Introducao a Logica, Exercícios de Matemática

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Introdu¸c˜ao `a L´ogica e Matem´atica Elementar

Gui˜ao e Lista de Exerc´ıcios

V´ıtor Hugo Fernandes

Vers˜ao parcial – cap´ıtulos 1, 2 e 3 – 11.Out.

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Programa FCT-UNL

1. L´ogica proposicional e quantificadores.

2. No¸c˜oes e opera¸c˜oes b´asicas sobre conjuntos.

3. Estrat´egias de demonstra¸c˜ao.

4. Rela¸c˜oes bin´arias: equivalˆencias e ordens.

5. Fun¸c˜oes.

6. Indu¸c˜ao Matem´atica e divisibilidade.

7. Conjuntos finitos e infinitos.

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9. Simplifica¸c˜ao Conjuntiva (SIM) / Elimina¸c˜ao da Conjun¸c˜ao

p ∧ q

∴ p

p ∧ q

∴ q

10. Introdu¸c˜ao da Conjun¸c˜ao (CONJ) p q

∴ p ∧ q

11. Adi¸c˜ao Disjuntiva (AD) /Introdu¸c˜ao da Disjun¸c˜ao

p

∴ p ∨ q

q

∴ p ∨ q

12. Lei dos Casos p → q ¬p → q

∴ q

13. Introdu¸c˜ao da Nega¸c˜ao / Redu¸c˜ao ao Absurdo

p → q p → ¬q

∴ ¬p

14. Elimina¸c˜ao da Nega¸c˜ao p ¬p

∴ q

15. Elimina¸c˜ao da Dupla Nega¸c˜ao ¬¬p

∴ p

16. Introdu¸c˜ao da Dupla Nega¸c˜ao p

∴ ¬¬p

17. Introdu¸c˜ao da Bicondicional p → q q → p

∴ p ↔ q

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18. Elimina¸c˜ao da Bicondicional

p ↔ q

∴ p → q

p ↔ q

∴ q → p

19. Especifica¸c˜ao do Universal: se ∀x p(x) ´e verdadadeira ent˜ao p(c) ´e verdadeira para qualquer constante c.
20. Generaliza¸c˜ao do Universal: se p(c) ´e verdadeira para qualquer constante c, ent˜ao ∀x p(x) ´e verdadadeira.
21. Especifica¸c˜ao do Existencial: se ∃x p(x) ´e verdadadeira ent˜ao existe uma constante c tal que p(c) ´e verdadeira.
22. Generaliza¸c˜ao do Existencial: Se existe uma constante c tal que p(c) ´e verdadeira ent˜ao ∃x p(x) ´e verdadeira.

Algumas Equivalˆencias Not´aveis

1. Dupla Nega¸c˜ao: ¬¬p ⇐⇒ p
2. Idempotˆencia: p ∧ p ⇐⇒ p e p ∨ p ⇐⇒ p
3. Comutatividade: p ∧ q ⇐⇒ q ∧ p e p ∨ q ⇐⇒ q ∨ p
4. Associatividade: (p ∧ q) ∧ r ⇐⇒ p ∧ (q ∧ r) e (p ∨ q) ∨ r ⇐⇒ p ∨ (q ∨ r)
5. Distributividade: p ∧ (q ∨ r) ⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) e p ∨ (q ∧ r) ⇐⇒ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
6. Leis de De Morgan: ¬(p ∧ q) ⇐⇒ ¬p ∨ ¬q e ¬(p ∨ q) ⇐⇒ ¬p ∧ ¬q
7. Contrarec´ıproco: p → q ⇐⇒ ¬q → ¬p
8. Reescrita da Condicional: p → q ⇐⇒ ¬p ∨ q
9. Nega¸c˜ao do Universal: ¬(∀x p(x)) ⇐⇒ ∃x ¬p(x)
10. Nega¸c˜ao do Existencial: ¬(∃x p(x)) ⇐⇒ ∀x ¬p(x)

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13. Admitindo que as proposi¸c˜oes b ∨ ¬a, ¬a ∨ ¬c e ¬b ∨ c s˜ao verdadeiras, o que se pode afirmar sobre a? (sugest˜ao: considere as duas possibilidades, b verdadeiro e b falso). E o que se pode afirmar sobre b?
14. Suponha que: a ∧ (b ∨ c) ´e verdadeiro; a ∧ c ´e falso. O que podemos afirmar sobre b? E sobre a? E sobre c?.
15. Suponha que: a ∧ (b ∨ c) ´a falso; ¬b ∧ c ´e verdadeiro. O que podemos afirmar sobre a?
16. Quais das proposi¸c˜oes a ∨ b, c ∨ ¬a e d ∨ ¬c ´e necess´ario admitir como verdadeiras para concluir que:

(a) d ∨ ¬a ´e verdadeira? (b) d ∨ b ´e verdadeira?

17. Admitindo que ´e verdadeira a proposi¸c˜ao: Se hoje chover o Pedro vai ao cinema. O que podemos concluir relativamente ao valor l´ogico de cada uma das proposi¸c˜oes: Hoje chove; O Pedro vai ao cinema.
18. Admitindo que s˜ao verdadeiras as proposi¸c˜oes: Se hoje chover o Pedro vai ao cinema; O Pedro hoje n˜ao vai ao cinema. O que podemos concluir relativamente ao valor l´ogico da proposi¸c˜ao: Hoje chove.
19. Admitindo que s˜ao verdadeiras as proposi¸c˜oes: Se hoje chover o Pedro vai ao cinema; O Pedro vai ao cinema. O que podemos concluir relativamente ao valor l´ogico da proposi¸c˜ao: Hoje chove.
20. Admitindo que s˜ao verdadeiras as proposi¸c˜oes: Se hoje chover o Pedro vai ao cinema; Hoje chove. O que podemos concluir relativamente ao valor l´ogico da proposi¸c˜ao: O Pedro vai ao cinema.
21. Admitindo que s˜ao verdadeiras as proposi¸c˜oes: Se hoje chover o Pedro vai ao cinema; Hoje n˜ao chove. O que podemos concluir relativamente ao valor l´ogico da proposi¸c˜ao: O Pedro vai ao cinema.
22. Sabendo que ´e falsa a proposi¸c˜ao: Se hoje chover o Pedro vai ao cinema. O que podemos concluir relativamente ao valor l´ogico das proposi¸c˜oes:

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O Pedro vai ao cinema; Hoje chove.

23. Sabendo que a → b ´e falsa, diga, quando for poss´ıvel, qual ´e o valor l´ogico de cada uma das seguintes proposi¸c˜oes:

(a) a ∧ b; (b) b ∨ ¬a; (c) ¬a ∨ ¬b; (d) a → V , onde V representa uma proposi¸c˜ao verdadeira.

24. Sabendo que a → b ´e verdadeira, diga, quando for poss´ıvel, qual ´e o valor l´ogico de cada uma das seguintes proposi¸c˜oes:

(a) a → ¬b; (b) ¬a → b; (c) ¬a → ¬b; (d) b → a; (e) b → ¬a; (f) ¬b → a; (g) ¬b → ¬a.

25. Diga, quando for poss´ıvel, qual ´e o valor l´ogico de cada uma das seguintes proposi¸c˜oes:

(a) a → a; (b) a → ¬a; (c) ¬a → a; (d) (a ∨ b) → (a ∧ b); (e) (a ∧ b) → (a ∨ b).

26. Sabendo que as proposi¸c˜oes a, a → b e b → c s˜ao verdadeiras, o que se pode concluir sobre c?
27. Admita que a proposi¸c˜ao (a ∧ b) → c ´e verdadeira.

(a) Se c for falsa que se pode concluir sobre a e b? (b) Se c for falsa qual ´e o valor l´ogico de (a ∧ b) ∧ ¬c?

28. Sabendo que a → b e c → ¬b s˜ao verdadeiras, o que se pode concluir sobre a → ¬c?
29. Sabendo que a, a → b e ¬b ∨ c s˜ao verdadeiras, o que se pode concluir sobre c?
30. Sabendo que a → (b ∧ c) e a ∧ b s˜ao verdadeiras, o que se pode concluir sobre c?
31. Sabendo que (a ∨ b) → c e a ∧ c s˜ao verdadeiras, o que se pode concluir sobre b?
32. Sabendo que (a ∧ b) → c e ¬b ∧ c s˜ao verdadeiras, o que se pode concluir sobre a? E sobre b? E sobre c?
33. Sabendo que a → b, b → c e b s˜ao verdadeiras, o que se pode concluir sobre a? E sobre c?
34. Sabendo que (a → b) → c e a ∧ ¬c s˜ao verdadeiras, o que se pode concluir sobre b?

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(d) O prato principal ser´a peixe ou carne. Os vegetais ser˜ao ervilhas ou milho. N˜ao ser´a servido peixe como prato principal com milho como vegetal. Logo n˜ao haver´a carne como prato principal com ervilhas como vegetal. (e) O Pedro ou a Maria est˜ao a dizer a verdade. O Jo˜ao ou a Maria est˜ao a mentir. Logo o Pedro est´a a dizer a verdade ou o Jo˜ao est´a a mentir. (f) As vendas sobem e o patr˜ao fica feliz ou as despesas sobem e o patr˜ao n˜ao fica feliz. Logo as vendas e as despesas n˜ao sobem ambas. (g) Se as taxas de juro e o desemprego sobem ent˜ao haver´a recess˜ao. Se o PIB aumenta n˜ao haver´a recess˜ao. Tanto o PIB como as taxas de juro sobem. Logo o desemprego n˜ao aumenta. (h) O alarme ser´a accionado se e s´o se a press˜ao estiver demasiado alta e a v´alvula de escape estiver bloqueada. A v´alvula de escape n˜ao est´a bloqueada. Logo o alarme ser´a accionado se e s´o se a press˜ao estiver demasiado alta. (i) Se n˜ao h´a fruta tem que haver doce. Se h´a fruta e doce ent˜ao n˜ao h´a sopa. Se h´a sopa ou n˜ao h´a fruta ent˜ao n˜ao pode haver doce. Logo h´a fruta e n˜ao h´a sopa e doce em simultˆaneo.

50. Admitindo que s˜ao verdadeiras as seguintes proposi¸c˜oes: u ou v s˜ao pares; w ou u s˜ao ´ımpares. Diga o que podemos concluir relativamente ao valor l´ogico das seguintes proposi¸c˜oes:

(a) v ´e par ou w ´e ´ımpar; (b) Se w ´e par ent˜ao v ´e par.

51. Admitindo que s˜ao verdadeiras as proposi¸c˜oes: Se u e v s˜ao pares ent˜ao w ´e ´ımpar; Se z ´e par ent˜ao w n˜ao ´e ´ımpar; u e z s˜ao pares. O que podemos concluir relativamente ao valor l´ogico da proposi¸c˜ao: v ´e ´ımpar.
52. Admitindo que s˜ao verdadeiras as proposi¸c˜oes: u ´e m´ultiplo de 6 se e s´o se ´e par e m´ultiplo de 3 ; u n˜ao ´e m´ultiplo de 3. O que podemos concluir relativamente ao valor l´ogico da proposi¸c˜ao: u ´e m´ultiplo de 6 se e s´o se u ´e par.
53. Admitindo que s˜ao verdadeiras as proposi¸c˜oes: Um n´umero par ´e m´ultiplo de 3 se e s´o se ´e m´ultiplo de 6 ; Se um n´umero ´e m´ultiplo de 12 ent˜ao ´e m´ultiplo de 6. O que podemos concluir relativamente ao valor l´ogico da proposi¸c˜ao: Se um n´umero ´e m´ultiplo de 12 ent˜ao ´e par e m´ultiplo de 3.

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54. Averig´ue se ´e v´alido o seguinte racioc´ınio relativos a n´umeros naturais: Se u ´e par ent˜ao o mesmo sucede a w; Se u ´e ´ımpar ou v ´e par ent˜ao t ´e par; O n´umero t ´e ´ımpar. Logo w ´e par.
55. Averig´ue se ´e v´alido o seguinte racioc´ınio sobre trˆes conjuntos A, B e C: Se A ´e vazio ent˜ao B ´e singular; Se A ´e n˜ao vazio e B ´e singular ent˜ao C n˜ao ´e singular; Se C ´e singular ou A ´e vazio ent˜ao B n˜ao ´e singular; Logo A ´e n˜ao vazio.
56. Averig´ue se ´e v´alido o seguinte racioc´ınio sobre dois conjuntos de n´umeros reais A e B: Os elementos de A s˜ao inteiros ou positivos; Os elementos de B s˜ao irracionais ou negativos; Se os elementos de A s˜ao inteiros, os de B s˜ao n˜ao negativos. Logo os elementos de A n˜ao s˜ao positivos ou os de B n˜ao s˜ao racionais.
57. Exprima simbolicamente:

(a) Se est˜ao na sala pelo menos dez alunos ent˜ao haver´a aula. (b) S´o haver´a aula se est˜ao na sala pelo menos dez alunos. (c) Haver´a aula se est˜ao na sala pelo menos dez alunos. (d) Estarem na sala pelo menos dez alunos ´e suficiente para haver aula. (e) Estarem na sala pelo menos dez alunos ´e necess´ario para haver aula.

58. Considere a afirma¸c˜ao: Se est´a a chover, ent˜ao est´a vento e n˜ao est´a sol. Averig´ue quais das seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes `a dada:

(a) S´o est´a vento e n˜ao est´a sol se est´a a chover. (b) Estar a chover ´e suficiente para estar vento e n˜ao estar sol. (c) E necess´´ ario estar a chover para estar vento e n˜ao estar sol. (d) N˜ao est´a a chover, se estiver sol ou n˜ao estiver vento. (e) S´o est´a vento se est´a a chover ou s´o n˜ao est´a sol se est´a a chover.

59. A Maria organizou uma festa em que os rapazes tinham que pagar bilhete se n˜ao cumprissem as seguintes regras:

(a) Um rapaz n˜ao pode dan¸car com a Maria e tem que dan¸car com uma loira, se n˜ao dan¸ca com a Teresa ou dan¸ca com uma ruiva; (b) Um rapaz tem que dan¸car com a Maria e n˜ao dan¸car com a Teresa a n˜ao ser que dance com uma ruiva mas n˜ao com uma loira.

Mostre que todos os rapazes pagam bilhete.

60. Numa festa para casais foram impostas as seguintes regras:

(a) Se o homem usa casaco ou gravata ent˜ao a sua mulher n˜ao pode usar saltos rasos ou pulseiras; (b) Se a senhora usa pulseiras ou n˜ao usa chap´eu ent˜ao o marido usa gravata ou casaco mas n˜ao ambos;

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65. Averig´ue se ´e v´alido o seguinte racioc´ınio: Todas as pessoas inteligentes sabem l´ogica; Todas as pessoas que sabem l´ogica sabem fazer demonstra¸c˜oes; Logo se uma pessoa sabe fazer demonstra¸c˜oes ´e inteligente.
66. Averig´ue se as seguintes afirma¸c˜oes sobre um grupo de pessoas, s˜ao compat´ıveis: Alguns morenos s˜ao altos; Todos os magros s˜ao baixos; Nenhum inglˆes ´e moreno; Todos os gordos s˜ao ingleses.
67. Considere as condi¸c˜oes:

(i) x^2 < x; (ii) |x| = x + 2; (iii) 4 x^2 − 4 x > − 1.

(a) Classifique-as em R, em Z e em N. (b) Escolha duas delas de forma a que uma seja condi¸c˜ao suficiente da outra num universo apro- priado e por si indicado.

68. Considere no universo X = {− 1 , 0 , 1 , 2 } as seguintes condi¸c˜oes:

(i) x^2 ∈ X; (ii) x^2 = −x; (iii) x > 0 ∧ x − 1 < 0 ; (iv) |x| ≤ 1 ∨ x ´e par; (v) |x + 1| 6 ∈ X; (vi) x < 0 ⇒ |x| = 1.

(a) Indique os respectivos conjuntos de verdade (solu¸c˜ao) e classifique-as. (b) Indique duas que n˜ao sejam imposs´ıveis mas sejam incompat´ıveis. (c) Sabendo que duas condi¸c˜oes s˜ao complementares se a sua disjun¸c˜ao ´e universal, indique duas n˜ao universais e complementares.

69. Sejam p(x) e q(x) duas condi¸c˜oes num universo U tais que todos os elementos que satisfazem p(x) satisfazem q(x). Seja a ∈ U. Diga, justificando, quais das seguintes afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras e quais s˜ao falsas:

(a) Se p(a) ´e verdadeira ent˜ao q(a) ´e verdadeira; (b) Se q(a) ´e verdadeira ent˜ao p(a) ´e verdadeira; (c) p(a) ∧ q(a) ´e verdadeira se, e s´o se, p(a) ´e verdadeira; (d) p(a) s´o ´e falsa se q(a) o for; (e) p(x) ´e universal se, e s´o se, q(x) o for.

70. Seja p(x, y) a seguinte condi¸c˜ao: (0 ≤ x ∧ 0 ≤ x + y) ⇒ 0 ≤ y.

(a) Qual o valor l´ogico das proposi¸c˜oes p(− 5 , 2), p(0, 3) e p(10, −5)?

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(b) Classifique, em R, as condi¸c˜oes p(0, y) e p(x, −5). (c) Mostre que se em p(x, y) substituir y por um n´umero natural qualquer obt´em uma condi¸c˜ao em x que ´e universal em R.

71. Utilizando quantificadores represente simbolicamente as proposi¸c˜oes do exerc´ıcio 62 e as respectivas nega¸c˜oes.
72. Exprima simbolicamente cada uma das proposi¸c˜oes seguintes e escreva a sua nega¸c˜ao:

(a) Todos os n´umeros naturais s˜ao inteiros; (b) H´a n´umeros naturais maiores que cinco cuja soma com trˆes ´e inferior a sete; (c) Nenhum n´umero inteiro negativo ´e menor do que sete; (d) O quadrado de qualquer n´umero natural ´e menor do que quatro; (e) Todo o n´umero natural ´e o dobro de um n´umero natural; (f) Nem todos os n´umeros naturais s˜ao o quadrado de um n´umero natural; (g) Qualquer n´umero natural cujo quadrado seja maior do que sete ´e ele pr´oprio maior do que dois.

73. Seja X = {− 1 , 0 , 1 , 2 }. Indique, justificando qual o valor l´ogico das seguintes proposi¸c˜oes;

(a) (∃x ∈ X) |x| ≤ 3 ; (b) (∀x ∈ X) x^2 ∈ X; (c) (∀x ∈ X)(∃y ∈ X) x^2 = y; (d) (∀x ∈ X)(∃y ∈ X) |x| = y; (e) (∀y ∈ X)(∃x ∈ X) |x| = y; (f) (∃x ∈ X)(∀y ∈ X) y ≤ |x|; (g) (∃y ∈ X)(∀x ∈ X) y ≤ |x|.

74. Considere em R as condi¸c˜oes:

(i)

x^2 = x (ii) xy = x (iii) x > y

(a) Escreva todas as proposi¸c˜oes que pode obter a partir de cada uma delas usando quantificadores. (b) Indique o valor l´ogico das proposi¸c˜oes obtidas na al´ınea anterior.

75. Considere a condi¸c˜ao x > y. Escolhendo um universo adequado transforme-a numa condi¸c˜ao com uma vari´avel que seja:

(a) Universal; (b) Imposs´ıvel; (c) Poss´ıvel mas n˜ao universal.

Nota¸c˜ao. N = { 0 , 1 , 2 ,.. .}.

76. Averig´ue qual o valor l´ogico das seguintes proposi¸c˜oes:

(a) (∀x ∈ N+) 1/x < 3; (b) (∀x ∈ N+) 1/x < 3 /10;

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2 No¸c˜oes e opera¸c˜oes b´asicas sobre conjuntos

Neste curso utilizamos o conceito intuitivo de conjunto, sem nos preocuparmos com a sua fundamenta¸c˜ao ou com as bem conhecidas contradi¸c˜oes (paradoxos) que da´ı podem decorrer. Assim, para n´os um conjunto ´e simplesmente uma fam´ılia ou colec¸c˜ao de objectos, a que chamamos elementos ou membros do conjunto, encarada como um ente individual, i.e. como um (novo) objecto por direito pr´oprio, mas que ´e caracterizado pelos objectos que o formam.

Geralmente, usamos letras min´usculas

a, b, c,... , x, y, z,...

para designar os objectos e letras mai´usculas

A, B, C,... , X, Y,... ,

para designar os conjuntos sem que, no entanto, tal constitua uma regra (observemos que conjuntos podem ser elementos de outros conjuntos).

Dado um objecto x e um conjunto X, usamos a nota¸c˜ao x ∈ X (e lemos x pertence a X) para significar que x ´e um elemento de X. Para denotar que x n˜ao ´e um elemento de X escrevemos x 6 ∈ X (e lemos x n˜ao pertence a X).

Consideramos conhecidas as no¸c˜oes de n´umero natural, n´umero inteiro, n´umero racional, n´umero real e de n´umero complexo, bem como as suas propriedades elementares e conceitos b´asicos que lhes est˜ao associados, como por exemplo a rela¸c˜ao de ordem (usual) ≤ definida no conjunto dos n´umeros naturais ou no conjunto dos n´umeros reais.

2.1 Exemplos.

1. A = { 0 }, i.e. A ´e o conjunto constitu´ıdo apenas pelo n´umero inteiro 0 ;
2. B = { 0 , 1 }, i.e. B ´e o conjunto constitu´ıdo exactamente pelos n´umeros inteiros 0 e 1 ;
3. C = { 3 ,

7 , { 0 }}, i.e. C ´e o conjunto constitu´ıdo por trˆes elementos: o n´umero inteiro 3 , o n´umero real

7 e pelo conjunto que atr´as denot´amos por A (aqui encarado como um objecto);

4. Por N denotamos o conjunto dos n´umeros naturais (incluindo o zero):

N = { 0 , 1 , 2 , 3 ,.. .};

5. Por N+^ denotamos o conjunto dos n´umeros naturais sem o zero:

N+^ = { 1 , 2 ,.. .};

6. Mais geralmente, dado m ∈ N, denotamos por Nm o conjunto dos n´umeros naturais maiores ou iguais a m: Nm = {k ∈ N | m ≤ k} = {m, m + 1, m + 2,.. .}

(observemos que N 0 = N);

7. O conjunto dos n´umeros inteiros ´e denotado por Z:

Z = {... , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 ,.. .};

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8. O conjunto dos n´umeros racionais ´e denotado por Q:

Q =

k `

| k, ∈ Z e 6 = 0

9. Denotamos ainda por R o conjunto dos n´umeros reais e por C o conjunto dos n´umeros complexos;
10. O conjunto vazio, i.e. o conjunto sem quaisquer elementos, ´e denotado por ∅ ou por {}.
11. O conjunto D = {∅} n˜ao ´e o conjunto vazio, mas sim o conjunto constitu´ıdo por exactamente um elemento: o conjunto vazio (aqui encarado como um objecto).

2.2 Defini¸c˜ao. (Axioma da Extensionalidade) Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que o conjunto A ´e igual ao conjunto B, e escrevemos

A = B,

se A e B possuem os mesmos elementos, i.e. se

x ∈ A se e s´o se x ∈ B,

para todo o objecto x.

2.3 Observa¸c˜ao. Tendo em conta a simetria da defini¸c˜ao anterior, ´e evidente que, dados dois conjuntos A e B, se A ´e igual a B ent˜ao B ´e igual a A. Podemos ent˜ao dizer que A e B s˜ao iguais sem que ocorramos em ambiguidade. Naturalmente, dizemos que os conjuntos A e B s˜ao diferentes se estes n˜ao forem iguais, denotando-se A 6 = B.

2.4 Exemplos.

1. Sejam A = {x ∈ Z | x^2 ≤ 10 }, B = {x ∈ N+^ | x^2 ≤ 10 }, C = {− 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 } e D = { 1 , 2 , 3 }. Ent˜ao sem d´uvida que A = C, B = D e A 6 = B.
2. Sejam E o conjunto dos nomes das capitais de distrito de Portugal Continental e F = {‘Viana de Castelo’, ‘Braga’, ‘Bragan¸ca’, ‘Vila Real’, ‘Aveiro’, ‘Viseu’, ‘Guarda’, ‘Castelo Branco’, ‘Coimbra’, ‘Leiria’, ‘Santar´em’, ‘Portalegre’, ‘Set´ubal’, ‘´Evora’, ‘Beja’, ‘Faro’}. Evidentemente que E 6 = F.
3. Sejam G = {x ∈ R | x^2 − 2 ≤ 2 } e H o intervalo de n´umeros reais [− 2 , 2]. ´E claro que G = H.

2.5 Defini¸c˜ao. Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que A ´e um subconjunto de B (tamb´em que A est´a contido em B ou ainda que B cont´em A) se todos os elementos do conjunto A s˜ao elementos do conjunto B, i.e. se x ∈ A ent˜ao x ∈ B,

para todo o objecto x. Para denotar que A ´e um subconjunto de B, escrevemos

A ⊆ B

(e lemos “A est´a contido em B”) ou B ⊇ A

(e lemos “B cont´em A”).

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3. O complementar (ou diferen¸ca) de Y relativamente a X ´e o conjunto, denotado por X \ Y (ou por X − Y ), cujos elementos s˜ao todos os elementos de X que n˜ao pertencem a Y , i.e.

X \ Y = {x | x ∈ X e x 6 ∈ Y };

4. A diferen¸ca sim´etrica dos conjuntos X e Y ´e o conjunto, denotado por X 4 Y (tamb´em ´e vulgar usar-se a nota¸c˜ao X ⊕ Y ), cujos elementos s˜ao todos os elementos de X e de Y que n˜ao pertencem simultaneamente a X e a Y , i.e.

X 4 Y = (X ∪ Y ) \ (X ∩ Y ).

2.11 Exemplos.

1. Sejam A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } e B = { 1 , 3 , 5 , 7 }. Ent˜ao

A ∪ B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 7 }, A ∩ B = { 1 , 3 , 5 }, A \ B = { 2 , 4 } e B \ A = { 7 }.

2. Sejam O = { 2 n − 1 | n ∈ N+} (i.e. o conjunto dos n´umeros naturais ´ımpares),

E = { 2 n | n ∈ N}

(i.e. o conjunto dos n´umeros naturais pares), P o conjunto dos n´umeros naturais primos e Z−^ o conjunto dos n´umeros inteiros negativos. Ent˜ao:

(a) O ∩ E = ∅ e O ∪ E = N; (b) P ∩ O = P \ { 1 } e P ∪ O = O; (c) P ∩ E = { 2 } e E \ P = E \ { 2 }; (d) Z−^ ∪ N = Z, Z−^ ∪ N+^ = Z \ { 0 } e Z \ Z−^ = N.

2.12 Proposi¸c˜ao. Sejam A, B e C trˆes conjuntos. Temos:

1. A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅, A ⊆ A ∪ B e A ∩ B ⊆ A;
2. Se A ⊆ C ent˜ao A ∪ C = C e A ∩ C = A;
3. A ∪ A = A e A ∩ A = A;
4. A ∪ B = B ∪ A e A ∩ B = B ∩ A;
5. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) e (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);
6. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) e A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

Demonstra¸c˜ao. As propriedades 1, 2, 3 e 4 s˜ao evidentes. Vamos demonstrar uma das igualdades de 5 e uma de 6. As outras s˜ao deixadas ao cuidado do leitor como exerc´ıcio. Comecemos por demonstrar a igualdade (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). Para tal, tendo em conta a Proposi¸c˜ao 2.8 (este resultado proporciona, de facto, o m´etodo usual para demonstrar uma igualdade de dois conjuntos, tal como a seguir procedemos), bastar´a demonstrar que (A ∪ B) ∪ C ⊆ A ∪ (B ∪ C) e que A ∪ (B ∪ C) ⊆ (A ∪ B) ∪ C. Em primeiro lugar, tomemos x ∈ (A ∪ B) ∪ C. Ent˜ao x ∈ A ∪ B ou x ∈ C. Se x ∈ A ∪ B ent˜ao x ∈ A ou x ∈ B, pelo que x ∈ A ou x ∈ B ∪ C (visto que B ⊆ B ∪ C), donde x ∈ A ∪ (B ∪ C). Se x ∈ C ent˜ao x ∈ B ∪ C (visto que C ⊆ B ∪ C) e, portanto, x ∈ A ∪ (B ∪ C). Em

ILME 2009-

Departamento de Matem´

atica

FCT-UNL

ambos os casos mostr´amos que x ∈ A ∪ (B ∪ C), pelo que prov´amos que (A ∪ B) ∪ C ⊆ A ∪ (B ∪ C). Reciprocamente, tomemos x ∈ A ∪ (B ∪ C). Ent˜ao, x ∈ A ou x ∈ B ∪ C. Se x ∈ A ent˜ao x ∈ A ∪ B e, portanto, x ∈ (A ∪ B) ∪ C. Se x ∈ B ∪ C ent˜ao x ∈ B ou x ∈ C, pelo que x ∈ A ∪ B ou x ∈ C e, portanto, tamb´em neste caso, x ∈ (A∪B)∪C. Assim, prov´amos tamb´em que A∪(B ∪C) ⊆ (A∪B)∪C, o que finaliza a demonstra¸c˜ao da igualdade pretendida. Seguidamente, demonstremos que A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), uma vez mais aplicando a Proposi¸c˜ao 2.8. Em primeiro lugar, tomemos x ∈ A ∪ (B ∩ C). Ent˜ao, x ∈ A ou x ∈ B ∩ C. Se x ∈ A ent˜ao x ∈ A ∪ B e x ∈ A ∪ C, pelo que x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Se x ∈ B ∩ C ent˜ao x ∈ B e x ∈ C, pelo que x ∈ A ∪ B e x ∈ A ∪ C, donde x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Em ambos os casos mostr´amos que x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), portanto A ∪ (B ∩ C) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Reciprocamente, tomemos x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Ent˜ao x ∈ A ∪ B e x ∈ A ∪ C. Se x ∈ A ent˜ao x ∈ A ∪ (B ∩ C). Se x 6 ∈ A, uma vez que x ∈ A ∪ B, ent˜ao x ∈ B. Al´em disso, tamb´em x ∈ A ∪ C, pelo que, se x 6 ∈ A, necessariamente x ∈ C. Logo, se x 6 ∈ A temos x ∈ B e x ∈ C, donde x ∈ B ∩ C e, portanto, x ∈ A ∪ (B ∩ C). Em ambos os casos mostr´amos que x ∈ A ∪ (B ∩ C), portanto A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⊆ A ∪ (B ∩ C). Desta ´ultima inclus˜ao e de A ∪ (B ∩ C) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) resulta a igualdade que pretend´ıamos.

2.13 Observa¸c˜ao. Sejam A, B e C trˆes conjuntos. Tendo conta em as propriedades 2.12(5) ´e indiferente escrever (A ∪ B) ∪ C ou A ∪ (B ∪ C), pelo que podemos, sem ambiguidade, escrever

A ∪ B ∪ C.

De um modo an´alogo, escrevemos A ∩ B ∩ C

para designar (A∩B)∩C ou A∩(B ∩C). Mais geralmente, dados n (n ∈ N+) conjuntos A 1 , A 2 ,... , An, por

A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ An (ou por

⋃^ n

i=

Ai)

entendemos o conjunto {x | x ∈ A 1 ou x ∈ A 2 ou · · · ou x ∈ An}

e por

A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∩ An (ou por

⋂^ n

i=

Ai)

entendemos o conjunto {x | x ∈ A 1 e x ∈ A 2 e · · · e x ∈ An}.

2.14 Proposi¸c˜ao. Sejam X e Y dois conjuntos. Ent˜ao

X ∩ (X ∪ Y ) = X e X ∪ (X ∩ Y ) = X.

Demonstra¸c˜ao. Demonstremos, em primeiro lugar, que X ∩(X ∪Y ) = X. Para tal, basta provar que X ⊆ X ∩ (X ∪ Y ), visto que X ∩ (X ∪ Y ) ⊆ X resulta de imediato da propriedade 2.12(1). Tomemos x ∈ X. Ent˜ao x ∈ X ∪ Y , pelo que x ∈ X ∩ (X ∪ Y ). Donde X ⊆ X ∩ (X ∪ Y ) e, portanto, X ∩ (X ∪ Y ) = X. Relativamente `a segunda igualdade temos (aplicando em ´ultimo lugar a igualdade j´a demonstrada)

X ∪ (X ∩ Y )

2 .12(6) = (X ∪ X) ∩ (X ∪ Y )

2 .12(3) = X ∩ (X ∪ Y ) = X,

como quer´ıamos demonstrar.