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Função modular, Notas de estudo de Matemática

Universidade de Rio Verde (FESURV)Matemática

função e inequação modular

Tipologia: Notas de estudo

2012

Compartilhado em 05/04/2012

altobele-gaia-4
altobele-gaia-4 🇧🇷

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bg1
alttobelle@hotmail.com;
Só Jesus salva!
Função modular
Função modular
O módulo (ou valor absoluto) de um número real x,
que se indica por | x | é definido da seguinte maneira:
Então:
Se x é positivo ou zero, | x | é igual ao próprio x.
Exemplos: | 2 | = 2 ; | 1/2 | = | 1/2 | ; | 15 | = 15
Se x é negativo, | x | é igual a -x.
Exemplos: | -2 | = -(-2) = 2 ; | -20 | = -(-20) = 20
IPC: O módulo de um número real é sempre positivo ou
nulo. O módulo de um número real nunca é negativo.
Representando geometricamente, o módulo de um
número real x é igual à distância do ponto que representa,
na reta real, o número x ao ponto Zero de origem. Assim:
Se | x | < a (com a>0) significa que a distância
entre x e a origem é menor que a, isto é, x deve
estar entre –a e a, ou seja, | x | < a -a < x < a.
Se | x | > a (com a>0) significa que a distância
entre x e a origem é maior que a, isto é, deve estar
à direita de a ou à esquerda de –a na reta real, ou
seja: | x | > a x > a ou x < -a.
Equações modulares
Toda a equação que contiver a incógnita em um
módulo num dos membros será chamada equação
modular.
Exemplos:
a) | x2-5x | = 1
b) | x+8 | = | x2-3 |
Algumas equações modulares resolvidas:
1) Resolver a equação | x2-5x | = 6.
Resolução: Temos que analisar dois casos:
caso 1: x2-5x = 6
caso 2: x2-5x = -6
Resolvendo o caso 1:
x2-5x-6 = 0 => x’=6 e x’’=-1.
Resolvendo o caso 2:
x2-5x+6 = 0 => x’=3 e x’’=2.
Resposta: S={-1,2,3,6}
2) Resolver a equação | x-6 | = | 3-2x |.
Resolução: Temos que analisar dois casos:
caso 1: x-6 = 3-2x
caso 2: x-6 = -(3-2x)
Resolvendo o caso 1:
x-6 = 3-2x => x+2x = 3+6 => 3x=9 => x=3
Resolvendo o caso 2:
x-6 = -(3-2x) => x-2x = -3+6 => -x=3 => x=-3
Resposta: S={-3,3}
Inequações modulares
Chamamos de inequações modulares as inequações
nos quais aparecem módulos de expressões que
contém a incógnita.
Algumas inequações modulares resolvidas:
1) Resolver a inequação | -2x+6 | < 2.
Resolução:
S = {x IR | 2<x<4}
2) Dê o conjunto solução da inequação |x2-2x+3| 4.
Resolução:
|x2-2x+3| 4 => -4 x2-2x+3 4.
Então temos duas inequações (que devem ser
satisfeitas ao mesmo tempo):
Eq.1: -4 x2-2x+3
Eq.2: x2-2x+3 4
0 se ,
0 se ,
xx
xx
x
2
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x
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x
x
x
x
x
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Baixe Função modular e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!

alttobelle@hotmail.com; Só Jesus salva!

Função modular

Função modular

O módulo (ou valor absoluto) de um número real x, que se indica por | x | é definido da seguinte maneira:

Então:  Se x é positivo ou zero, | x | é igual ao próprio x. Exemplos: | 2 | = 2 ; | 1/2 | = | 1/2 | ; | 15 | = 15  Se x é negativo, | x | é igual a -x. Exemplos: | -2 | = -(-2) = 2 ; | -20 | = -(-20) = 20

IPC : O módulo de um número real é sempre positivo ou nulo. O módulo de um número real nunca é negativo. Representando geometricamente, o módulo de um número real x é igual à distância do ponto que representa, na reta real, o número x ao ponto Zero de origem. Assim:  Se | x | < a (com a >0) significa que a distância entre x e a origem é menor que a , isto é, x deve estar entre – a e a , ou seja, | x | < a-a < x < a.

 Se | x | > a (com a >0) significa que a distância entre x e a origem é maior que a , isto é, deve estar à direita de a ou à esquerda de – a na reta real, ou seja: | x | > a  x > a ou x < -a.

Equações modulares

Toda a equação que contiver a incógnita em um módulo num dos membros será chamada equação modular. Exemplos: a) | x^2 -5x | = 1 b) | x+8 | = | x^2 -3 |

Algumas equações modulares resolvidas:

  1. Resolver a equação | x^2 -5x | = 6.

Resolução: Temos que analisar dois casos: caso 1: x^2 -5x = 6 caso 2: x^2 -5x = -

Resolvendo o caso 1: x^2 -5x-6 = 0 => x’=6 e x’’=-. Resolvendo o caso 2: x^2 -5x+6 = 0 => x’=3 e x’’=. Resposta: S={-1,2,3,6}

  1. Resolver a equação | x-6 | = | 3-2x |. Resolução: Temos que analisar dois casos: caso 1: x-6 = 3-2x caso 2: x-6 = -(3-2x) Resolvendo o caso 1: x-6 = 3-2x => x+2x = 3+6 => 3x=9 => x= Resolvendo o caso 2: x-6 = -(3-2x) => x-2x = -3+6 => -x=3 => x=- Resposta: S={-3,3}

Inequações modulares

Chamamos de inequações modulares as inequações nos quais aparecem módulos de expressões que contém a incógnita. Algumas inequações modulares resolvidas:

  1. Resolver a inequação | -2x+6 | < 2. Resolução:

S = {x  IR | 2<x<4}

  1. Dê o conjunto solução da inequação |x^2 -2x+3|  4. Resolução: |x^2 -2x+3|  4 => -4  x^2 -2x+3  4. Então temos duas inequações (que devem ser satisfeitas ao mesmo tempo): Eq.1: -4  x^2 -2x+ Eq.2: x^2 -2x+3  4

,se 0

,se 0

x x

x x

x



    

   

 

      

             

2

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2 8

2 4

2 6 2 2 6 2 |-2x 6 | 2 2 2 6 2 2 2 6

x

x x

x

x

x x x x

alttobelle@hotmail.com; Só Jesus salva!

Resolvendo a Eq.1: -4  x^2 -2x+3 => -4-3  x^2 -2x => -7  x^2 -2x => x^2 - 2x+7  0 => sem raízes reais Resolvendo a Eq.2: x^2 -2x+3  4 => x^2 -2x-1  0

Módulo e raiz quadrada Usando a definição de módulo, podemos escrever: o que é verdadeiro para todo x real.

Devemos proceder da mesma forma em relação a todas raízes de índice par:

Com relação às raízes de índice ímpar, podemos escrever:

Função modular Chamamos de função modular a função f(x)=|x| definida por:

Observe, então, que a função modular é uma função definida por duas sentenças.

Determinação do domínio

Vamos determinar o domínio de algumas funções utilizando inequações modulares:

Exemplo 1 : Determinar o domínio da função

Resolução:

Exemplo 2 : Determinar o domínio da função

Resolução :

Gráfico Vamos construir o gráfico da função f(x)=|x|:

x y=f(x) -1 1 -2 2 0 0 1 1 2 2

Gráfico da função f(x)=|x|:

"Porque aquele que pede recebe; e o que busca encontra; e, ao que bate se abre."

{ | 1 2 1 2 }

'' 1 2

AplicandoBhaskaraencontramosasraízes '^12

     



 

  

 

S x IR x

x

x

x^2 | x |

(^4) x (^4) | x |, (^6) x (^6) | x |, 2 n (^) x 2 n | x |, comxIRenIN*

(^3) x (^3) (^)  x , 5 x (^5)  x , 2 n  (^1) x 2 n  (^1)  x , comxIRenIN

  

  ,se 0

( ) ,se^0 x x

f x x x

( )^1

x

f x

Resposta: { | 3 ou 3 }

Então:| | 3 0 | | 3 3 ou 3

sóépossívelemIRse| | 3 0. | | 3

Sabemosque^1

    

      

  

D x IR x x

x x x x

x x

f ( x ) 2 | x  1 |

Resposta: { | 1 3 }

2 1 2 2 1 2 1 1 3

Então: 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 1 | 2 2 1 2

Sabemosque 2 | 1 |sóépossívelemIRse 2 | 1 | 0.

    

           

            

    

D x IR x

x x x

x x x x

x x