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Derivadas parciais (^) M ODULO 1´ – AULA 5
Aula 5 – Derivadas parciais
Objetivos
- Aprender a calcular as derivadas parciais de fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis.
- Conhecer a interpreta¸c˜ao geom´etrica desse conceito.
Introdu¸c˜ao
Ao longo das quatro ´ultimas aulas vocˆe aprendeu os conceitos b´asicos da teoria das fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis, incluindo o conceito de continuidade.
Nesta aula, iniciaremos uma nova etapa, o estudo das no¸c˜oes de di- ferenciabilidade das fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis. Na verdade, esse assunto ocupar´a todas as nossas aulas, de agora em diante.
As derivadas parciais desempenham um papel relevante nesse contexto, especialmente do ponto de vista pr´atico; por´em, como veremos um pouco mais adiante, n˜ao completamente decisivo. Mas estamos antecipando demais nossa hist´oria. Tudo a seu tempo.
Seguindo a pr´atica j´a rotineira, estabeleceremos os conceitos para os casos das fun¸c˜oes de duas e de trˆes vari´aveis, observando que eles podem ser estendidos para fun¸c˜oes com mais vari´aveis.
Antes de atacarmos o nosso tema principal, no entanto, precisamos de um novo conceito sobre conjuntos.
Conjuntos abertos
Essa no¸c˜ao caracterizar´a os dom´ınios das fun¸c˜oes que estudaremos de agora em diante.
Intuitivamente, podemos dizer que um subconjunto do plano lR 2 ou do espa¸co lR 3 ´e aberto se for um conjunto sem fronteiras ou bordos. Exemplos t´ıpicos s˜ao
D = { (x, y) ∈ lR 2 ; (x − a)^2 + (y − b)^2 < r },
o disco de centro em (a, b) e raio r, aberto em lR 2 ,
B = { (x, y, z) ∈ lR 3 ; (x − a)^2 + (y − b)^2 + (z − c) < r },
Derivadas parciais
a bola de centro em (a, b, c) e raio r > 0, aberta em lR 3.
Um detalhe importante: a no¸c˜ao conjunto aberto ´e uma no¸c˜ao relativa. Isto ´e, depende do ambiente. Veja, a sintaxe ´e: A ´e aberto em lR 2. Para tornarmos este conceito mais preciso, introduziremos a no¸c˜ao de
ponto interior ponto interior. Dizemos que um ponto (a, b)^ ∈^ A^ ⊂^ lR^2 ´e um ponto interior do conjunto A se existe um disco aberto D de centro em (a, b) e raio r > 0 contido em A. Em s´ımbolos matem´aticos, (a, b) ∈ D ⊂ A ⊂ lR 2. Analogamente, um ponto (a, b, c) ∈ A ⊂ lR 3 ´e um ponto interior de A se existe uma bola aberta B de centro em (a, b, c) e raio r > 0 contida em A. Intuitivamfente, um ponto (a, b) ´e um ponto interior de A se todos os pontos de lR 2 que o cercam tamb´em s˜ao pontos de A. Exemplo 5. Seja H = { (x, y) ∈ lR 2 ; y ≥ 1 }. O ponto (1, 2) ´e um ponto interior de H, pois o disco aberto de centro em (1, 2) e raio 1/2, por exemplo, est´a contido em H. J´a o ponto (2, 1) ∈ H n˜ao ´e ponto interior de H, pois qualquer disco que tomarmos, com centro em (2, 1), conter´a pontos do tipo (2, b), com b < 1 e, portanto, pontos que n˜ao pertencem a H. Em outras palavras, (2, 1) pertence a H mas n˜ao est´a envolvido por pontos de H. Veja a ilustra¸c˜ao a seguir.
H
Derivadas parciais
A uni˜ao qualquer de conjuntos abertos ´e um conjunto aberto, mas, surpreendentemente, a interse¸c˜ao infinita de conjuntos abertos pode n˜ao ser um conjunto aberto. Terminamos agora essa conversa, que est´a um pouco longa, e vamos ao nosso tema principal.
Derivadas parciais
Seja f : A ⊂ lR 2 → lR uma fun¸c˜ao tal que A ´e um subconjunto aberto de lR 2 , e seja (a, b) ∈ A. Ent˜ao, existe um certo n´umero r > 0, tal que, se x ∈ (a − r, a + r), ent˜ao f (x, b) est´a bem definida. Assim, z = f (x, b), com x ∈ (a−r, a+r), ´e uma fun¸c˜ao de uma vari´avel e podemos, portanto, considerar a existˆencia da derivada de tal fun¸c˜ao em x = a. Isto ´e, considere
xlim→a^ f^ (x, b x)^ −−^ fa^ (a, b) =^ hlim→ 0 f^ (a^ +^ h, b h)^ −^ f^ (a, b). Se esse limite for um n´umero real, ele ser´a chamado derivada parcial de
O s´ımbolo ∂ ´e chamado derronde, que ´e uma corruptela do francˆes de rond que quer dizer dˆe redondo. Isso se deveu ao fato de os franceses, na ´epoca da Revolu¸c˜ao Francesa, adotarem essa forma especial de escrever a letra d. Esse s´ımbolo ´e particularmente ´util para diferenciar a derivada parcial de uma fun¸c˜ao de v´arias vari´aveis, em rela¸c˜ao a alguma delas
“ (^) ∂f ∂x
” , da derivada de uma fun¸c˜ao de uma vari´avel
“ (^) df dx
” .
f em rela¸c˜ao a x, no ponto (a, b). Nesse caso, usamos as seguintes nota¸c˜oes para represent´a-lo: ∂f ∂x (a, b)^ =^
∂z ∂x (a, b)^ =^ fx(a, b). Analogamente, podemos considerar a derivada parcial de f em rela¸c˜ao a y no ponto (a, b). Nesse caso, tomamos
ylim→b^ f^ (a, y y) −−^ fb (a, b) =^ lim h→ 0 f^ (a, b^ +^ h h)^ −^ f^ (a, b), e, caso o limite seja um n´umero, denotamos por ∂f ∂y (a, b)^ =^
∂z ∂y (a, b)^ =^ fy^ (a, b). Exemplo 5. Vamos calcular a derivada parcial da fun¸c˜ao f (x, y) = sen xy, em rela¸c˜ao a x, no ponto (a, b). ∂f ∂x (a, b)^ =^ lim h→ 0
f (a + h, b) − f (a, b) h = = lim h→ 0 sen (a^ +^ h) hb^ −^ sen ab =
= lim h→ 0 sen^ ab^ cos^ hb^ + cos h^ ab sen^ hb^ −^ sen^ ab =
= lim h→ 0 sen^ ah^ (cos^ hb^ −^ 1) + sen h hb^ cos^ ab.
Derivadas parciais (^) M ODULO 1´ – AULA 5
Observe que lim h→ 0 cos^ hb^ −^1 h
= 0 e (^) hlim→ 0 sen^ hb h
= b. Assim,
∂f ∂x (a, b)^ =^ hlim→ 0
[sen ah (cos hb − 1) h +^
sen hb h cos^ ab
]
= b cos ab.
Na verdade, podemos concluir que, se f (x, y) = sen xy, ent˜ao, subs- titutindo o termo gen´erico a por x e b por y, temos
∂f ∂x
(x, y) = y cos xy.
As fun¸c˜oes
∂f
∂x
∂f
∂y
Seja z = f (x, y) uma fun¸c˜ao definida num subconjunto aberto A de lR 2. Suponha que f admita derivadas parciais, em rela¸c˜ao a x e a y, em todos os
pontos (x, y) ∈ A. Nesse caso, obtemos duas fun¸c˜oes, denotadas por ∂f ∂x e ∂f ∂y , definidas em^ A. As nota¸c˜oes^
∂z ∂x e^
∂z ∂y tamb´em s˜ao muito usadas para representar essas fun¸c˜oes.
De maneira an´aloga, se w = g(x, y, z), usamos ∂w ∂x , ∂w ∂y e ∂w ∂z para
denotar as respectivas fun¸c˜oes obtidas pela deriva¸c˜ao parcial, no caso das fun¸c˜oes de trˆes vari´aveis.
Exemplo 5.
Seja f (x, y, z) = xy^2 + z sen xyz.
Esta fun¸c˜ao est´a definida no espa¸co lR 3. Vamos calcular ∂f ∂x , ∂f ∂y e ∂f ∂z.
Isto ´e, queremos calcular as derivadas parciais de f. Podemos fazer isso di- retamente, usando as regras de deriva¸c˜ao aprendidas no C´alculo I. Basta que derivemos em rela¸c˜ao `a vari´avel indicada, considerando as outras vari´aveis como constantes. ∂f ∂x (x, y, z)^ =^ y
(^2) + yz (^2) cos xyz.
Veja que usamos a Regra da Cadeia na segunda parcela.
∂f ∂y (x, y, z)^ =^2 xy^ +^ xz
(^2) cos xyz.
Derivadas parciais (^) M ODULO 1´ – AULA 5
Esse exemplo nos reserva uma surpresa. Vamos calcular ∂f ∂x
∂f ∂x (0,^ 0)^ =^ hlim→ 0
f (h, 0) − f (0, 0) h =
= (^) hlim→ 0
h^3 h^2
h = lim h→ 0 1 =^1.
No entanto,
∂f ∂y (0,^ 0)^ =^ hlim→ 0
f (0, h) − f (0, 0) h =
= (^) hlim→ 0
3 h^2 h^2 −^0 h = lim h→ 0
h.
Como a fun¸c˜ao g(x) =^2 x, definida em lR − { 0 }, n˜ao admite limite quando x → 0, dizemos que a fun¸c˜ao f n˜ao admite derivada parcial em rela¸c˜ao a y no ponto (0, 0).
Interpreta¸c˜ao geom´etrica da derivada parcial
Vamos usar o fato de que a derivada g′(a), de uma fun¸c˜ao y = g(x), no ponto a, pode ser interpretada geometricamente como o coeficiente angular da reta tangente ao gr´afico de g no ponto (a, b), para uma interpreta¸c˜ao geom´etrica para as derivadas parciais.
Seja z = f (x, y) uma fun¸c˜ao que admite derivadas parciais, em rela¸c˜ao a x e em rela¸c˜ao a y, num dado ponto (a, b) de seu dom´ınio. Ao fixarmos uma das vari´aveis, digamos y = b, estamos considerando a restri¸c˜ao da fun¸c˜ao f sobre a reta y = b. Geometricamente, estamos considerando a interse¸c˜ao do gr´afico de f com o plano y = b. Essa interse¸c˜ao ´e uma curva do plano e pode ser vista como o gr´afico da fun¸c˜ao z = f (x, b).
Derivadas parciais
Na figura da esquerda, vemos o gr´afico de f com o plano y = b e, na figura da direita, vemos o plano y = b com curva obtida da sua interse¸c˜ao com o gr´afico de f.
A derivada parcial de f , em rela¸c˜ao a x, no ponto (a, b), pode ser interpretada como o coeficiente angular da reta tangente `a curva de interse¸c˜ao do plano com o gr´afico de f , no ponto (a, b, f (a, b)). Veja, a seguir, mais uma ilustra¸c˜ao.
x y
z z
x
Chegamos ao fim da aula. Aqui est´a uma s´erie de exerc´ıcios para vocˆe colocar em pr´atica os conceitos e t´ecnicas que aprendeu.
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1
Calcule ∂f ∂x (x, y) e ∂f ∂y (1, −1), onde f (x, y) = 3 x sen (x + y).
Solu¸c˜ao:
∂f ∂x
(x, y) = 3 sen (x + y) + 3x cos(x + y). ∂f ∂y (x, y) = 3x^ cos(x^ +^ y)^ =⇒^
∂f ∂y (1,^ −1)^ = 3.
Exerc´ıcio 2
Em cada um dos seguintes exerc´ıcios, calcule a derivada parcial indi- cada.
a) f (x, y) = 2 xy + y^2 ; ∂f ∂x (x, y), ∂f ∂y (x, y).
b) f (x, y, z) = 2xy(1 − 3 xz)^2 ; ∂f ∂x , ∂f ∂y , ∂f ∂z.
c) z = x ln
( (^) x y
; ∂z ∂x
, ∂z ∂y
Derivadas parciais
As derivadas parciais s˜ao usadas para expressar um par de equa¸c˜oes muito importantes, na teoria das fun¸c˜oes de vari´avel complexa, chamadas Equa¸c˜oes de Cauchy-Riemann.
Um par de fun¸c˜oes u(x, y) e v(x, y) que satisfazem as equa¸c˜oes ∂u ∂x =^
∂v ∂y e^
∂u ∂y =^ −^
∂v ∂x
s˜ao, respectivamente, a parte real e a parte complexa de uma fun¸c˜ao dife- renci´avel (num sentido complexo) de uma vari´avel complexa.
Exerc´ıcio 6
Mostre que cada par de fun¸c˜oes de duas vari´aveis a seguir satisfaz as Equa¸c˜oes de Cauchy-Riemann.
a) u(x, y) = x^2 − y^2 ; v(x, y) = 2 xy.
b) u(x, y) = ex^ cos y; v(x, y) = ex^ sen y.
c) u(x, y) = x^3 + x^2 − 3 xy^2 − y^2 ; v(x, y) = 3 x^2 y + 2xy − y^3.
d) u(x, y) = x x^2 + y^2
; v(x, y) = −y x^2 + y^2
e) u(x, y) = 12 ln (x^2 + y^2 ); v(x, y) = arctg y x.
