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PME 2332 - LABORATÓRIO E APLICAÇÕES DE MECÂNICA DOS FLUIDOS
Gabarito Segunda Prova - 2014
- (4 pontos) Em um canal de água de laboratório, um escoamento de água bi-dimensional
se desloca de esquerda a direita, como mostrado na figura. Nas seções a montante ( 1 ) e a
jusante ( 2 ), as velocidades são horizontais e uniformes ao longo da vertical. Se observa que,
quando o fluido escoa sobre o degrau h a jusante, a superfície superior diminui uma
distância d abaixo do nível a montante (ver figura). A profundidade da água a montante é
b , e são desprezados quaisquer efeitos viscosos. Nestas condições e supondo conhecidos
h , d , b , a massa específica ρ e a aceleração gravitacional g , determinar:
a) As pressões manométricas na superfície do fundo p (^) Am e p (^) Bm , respectivamente nas
posições a montante ( A ) e a jusante ( B ).
b) As velocidades a montante 1 V e a jusante 2
V.
Dica: notar que a variação de pressão nas seções 1 e 2 é hidrostática ao longo da vertical,
pois a velocidade é horizontal.
Conservação da massa: d ( ) dA t A
∫ ∫
= V n
υ
ou d ( ) dA dt
d
A
= (^) ∫ +∫ V r n
0 ρ υ ρ. υ
Bernoulli: p + ρ V +ρ gz = cte
2
2
(Adaptado de Introduction to Fluid Mechanics , James E. Fay, MIT Press, 1998)
Solução:
a) Das distribuições hidrostáticas nas seções 1 e 2 , resultam:
p (^) a +ρ gb = pA ⇒ pAm = pA − pa = ρ g b
p (^) a +ρ g ( b − d ) = pB +ρ gh ⇒ pBm = pB − pa =ρ g ( b − d − h )
b) Da equação de Bernoulli para a linha de corrente da superfície:
água
ar
( ) gd V
V
p a ρ V ρ gb pa ρ V ρ gb d ρ V = ρ
2
1
2 2 1
2 2
2 1
Da equação de continuidade: ( ) b d h
b
V
V
V b V b d h − −
1
2 1 2
Substituindo na relação anterior, resultam: 1 / 2
(^22)
1 / 2
(^1 ) 1
g d V
gd V , onde b d h
b
β=
- (2 pontos) Uma viga simplesmente apoiada de diâmetro D , comprimento L e módulo
de elasticidade E (de dimensão de pressão) é submetida a um escoamento transversal de
fluido de velocidade V , massa específica ρ e viscosidade μ. A deflexão central δ é
considerada uma função de todas essas variáveis.
a) Reescreva essa função proposta na forma adimensional.
b) Admita que se saiba que δ é independente de μ , inversamente proporcional a E e
dependente de
2 ρ V , não de ρ e V separadamente. Simplifique a função adimensional
adequadamente.
(De Mecânica dos Fluidos , Frank M. White, McGraw-Hill, 2007)
Solução:
a) Temos n = 7 variáveis e j = 3 dimensões envolvidas, de maneira que tentamos 4
variáveis adimensionais. Como E tem dimensões de pressão, os adimensionais
resultam 2 V
E
ρ V D
L
D
e L
δ
. A função adimensional resulta:
L
VD D
V
E
L L
2
b) Se δ é independente de μ , o número de Reynolds some; além disto, se δ é
inversamente proporcional a (^) E e aparece o produto
2 ρ V , resulta:
−
L
D
f E
V
L L
D
f V
E
L
2 1
2
2. (4 pontos) Um pesquisador está interessado em como os peixes se impulsionam através
da água por meio das oscilações da cauda. O pesquisador considera uma classe de peixes
geometricamente semelhantes e observa que o empuxo F gerado pelo peixe depende do
comprimento L , a massa específica do fluido ρ , a velocidade V com que se desloca na
água e da frequência Ω com que oscila a cauda. Em um conjunto de experimentos, o
pesquisador mede o empuxo Fm desenvolvido por um pequeno marlim (peixe agulha) de
comprimento L (^) m = 0 , 1 m que se desloca com uma velocidade V (^) m = 0 , 1 m / s observando sua
aceleração quando o peixe incrementa a frequência de oscilação da cauda Ω (^) m , encontrando
a seguinte correlação:
Fp 5 N 0 , 216 N 2
2
2 2 5 1
3 1 3 1 =
×
×
× + × × ×
×
= × × ×
− − − −
− − − −
d) A diferença de pressão, potência e torque são adimensionalizados como 2 V
p
ρ
3 2 V L
W
ρ
e 2 3 V L
T
ρ
, de maneira que 4
2 2 =
k ∆ p = k ρ kv = × ,
3 2 3 2 =
×
kW = k ρ kvkL = × e 32
2 3 2 3 =
×
kT = k ρ kvkL = ×.
