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CAPÍTULO VI – VARIÁVEIS COMPLEXAS
Neste capítulo, estudaremos as funções de variáveis de complexas, bem como limites, continuidade, derivação e integração destas funções, analisando as diferenças e as semelhanças com o cálculo de funções de uma variável real.
1. FUNÇÃO COMPLEXA:
Seja uma variável complexa, z = x+jy, onde x e y são números reais. Consideremos ainda a
variável complexa w = u+jv, onde u e v são números reais. Vamos supor que z está num plano, o
qual chamaremos de z-plano (domínio) e que w está em outro plano complexo chamado de w-plano (imagem). Vamos ainda supor que existe uma regra que associa cada ponto do z-plano (ou uma porção deste) com um ponto no w-plano. Desta forma dizemos que w é uma função de z , e podemos escrever este fato simbolicamente como:
w = f ( z). (1.1)
Se a cada z corresponde um único valor de w, então a função é dita unívoca ou univalente ou simplesmente função. Entre essas encontramos as funções racionais, exponenciais, trigonométricas e hiperbólicas. Uma função que não é unívoca é dita plurívoca ou multivalente. As inversas das funções exponenciais, trigonométricas e hiperbólicas, bem como as funções potência não inteira são funções multivalentes e não serão estudadas aqui. Para maiores informações vide referências. “A menos que se afirme em contrário iremos supor que todas as funções consideradas são unívocas”.
OBSERVAÇÃO : Devemos notar que o z-plano e o w-plano são geometricamente similares, sendo muitas vezes considerados o mesmo plano.
Uma função complexa sempre pode ser decomposta nas suas partes real u ( x,y)e imaginária
v ( x,y). Por exemplo, vamos decompor a função
f ( z) = z^2 +z+ 1 (1.2)
em sua parte real e imaginária, substituindo a definição z = x + j y em f(z), obtendo-se que:
w = f ( z) =( x+jy)^2 +x+jy+ 1 =(x 2 −y^2 +x+ 1 ) +j( 2 xy+y) (1.3)
e assim:
vx,y 2 xy y
u x,y x^2 y^2 x (^1) (1.4)
Se quiséssemos o contrário, isto é, dada a função
f ( z) = (x 2 −y^2 +x+ 1 ) +j( 2 xy+y) (1.5)
para encontrarmos a função escrita em termos de z e z , devemos usar as propriedades do conjugado de um número complexo, ou seja,
2 j e y z z 2 x = z+z = − (1.6)
Transformação:
Propriedades de uma função real f(x), de uma variável real x, são demonstradas geometricamente pelo gráfico da função. A equação y = f(x)estabelece uma correspondência entre os
pontos x no eixo real x e os pontos y no eixo real y. Ao conjunto dos pontos (x, y) formados desta correspondência chamamos de gráfico de f(x). Da mesma forma usamos uma superfície para exibir
graficamente uma função real z = f( x,y), que relaciona um ponto (x, y) do plano domínio com o
número real z do eixo real z, este é um gráfico em três dimensões.
Entretanto, quando consideramos w = f(z), com z e w variáveis complexas, o domínio desta
função é um plano e a imagem também. Assim seu gráfico teria quatro dimensões, tornando impraticável sua representação. Mesmo assim, algumas informações da função podem ser obtidas através da observação da relação entre os pontos do domínio e da imagem. Utilizamos para isto, dois
planos complexos distintos: o z-plano e o w-plano, onde para cada ponto z = ( x,y) no z-plano
corresponde a um ponto w = ( u,v) do w-plano. Escolhendo um conjunto de pontos no domínio da
função, podemos estudar a correspondência existente entre este conjunto e sua imagem. A esta relação damos o nome de transformação de um conjunto de pontos do z-plano em um outro conjunto de pontos no w-plano pela função. Este termo se aplica a conjuntos como uma curva, uma região, etc..
Para empregarmos certos termos geométricos, é conveniente, às vezes, considerar a aplicação como uma transformação num só plano. A função w = z+ 2 , por exemplo, pode ser encarada como uma translação de cada ponto z à posição w = z+ 2 , isto é, duas unidades à direita de z. A função
w = z leva cada ponto z na sua reflexão no eixo real.
Dizemos que uma função complexa f(z), definida em uma vizinhança de z 0 , possui limite L quando z
se aproxima de z 0 por qualquer direção do plano complexo, se para qualquer número real positivo ξ ,
podemos determinar um outro número real positivo δ tal que f (^ z)^ − L <ξ sempre que z − z 0 <δ.
Isto é, os valores de f(z) são tão próximos quanto desejarmos de L para todos os valores de z suficientemente próximos de z 0 (vide Figura 1.2). Escrevemos isto como:
lim f ( z) L
z z 0 → =.^ (1.9) Nota: Como a definição de limite é exatamente a mesma que a dada para o cálculo de uma variável real, podemos demonstrar, da mesma forma que para funções de uma variável real que:
- O limite quando existe é único. 2. C C z z
lim = → (^0)
- (^0) 0
z z z z
lim = →
4. [ ( ) ( )] ( ) g(z)
z z
fz lim z z
fz gz lim z z
lim 0 0 → 0
g( )z
z z
lim
fz z z
lim gz
fz z z
lim 0
0 (^0) →
6. ( ) ( ) ( ) g( z)
z z
fz lim z z
f zgz lim z z
lim 0 → 0 → 0
7. [ ( )] ( )
n z z
n z limz^0 f z lim 0 f z
→ → 8.^ [^ ( )]^ ( )^
n n f z z z
f z lim z z
lim
1
0
1 0
Figura 2.2 : Limite de f(z) quando z tende à z 0.
OBSERVAÇÃO : Como a distância entre dois pontos “ z” e “a” é dada por z − a, segue
geometricamente que:
z − a=ρ , (1.10)
representa uma circunferência de raio "ρ" com centro em " a". Conseqüentemente, a desigualdade:
δ z (^0) L z f(z)^ ξ
z − a <ρ , (1.11)
representa o conjunto de todos os pontos interiores desta circunferência e,
z − a ≤ρ , (1.12)
é a união dos pontos interiores com os pontos sobre a circunferência de centro " a"e raio "ρ".
Uma função f(z) é dita Contínua em z = z 0 se:
a) Existe L, tal que lim f( z) L
z z 0 → =.
b) A função f(z) está definida no ponto z 0 , isto é f ( z 0 )existe.
c) L f( z 0 ), ou seja, zlimz f(z) f( z 0 )
0
OBSERVAÇÃO : Uma função é dita Contínua num conjunto S, se f(z) é contínua em cada ponto z ∈S.
Nota: Da mesma forma que limites, a definição de continuidade é exatamente a mesma que a dada para o Cálculo de Uma Variável Real. Assim, podemos demonstrar, da mesma forma que para a funções de uma variável real, que se f e g são duas funções contínuas em z 0 , então:
- f + gé uma função contínua em z 0.
- f − gé uma função contínua em z 0.
- f .g é uma função contínua em z 0.
4. f /g é uma função contínua em z 0 , desde que g ( z 0 ) ≠ 0.
Derivação:
Uma função f(z) é dita Derivável em um ponto z se existe o limite:
D zf (z)= f′ ( )z =∆limz → 0 f(^ z+∆∆z z)^ −f( )z , (1.13)
e quando o limite (1.13) existe, ele é chamado de derivada de f(z) no ponto z.
Nota: Todas as regras familiares do cálculo diferencial real, tais como as regras de derivação de uma constante, das potências de z, somas, produtos e quocientes de funções deriváveis e a regra da cadeia para derivar funções de funções, continuam válidas no campo complexo. Assim sendo:
- Dz( C) = 0 ; 2. D (^) z (z n) = nzn−^1 ;
Analiticidade e Singularidade:
Se uma função f(z) possui derivada em um ponto z 0 z e se conseguimos uma vizinhança de z 0 de tal forma que a derivada de f(z) exista em todos os pontos interiores a esta vizinhança dizemos
que a função f(z) é regular ou analítica em z 0. Neste caso, z 0 é dito um ponto regular da f(z). Um
ponto z 0 é dito ponto singular, ou simplesmente uma singularidade de uma função f(z), se ele não é
um ponto regular desta função. Um ponto singular z 0 é dito singularidade isolada , se existe uma
vizinhança de z 0 onde todos os pontos desta vizinhança são regulares, exceto o próprio z 0.
Uma função f(z) pode ser derivável em um ponto, mas não ser analítica neste ponto, por
exemplo, f (z)= z^2. Em z = 0 , a função é derivável, pois:
( ) ( ) lim z 0
z lim z. z z lim z z lim f^0 z f^0 z 0 z 0
2 z 0 z 0 ∆ = ∆ =
∆ → ∆→ ∆→ ∆ →.^ (1.18)
Entretanto, checando em qualquer outro ponto distinto de zero, a derivada não existe, logo todos os pontos são singulares, inclusive a origem, apesar da função ser diferenciável em z = 0. Portanto, esta função não é analítica em ponto algum.
Tipos de singularidades :
não isolada
singularid adeessencial
polo
singularid aderemovível isolada (^).
Um ponto singular isolado z 0 de uma função f(z) é dito removível , se existe o limite:
lim f ( z)
z→z (^0)
Um ponto singular isolado z 0 de uma função f(z) é chamado de pólo de ordem n de f(z), se:
zlim z^ (^ z z^0 )^ nf(z) L
0
→ −^ = ,^ (1.20)
onde L é um número finito não nulo e n é o menor número inteiro positivo tal que (1.20) exista.
Uma singularidade isolada z 0 de f(z) é dita essencial se não existe n inteiro positivo tal que:
zlim → z^ (^ z−z^0 )^ nf(z)<∞
0
As Equações de Cauchy -Riemann:
As Equações de Cauchy-Riemann nos fornecem informações sobre a derivabilidade e a analiticidade de uma função complexa f(z) em um dado ponto z do plano complexo. Estas informações são apresentadas nos seguintes teoremas:
TEOREMA 1: Uma função f(z) é derivável num ponto z = (x, y) se, e somente se, satisfaz as equações de Cauchy-Riemann:
uy(x,y) xv(x,y )
xu(x,y) yv(x,y) (1.22)
neste ponto. E mais, a derivada de f(z) é dada por:
f ′(^ z)=ux (x,y)+jvx(x,y)=vy−ju y. (1.23) TEOREMA 2: Uma função f(z) é analítica em um ponto z se, e somente se, as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas em uma vizinhança de z.
Em outras palavras, acabamos de determinar um teste para a existência, ou não, da derivada de uma função, o qual considera apenas a parte real e a parte imaginária desta função.
A Derivada das Funções Exponencial, Trigonométricas e Hiperbólicas:
A função exponencial é analítica em C, pois:
( ) (^ )
vxy e sen y
e e cosy jseny uxy e cosy x
z x x (1.24)
e aplicando as condições de Cauchy-Riemann vê-se que u (^) x = vy e uy=−vx para qualquer
número z complexo. Assim, podemos calcular sua derivada:
dzd^ (e^ z^ )^ =^ ux+jvx=excosy+jexseny=ez (1.25) As derivadas das funções trigonométricas e hiperbólicas são calculadas usando-se propriedades da derivação e a derivada da exponencial, ou seja:
( ) coshz,
e e dz
de dz
de 2
dz
d senhz z z = z+ z =
− − (1.26)
e similarmente,
x = x(t )e y = y(t), com t ∈ [a, b],
onde x(t) e y(t) são funções contínuas da variável real t, no intervalo fechado [a,b]. Como z =x+jy,
podemos escrever,
z = z ( t) , com a≤t≤b.
Figura 2.1: (a) curva simples, (b),(c) curvas não-simples. O ponto z(a) é o ponto inicial da curva C, e o ponto z(b) é o ponto final de C. Se z(a) = z(b), C é dita uma curva fechada. Se não existem dois valores distintos de t em [a, b], denominados aqui t 1 et 2 ,com t 1 < t 2 , t 1 ≠ ae t 2 ≠ b, tais que z( t 1 )= z(t 2 ), diz-se que a curva C é simples ( Curva
de Jodan ). Uma curva é dita suave se z′^ ( t) existe, é contínua e não se anula para nenhum t no
intervalo ]a, b[. Uma curva é dita retificável se tem comprimento finito L, isto é, se existe a integral:
L (x y )^1 /^2 dt. b^2 a
2 = ∫ ′ + ′
Figura 2.2: Exemplos de curvas fechadas: (a) simples, (b) não simples. A figura 2.2 acima mostra o exemplo de duas curvas fechadas: (a) é uma curva simples fechada e, em (b), cada um dos "loops" pode ser visto como uma curva simples fechada, mas a curva completa não é uma curva simples fechada.
(a) (b) (c)
t = a
t = b
t = a
t = b
t = a
t = b
(a) (b)
Exemplos de Curvas:
Seja z( t) = x( t) +jy( t)onde,
y(t) t ,com^0 t^1
xt t ^2 ≤ ≤
, ou simplesmente, y = x^2 ,com 0 ≤x≤ 1.
y sen t
x cost, com 0 ≤ t≤ 2 π, ou simplesmente, x 2 + y (^2) = 1.
3) ( ( )^ )
yt t
x t (^1) , com − 1 ≤t≤ 1.
y(t) t^2
x (t) t^3 , com − 2 ≤t≤ 2 , ou simplesmente, y = x^2 /^3.
As curvas 1, 2 e 3 são suaves, a curva 4 não é suave, pois x ′( 0 )ey′( 0 ) anulam-se
simultaneamente (observe pela figura acima que a curva não possui derivada na origem).
Um caminho é uma cadeia contínua de curvas suaves. O comprimento de um caminho é a soma dos comprimentos das curvas suaves que o compõem. Como exemplos podemos citar o contorno de retângulos e triângulos.
Exemplos de Caminhos:
1) A semicircunferência inferior, ligando de -1 até 1, parametrizada por z( t) = cost+jsint, com
− π≤t ≤ 0.
2) A semicircunferência superior, ligando de 2 até 0, parametrizada por z ( t) = 1 +cost+jsint, com
0 ≤ t≤ π.
- O triângulo de vértices -2, 2 e j, percorrido no sentido anti- horário, parametrizado por
z ( t) = d 1 (t)+d 2 (t)−d 3 (t),onde:
∫− C f^ (^ z)^ dz=^ −∫Cf(z)dz.^ (2.7) O valor absoluto de uma integral pode ser estimado pela fórmula:
∫ C f(z)dz≤^ ML,^ (2.8)
onde M = maxf(z) sobre C, e L é o comprimento (1.1) da curva C.
Exemplos de Integrais:
- (^) ∫−^1 1 zdz, onde o caminho C que une -1 até 1 é a semicircunferência inferior de raio 1
centrada na origem. Portanto, a curva C é parametrizada por z( t) = cost+jsint,com−π≤t≤ 0 e,
assim, dz = z′(t)dt=[ −sint+jcost] dt. Logo,
∫C z^ dz=^ ∫−^0 π^ [^ cost−jsent][^ −sent+jcost]^ dt=∫−^0 πjdt=jt −^0 π =πj^.^ (2.9)
- Idêntico ao exemplo 1, onde C agora é um segmento horizontal unindo -1 até 1. Assim, C é
parametrizada por z ( t) = t,com− 1 ≤t≤ 1. Portanto,
z dz^11 tdt t 2 11 0
2 ∫C =^ ∫− = − =.^ (2.10)
Note que o valor da integral (^) ∫^1 − 1 zdz depende do caminho escolhido. Além disto, devemos observar
que f ( z) = z não é uma função analítica. Vamos então, fazer o mesmo para uma função analítica, por
exemplo, f (z)=z.
- (^) ∫−^11 z dz, onde o caminho C que une -1 até 1 é a semicircunferência inferior de raio 1
centrada na origem. Portanto, a curva C é parametrizada por z( t) = cost+jsint,com−π≤t≤ 0 e,
assim, dz = z′(t)dt=[ −sint+jcost] dt. Logo,
∫C z^ dz=^ ∫−^0 π^ [^ cost+jsent][^ −sent+jcost]^ dt=∫−^0 π(^ −sen^2 tdt+jcos^2 t)dt=^0.^ (2.11)
- Idêntico ao exemplo 3, onde C agora é um segmento horizontal unindo -1 até 1. Assim, C é
parametrizada por z ( t) = t,com− 1 ≤t≤ 1. Portanto,
z dz^11 tdt t 2 11 0
2 ∫C =^ ∫− = − =.^ (2.12)
Devemos observar agora que o valor da integral (^) ∫−^11 z dz é o mesmo, independente do caminho
escolhido. Resulta a seguinte pergunta, cuja resposta será dada na próxima seção: "Escolhendo-se outros caminhos entre -1 e 1, o valor desta integral continuará sendo o mesmo?"
Teorema Integral de Cauchy:
As integrais de funções analíticas possuem algumas propriedades muito importantes. Provavelmente a mais importante delas seja descrita pelo teorema integral de Cauchy.
Para apresentar este teorema precisamos do conceito de conjunto simplesmente conexo. Um conjunto D é dito conexo se quaisquer dois de seus pontos podem ser unidos por uma linha totalmente pertencente a D. Um conjunto D é dito simplesmente conexo se qualquer curva simples fechada contida em D, pode ser deformada, sempre totalmente contida em D, até se tornar um ponto.
Teorema Integral de Cauchy: Seja f(z) uma função analítica num domínio simplesmente conexo D. Se C é um caminho fechado simples de D, então
∫ C f^ (z)dz=^0.^ (2.13) Prova: Supondo que a derivada de f é contínua, temos
xv yu dxdy j xu yv dxdy^0 ,
f(z)dz udx vdy j udy vdx
R R
C C C ^ =
∫∫ ∫∫
∫ ∫ ∫ (2.14)
onde, na segunda igualdade de (2.14) foi aplicado o teorema de Green no plano e, na terceira igualdade as equações de Cauchy-Riemann.
Observação 1: O teorema de Green para o plano afirma que:
∫∫R (^) xg yfdxdy=∫ C^ (^ fdx+gdy),
onde R é uma região limitada e fechada no plano, cujo contorno é um caminho C e f( x,y) eg( x,y)
são funções contínuas e possuem derivadas parciais f (^) y (x,y)egx(x,y) contínuas em um domínio D
que contém R. Uma região fechada é um conjunto conexo que possui todos os seus pontos de fronteira.
- (^) ∫jπ^ /^2 cos zdz=senzπj /^2 =senπ 2 −senj= 1 −jsenh( 1 ).
A Fórmula Integral de Cauchy:
A conseqüência mais importante do teorema de Cauchy é a fórmula integral de Cauchy. Esta fórmula é dada pelo teorema abaixo.
Teorema: Seja f(z) uma função analítica no interior e sobre um caminho fechado C. Se z 0 é
um ponto qualquer no interior de C, então:
0 =^ π ∫C (^) z−z 0 dz f z 2 j f (z )^1 , (2.17)
onde a integração é efetuada no sentido positivo ao longo de C.
A fórmula integral de Cauchy, mostra que o valor de uma função analítica numa região é determinado em toda a região por seus valores na fronteira. A demonstração deste teorema é omitida. Devemos observar também que a fórmula integral de Cauchy nos permite calcular uma integral de linha desde que a função a ser integrada tenha uma única singularidade no interior do caminho C.
Exemplo: Encontre o valor das integrais abaixo, calculadas no sentido anti- horário:
I) dz (z z 1 )(z^11 )dz z 1
I z^1 C
2 C 2
2 ∫ ∫ − +
= + , onde:
a) C é uma circunferência de raio 1 e centro 1. Neste caso, f(z) zz 11
2
= + e z 1 0 =^. Assim,
I = (^) ∫C (^) zf(−z 1 )= 2 πjf( 1 )= 2 π j. (2.18)
b) C é uma circunferência de raio 1 e centro -1. Neste caso, f(z) zz 11
2 − = + e z 1 0 =^ −. Assim,
I = (^) ∫C (^) zf(+z 1 )= 2 πjf(− 1 )=− 2 π j. (2.19)
c) C é uma circunferência de raio 1 e centro j. Neste caso, I = 0, pois a função a ser integrada não possui singularidades no interior do caminho C (vide teorema de Cauchy).
d) C é uma circunferência de raio 2 e centro 0. Neste caso, a função a ser integrada tem duas singularidades no interior do caminho C, não satisfazendo as exigências da fórmula integral de Cauchy. No entanto, podemos observar que:
dz 2 j zz 11 zz 11 0 z 1
dz z^1 z 1
I z^1 z 1
2 z 1
2 C 2
2 C 2
2 1 2 ^ =
= π + −
=− =
∫ ∫ ,^ (2.20)
onde C 1 é a parte de C ligando j até -j unida com o segmento de reta ligando -j até j e C 2 é a parte de C ligando -j até j unida com o segmento de reta ligando j até -j, ambos os caminhos orientados no sentido
anti-horário. Assim, no interior de C 1 , f(z) zz 11
2 − = + e z 0 = − 1 , enquanto que no interior de C 2 ,
z 1 f(z) z^21
= + e z 0 = 1. Isto nos dá a idéia de que quando uma função tem mais de uma singularidade
no interior do caminho, a integral é calculada usando a fórmula integral de Cauchy para cada singularidade por vez e, então, somando-se os resultados obtidos. Vejamos o próximo exemplo:
II) Sendo C é a circunferência z = 3 , calcule a integral ∫C (^) ( 2 − )( + )
2 z 4 z j
z dz.
Como as singularidades da função a ser integrada são 2, -2 e -j e estão todas no interior do caminho C, como foi feito no exemplo 1d acima, a integral assume o valor:
( ) (z 2 )(z 2 )^2 j
z (z 2 )(z j)
z (z 2 )(z j) 2 j z (z 2 )(z 2 )z j
z dz z j
2 z 2
2 z 2
2 C
2 =^ π
∫ (^) − + + = π + + = + − + =− + − + =−. (2.21)
Deve-se observar que a fórmula integral de Cauchy não poderá ser aplicada se a função a ser integrada tiver singularidades múltiplas, pois não poderemos separa- las como no exemplo I-d. Neste caso, usaremos a fórmula que será apresentada na próxima seção.
Derivadas de uma Função Analítica:
Uma fórmula para a derivada de f(z) pode ser obtida derivando o lado direito da fórmula integral de Cauchy (2.17). Nesta fórmula, a integral é uma função do parâmetro z 0 e pode ser
diferenciada em relação à z 0. Similarmente às propriedades das integrais reais, supondo que o
contorno C seja uma cur va simples fechada orientada no sentido anti- horário, segue-se a regra de Leibnitz, ou seja,
∫ (^) C (^ )^ =∫C ∂ (∂^ ) 0 0 0 0 dzd^ fz,z dz fzz,z^ dz.^ (2.22)
Aplicando-se a regra de Leibnitz ao teorema integral de Cauchy, obtemos uma expressão para a derivada da f(z),
Finalizando, é importante observar que a fórmula integral de Cauchy é um caso particular da fórmula (2.25), a qual pode ser chamada de fórmula integral generalizada de Cauchy. Em uma integral de linha, esta fórmula é aplicada a cada uma das singularidades da função a ser integrada que estejam no interior do caminho C. Já as singularidades da função que estiverem no exterior do caminho C não são vistas pela integral como uma singula ridade, ou seja, a fórmula integral generalizada de Cauchy não se aplica a ela, mas ela continua fazendo parte da função.
