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Este documento aborda os conceitos de relações de ordem, suas propriedades e classificações, como relações de ordem parcial, quasi-ordem e ordem total. Além disso, são apresentadas definições de cota superior e inferior, bem como elementos máximos e mínimos em um conjunto parcialmente ordenado.
O que você vai aprender
Tipologia: Notas de aula
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Não perca as partes importantes!
Apresentar o conceito de relações de ordem e suas propriedades.
Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Determinar se uma dada relação é uma relação de ordem. Determinar os elementos ninimais, mínimo, maximais e máximo de um dado conjunto.
Aula-11 os conhecimentos de relações binárias.
Relações de Ordem
O conceito de relação de ordem é bastante intuitivo. Podemos ver diariamente muitos exemplos de relações de ordem, como por exemplo: uma fila em uma sorveteria, a ordem de prioridades de execução das nossas tarefas diárias, a ordenação léxica de nomes em uma lista de presença, a ordenação numérica de itens a se- rem comprados ordenados pelos respectivos preços e outros. Nessa aula, faremos uma formalização das idéias por trás do conceito de ordem.
Começaremos nossa aula conceituando (definindo) relação de ordem:
Definição 12.1. Sejam A um conjunto e R ⊂ A × A uma relação de A em A. Dizemos que R é uma relação de ordem se, somente se:
PO1 ∀x ∈ A, (x, x) ∈ R
PO2 ∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R → x = y
PO3 ∀x, y, z ∈ A, (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R → (x, z) ∈ R.
OBS 12.1. Em outras palavras, dizemos que uma relação R sobre um conjunto A é uma relação de ordem se R for: reflexiva, anti- simétrica e transitiva. A relação de ordem como acima definida é conhecida também como “relação de ordem parcial”.
Exemplo 12.1. Vejamos alguns exemplos de relações de ordem parciais.
Relações de Ordem
OBS 12.3. Em outras palavras, dizemos que uma relação R sobre um conjunto A é uma relação de quasi-ordem se R for: reflexiva e transitiva.
Exemplo 12.2. Vejamos alguns exemplos de relações de quasi- ordem.
Podemos definir também, o conceito de ordem total. A saber:
Definição 12.5. Sejam A um conjunto e R ⊂ A × A uma relação de A em A. Dizemos que R é uma relação de ordem total, somente se:
TO1 ∀x ∈ A, (x, x) ∈ R
TO2 ∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R → x = y
TO3 ∀x, y, z ∈ A, (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R → (x, z) ∈ R.
TO4 ∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R ∨ (y, x) ∈ R
OBS 12.4. Em outras palavras, dizemos que uma relação R sobre um conjunto A é uma relação de ordem total se R for: reflexiva, anti-simétrica, transitiva e total.
Exemplo 12.3. Vejamos alguns exemplos de relações de ordem total.
Fundamentos da Matemática: Livro 2
OBS 12.5. Uma relação de ordem total é também uma relação de ordem parcial. Um conjunto A com uma relação R ∈ A × A de ordem parcial é denominado “conjunto parcialmente ordenado”, e o par (A, R) é dito um “POSET”. Costuma-se, em uma relação de ordem, denotar o fato de (x, y) ∈ R por x y que se lê: x precede y na relação R.
Exemplo 12.4. Mais alguns exemplos de relações de ordem.
Fundamentos da Matemática: Livro 2
De modo semelhante podemos definir um elemento maximal em um conjunto parcialmente ordenado. A saber:
Definição 12.9. Seja (A, ) um conjunto parcialmente ordenado. Dizemos que um elemento a ∈ A é um elemento maximal, se, somente se: ∀x ∈ A, a x → x = a
Adicionalmente definiremos elemento mínimo e elemento máximo de um conjunto parcialmente ordenado. A saber:
Definição 12.10. Seja (A, ) um conjunto parcialmente orde- nado. Dizemos que um elemento a ∈ A é o elemento mínimo de A, se, somente se: ∀x ∈ A, a x
Definição 12.11. Seja (A, ) um conjunto parcialmente orde- nado. Dizemos que um elemento a ∈ A é o elemento máximo deA, se, somente se: ∀x ∈ A, x a
Veremos agora algumas demonstrações envolvendo relações de ordem e suas propriedades.
Teorema 12.1. Seja (A, ) um conjunto parcialmente ordenado então ∀x, y, z ∈ A, x y ∧ y ≺ z → x ≺ z
PROVA ∀x, y, z ∈ A, x y ∧ y ≺ z. Da definição de y ≺ z ↔ y z ∧ ¬(y = z) temos: x y ∧ (y z ∧ ¬(y = z)). Como (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) temos: (x y ∧ y z) ∧ ¬(y = z). De PO3 x y ∧ y z → x z temos:
Relações de Ordem
(x z) ∧ ¬(y = z). Como p p ∨ q temos: (x z) ∧ (¬(x = y) ∨ ¬(y = z)). Usando De Morgan temos: (x z) ∧ (¬((x = y) ∧ (y = z))). Da propriedade transitiva da igualdade (x = y) ∧ (y = z) → x = z temos: (x z) ∧ ¬(x = z). Da definição da relação “precede estritamente”, (x z) ∧ ¬(x = z) ↔ x ≺ z temos: x ≺ z. Portanto: ∀x, y, z ∈ A, x y ∧ y ≺ z → x ≺ z. Em seguida mostraremos que:
Teorema 12.2. Sejam A um conjuntos e R ⊂ A × A uma relação de ordem parcial em A, então R−^1 é uma relação de ordem parcial em A.
PROVA É suficiente mostrar que R−^1 satisfaz as propriedades PO1, PO2 e PO3. a) Primeiramente mostraremos que R−^1 satisfaz PO1. Como R é uma relação de ordem parcial em A R satisfaz PO1 e temos: ∀x ∈ (x, x) ∈ R. Da definição de relação inversa (x, x) ∈ R → (x, x) ∈ R−^1 e temos: ∀x ∈ A, (x, x) ∈ R−^1. b) Em segundo lugar mostraremos que R−^1 satisfaz PO2. ∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R−^1 ∧ (y, x) ∈ R−^1.
Relações de Ordem
As relações de ordem são constantes tanto na vida real, na natureza quanto na Matemática. E a classificação das relações de ordem em diversos tipos como ordem parcial, quasi-ordem e ordem total, também tem seus pares na vida real.
Nosso resumo hoje consta das seguintes definições: Definição de relação de ordem parcial: Definição: Sejam A um conjunto e R ⊂ A × A uma relação de A em A. Dizemos que R é uma relação de ordem, se, somente se:
PO1 ∀x ∈ A, (x, x) ∈ R
PO2 ∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R → x = y
PO3 ∀x, y, z ∈ A, (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R → (x, z) ∈ R
Definição de relação de quasi-ordem: Definição: Sejam A um conjunto e R ⊂ A × A uma relação de A em A. Dizemos que R é uma relação de quasi-ordem, se, somente se:
QO1 ∀x ∈ A, (x, x) ∈ R
QO2 ∀x, y, z ∈ A, (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R → (x, z) ∈ R
Definição de relação de ordem total: Definição: Sejam A um conjunto e R ⊂ A × A uma relação de A em A. Dizemos que R é uma relação de ordem total, se, somente se:
Fundamentos da Matemática: Livro 2
TO1 ∀x ∈ A, (x, x) ∈ R
TO2 ∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R → x = y
TO3 ∀x, y, z ∈ A, (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R → (x, z) ∈ R.
TO4 ∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R ∨ (y, x) ∈ R
Definição de cota superior de um subconjunto de um conjunto parcialmente ordenado: Definição: Sejam (A, ) um conjunto parcialmente ordenado e X ⊂ A. Dizemos que um elemento x¯ ∈ A é uma cota superior de X, se, somente se: ∀x ∈ X, x ¯x Definição de cota inferior de um subconjunto de um conjunto par- cialmente ordenado: Definição: Sejam (A, ) um conjunto parcialmente ordenado e X ⊂ A. Dizemos que um elemento x¯ ∈ A é uma cota inferior de X, se, somente se: ∀x ∈ X, x¯ x Definição elemento minimal de um subconjunto de um conjunto parcialmente ordenado: Definição: Seja (A, ) um conjunto parcialmente ordenado. Di- zemos que um elemento a ∈ A é um elemento minimal, se, somente se: ∀x ∈ A, x a → x = a Definição de elemento maximal de um subconjunto de um conjunto parcialmente ordenado: Definição: Seja (A, ) um conjunto parcialmente ordenado. Di- zemos que um elemento a ∈ A é um elemento maximal, se, somente se: ∀x ∈ A, a x → x = a Definição de elemento mínimo: Definição: Seja (A, ) um conjunto parcialmente ordenado. Di- zemos que um elemento a ∈ A é o elemento mínimo de A, se,
Fundamentos da Matemática: Livro 2
Paulo: GEEM, 1970.
