Indução Matemática e a Torre de Hanói, Notas de estudo de Matemática

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Universidade Estadual de Montes Claros Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas - CCET

Indução

Matemática

(Prática)

17/11/2009- MG

 Para provar  n  N P( n ):

Lembrete:

Para provar que algo

é verdade onde

todo natural n

for  que 1,

pense em

indução.

Condições:

1. P(1) Verdadeira (Condição Inicial )
2. (k)[P(k))[P(k)P(k)[P(k)) Verdadeiro  P(k)[P(k)+1)]

Verdadeiro (Passo Indutivo)

Exemplo 1:

Soma dos n primeiros números naturais:

1+2+3=6 1+2+3+4+5…n= f(n)= n(n+1)

*Resolução

i.Verificar se a propriedade vale para n=1 :

Se n=1, então a soma de um termo é:

ii. S upõe que a propriedade é válida para os n

primeiros termos:

P(n) = 1+2+3+4+5+....+ n = n(n+1)

*Agora devemos mostrar que p(n+1) também é válida:

P(n+1) = 1+2+3+4+...+n+(n+1) = n(n+1) + (n+1)

= n(n+1) + (n+1)

= n(n+1) + 2(n+1)

= (n+1) (n+2)

= (n+1) [P(k)(n+1)+1] ok)[P(k)

Para resolver um problema (não só este, mas vários outros problemas na matemática) que envolve n coisas, ajuda ver o que acontece para valores pequenos de n. Vejamos alguns casos.  n = 1. Fazemos 1 movimento é suficiente.

 n = 2. Fazemos

33 movimentos dão.

Agora, veja os três últimos movimentos:

Novamente fizemos o mesmo que foi feito para o caso nn == 22 , só que

transferindo agora a "subtorre" para o pino onde estava o disco maior.

Imaginemos agora uma torre com n discos. Imagine também que sabemos resolver o problema com n – 1 discos. n discos  n– 1 discos   váriosmovimentos

Para remover o disco nn é preciso tirar todos de cima, ou seja, tirar todos os n -1n -

discos que estão acima dele



Feito isso removemos o disco nn para o pino 3º3º

Agora, para mover os n-1 discos para 3º, só é possível se for repetindo o jogo, de modo a passar todos os discos (um a um) de 2º para 3º pino. n– 1 discos   váriosmovimentos

Tabelando os valores anteriores: Observando a tabela vemos que: *Os resultados da quantidade mínima de movimentos são sempre a Sucessão da potência do 2 menos 1. Exemplo: 1 , 3 , 7 , 15 , 31 , 63 ,...

• 2 + 4 + 8 + 16 + 32 +... Nº de Discos Quantidade Mínima de Movimentos

ou seja, é igual a T(n) = 2 n^ – 1 onde n é o número de discos Como obtivemos a fórmula a partir de alguns dados numéricos, queremos saber se ela é mesmo verdadeira. i. Suponhamos que a fórmula vale para T(1): T(1)= 1 = 21 – 1 T(1) = 1 = 1 Portanto para todo T(n) fixado n=1 se verifica.

Assim, pôde-se descobrir que a quantidade mínima de movimentos necessários para se efetuar a tarefa com os 64 discos é de 18.446.073.709.551. movimentos, levando os monges, a muitos bilhões de anos para efetuar a tarefa e enfim o mundo acabar.

Referência Bibliográfica *HEFEZ,Abramo. Indução Matemática. Iniciação científica OBMEP 2006 *http://www.freewebs.com/gabriel_maths2/teoricaam1.htm 03/11/ *http://www.deinf.ufma.br/~vidal/mdl/7-induction.pdf *http://gravatai2.ulbra.tche.br/portal2007/cursos/graduacao/ciencia-da- computacao/professores/paulo-werlang-de-oliveira/matematica discreta/Inducao_Matematica.pdf