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Introdução a algebra linear, com todas as bases e alguns exercicios resolvidos.
Tipologia: Exercícios
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Ana Paula Santana Jo˜ao Filipe Queir´o
Departamento de Matem´atica - Universidade de Coimbra
Nota
Este texto ´e uma vers˜ao provis´oria de um livro que em breve ser´a publicado. Substitui a vers˜ao de 2003 que tem sido disponibilizada online. Trata-se tamb´em de uma vers˜ao parcial, pois n˜ao inclui os cap´ıtulos 8, 9 e 10 que por vezes s˜ao referidos no texto. Esses cap´ıtulos dir˜ao respeito a espa¸cos vec- toriais abstractos, transforma¸c˜oes lineares entre tais espa¸cos, e espa¸cos abstractos com produto interno.
Coimbra, Setembro de 2008
Ana Paula Santana Jo˜ao Filipe Queir´o
Esta sec¸c˜ao ´e uma breve introdu¸c˜ao aos conjuntos de n´umeros que ser˜ao mais utilizados no texto. Destina-se principalmente ao leitor pouco familiarizado com os n´umeros complexos.
Os conjuntos de n´umeros mais conhecidos e habituais s˜ao os seguintes: o conjunto dos n´umeros naturais N = { 1 , 2 , 3 ,.. .},
o conjunto dos n´umeros inteiros
Z = {... , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 ,.. .},
o conjunto dos n´umeros racionais
Q =
{m
n
: m, n ∈ Z, n 6 = 0
e o conjunto dos n´umeros reais, para o qual usaremos o s´ımbolo R. Tem-se a seguinte cadeia de inclus˜oes:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Exemplos de n´umeros reais que n˜ao s˜ao racionais s˜ao
3 , e e π. A melhor maneira de “visualizar”o conjunto R ´e pensar nos pontos de uma recta, o “eixo real”. Marcando no eixo dois pontos para representar os n´umeros 0 e 1, obt´em-se uma correspondˆencia perfeita entre R e o conjunto dos pontos do eixo.
0 1 α
Supor-se-˜ao conhecidas as propriedades b´asicas destes n´umeros.
No s´eculo XVI, a prop´osito da descoberta da f´ormula resolvente das equa¸c˜oes do 3 o^ grau, “descobriu-se”um novo conjunto de n´umeros contendo R. Essa hist´oria ´e recordada em apˆendice. O novo conjunto de n´umeros ´e o conjunto dos n´umeros complexos
C = {a + bi : a, b ∈ R}
onde i satisfaz i^2 = −1. As opera¸c˜oes com n´umeros complexos realizam-se tratando- os como n´umeros como os outros e usando as propriedades habituais das opera¸c˜oes, bem como a igualdade i^2 = −1. Assim, por exemplo,
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Do Teorema Fundamental da Algebra tira-se uma importante conclus˜´ ao: um polin´omio com coeficientes reais ou complexos pode sempre escrever-se como produto de factores de grau 1:
anxn^ + an− 1 xn−^1 + · · · + a 1 x + a 0 = an(x − α 1 )(x − α 2 )... (x − αn) ,
onde α 1 , α 2 ,... , αn s˜ao as ra´ızes do polin´omio.
O conjunto C ´e portanto muito rico do ponto de vista alg´ebrico.
Encerramos esta sec¸c˜ao introduzindo alguma terminologia sobre n´umeros com- plexos.
Seja z = a + bi ∈ C. Chamamos a a parte real de z e escrevemos a = Re z. Chamamos a b parte imagin´aria de z e escrevemos b = Im z. Se a = 0 dizemos que z ´e imagin´ario puro. O conjugado de z ´e z = a − bi. O m´odulo de z ´e o n´umero real n˜ao negativo |z| =
a^2 + b^2. (A fun¸c˜ao m´odulo em C estende a fun¸c˜ao m´odulo conhecida em R.) Geometricamente, |z| ´e a distˆancia do ponto z do plano complexo `a origem (isto ´e, ao ponto 0). Mais geralmente, |z − w| ´e a distˆancia entre os pontos z e w.
Neste cap´ıtulo estudam-se os conceitos e resultados fundamentais sobre matrizes. As matrizes s˜ao objectos b´asicos da Matem´atica: ´e imposs´ıvel estudar Matem´atica a n´ıvel superior sem conhecer a linguagem matricial. Esta linguagem ´e usada naturalmente em todos os contextos “multidimensio- nais”, isto ´e, em que os objectos considerados podem ser descritos por sequˆencias de v´arios n´umeros. A introdu¸c˜ao das matrizes e das opera¸c˜oes entre elas permite em geral uma descri¸c˜ao muito abreviada dos problemas e rela¸c˜oes que surgem nesses contextos. Uma matriz pode ser definida de forma muito simples, como um quadro de n´umeros dispostos segundo umas tantas linhas e colunas. Com este tipo de objectos — uma esp´ecie de “n´umeros generalizados” — podem fazer-se “contas”como com os n´umeros vulgares (embora algumas propriedades falhem), o que ´e ´util nas partes mais computacionais da Algebra Linear. Em cap´´ ıtulos posteriores veremos que as matrizes s˜ao ´uteis tamb´em em contextos mais abstractos. Nos primeiros cap´ıtulos deste texto, trabalharemos, em geral, com matrizes de n´umeros reais. No entanto, praticamente tudo o que veremos ´e tamb´em v´alido para n´umeros complexos.
Defini¸c˜ao 1.1 Chama-se matriz do tipo m × n sobre R (ou C) a todo o quadro que se obt´em dispondo mn n´umeros segundo m linhas e n colunas. Esses n´umeros dizem-se os elementos da matriz. Uma matriz diz-se real ou complexa consoante os seus elementos forem n´umeros reais ou complexos. O conjunto de todas as matrizes do tipo m × n sobre R representa-se por Mm×n(R). Usamos a nota¸c˜ao Rm^ para Mm× 1 (R).
Exemplo 1.
[ 1 2 7 − 5 3 8
] ,
0 − 2 7 1 2 3 12 5 8
(^) e
2 4 9
(^) s˜ao matrizes reais dos tipos 2 × 3 ,
3 × 3 e 3 × 1 , respectivamente. A primeira pertence M 2 × 3 (R), a segunda a M 3 × 3 (R) e a terceira a R^3.
Usam-se letras mai´usculas para designar matrizes. Exceptua-se o caso das matrizes- coluna, isto ´e, matrizes s´o com uma coluna, para as quais, frequentemente, se utilizam letras min´usculas. Numa matriz abstracta ´e comum designar os elementos por uma letra min´uscula com dois ´ındices, indicando o primeiro a linha da matriz em que o elemento se encontra e o segundo a coluna.
Defini¸c˜ao 1.2 1. Duas matrizes A = [aij ] e B = [bij ] ∈ Mm×n(R) s˜ao iguais se aij = bij , para i = 1,... , m, j = 1,... , n.
In =
Se a ordem estiver clara do contexto usamos simplesmente I.
Exemplo 1.2 As matrizes
[ 1 2 7 − 5 3 8
] e
[ a 2 7 − 5 b 8
] s˜ao iguais se a = 1 e b = 3. Estas duas
matrizes s˜ao rectangulares, enquanto a matriz A =
10 5 − 7 8 2 3 15 6 5
(^) ´e quadrada de ordem 3. Os
elementos diagonais de A s˜ao 10, 2 , 5 e a sua diagonal principal ´e (10, 2 , 5). As matrizes (^)
1 2 − 7 0 2 1 0 0 − 2
(^) ,
1 0 0 7 3 0 5 0 5
(^) e
2 0 0 0 2 0 0 0 7
s˜ao, respectivamente, triangular superior, triangular inferior e diagonal.
As matrizes
[ 10 − 7 15 5
] e
5 − 7 2 3 6 5
(^) s˜ao exemplos de submatrizes de A =
10 5 − 7 8 2 3 15 6 5
.
As opera¸c˜oes mais simples com matrizes s˜ao a adi¸c˜ao (ou soma) de matrizes e a multiplica¸c˜ao de um n´umero por uma matriz.
Defini¸c˜ao 1.3 Sendo A = [aij ] ∈ Mm×n(R), B = [bij ] ∈ Mm×n(R) e α ∈ R, define-se:
Exemplo 1.3 Sendo A =
[ 1 0 − 6 − 2 1 8
] e B =
[ 10 3 8 1 6 4
] , tem-se
A + B =
[ 11 3 2 − 1 7 12
] e 1 2 A =
[ (^1) 2 0 −^3 − 1 12 4
] .
Teorema 1.1 Sejam A, B e C matrizes arbitr´arias em Mm×n(R). Ent˜ao verifica- se:
Demonstra¸c˜ao. Apenas demonstramos a primeira destas propriedades, deixando as restantes como exerc´ıcio. Sejam A = [aij ] , B = [bij ] , C = [cij ] ∈ Mm×n(R). Sejam D = (A + B) + C = [dij ] e E = A + (B + C) = [eij ]. Note-se que D e E s˜ao matrizes m × n. Por outro lado, da defini¸c˜ao de adi¸c˜ao de matrizes, tem-se dij = (aij + bij ) + cij e eij = aij + (bij + cij ). Mas a associatividade da adi¸c˜ao em R diz-nos que estas duas somas s˜ao iguais. Logo, dij = eij para i = 1,... , m, j = 1,... , n, e portanto D = E.
Teorema 1.2 Sejam A e B matrizes arbitr´arias em Mm×n(R) e α, β ∈ R. Ent˜ao verifica-se:
[ 3 1 5
] e B =
2 7 4
(^). Ent˜ao
AB =
[ 3 × 2 + 1 × 7 + 5 × 4
[ 33
] ;
e BA =
2 × 3 2 × 1 2 × 5 7 × 3 7 × 1 7 × 5 4 × 3 4 × 1 4 × 5
(^) =
6 2 10 21 7 35 12 4 20
(^).
3 0 0 0 5 0 0 0 1
(^) e B =
5 0 0 0 7 0 0 0 9
(^). Ent˜ao
AB = BA =
15 0 0 0 35 0 0 0 9
(^).
[ 1 2 − 1 − 2
] e B =
[ 4 − 6 − 2 3
] , tem-se
AB =
[ 0 0 0 0
] ; BA =
[ 10 20 − 5 − 10
] .
Como pode ser observado nestes exemplos, a multiplica¸c˜ao de matrizes comporta- se de modo diferente da multiplica¸c˜ao de n´umeros. Dadas matrizes A e B, pode acontecer estar o produto AB definido, mas o produto BA n˜ao estar. Estando AB e BA definidos, nada implica que AB seja igual a BA. Verificamos ainda outra anomalia: o produto de duas matrizes pode ser nulo sem que nenhuma delas o seja. Estas e outras propriedades do produto de matrizes est˜ao contidas no teorema que se segue.
Teorema 1.3 Sejam A,A′^ ∈ Mm×n(R), B,B′^ ∈ Mn×p(R), C ∈ Mp×q(R) matrizes ar- bitr´arias e α∈R. Ent˜ao tem-se:
Demonstra¸c˜ao. As afirma¸c˜oes contidas nas al´ıneas 5, 6 e 7 s˜ao do tipo negativo, em que se diz que certa propriedade geral n˜ao ´e verdadeira. Para provar uma afirma¸c˜ao desse tipo basta apresentar um exemplo, um caso concreto, em que a propriedade geral indicada n˜ao se verifica. (A um exemplo apresentado com tal objectivo chama-se um contra-exemplo.) No caso das propriedades 5 e 7, veja-se o Exemplo 1.4. Para a primeira parte da propriedade 6, considere, por exemplo, as
matrizes A =
e B′^ =
Passemos agora `a demonstra¸c˜ao da propriedade 2, ficando as restantes como exerc´ıcio. Sejam A = [aij ] ∈ Mm×n(R), B = [bij ] ∈ Mn×p(R) e C = [cij ] ∈ Mp×q(R). Ent˜ao (AB)C e A(BC) s˜ao ambas matrizes do tipo m×q. Da defini¸c˜ao de produto sabemos
que o elemento (i, j) de AB ´e
∑^ n
k=
aikbkj. Assim, o elemento (i, l) de (AB)C ser´a
∑^ p
t=
( (^) n ∑
k=
aikbkt
ctl.
De modo an´alogo, o elemento (i, l) de A(BC) ´e
∑^ n
k=
aik
( (^) p ∑
t=
bktctl
Utilizando as propriedades distributiva da multiplica¸c˜ao em rela¸c˜ao `a adi¸c˜ao, asso- ciativa da multiplica¸c˜ao e da adi¸c˜ao e comutativa da adi¸c˜ao em R, tem-se
∑^ n
k=
aik
( (^) p ∑
t=
bktctl
∑^ n
k=
∑^ p
t=
aik(bktctl) =
∑^ p
t=
∑^ n
k=
(aikbkt)ctl =
∑^ p
t=
( (^) n ∑
k=
aikbkt
ctl.
Da associatividade do produto de matrizes conclu´ımos que n˜ao temos que nos preocupar com parˆenteses quando lidarmos com mais de dois factores. Em particu- lar, fica bem definido o significado da express˜ao Ak, onde A ´e uma matriz quadrada e k ∈ N.
Teorema 1.4 Seja A ∈Mm×n(R) e designe-se por cj a coluna j de A, j = 1,... , n. Dada a matriz-coluna
x =
x 1 x 2 .. . xn
tem-se Ax = x 1 c 1 + x 2 c 2 +... + xncn. Dizemos ent˜ao que Ax ´e uma combina¸c˜ao linear das colunas de A.
a esquerda por uma matriz diagonal de elementos diagonais μ 1 ,... , μm equivale a multiplicar a primeira linha de A por μ 1 , a segunda linha por μ 2 , etc. Multiplicar A
a direita por uma matriz diagonal de elementos diagonais μ 1 ,... , μn equivale a multiplicar a primeira coluna de A por μ 1 , a segunda coluna por μ 2 , etc.A =
A 11 A 12... A 1 s A 21 A 22... A 2 s .. .
.. .
... .. . Ar 1 Ar 2... Ars
, B =
B 11 B 12... B 1 t B 21 B 22... B 2 t .. .
.. .
... .. . Bs 1 Bs 2... Bst
,
de forma que, para todos os poss´ıveis valores de i, j, e k, o n´umero de colunas de Aik seja igual ao n´umero de linhas de Bkj. Mostre que, ent˜ao, o produto AB se pode calcular do seguinte modo (note-se que o n´umero de colunas de blocos de A ´e igual ao n´umero de linhas de blocos de B):
AB =
∑s k=1 A^1 kBk^1
∑s k=1 A^1 kBk^2...^
∑s ∑s k=1^ A^1 kBkt k=1 A^2 kBk^1
∑s k=1 A^2 kBk^2...^
∑s k=1 A^2 kBkt .. .
.. .
... .. ∑. s k=1 ArkBk^1
∑s k=1 ArkBk^2...^
∑s k=1 ArkBkt
.
( Sugest˜ao: Talvez ajude come¸car por considerar o caso s = 2, r = t = 1.)
(a)
2 1 5 3 1 4 2 − 1 3 − 1 2 2
4 1 1 5 − 2 2 3 6
;^ (b)
2 0 0 0 0 1 5 2 0 0 2 − 1 3 0 0 1 4 − 1 3 − 1 − 1 5 2 1 6
2
Dado um n´umero α n˜ao nulo, real ou complexo, podemos falar do seu inverso multiplicativo: α−^1 ´e o n´umero que multiplicado por α d´a 1. O que se passar´a com matrizes?
Defini¸c˜ao 1.5 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A ´e invert´ıvel se existir uma matriz X, quadrada de ordem n, tal que AX = XA = In.
Teorema 1.5 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Ent˜ao existe no m´aximo uma matriz X quadrada de ordem n tal que AX = XA = In.
Demonstra¸c˜ao. Sejam X e Y matrizes quadradas de ordem n tais que AX = XA = In e AY = Y A = In. Ent˜ao Y = Y In = Y (AX) = (Y A)X = InX = X. Logo, existe no m´aximo uma matriz X nas condi¸c˜oes referidas.
Defini¸c˜ao 1.6 Nas condi¸c˜oes do Teorema, X diz-se a inversa de A e representa-se por A−^1.
Exemplo 1.5 A matriz
[ 1 2 1 1
] ´e invert´ıvel, sendo a sua inversa a matriz
[ − 1 2 1 − 1
] . De facto tem-se [ 1 2 1 1
] [ − 1 2 1 − 1
] = I 2 e
[ − 1 2 1 − 1
] [ 1 2 1 1
] = I 2.
A 1 0... 0 0 A 2... 0 .. .
.. .
... .. . 0 0... Ar
,^ onde os
blocos A 1 , A 2 ,... , Ar s˜ao quadrados e invert´ıveis e os zeros designam matrizes nulas dos tipos adequados. Mostre que A ´e invert´ıvel e determine A−^1.
Que igualdade ´e esta no caso n = 1? Sugest˜ao: Parta da igualdade AA−^1 = I e use o exerc´ıcio 13 da sec¸c˜ao 1.2.
Uma transforma¸c˜ao simples mas importante que se pode fazer a uma matriz ´e a transposi¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 1.7 Dada uma matriz do tipo m × n
a 11 a 12... a 1 n a 21 a 22... a 2 n .. .
am 1 am 2... amn
define-se a transposta de A como sendo a matriz do tipo n × m
a 11 a 21... am 1
a 12 a 22... am 2 .. .
a 1 n a 2 n... amn
Ou seja: o elemento (i, j) de AT^ ´e aji, para i = 1,... , n, j = 1,... , m. A matriz A diz-se sim´etrica se A = AT^.
Como se vˆe da defini¸c˜ao, os elementos da coluna j de AT^ s˜ao precisamente os da linha j de A, para j = 1,... , m. Vemos tamb´em que uma matriz ´e sim´etrica se e s´o se for quadrada e forem iguais os elementos situados em posi¸c˜oes sim´etricas relativamente `a diagonal principal.
Exemplo 1.6 A transposta da matriz A =
[ 1 2 0 1 5 3
] ´e a matriz AT^ =
1 1 2 5 0 3
(^).
A matriz (^)
3 2 5 2 1 7 5 7 9
´e sim´etrica, mas a matriz (^)
3 1 5 2 1 7 5 7 9
j´a o n˜ao ´e, uma vez que os elementos nas posi¸c˜oes (1, 2) e (2, 1) n˜ao s˜ao iguais.
Teorema 1.7 A transposi¸c˜ao de matrizes goza das seguintes propriedades:
Demonstra¸c˜ao. As propriedades 1, 2, 3 e 5 ficam como exerc´ıcio. Provemos 4 e 6.
k=
bkiajk =
∑^ n
k=
ajkbki, que ´e o elemento (i, j) de (AB)T^ , para i = 1,... , p, j =
1 ,... , m. Logo, (AB)T^ = BT^ AT^.
AT^ (A−^1 )T^ = (A−^1 A)T^ = InT = In e (A−^1 )T^ AT^ = (AA−^1 )T^ = InT = In.
Logo (AT^ )−^1 = (A−^1 )T^.
Defini¸c˜ao 1.8 Uma matriz quadrada diz-se ortogonal se for invert´ıvel e a sua inversa coincidir com a sua transposta.
Exemplo 1.7 A matriz AT^ =
[ (^) √ 2 2 −^
√ 2 √ 2 2 2
√ 2 2
] ´e ortogonal.