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CAPÍTULO 9 - Regressão linear e
correlação
Veremos nesse capítulo os seguintes assuntos nessa ordem:
- Correlação amostral
- Regressão Linear Simples
- Regressão Linear Múltipla
Correlação Amostral
Serve para estudar o comportamento conjunto de duas variáveis quantitativas distintas. Ou, em outras palavras, mede o grau de associação entre duas variáveis aleatórias X e Y.
OBS.: não há, nesse caso, preocupação em apresentar alguma forma funcional entre as variáveis, se houver.
Exemplos: (apresentados em aula)
Para o estudo do comportamento conjunto de duas variáveis poderiam ser usados:
a) O Diagrama de dispersão
Representação gráfica do conjunto de dados. Nada mais é do que a representação dos pares de valores num sistema cartesiano. Veja exemplo a seguir.
Em síntese três situações marcantes poderiam acontecer:
- Se, quando uma das variáveis “cresce”, a outra, em média, também “cresce”, dizemos que entre as duas variáveis existe correlação positiva, tanto mais forte quanto mais perto de uma reta imaginária os pontos estiverem;
- Se, quando uma das variáveis “cresce”, a outra, em média, também “decresce”, dizemos que entre as duas variáveis existe correlação negativa, tanto mais forte quanto mais perto de uma reta imaginária os pontos estiverem;
- Se os pontos estiverem dispersos, sem definição de direção, dizemos que a correlação é muito baixa, ou mesmo nula. As variáveis nesse caso são ditas não correlacionadas.
b) O coeficiente de correlação
É um valor numérico, uma medida, para o grau de associação entre duas variáveis.
Se for observada uma associação entre as variáveis quantitativas (a partir de um diagrama de dispersão, por exemplo), é muito útil quantificar essa associabilidade.
Existem muitos tipos de associação possíveis, e aqui iremos apresentar o tipo de relação mais simples, que é o linear. Iremos julgar o quanto a nuvem de pontos do diagrama de dispersão se aproxima de uma reta.
Sejam duas amostras relativas às variáveis X e Y, dadas a seguir: X (^) i X 1 X 2!^ X (^) n Yi Y 1 Y 2!^ Yn
O coeficiente de correlação entre os valores de X e Y é dado por:
( ) ( ) ( )
, - 1 r 1 . 1
= ≤ XY ≤
X Y
XY X Y
XY
XY SQD SQD
SPD
n
SQD
n
SQD
n
SPD
V X VY
COV X Y
r
em que:
∑
∑ ∑
=
= =
n
i
n
i
i
n
i
i XY i i n
X Y
SPD XY
1
1 1
∑
∑
=
=
n
i
n
i
i X i n
X
SQD X
1
2
(^2 1) e ∑
∑
=
=
n
i
n
i
i Y i n
Y
SQD Y
1
2
2 1
Para o exemplo:
Amostra A 4 8 3 9 7 5 Amostra B 1 5 2 14 3 11
( )( ) 36 6
1
= (^) ∑ −
∑ ∑
=
n = =
i
n
i
i
n
i
i AB i i n
A B
SPD AB
( ) 28 6
2
1
2
(^2 1) = − =
= (^) ∑ −
∑
=
n =
i
n
i
i A i n
A
SQD A
( ) 140 6
2
1
2
(^2 1) = − =
= (^) ∑ −
∑
=
n =
i
n
i
i B i n
B
SQD B
MODELO LINEAR DE 1º GRAU (Regressão Linear Simples)
O modelo estatístico para esta situação seria: Yi = β 0 +^ β 1 Xi + e i
em que: Yi =valor observado para a variável dependente Y no i-ésimo nível da variável
independente X.
β 0 =constante de regressão. Representa o intercepto da reta com o eixo dos Y.
β 1 = coeficiente de regressão. Representa a variação de Y em função da
variação de uma unidade da variável X.
X (^) i =i-ésimo nível da variável independente X ( i = 1 , 2 ,!, n )
ei = é o erro que está associado à distância entre o valor observado Yi e o
correspondente ponto na curva, do modelo proposto, para o mesmo nível i de X.
Para se obter a equação estimada, vamos utilizar o MMQ, visando a minimização dos erros. Assim, tem-se que:
ei = Yi−β 0 − β 1 X i
elevando ambos os membros da equação ao quadrado,
ei^2 = [Y (^) i−β 0 − β 1 X i ]^2
aplicando o somatório,
∑ ∑^ [^ ] = =
n
i
i
n
i
ei X 1
2 0 1 1
(^2) β β Yi (1)
Por meio da obtenção de estimadores de β 0 e β 1 , que minimizem o valor obtido
na expressão anterior (1), é possível alcançar a minimização da soma de quadrados dos erros.
Para se encontrar o mínimo para uma equação, deve-se derivá-la em relação à variável de interesse e igualá-la a zero. Derivando então a expressão (1) em relação a β 0 e β 1 , e igualando-as a zero, poderemos obter duas equações que, juntas, vão
compor o chamado sistemas de equações normais. A solução desse sistema fornecerá:
( ) ∑
∑
∑
∑ ∑
n
x x
n
x y xy
i i
i i i i 2 2
βˆ 1 = x
xy SQD
SPD
e βˆ 0 = Y − βˆ 1 X
Uma vez obtidas estas estimativas, podemos escrever a equação estimada:
Yi (^) 0 1 X i ˆ=βˆ + βˆ
Exemplos:
- Para verificar se existe relação linear de primeiro grau entre umidade relativa (UR) do ar de secagem de sementes e a germinação das mesmas, um pesquisador realizou um experimento com 4 valores diferentes para a %UR do ar, obtendo-se os seguintes dados (dados hipotéticos) % UR 20 30 40 50 % germinação 94 96 95 97
a) Verificar se existe efeito da UR do ar de secagem na % de germinação. Usar α = 5%.
b) Qual seria a % de germinação esperada quando UR = 45 %?
c) Como poderia ser apresentada, num relatório técnico, a equação de regressão ajustada para esse exemplo?
R.: a) βˆ 0 = 92,7; βˆ 1 = 0,08. F = 3,55; t = 1,88. b) 95,5 %
- Foi realizado uma análise de regressão para investigar a existência de ralação linear simples entre a temperatura superficial de uma estrada (X) medida em graus F e a deformação da pavimentação (Y) medida segundo uma técnica especial. Baseado nas seguintes informações pede-se:
n = 20; (^) ∑ yi = 12,75; (^) ∑ y i^2 = 8,86; (^) ∑ xi = 1478; (^) ∑ x i^2 =143215,8; e (^) ∑ xi yi =
1083,
a) Calcule as estimativas dos parâmetros da regressão. Apresente a equação ajustada num gráfico;
b) Use a equação para estimar qual deformação haveria na pavimentação quando a temperatura superficial fosse de 85 graus F.
c) Qual seria a mudança esperada na deformação da pavimentação para uma mudança de 1 o^ F na temperatura superficial?
d) Suponha que a temperatura seja medida em graus C ao invés de graus F. Qual seria a nova equação ajustada resultante? Lembre-se: C = 5(F – 32)/9.
e) Qual seria a mudança esperada na deformação da pavimentação para uma mudança de 1 o^ C na temperatura superficial?
Exercício Proposto Os dados a seguir provêm de um experimento para testar o desempenho de uma máquina industrial. O experimento utilizou uma mistura de óleo diesel e gás, derivados de materiais destilados orgânicos. O valor da capacidade da máquina em cavalo vapor (HP) foi coletado a diversas velocidades medidas em rotações por minuto (rpm × 100).
X Y X Y X Y X Y 22,0 64,03 15,0 46,85 18,0 52,90 15,0 45, 20,0 62,47 17,0 51,17 16,0 48,84 17,0 51, 18,0 54,94 19,0 58,00 14,0 42,74 19,0 56, 16,0 48,84 21,0 63,21 12,0 36,63 21,0 62, 14,0 43,73 22,0 64,03 10,5 32,05 23,0 65, 12,0 37,48 20,0 62,63 13,0 39,68 24,0 63, X = velocidade Y = capacidade
a) t (^) calc = ˆ(ˆ)
1
1 1 β
β β V
, onde SQD x
V
2 1
σ β =
- regra de decisão: Se | t (^) calc | ≥ t (^) (α/2, n-2) ⇒ rejeita H 0
b) t (^) calc = ˆ(ˆ )
0
0 0 β
β β V
, onde (^)
SQD x
X
n
V
2 2 0
ˆ(βˆ ) σˆ
- regra de decisão: Se | t (^) calc | ≥ t (^) (α/2, n-2) ⇒ rejeita H 0
OBS.: σˆ 2 = estimativa da variância dos erros = 2
Re n −
SQ s
2
n
SQD (^) y β SPDxy
Um caso especial muito importante seria: H 0 : β 1 = 0 versus Ha : β 1 ≠ 0. Essas hipóteses estão relacionadas com a significância da regressão. Não rejeitar H 0 é equivalente a concluir que não há relação linear entre X e Y. Por outro lado, se H 0 : β 1 = 0 for rejeitado indicaria que X é importante para explicar a variabilidade em Y. Veja ilustrações apresentadas em aula.
De maneira alternativa poderíamos testar a significância da regressão pelo método da Análise de Variância (ANOVA).
O método da ANOVA consiste em fazer uma partição da variabilidade total da variável resposta Y em outros componentes de acordo com o modelo e o teste a ser feito. Assim a seguinte identidade pode ser verificada:
( )^2 (ˆ )^2 ( ˆ)^2 ∑ Y^ i −^ Y =∑ Yi − Y +∑ Yi − Y ,
ou, em outra palavras,
SQTotal = SQRegressão + SQResíduo.
Onde
SQTotal = variação total em Y = SQDY
SQRegressão = variação em Y explicada pela regressão ajustada = βˆ 1 SPDXY
de modo que
SQResíduo = SQRes = variação não explicada pela regressão = SQD (^) Y - βˆ 1 SPDXY
Baseado nessa identidade o seguinte quadro pode ser montado: FV GL SQ QM F Regressão 1 SQReg QMReg = SQReg QM s
QM g Re
Re
Resíduo, ou Independente da Regressão
n – 2 SQRes QMRes = 2
Re n −
SQ s -
Total n – 2 SQTotal
A estatística F obtida no quadro acima serve para testar a significância da regressão, ou seja, testar H 0 : β 1 = 0 versus Ha : β 1 ≠ 0.
- regra de decisão: Se Fcalc ≥ F(α, 1, n-2) ⇒ rejeita H 0
OBS.: Para H 0 : β 1 = 0 temos que (t (^) calc )^2 = Fcalc
A equação estimada obtida, apenas estabelece uma relação funcional, entre a variável dependente e a variável independente, para representar o fenômeno em estudo. Portanto a simples obtenção da equação estimada não responde ao pesquisador se a variação da variável independente influencia significativamente na variação da variável dependente.
Para se responder a esta pergunta, é necessário realizar um teste estatístico para as estimativas dos coeficientes da equação de regressão estimada. Um teste que pode ser realizado para verificar tal fato é o teste F da análise de variância. Portanto, é necessário realizar uma análise de variância dos dados observados, em função do modelo proposto.
O quadro para a análise de variância para a regressão é do seguinte tipo: FV GL SQ QM F Regressão P SQReg p
SQ (^) Re g QMInd
QM (^) Re gr
Independente da Regressão
n – 1 – p SQInd n p
SQInd − 1 −
Total n – 1 SQTotal
em que:
- p = no^ de coeficientes de regressão (não inclui o β 0 )
- n = no^ de observações.
As fórmulas para a obtenção das somas de quadrados total e da soma de quadrados do independente da regressão são as mesmas, tanto para o modelo linear de 1 o^ grau quanto para o de 2o^ grau, as quais são dadas a seguir:
n
Y
SQTotal Y
n
i n i
i
i
2
1 1
2
∑ ∑
=
SQIndependente da Regressão = SQTotal - SQRegressão
Já a soma de quadrados para a regressão varia de acordo com o modelo em teste. Assim tem-se que, para o modelo linear de 1o^ grau, a soma de quadrados da regressão é obtida por:
n
Y
SQ gressão Y YX
n
i n i
i
i i
n
i
i
2
1 1
1 1
Re ˆ 0 ˆ
∑ ∑ ∑
= = =
β β
Para o modelo linear de 2o^ grau, a soma de quadrados da regressão é dada por:
F.V. g.l. SQ QM F Regressão 1 34,59 34, Resíduo 7 8,68 1, Total 8 43, Uma maneira de verificar a significância da regressão ajustada é por meio da ANOVA apresentada acima. Apresente a hipótese a ser testada pela ANOVA e realize o teste apropriado (use α = 5%) para testar essa hipótese. e) Se fosse concluído que podemos considerar β 1 = 0, como deveria ser reescrito o modelo ajustado? Justifique.
Regressão linear múltipla
A regressão múltipla envolve três ou mais variáveis, ou seja, uma única variável dependente (Y) e duas ou mais variáveis independentes ou explanatórias ou covariáveis ou regressoras (Xi , i = 1, 2, ...). A teoria é uma extensão da análise de regressão linear simples. De modo similar a análise tem por objetivo estabelecer uma equação que possa ser usada para predizer valores de Y para valores dados das diversas variáveis independentes. A finalidade das variáveis independentes adicionais é melhorar a capacidade de predição em confronto com a regressão linear simples. A técnica de cálculo é bastante complicada e pode ser facilitada com o auxílio de álgebra de matrizes. O modelo Y = β 0 +β 1 x 1 +β 2 x 2 +#+β k xk + ε
é chamado de modelo de regressão linear múltipla com k variáveis regressoras. Os parâmetros βi (i = 1 a k) são chamados de coeficientes de regressão parciais.
Veremos dois exemplos envolvendo regressão linear múltipla.
MODELO LINEAR DE 2º GRAU
O modelo estatístico para esta situação seria: = + X (^) i + Xi + e i 2 Yi β 0 β 1 β 2
em que: Yi =valor observado para a variável dependente Y no i-ésimo nível da variável
independente X.
β (^0) =constante de regressão.
β 1 =coeficiente de regressão.
β 2 =coeficiente de regressão.
X (^) i =i-ésimo nível da variável independente X ( i = 1 , 2 ,!, n )
X (^) i^2 =i-ésimo nível da variável independente X, elevado ao quadrado
ei =é o erro que está associado à distância entre o valor observado Yi e o
correspondente ponto na curva para o mesmo nível i de X.
Utilizando o MMQ, no modelo de 2º grau, chegar-se-á ao seguinte sistema de equações normais, para se obter as estimativas de β^0 ,β 1 e^ β 2 :
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
= = = =
= = = =
= = =
n
i
n
i
i i
n
i
i
n
i
i i
n
i
n
i
i i
n
i
i
n
i
i i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
YX X X X
YX X X X
Y n X X
1 1
4 2
3 1 1
2 0 1
2
1 1
3 2
2 1 1
0 1
1
2 2 1
0 1 1
β β β
β β β
β β β
Uma vez obtidas estas estimativas, podemos escrever a equação estimada: 2 Y ˆ i^ =βˆ 0 +βˆ 1 Xi + βˆ 2 Xi
