Introdução à Geometria, Manuais, Projetos, Pesquisas de Geometria

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FUNDAMENTOS DE

GEOMETRIA

Celso Pessanha Machado

Introdução à geometria euclidiana plana Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados: „ Descrever as origens da geometria. „ Definir raciocínio dedutivo e métodos de demonstração. „ Reconhecer a geometria formalizada. Introdução Neste capítulo, você iniciará uma jornada pela geometria, uma seção da matemática que trata das medidas de áreas, perímetros e distâncias e está diretamente relacionada ao cotidiano, fazendo parte da elaboração de plantas e no desenho das cidades. Além de conhecer as origens da geometria, você também encontrará muitas informações sobre as demonstrações que provam deduções feitas pelos estudiosos da matéria. Tais demonstrações compõem a essência da própria matemática e fascinam todos os que entram em contato com ela. Origens da geometria A necessidade de calcular distâncias é um atributo de várias espécies, pois um predador selvagem que pretende garantir sua refeição na savana, por exemplo, deve calcular quando há uma proximidade razoável para tentar o ataque, sob pena de ter que despender desnecessariamente muita energia na busca por alimento (Figura 1).

pirâmides, mas foi na Grécia que tal conhecimento se sistematizou e ganhou o nome pelo qual é conhecida mundialmente: geometria. A palavra geometria é oriunda da língua grega — geo = terra e metron = medir —, ou seja, o termo está ligado às origens históricas da disciplina. Foram os gregos que sistematizaram o estudo geométrico, eternizando al- guns nomes, como Tales de Mileto, Eudoxo, Arquimedes, Pitágoras, Pla- tão e Aristóteles. Observe que alguns dos citados são mais lembrados pela contribuição à filosofia. Vale lembrar-se de que o conhecimento não tinha, na época, uma divisão rígida entre as disciplinas como temos atualmente. Portanto, os pensadores transitavam pelos saberes com muito mais liberdade. O grande registro dos métodos matemáticos foi descrito numa grande obra, Os elementos de geometria , de Euclides (1944), cujo conteúdo será objeto de análise na próxima seção. Raciocínio dedutivo e métodos de demonstração Euclides (1944), na sua obra Os elementos de geometria , escreveu um tratado sobre o conhecimento matemático de sua época. O trabalho consiste em 13 livros, e boa parte do conhecimento geométrico ensinado nas escolas de ensino fundamental e médio de hoje é abordada nele. O livro é importante pela proposição de axiomas (ou postulados) que servirão de base para o ra- ciocínio dedutivo matemático. Antes de tratar deles, vamos compreender o que é raciocínio dedutivo. Um dos métodos do raciocínio lógico é a dedução, que consiste num pro- cesso no qual uma conclusão se baseia na concordância de premissas, em geral, consideradas verdadeiras. Aristóteles concebeu o silogismo, exemplo clássico do raciocínio dedutivo, que consiste em que: todos os homens são mortais; Sócrates é um homem; logo, Sócrates é mortal. Generalizando, teremos que: todos os A são B; todos os B são C.

Portanto: todos os A são C. De modo geral, segundo Gensler (2017), é possível verificar que um silo- gismo tem duas premissas, contém um quantificador (alguns, todos...), sendo expresso no modo afirmativo ou negativo. Nas duas premissas, há um termo comum, geralmente indicado por B, sendo possível relacionar os outros dois elementos (A e C) por meio de uma conclusão, como vimos no parágrafo anterior. Esse método é base de boa parte das demonstrações matemáticas. Entre- tanto, na época de Euclides (1944), nem todas premissas geométricas podiam ser provadas, e a solução encontrada foi considerar que algumas proposições deveriam ser consideradas como verdadeiras sem demonstração: os postulados ou axiomas. „ Axiomas ■ (^) Axioma I: pode-se traçar uma única reta ligando quaisquer dois pontos. ■ (^) Axioma II: pode-se continuar (de uma maneira única) qualquer reta finita continuamente em uma reta. ■ (^) Axioma III: pode-se traçar um círculo com qualquer centro e qual- quer raio. ■ (^) Axioma IV: todos ângulos retos são iguais. ■ (^) Axioma V: se uma reta, ao cortar outras duas, forma ângulos internos, no mesmo lado, cuja soma é menor do que dois ângulos retos, então essas duas retas encontrar-se-ão no lado onde estão os ângulos cuja soma é menor do que dois ângulos retos. „ Postulados ■ (^) Postulado 1: dados dois pontos distintos, há um único segmento de reta que os une. ■ (^) Postulado 2: um segmento de reta pode ser prolongado indefinida- mente para construir uma reta. ■ (^) Postulado 3: dados um ponto e uma distância quaisquer, pode-se construir uma circunferência de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada. ■ (^) Postulado 4: todos os ângulos retos são congruentes (semelhantes).

Definido um método, com as bases assentadas em axiomas, postulados e definições, foi possível desenvolver as demonstrações matemáticas que são o cerne, o caminho que cria ferramentas analíticas e novos métodos. A demonstração, segundo Eves (1995), não se estabeleceu de um momento para outro, mas foi desenvolvendo-se e impondo-se, colocando-se no centro do pensamento matemático. Observe este exemplo de exercício de lógica. Alguns habitantes das cavernas usam fogo. Todos que usam fogo têm inteligência. Portanto: a) todos os habitantes das cavernas têm inteligência. b) todos que têm inteligência usam fogo. c) alguns habitantes das cavernas têm inteligência. d) nenhum habitante das cavernas tem inteligência. e) usar fogo em cavernas é perigoso. Utilizando o método dedutivo, temos que: A = alguns habitantes, B = usar fogo, C = inteligência A → B B → C A → C Portanto, alguns habitantes têm inteligência. Logo, a alternativa correta é a C. Geometria formalizada O pensamento matemático se desenvolveu historicamente por acréscimo, ou seja, pensadores após pensadores foram contribuindo para expansão da área, sem invalidar ou descartar os conhecimentos anteriores. Para que você tenha uma ideia disso, um professor do ensino fundamental poderia usar muito dos Elementos de Euclides para planejar suas aulas, pois o conteúdo dos livros do sábio grego continua verdadeiro. Por que isso acontece? Pela organização proposta em axiomas, postulados e demonstrações, que tornam indiscutíveis os resultados, dando a certeza de que, no momento da prova ou em qualquer situação futura, tais enunciados permanecerão válidos e incontestáveis. Vamos ver um exemplo simples: prove que é a diagonal de um quadrado.

Observe o quadrado da Figura 3, a seguir. Figura 3. Quadrado. Um quadrado é formado por quatro lados iguais, paralelos dois a dois, cujo lado pode ser denotado pela letra l. A diagonal do quadrado é uma segmento de reta que liga dois vértices da figura (Figura 4). Figura 4. Diagonal.

Você pode verificar um exemplo de construção geométrica não europeia em um puzzle muito utilizado nas escolas de educação básica brasileira: o Tangram (Figura

5. — quebra-cabeça composto por sete peças, dois triângulos grandes, dois pequenos, um médio, um quadrado e um paralelogramo. Figura 5. Tangram montado no formato de um quadrado. Fonte: maksimee/ Shutterstock.com. Há diversas lendas sobre a criação do Tangram, todavia o registro concreto do jogo foi feito por Yang-cho-chü-shih, que escreveu, editou e publicou o primeiro durante o reinado de Chia-ch’ing (1796–1820) (SLOCUM et al. , 2004). Segundo Slocum et al. (2004), divertiram-se e estudaram o quebra- -cabeça celebridades como Napoleão Bonaparte, Lewis Carrol (que além de escritor de Alice no país das maravilhas , era matemático), Edgar Allan Poe, Hans Christian Anderson e Michael Faraday.

Você pode divertir-se montando diversas figuras com Tangram, como um cisne, por exemplo: ou uma casa: Como você pode observar, a imaginação e a criatividade não são atributos exclusivos dos povos ocidentais. Há muito para aprender na diversidade das culturas. EUCLIDES. Os elementos de geometria. São Paulo: Edições Cultura, 1944. EVES, H. Introdução à história da matemática. Campinas: UNICAMP, 1995. GENSLER, H. J. Introduction to logic. 3rd ed. New York: Routledge, 2017. MACHADO, C. P.; GIRAFFA, L. M. M. História das ferramentas para ensino de Geometria: da corda com 12 nós aos Softwares Educacionais. Educação Matemática em Revista, São Paulo, v. 14, p. 9–14, 2009. MLODINOW, L. A janela de Euclides: a história da geometria, das linhas paralelas ao hiperespaço. São Paulo: Geração Editorial, 2008.