais, como p(t 0 ) = P e q(t 0 ) = Q.
O quadro abaixo compara paralelamente os formalismos lagrangiano e hamiltoniano: (figura)
Daqui podemos obter quantidades importantes como o momento relativ´ıstico e a en- ergia relativ´ıstica da part´ıcula. Vejamos primeiro o momento relativ´ıstico. Notando que v^2 = ∑^3 j=1 x˙^2 j temos
pi = (^) ∂∂L x˙i = −mc^2 ∂∂ x˙i
[
∑ j x˙ (^2) j c^2
] 1 / 2
= −mc^2
∑ j x˙ (^2) j c^2
)− 1 / (^2) (−2 ˙xi) c^2 ∴ ∴ pi = √ 1 m−^ x ˙vi (^2) /c 2 i = 1, 2 , 3 =⇒ ~p = √ 1 −m v (^2) /c 2 ~v.
A energia desta part´ıcula ´e identificada com a sua hamiltoniana (note que a lagrangiana desta part´ıcula n˜ao depende explicitamente do tempo e, ent˜ao, a sua hamiltoniana ´e uma constante de movimento). Temos:
H = ~p ¶ ~v − L = √ 1 mv− v^22 /c 2 + mc
1 − v c^22 ∴ ∴ H = √ 1 mc− v^22 /c 2.
Part´ıcula Carregada num Campo Eletromagn´etico
Vamos encontrar a lagrangiana e a hamiltoniana para uma part´ıcula com carga e movendo-se em uma regi˜ao onde h´a um campo eletromagn´etico, descrito pelos vetores E^ ~ e B~. Para isto precisamos saber qual a fun¸c˜ao energia potencial V que fornece a for¸ca de Lorentz sobre a part´ıcula,
F^ ~ = e^ (E^ ~ + ~vc × B~^ ) (unidades gaussianas),
que ´e uma for¸ca dependente da velocidade! No formalismo lagrangiano este potencial ´e obtido de forma natural da maneira descrita a seguir. Pondo L = T −V nas equa¸c˜oes de Euler -Lagrange (3-6), temos d dt
( ∂T
∂ q˙j
− (^) ∂q∂Tj = (^) dtd
( ∂V
∂ q˙j
− ∂V∂qj ,
em que a express˜ao do lado direito define a for¸ca generalizada:
Qi = (^) dtd
( ∂V
∂ q˙j
− (^) ∂q∂Vj. (5-13)
A id´eia ´e a seguinte: escrever a express˜ao da for¸ca de Lorentz F~ em termos dos potenciais eletromagn´eticos, mediante
E^ ~ = −∇~Φ − (^1) c∂ ∂t A~, B~ = ∇ ×~ A,~
e ent˜ao colocar F~ numa forma que permita compara-la com a express˜ao da for¸ca gen- eralizada Qj e da´ı identificar o potencial V. Vamos proceder desta forma. Inicialmente temos: F^ ~ = e^ (E^ ~ + ~vc × B~^ ) = e
[
−∇~Φ − (^1) c∂ ∂tA~ + ~vc × (∇ ×~ A~)
]
Vamos manipular o termo ~v × (∇ ×~ A~) usando a identidade vetorial
∇^ ~(~a ¶ ~b) = (~a ¶ ∇~)~b + (~b ¶ ∇~)~a + ~a × (∇ ×~ ~b) + ~b × (∇ ×~ ~a)
pondo ~a = A~ e ~b = ~v e tendo em vista que ~r e ~v representam vari´aveis independentes, temos
∇^ ~( A~ ¶ ~v) = ( A~ ¶ ∇~)~v + (~v ¶ ∇~) A~ + A~ × (∇ ×~ ~v) + ~v × (∇ ×~ A~) =⇒ =⇒ ∇~( A~ ¶ ~v) = (~v ¶ ∇~) A~ + ~v × (∇ ×~ A~) ∴ ∴ ~v × (∇ ×~ A~) = ∇~( A~ ¶ ~v) − (~v ¶ ∇~) A.~
Com isto temos
F^ ~ = e
[
−∇~Φ − (^1) c∂ ∂tA~ + ~vc × (∇ ×~ A~)
]
= e
−∇~Φ − (^1) c∂ ∂tA~ +^1 c [∇~( A~ ¶ ~v) − (~v ¶ ∇~) A~]