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livro em espanhol de um dos pensadores mais importantes da filosofia da linguagem.
Tipologia: Manuais, Projetos, Pesquisas
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INSTITUTO DE INVESTIGACIONES FILOSÓFICAS
Colección: FILOSOFÍA CONTEMPORÁNEA
Serie: TEXTOS FUNDAMENTALES Director: DR. FERNANDO SALMERÓN
Secretario: MTRO. ALEJANDRO ROSSI
Títulos originales:
Begriffsschritt, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen
Denkens, Halle, 1879
Die Grundlagen der Arithmetik, eine logisch-marhematische Untersuchung ueber den
Begriff der Zahl, Breslau, 1884
Ueber die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift, 1882
Funktion und Begriff, Jena, 1891
Ueber Begriff und Gegenstand, 1892
Was ist eine Funktion?, 1904
Primera edición en español: 1972
DR © 1972. Universidad Nacional Autónoma de México
Ciudad Universitaria. México 20, D. F.
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
DIRECCIÓN GENERAL DE PUBLICACIONES
Impreso y hecho en México
y, por cierto, todos los grandes progresos científicos recientes han tenido su origen en un perfecciona-
miento del método.
También Leibniz conoció la ventaja de un modo de simbolización adecuado. Su idea de una caracte-
rística general, de un calculus philosophicus o raciocinator ,
2 era tan gigantesca que el intento de desarro-
llarla hubo de quedarse en los meros preparativos. El entusiasmo que prendió en su creador cuando pon-
deró el inmenso incremento de la capacidad mental humana que podría surgir de un método de simboliza-
ción apropiado a las cosas mismas, lo hizo estimar demasiado estrechamente las dificultades que se opo-
nen a una empresa así. Pero si tampoco se puede alcanzar tan alta meta en un intento, no hay que desespe-
rar de obtener una aproximación más lenta, paso a paso. Si una tarea parece irresoluble en su plena gene-
ralidad, provisionalmente se la ha de limitar; pues, tal vez, se la logre vencer por medio de ampliaciones
graduales. En los símbolos aritméticos, geométricos, químicos, se pueden ver realizaciones de la idea
leibniziana respecto a campos particulares. La conceptografía aquí propuesta, además, añade una nueva a
éstas, y ciertamente una situada en el medio paredaño a las otras. A partir de aquí, por tanto, se abren las
más amplias perspectivas para llenar las lagunas de los lenguajes de fórmulas existentes, para conectar en
un solo dominio campos separados hasta ahora y para ampliarse a campos en los que tal lenguaje faltaba.
Sobre todo, confío en una feliz aplicación de mi conceptografía cuando deba ser puesto un valor es-
pecial en la precisión de una prueba, como cuando se trata de los fundamentos del cálculo diferencial e
integral.
Me parece todavía más fácil extender el campo de este lenguaje de fórmulas a la geometría. Sólo se
han de añadir algunos símbolos para las relaciones intuitivas que ahí aparecen. De esta manera se obten-
dría una especie de analysis situs. (10)
El paso a la teoría del movimiento puro, y aun a la mecánica y a la física, podrían seguirse de aquí.
En los últimos campos, donde junto a la necesidad racional se hace valer la necesidad natural, es donde
primero es de prever un mayor desarrollo del modo de simbolización de acuerdo con el progreso del co-
nocimiento. Pero, por eso, no es necesario esperar hasta que parezca excluida la posibilidad de tales trans-
formaciones.
Si es una tarea de la filosofía romper el dominio de la palabra sobre la mente humana al des-
cubrir los engaños que sobre las relaciones de los conceptos surgen casi inevitablemente en el
uso del lenguaje, al liberar al pensamiento de aquellos con que lo plaga la naturaleza de los medios lin-
güísticos de expresión, entonces mi conceptografía, más desarrollada para estos propósitos, po-
dría ser un instrumento útil a los filósofos. Ciertamente, tampoco volverá puros a los pensamientos,
como que no es posible otra cosa con un medio de presentación externo; pero, por una parte, se pueden
limitar estas discrepancias a aquellas inevitables e inocuas y, por otra parte, en virtud de que son
de un tipo totalmente distinto al de las que son propias del lenguaje, se ofrece ya una protec ción
contra, una influencia unilateral de este medio de expresión. La mera invención de esta conceptogra-
fía, me parece, ha hecho prosperar a la lógica. Espero que los lógicos, si no se dejan intimidar por
una primera impresión frente a lo extraño, no negarán su asentimiento a las innovaciones a que me vi
impelido por una necesidad inherente al asunto mismo. Estas discrepancias con lo tradicional
encuentran su justificación en que la lógica, hasta ahora, siempre se ha ajustado muy estrecha-
mente al lenguaje y a la gramática. En especial, creo que la sustitución de los conceptos de sujeto y pre-
dicado por los de argumento y función, se acreditará con el tiempo. Es fácil ver cómo la aprehensión de
un contenido como función de un argumento surte el efecto de una aprehensión formadora de conceptos.
Más aún, la demostración de la conexión entre los significados de las palabras sí, y , no, o , existe, al-
gunos, todos, etc., merece atención.
Ya únicamente requiere mención especial lo siguiente. La restricción a un solo modo de inferencia,
expresada en §6, se justifica en virtud de que en la fundamentación de una conceptografía de este tipo, los
componentes primitivos se deben tomar tan simples como sea posible si se ha de producir orden y clari-
dad. Esto no excluye el que, posteriormente, transiciones de varios juicios a uno nuevo, transiciones que
según este solo modo de inferencia únicamente son posibles de manera mediata, se transformen por abre-
viación en inmediatas. De hecho, esto se podría recomendar (11) para alguna aplicación posterior. De
esta manera, pues, surgirían más modos de inferencia.
Suplementariamente, he señalado que las fórmulas (31) y (41) podrían reducirse a
por la que son posibles aún algunas simplificaciones.
2 Sobre esto, véase: Tredelenburg, Historische Beiträge zur Philosophie, tomo III.
Como he señalado al principio, la aritmética ha sido el punto de partida del curso de pensamiento
que me ha conducido a mi conceptografía. A esta ciencia, por tanto, pensé aplicarla primero, tratando de
analizar más sus conceptos y de fundamentar más a fondo sus teoremas. Por lo pronto, en la tercera sec-
ción comunico algo que apunta en esta dirección. La prosecución del camino indicado, la elucidación de
los conceptos de número, magnitud, etc., será objeto de otras investigaciones que aparecerán inmediata-
mente después de este escrito.
Jena, 18 de diciembre de 1878.
§ 3. En mi modo de representar un juicio,no tiene lugar una distinción entre sujeto y predicado. Para jus-
tificar esto, advierto que los contenidos de dos juicios pueden ser distintos de doble manera: primero, que
las consecuencias que se puedan derivar de uno, en combinación con otros juicios determinados, se sigan
también del otro, en combinación con los mismos otros juicios; en segundo lugar, (15) que no sea este el
caso. Las dos proposiciones: "en Platea derrotaron los griegos a los persas" y "en Platea fueron derrota-
dos los persas por los griegos", se distinguen de la primera manera. Aun cuando se puede reconocer una
pequeña diferencia en el sentido, la concordancia, no obstante, prevalece. Así, a aquella parte del conteni-
do que es la misma en ambas, la llamo el contenido judicable. Puesto que sólo éste tiene significado para
la conceptogra-fía, no necesito hacer distinción alguna entre proposiciones que tienen el mismo contenido
judicable. Si se dice: "sujeto es el concepto de que trata el juicio", esto conviene también al objeto. Por
tanto, se puede decir únicamente: "sujeto es el concepto de que trata principalmente el juicio". El lugar
del sujeto en la serie de palabras tiene para el lenguaje el significado de un lugar sin-gularizado, en donde
se pone aquello sobre lo cual se quiere atraer la atención de quien escucha (véase también §9). Esto, por
ejemplo, puede tener el propósito de indicar una relación de este juicio con otros y, con ello, facilitar al
oyente la comprensión del contexto entero. Así, todos los fenómenos del lenguaje que surgen sólo de la
interacción del parlante y el oyente, en que, por ejemplo, el parlante toma en consideración la expectación
del oyente e intenta ponerlo sobre la pista correcta aun antes de pronunciar una proposición, nada tienen
que les corresponda en mi lenguaje de fórmulas, ya que en los juicios sólo se considera aquello que influ-
ye en las posibles consecuencias. Cabalmente se expresará todo lo necesario para una inferencia correcta;
pero lo que no es necesario, por lo general tampoco se indicará; nada se dejará a la adivinanza. En esto
sigo por completo el ejemplo del lenguaje de fórmulas matemático, en el que también sólo forzadamente
se puede distinguir entre sujeto y predicado. Se puede imaginar un lenguaje en el cual la proposición:
"Arquímedes pereció en la toma de Si-racusa", pudiera expresarse de la siguiente manera: "la muerte vio-
lenta.de Arquímedes en la toma de Siracusa es un hecho". Ciertamente, también aquí se puede, si se quie-
re, distinguir entre sujeto y predicado, pero el sujeto encierra el contenido completo, y el predicado sólo
tiene el propósito de poner a éste como juicio. Un lenguaje así, tendría únicamente un predicado para to-
dos los juicios, a saber, "es un hecho". Se ve que en absoluto puede hablarse aquí de sujeto y predicado
en el sentido habitual.
Nuestra conceptografía es un lenguaje así, y el símbolo es, en él, el predicado común para
todos los juicios.
En el primer esbozo de un lenguaje de fórmulas me dejé llevar por el ejemplo del lenguaje ordinario,
componiendo los juicios con (16) sujeto y predicado. Pero pronto me persuadí de que esto era contrario a
mi propósito y de que sólo conducía a prolijidades inútiles.
§ 4. Las notas siguientes deben explicar el significado de las distinciones que, para nuestros propósitos, se
hacen en relación a los juicios.
Se distingue entre juicios universales y particulares: en manera alguna es ésta una distinción entre
los juicios, sino entre los contenidos. Se debería decir: "un juicio con contenido universal", "un juicio con
contenido particular". Es decir, estas propiedades corresponden al contenido, aun cuando éste no se pon-
ga como juicio, sino como proposición (véase §2).
Lo mismo vale para la negación. Por ejemplo en una prueba indirecta se dice: "suponga que los seg-
mentos AB y CD no fueran iguales". Aquí, el contenido de que los segmentos AB y CD no sean iguales,
contiene una negación; pero este contenido, si bien apto para la judicación, no se propone como juicio.
Por tanto, la negación se adhiere al contenido, ya sea que éste se presente como juicio o no. Así, tengo por
más apropiado considerar la negación como una nota de un contenido judicable.
La distinción de los juicios en categóricos, hipotéticos ydisyuntivos, me parece que sólo tiene signi-
ficación gramatical.
6
El juicio apodíctico se distingue del asertórico en que se sugiere la existencia de juicios universales
de los cuales se puede inferir la proposición, mientras que en el asertórico falta tal sugerencia. Cuando de-
signo una proposición como necesaria, con ello doy una indicación sobre mis fundamentos de juicio.
Pero, puesto que con esto no se toca el contenido conceptual del juicio, la forma del juicio apodíctico no
tiene para nosotros importancia alguna.
Cuando se pone una proposición como posible, o el parlante se abstiene de juicio, con lo cual indica
que no conoce ley alguna de la cual podría derivar su negación, o dice que en su generalidad es falsa la
negación de la proposición. En el último caso, tenemos un juicio particular afirmativo
7 , según la denomi-
6 La razón sera resultado del libro entero.
7 Véase § 12.
nación usual. "Es posible que la tierra alguna vez choque con otro cuerpo celeste", es un ejemplo de lo
primero, y "un resfriado puede tener como consecuencia la muerte", es un ejemplo para el segundo caso.
(17)
§ 5. Si A y B significan contenidos judicables,
8 entonces hay las siguientes cuatro posibilidades
A es afirmada y B es afirmada;
A es afirmada y B es negada;
A es negada y B es afirmada;
A es negada y B es negada.
significa, pues, el juicio de que no tiene lugar la tercera de estas posibilidades, sino una de las otras
tres. Según esto, si se niega,
significa esto que la tercera posibilidad tiene lugar, por tanto, que A se niega y B se afirma. De los casos
en que
se afirma, hacemos resaltar los siguientes:
sea que: signifique que 3 X 7 = 21 y B signifique la circunstancia de que el sol brilla. Aquí,
sólo los "dos primeros de los cuatro casos mencionados son posibles. No es necesario que se presente
una conexión causal entre ambos contenidos.
fique la circunstancia de que un perpetuum mobile es posible y A la circunstancia de que el mundo
es infinito. Aquí, sólo el segundo y el cuarto de los cuatro casos son posibles. No es necesario que
exista una conexión causal entre A y B.
1
(18) sin saber si se han de afirmar o negar A y B_._ Por ejemplo, signifique B la circunstancia de que la luna
está en cuadratura y A la circunstancia de que parece un semicírculo. En este caso, se puede traducir
con ayuda del termino conjuntivo "si": "si la luna está en cuadratura, entonces parece un semicírculo". La
conexión causal que se halla en la palabra "si", sin embargo, no se expresa por medio de nuestros símbo-
los, aunque un juicio de este tipo sólo puede emitirse con base en esto. Pues esta conexión es algo gene-
ral, pero esto no ha sido expresado todavía (véase §12).
Llámese barra de condición , a la barra vertical que une a las dos horizontales. La parte de la barra hori-
zontal superior que se encuentra a la izquierda de la barra de condición es la barra del contenido para el
significado, explicado ya, de la combinación de símbolos
a esto se unirá todo símbolo que haya de referirse al contenido total de la expresión. La parte de la barra
horizontal que está entre A y la barra de condición es la barra del contenido de A. La barra horizontal, a la
izquierda de B, es la barra del contenido de B.
Según eso, es fácil reconocer que
8 § 2
Con esto, se deja al lector componer el juicio
a partir de y y ver si esta acorde con el juicio X aducido.
Si, a manera de ejemplo, el juicio se designa por medio de XX, entonces también es-
cribo la misma inferencia como sigue
Aquí, los dobles puntos indican que , sólo aludido por medio de XX, se debe construir de
una manera distinta a la anterior a partir de los dos juicios apuntados. (21)
Si aún, digamos, se designara al juicio por medio de XXX, entonces se escribi-
rían los dos juicios
todavía más brevemente, así:
Con Aristóteles, podemos enumerar en lógica una serie completa de modos de inferencia; yo sólo
me sirvo de éste —al menos, en todos los casos en que de más de un solo juicio se deriva uno nuevo. A
saber, la verdad contenida en otros modos de inferencia, se puede expresar en un juicio de la forma: si
vale M y si vale N, entonces también vale ; en símbolos:
De este juicio, y de y , se sigue, entonces, , como se expresa arriba.
Así, una inferencia hecha según cualquier modo de inferencia, puede ser reducida a nuestro caso. Puesto
que es posible salir adelante con un solo modo de inferencia, entonces es un precepto de claridad hacerlo
así. Además, sucede que, de esta manera, tampoco habría razón para quedarse con los modos de inferen-
cia aristotélicos, ya que siempre se podrían añadir, indefinidamente, nuevos modos: de cada juicio ex-
presado en fórmula en §§13-22, se podría hacer un modo diferente. Con esta limitación a un solo modo
de inferencia, sin embargo, en manera alguna se quiere expresar una proposición psicológica, sino úni-
camente resolver una cuestión de forma de la manera más expedita. ( 22) En §22, fórmulas (59), (62), y
(65), se presentarán algunos de los juicios que aparecen en lugar de los modos de inferencia aristotélicos.
§ 7. Si se añade una pequeña barra vertical en la parte inferior de la barra del contenido, entonces con ello
se quiere expresar la circunstancia de que el contenido no tiene lugar. Por ejemplo,
significa "A no tiene lugar". A esta pequeña barra vertical la llamo barra de negación. La parte de la barra
horizontal que se encuentra a la derecha de la barra de negación es la barra del contenido de A; en contra-
posición, la parte que se encuentra a la izquierda de la barra de negación es la barra del contenido de la
negación de A. Sin la barra de juicio no se emite aquí, como tampoco en otra parte de la conceptografía,
un juicio.
sólo invita a formar la representación de que A no tiene lugar, sin expresar si esta representación es
verdadera.
Ahora consideramos un caso en el que se combinan entre sí los símbolos de condicionali-
dad y de negación.
significa: "el caso en que B es de afirmar y es de negar la negación de A, no tiene lugar"; en otras pala-
bras: "no existe la posibilidad de afirmar ambas, A y B"; o "A y B se excluyen mutuamente". De esta ma-
nera, quedan sólo los siguientes tres casos:
A es afirmada y B es negada; A es negada y B es afirmada; A es negada y B es negada.
De acuerdo con lo precedente, es fácil indicar qué significado tiene cada una de las tres partes de la barra
horizontal que antecede a A.
(23) significa: "no existe el caso en que A es negada y es afirmada la negación de B"; o "ambas, A y B, no
pueden ser negadas". Sólo quedan las siguientes posibilidades:
A es afirmada y B es afirmada;
A es afirmada y B es negada;
A es negada y B es afirmada.
A y B agotan, juntas, todas las posibilidades. Las palabras "o" y "o. ..o", pues, se usan de dos maneras:
"A o B"
sólo significa, en primer lugar, lo mismo que
por tanto, que fuera de A y B nada es pensable. Por ejemplo, si se calienta una masa gaseosa, entonces au-
menta su volumen o su presión. En segundo lugar, la expresión
"A o B"
aúna los significados de
y
de modo que, en primer lugar, fuera de A y B no hay tercera posibilidad, y que, en segundo lugar, A y B
se excluyen. De las cuatro posibilidades, pues, sólo quedan las dos siguientes:
A es afirmada y B es negada;
A es negada y B es afirmada.
De las dos maneras de usar la expresión "A o B", la primera, según la cual la coexistencia de A y B
no se excluye, es la más importante y nosotros utilizaremos la palabra "o" en este sentido. Quizá es apro-
piado hacer la distinción entre "o" y "o.. .o", de modo que sólo la última tiene el significado secundario de
la exclusión mutua. Por tanto, podemos traducir
(24) por "A o B". Asimismo,
tiene el significado de "A o B o Γ ".
se podría traducir por lo mismo.
(26) significa: "ocurre el caso en que ambas, A y B, se niegan". Por tanto, se puede traducir:
"ni A ni B es un hecho".
Las palabras: "o", "y", "ni.. .ni", sólo entran aquí en consideración, por supuesto, en tanto que
unan contenidos judicables.
§ 8. La igualdad de contenido se distingue de la condicionalidad y la negación en que se refiere a
nombres, no a contenidos. Además, mientras los símbolos son meramente representantes de sus
contenidos, de manera que toda combinación en la que aparecen expresa sólo una relación de sus con-
tenidos, de pronto se muestran ellos mismos cuando se combinan por medio del símbolo de la
igualdad de contenido; pues, con ello, se expresa la circunstancia de que dos nombres tienen el
mismo contenido. Por tanto, al introducir un símbolo para la igualdad de contenido, nece-
sariamente se produce una disociación en el significado de todos los símbolos, ya que tan pronto
están en vez de su contenido, tan pronto en vez de sí mismos. Lo primero que esto des-
pierta es la impresión de que aquí se trata de algo que corresponde a la expresión solamente,
no al pensamiento, y de que en manera alguna se requieren símbolos diferentes para el mismo contenido
y, por tanto, tampoco símbolo alguno para la igualdad de contenido. Para aclarar la inefectividad de esta
apariencia, elijo el siguiente ejemplo tomado de la geometría. En una circunferencia hay un punto
fijo A, alrededor del cual se hace girar un rayo. Cuando éste forma un diámetro, llamamos al
extremo opuesto a A el punto B asociado a esta posición del rayo. Además, luego llamamos al punto
de intersección de ambas líneas el punto B asociado a la posición del rayo en cada caso, que se produce a
partir de la regla de que a variaciones continuas de la posición del rayo, deben corresponder siempre va-
riaciones continuas de la posición de B. Por tanto, el nombre B significa algo indeterminado,
mientras no se especifique la posición asociada del rayo. Así, se puede preguntar: ¿a qué punto se asocia
la posición del rayo cuando éste es perpendicular al diámetro? La respuesta será: al punto A. Por tanto,
en este caso, el nombre B tiene el mismo contenido que el nombre A; y, sin embargo, no se podría
usar de antemano un solo nombre, (27) ya que primordialmente la justificación de éste se da a través de
la respuesta. El mismo punto se determina de dos maneras:
A cada uno de estos dos modos de determinación, corresponde un nombre particular. La necesidad de un
símbolo para la igualdad de contenido se funda, por tanto, en lo siguiente: el mismo contenido se puede
determinar plenamente de diferentes modos; pero que en un caso particular se ve realmente lo mismo por
medio de dos maneras de determinarlo, es el contenido de un juicio. Antes de hacer éste, se deben asig-
nar dos nombres distintos correspondientes a ambos modos de determinación, a lo determinado por ellos.
Para su expresión, el juicio requiere, empero, un símbolo de la igualdad de contenido que conecte estos
dos nombres. De aquí resulta que los nombres distintos para el mismo contenido no siempre son mera-
mente una ociosa cuestión de forma, sino que atañen a la naturaleza del asunto cuando se conectan con
diferentes modos de determinación. En este caso, el juicio que tiene por objeto la igualdad de contenido
es sintético en sentido kantiano. Una razón más extrínseca para introducir un símbolo de la igualdad de
contenido, consiste en que, a veces, es conveniente introducir una abreviación en lugar de una expresión
extensa. De esta manera, se tiene que introducir la igualdad de contenido de la abreviatura y la forma ori-
ginal.
signifique, pues, que el símbolo A y el símbolo B tienen el mismo contenido conceptual, de modo que, en
cualquier caso, se puede poner B en lugar de A.
§ 9. Si, expresada en nuestro lenguaje de fórmulas, pensamos la circunstancia de que el hidrógeno es más
liviano que el anhídrido carbónico, entonces en el lugar del símbolo del hidrógeno podemos poner el sím-
bolo del oxígeno o del nitrógeno. Al hacer esto, se cambia el sentido de manera que "oxígeno" o "nitróge-
no" aparecen en la relación en la que antes estaba "hidrógeno". Al pensar de esta manera una expresión
variable, se descompone la misma en un componente estable, que representa la totalidad de las relaciones,
y el símbolo, considerado como remplazable por otros, que (28) significa el objeto que se encuentra en
estas relaciones. Al primer componente lo llamo función, y al último, su argumento. Esta distinción nada
tiene que ver con el contenido conceptual, sino que es cuestión de puntos de vista. Mientras que desde el
punto de vista aludido antes, "hidrogeno" era el argumento y "ser mas liviano que el anhídrido carbónico"
era la función, también podemos pensar el mismo contenido conceptual de modo que "anhídrido carbóni-
co" sea el argumento, y "ser mas pesado que el hidrogeno" sea la función. Sólo necesitamos, entonces,
pensar "anhídrido carbónico" como remplazable por otras representaciones, digamos, "ácido clorhídrico"
o "amoníaco".
"La circunstancia de que el anhídrido carbónico es más pesado que el hidrógeno",
y
"La circunstancia de que el anhídrido carbónico es más pesado que el oxígeno",
son la misma función con distintos argumentos, si se considera "hidrógeno" y "oxígeno" como argumen-
tos; por el contrario son distintas funciones con el mismo argumento, si como tal se considera "anhídrido
carbónico".
Sirva, aun, como ejemplo, "la circunstancia de que el centro de masa del sistema solar no tiene ace-
leración, en el caso de que sólo actúen fuerzas internas en el sistema solar". Aquí, "sistema solar" aparece
en dos lugares. Por tanto, podemos concebir esto de varias maneras como función del argumento "sistema
solar"; según esto, podemos pensar "sistema solar" como remplazable por algo distinto en el primero, en
el segundo, o en ambos lugares —en el último caso, empero, en los dos lugares por lo mismo. Estas tres
funciones son todas distintas. La proposición de que Catón mato a Catón, muestra lo mismo. Si pensamos
aquí "Catón" como rempla-zable en el primer lugar, entonces "matar a Catón" es la función: si pensamos
"Catón como remplazable en el segundo lugar, entonces "ser matado por Catón" es la función; finalmente,
si pensamos "Caton" como remplazable en ambos lugares, entonces "matarse a si mismo" es la fun-
ción.
Ahora expresamos, en general, el asunto:
"Si en una expresión cuyo contenido no necesita ser judiciable, aparece un símbolo simple o com-
puesto en uno o más lugares, y si lo pensamos como reemplazable en todos o en algunos de estos lugares
por algo distinto, pero siempre por lo mismo, entonces a la (29) parte de la expresión que aparece sin
cambio la llamamos función y a la parte remplazahle, su argumento".
Puesto que, según esto, algo puede aparecer como argumento y, a la vez, en lugares tales de la fun-
ción que no se le piense como remplazable, distinguimos en la función los lugares del argumento de los
lugares restantes.
Se debe tener precaución de una impresión falsa, a la cual da ocasión el uso lingüístico fácilmente.
Si se comparan las dos proposiciones:
"el número 20 es representable como la suma de cuatro cuadrados"
y
"todo número entero positivo es representable como la suma de cuatro cuadrados",
entonces parece ser posible concebir como función "ser representable como la suma de cuatro
cuadrados", la cual tiene una vez como argumento "el número 20", y otra vez "todo número entero
positivo". Se reconoce el error de esta concepción al advertir que "el número 20" y "todo número
entero positivo" no son conceptos de la misma clase. Lo que se puede predicar del número 20, no
se puede predicar, en el mismo sentido, de "todo número entero positivo", aunque, ciertamente,
hay circunstancias en que se puede predicar de todo número entero positivo. La expresión "todo nú-
mero entero positivo", por sí misma, no proporciona, como "el número 20". una representación
independiente, sino que primor-dialmentc adquiere un sentido por el contexto de proposi-
ciones. Para nosotros, carecen de importancia los distintos modos en que el mismo contenido concep-
tual pueda ser pensado como función de éste o de aquel argumento, mientras función y ar -
gumento estén plenamente determinados. Pero si el argumento esta indeterminado, como en el juicio:
§ 11. En la expresión de un juicio se puede considerar siempre a la combinación de símbolos que está a la
derecha de como función de uno de los símbolos que ahí aparecen. Si en el lugar de este argu-
mento se coloca una letra gótica, y si a la barra del contenido se le hace una concavidad en la cual se
pone esta misma letra, como en
entonces esto significa el juicio de que esa función, sea lo que fuere lo que se considere como su argu-
mento, es un hecho. Puesto que una letra utilizada como símbolo de función, digamos Φ en Φ (A) , puede
ser considerada ella misma como argumento de una función, entonces en el lugar de la misma pue-
de entrar una letra gótica, en el sentido especificado antes. El significado de una letra gótica sólo está su-
jeto a la limitación, comprensible de suyo, de que la judicabilidad (§2) de una combinación de símbolos
que sigue a una barra de contenido ha de permanecer inafectada y de que cuando la letra gótica aparece
como símbolo de función, sea tomada en cuenta esta circunstancia. Todas las restantes condiciones a que
se tiene que sujetar lo que puede ser puesto en el lugar de una letra gótica, se han de incorporar al jui-
cio. Por tanto, de tal juicio siempre se puede deducir una cantidad discrecional de juicios con menor con-
tenido general, poniendo en el (32) lugar de la letra gótica algo distinto en cada caso, con lo cual desapa-
rece de nuevo la concavidad en la barra del contenido. La barra horizontal que se encuentra a la izquierda
de la concavidad en
es la barra del contenido para que valga Φ ( a )
g , sea lo que fuere lo que se coloca en el lugar de a; la
barra horizontal que se encuentra a la derecha de la concavidad es la barra del contenido de Φ (a), con
lo cual se puede pensar algo determinado puesto en el lugar de a.
Después de lo que se dijo antes sobre el significado de la barra del contenido, es fácil ver qué signi-
fica una expresión como
Ésta puede aparecer como parte de un juicio como
o
Es evidente que de estos juicios no se pueden derivar juicios menos generales, al sustituir algo determina-
do en el lugar de a como acontece de
Por medio de se niega que X (a) sea siempre un hecho, sea lo que fuere lo que se ponga
en el lugar de a. Con ello, en manera alguna se niega que se podría dar un significado ∆ para a, de ma-
nera que X (∆) sea un hecho.
significa que el caso en que se afirma y A se niega,
no ocurre. Con ello, en manera alguna se niega que el hecho de que X (∆) se afirma y A se niega,
ocurre; asi, como hemos visto antes, X (∆) puede ser afirmada y, sin embargo, ser negada
. Por ello, tampoco se puede poner algo arbitrario en el lugar de a , sin arriesgar la justifi-
cación del juicio. Esto aclara por qué es necesaria la concavidad con la letra gótica inscrita ahi: delimita
el dominio al que se refiere la generalidad indicada por medio de la letra. Sólo dentro de su dominio
mantiene (33) su significado la letra gótica; en un juicio, la misma letra gótica puede aparecer en diferen-
tes dominios sin que el significado que se adjudica en uno se extienda a los restantes. El dominio de una
letra gótica puede incluir el de otra, como muestra el ejemplo:
En este caso, deben escogerse diferentes; no se podría poner a en lugar de e. Desde luego, está permiti-
do sustituir una letra gótica en todo su dominio por otra determinada, siempre y cuando en los lugares
donde antes estaban letras distintas, queden posteriormente también letras distintas. Esto no afecta al con-
tenido. Se permiten otras sustituciones cuando la concavidad sigue inmediatamente a la barra de juicio,
de manera que el contenido del juicio completo se ajuste al dominio de la letra gótica. En virtud de que
este caso es muy singular, quiero introducir la siguiente abreviación. Una letra latina tiene siempre como
dominio el contenido del juicio completo, sin que esto se tenga que señalar por medio de una concavidad
en la barra del contenido. Si aparece una letra latina en una expresión a la que no preceda una barra de
juicio, entonces esta expresión carece de sentido. Una letra latina siempre puede ser sustituida por una
gótica que aún no aparezca en el juicio; al hacer esto, se coloca la concavidad inmediatamente después
de la barra de juicio. Por ejemplo, en lugar de
se puede poner
si a sólo aparece en los lugares del argumento de X (a).
También es patente que de
se puede derivar
si A es una expresión en la que a no aparece, y si a sólo está en el lugar del argumento de Φ ( a ). Si se
niega , entonces se (34) debe indicar un significado para a, de manera que se niegue Φ ( a )
Así, si se negara y A se afirmara, entonces se debería indicar un significado para a, de
manera que A fuera afirmada y Φ (a) negada. Pero, en virtud de
esto no se puede; pues esto significa que, sea lo que fuere a, se excluye el caso en que Φ ( a ) se nie-
ga y A se afirma. Por tanto, no se puede negar y afirmar A; esto es,
Igualmente, de
se puede seguir
si a no aparece en A y B, y Φ ( a ) sólo contiene a a en el lugar del argumento. Este caso se puede redu-
cir a los anteriores, dado que en lugar de
se puede poner
y
a su vez, se puede transformar en
niega que ningún M sea P y, por tanto, significa que "algunos
11 Ms son Ps "; o "es posible que un M sea
Así, se obtiene el cuadrado de oposición lógica:
(37)
II. REPRESENTACIÓN Y DEDUCCIÓN
DE ALGUNOS JUICIOS DEL PENSAMIENTO PURO
§ 13. Ya en la primera sección se presentaron algunos de los principios fundamentales del pensamiento,
con el objeto de transformarlos en reglas para la aplicación de nuestros símbolos. Estas reglas y las leyes,
de las cuales son imágenes, no pueden ser expresadas en la conceptografía porque están en su base. En
esta sección se han de presentar en símbolos algunos juicios del pensamiento puro, por los cuales es éste
posible. Parece natural derivar los más complicados de estos juicios de los más simples, no para hacerlos
más ciertos, lo cual generalmente sería innecesario, sino para hacer resaltar las relaciones de los juicios
entre sí. Es patente que no es lo mismo conocer meramente las leyes que conocer también cómo se com-
padecen unas con otras. De esta manera, se obtiene un pequeño número de leyes en las cuales, si se acep-
tan las contenidas en las reglas, se incluye el contenido de todas, aunque no desarrollado. También es una
ventaja del modo deductivo de presentación el que enseñe a conocer ese núcleo. Puesto que de la inabar-
cable cantidad de leyes formulables no se puede enumerar todas, entonces no se alcanzará la totalidad,
como no sea buscando aquellas que, por su juerza, contengan en sí a todas. Aunque, ciertamente, se debe
admitir que la reducción no sólo es posible de este modo. De aquí que no todas las relaciones de las leyes
del pensamiento se pongan en claro por medio de tal modo de presentación. Tal vez haya aún otra serie de
juicios de los que, en todo caso, con la aceptación de aquellos contenidos en las reglas, se podría deducir
toda ley del pensar. De cualquier manera, con el modo de reducción ofrecido aquí se explica tal cantidad
de relaciones que cualquier otra derivación se facilitará mucho.
Nueve es el número de proposiciones que constituyen el número de la siguiente presentación. Para la
expresión de tres de éstas, las fórmulas (1), (2) y (8). se requiere, aparte de las letras, sólo del símbolo de
condicionalidad; tres, las fórmulas (28), (31) y (41), contienen, además, el símbolo de negación; dos, las
fórmulas (52) y (54), el de igualdad de contenido, y en una, en la fórmula (58), aparece en uso la concavi-
dad de la barra del contenido.
La siguiente derivación resultaría cansada para el lector si quisiera seguirla en todas sus particulari-
dades; la derivación sólo tiene el propósito de disponer la respuesta para cualquier pregunta sobre la de-
ducción de una ley. (38)
dice: "se excluye el caso en que a sea negada, b afirmada y a afirmada". Esto es evidente, puesto que a no
11 La palabra “algunos” es de entenderse siempre así: que incluye el caso “un”. Más explícitamente, se
diría: “algunos o al menos uno”.
puede ser negada y afirmada a la vez. Verbalmente, el juicio también se puede expresar así: "si una propo-
sición a vale, entonces también vale en caso de que una proposición cualquiera, b, valga". Por ejemplo,
sea que: a signifique la proposición de que la suma de los ángulos en el triángulo ABC, asciende a dos
rectos; y b la proposición de que el ángulo ABC es recto. Obtenemos, entonces, el juicio: "si la suma de
los ángulos en el triángulo ABC asciende a dos rectos, entonces esto vale también en el caso de que el án-
gulo ABC sea recto".
El (1) a la derecha de
es el número de esta fórmula.
significa: "el caso en que (2)
(39) se niega y
se afirma, no tiene lugar". Pero
significa la circunstancia de que se excluye el caso en que a se niega, b se afirma y c se afirma. La
negación de
dice que se niega y se afirma. Pero la negación de significa que a se niega y
c se afirma. La negación de
significa, pues, que a se niega, c se afirma y se afirma.
La afirmación de y c, empero, implica la afirmación de b.
Por tanto, la negación de
(40) tiene como consecuencia la negación de a y la afirmación de b y c. Precisamente, la afirmación
de
