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CAPÍTULO I
INTRODUÇÃO À RESISTENCIA DOS MATERIAIS
ESFORÇO NORMAL SIMPLES
I. INTRODUÇÃO A RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Um corpo em equilíbrio, sujeito a cargas externas ativas e reativas, possui em seu interior esforços. Estes esforços internos ou solicitações internas são devidos ao deslocamento das partículas que compõem o corpo, até que seja atingido o equilíbrio. Observe-se que o equilíbrio se dá na configuração deformada do corpo, que admitiremos como igual a configuração inicial pois em estruturas estaremos sempre no campo das pequenas deformações.
A Resistência dos Materiais se preocupa fundamentalmente com o comportamento das diversas partes de um corpo quando sob a ação destas solicitações internas.
Podemos resumir um problema de Resistência dos Materiais conforme fluxograma abaixo:
Estrutura
Cargas Externas Reativas
Cargas Externas Ativas
Solicitações
Tensões
Deformaçõe
Limite Resistente do Material
Critério de Resistência (Coeficiente de Segurança)
PROJETO
VERIFICAÇÃO
II. TENSÕES
Conforme já citamos, as tensões que se desenvolvem entre as partículas de um corpo são conseqüência dos esforços internos desenvolvidos. Como os esforços são elementos vetoriais (módulo, direção e sentido) a tensão como conseqüência também o será. Lembrando o método das seções visto em Isostática:
"Supondo um corpo carregado e em equilíbrio estático. Se cortarmos este corpo por uma seção qualquer "S" isolando, como exemplo, a parte da esquerda, podemos dizer que na seção cortada devem se desenvolver esforços que se eqüivalham aos esforços da parte da direita retirada, para que assim o sistema permaneça em equilíbrio. Estes esforços, convenientemente decompostos, se constituem nas solicitações internas fundamentais. O isolamento da parte da esquerda foi um exemplo, pois com a parte da direita o mesmo pode ser feito."
Partindo deste raciocínio podemos afirmar que em cada elemento de área que constitui a seção cortada está sendo desenvolvido um elemento de força, cujo somatório (resultante) mantém o equilíbrio do corpo isolado. A tensão ( ) desenvolvida no elemento
de área citado nada mais é do que a distribuição do efeito da força pela área de atuação da mesma.
Substituindo-se a representação da força pela tensão que ela provoca, teremos o representado na figura (a). Como a tensão é um elemento vetorial ela pode, como qualquer vetor, ser decomposta no espaço segundo 3 direções ortogonais que queiramos, e, portanto
Deformação Específica Longitudinal é a relação que existe entre a deformação medida em um corpo e o seu comprimento inicial, sendo as medidas feitas na direção da tensão.
Seja: li → comprimento inicial da barra lf → comprimento final da barra ∆l →deformação total ∆l = l f - l i
Observe que no exemplo dado ∆ l > 0 portanto ε > 0 (alongamento) Poderíamos mostrar um outro exemplo onde ∆ l < 0 consequentemente ε < 0 (encurtamento)
Neste exemplo ∆ l 0
portanto ε 0
OBSERVAÇÕES:
- Sinal: (+) Alongamento → Corresponde à uma tensão de tração que também é positiva (-) Encurtamento → Corresponde à uma tensão de compressão que também é negativa
- Unidade:
- adimensional quando tomarmos para ∆l a mesma unidade que para li -Taxa milesimal (o/oo) - Nestes casos medimos ∆l em mm e li em m(metros).
B. TENSÕES TANGENCIAIS ( ττττ )
Conceito: Tensão desenvolvida no plano da seção de referência tendo o efeito de provocar corte ou cisalhamento nesta seção.
εεεε =
∆∆∆∆ l
li
Distorção Específica ( γγγγ ) Medida de deformação de corpos submetidos a tensões tangenciais, sendo representada pela letra grega γγγγ. Vamos supor um bloco com arestas A, B, C e D, submetido a tensões tangenciais em suas faces. Para melhor visualizarmos a deformação vamos considerar fixa a face compreendida pelas arestas A e B.
tg
DD
DB
CC'
CA
γγγγ ====
Como em estruturas trabalharemos sempre no campo das pequenas deformações e então γ <<< 1 rad, então arco e tangente se confundem e podemos considerar:
CC' CA
γγγγ ≅≅≅≅ ====
DD
DB
Distorção específica é a relação entre o deslocamento observado e a distância respectiva, medida perpendicular ao deslocamento. Representa fisicamente a variação que sofre o ângulo reto de um corpo submetido a tensões de cisalhamento.
OBSERVAÇÃO:
Quanto a unidade, a distorção segue a da deformação específica longitudinal: adimensional ou taxa milesimal, ressalvando-se que quando adimensional representa um arco expresso em radianos.
III. DEFORMAÇÕES E ELASTICIDADE
Se aumentássemos a carga sobre esta mola ela chegaria a uma situação em que terminaria a proporcionalidade e apesar da tendência do corpo em assumir sua forma original, sempre restariam as chamadas Deformações Residuais. Considera-se então terminado o regime elástico e o corpo passa a atuar em regime plástico. Note-se então que no regime plástico termina a proporcionalidade e a reversibilidade das deformações. Se aumentássemos ainda mais a carga, o próximo limite seria a Ruptura.
IV. LEI DE HOOKE
Conforme veremos, a maioria dos projetos de peças serão tratados no regime elástico do material, sendo os casos mais sofisticados trabalhados em regime plástico e se constituindo no que há de mais moderno e ainda em estudo no campo da Resistência doa Materiais. Robert Hooke em 1678 enunciou a lei que leva o seu nome e que é a base de funcionamento dos corpos em regime elástico.
"As tensões desenvolvidas e suas deformações específicas conseqüentes são proporcionais enquanto não se ultrapassa o limite elástico do material."
]
Expressões analíticas:
σσ^ σσ εε εε
==== E(mod. de elasticidade longitudinal)
==== G( mod.de elasticidade transversal )
Estes módulos de elasticidade são constantes elásticas de um material, e são determinados experimentalmente.
Exemplo:
Aço Comum : E ≅ 2,1. 10^4 kN/cm^2 G ≅ 0,8 .10^4 kN/cm^2
V. LEI DE POISSON
Estudos realizados por POISSON determinam que ao mesmo tempo em que as tensões normais provocam deformação em sua direção também o fazem em direções perpendiculares a sua:
Observando o modelo acima podemos notar que enquanto o corpo sofre um encurtamento (diminuição no seu comprimento), as dimensões de sua seção transversal aumentam. Se observássemos um corpo tracionado, veríamos que o aumento de seu comprimento viria acompanhado de uma diminuição nas dimensões de sua seção transversal.
1. Dútil com escoamento real: exemplo: aço comum
Num ensaio de tração axial simples costuma-se demonstrar os resultados através de um diagrama tensão x deformação específica (σ x ε ). No caso de material dútil com escoamento real a forma deste diagrama segue o seguinte modelo:
reta AB - Indica a proporcionalidade entre σ x ε , portanto o período em que o material trabalha em regime elástico (lei de Hooke). Deformações reversíveis.
σp - Tensão de proporcionalidade - Representa o limite do regime elástico.
curva BC - A curvatura indica o fim da proporcionalidade, caracterizando o regime plástico do material. Podemos notar que as deformações crescem mais rapidamente do que as tensões e cessado o ensaio já aparecem as deformações residuais, que graficamente podemos calcular traçando pelo ponto de interesse uma reta paralela à do regime elástico. Notamos que neste trecho as deformações residuais são ainda pequenas mas irreversíveis.
σe - Tensão de escoamento Quando é atingida a tensão de escoamento o material se desorganiza internamente (a nível molecular) e sem que se aumente a tensão ao qual ele é submetido, aumenta grandemente a deformação que ele apresenta.
trecho CD - Chamado de patamar de escoamento. Durante este período começam a aparecer falhas no material (estricções), ficando o mesmo invalidado para a função resistente.
curva DE - Após uma reorganização interna o material continua a resistir a tensão em regime plástico, porém agora com grandes e visíveis deformações residuais. As estricções são agora perceptíveis nitidamente. Não se admitem estruturas com esta ordem de grandeza para as deformações residuais.
σR - Tensão de ruptura
Conforme pudemos analisar no ensaio acima, para estruturas, o material pode ser aproveitado até o escoamento, portanto sua TENSÃO LIMITE será a TENSÃO DE ESCOAMENTO.
2. Dútil com escoamento convencional Exemplo: aços duros
Se comporta de maneira semelhante ao anterior, mas não apresenta patamar de escoamento. Como em estruturas não se admitem grandes deformações residuais se convenciona em 2 o/oo este limite, ficando a tensão correspondente convencionada como TENSÃO DE ESCOAMENTO, que é também a TENSÃO LIMITE do material.
Em vista do que foi exposto adotamos o seguinte critério: A tensão limite é reduzida dividindo-a pôr um número que chamaremos de coeficiente de segurança (s). Para que este número reduza o módulo da tensão limite, ele deve ser maior do que a unidade. Então, para que haja segurança:
s ≥≥≥≥ 1
As tensões assim reduzidas, que são as que realmente podemos utilizar, são chamadas de TENSÕES ADMISSÍVEIS ou TENSÕES DE SERVIÇO que para serem
diferenciadas das tensões limites são assinaladas com uma barra ( σσσσ^ ).
adm
s
lim
Podemos resumir analíticamente o critério de segurança conforme abaixo, para os diversos casos:
MATERIAIS DÚTEIS MATERIAIS FRÁGEIS
máxt e σσσσ e
s
== == ==== (tensão de escoa. adm.) σσσσ
máxt T σσσσ T
s
==== ==== (tensão de tração adm.)
máxc e σσσσ e
s
==== ==== (tensão de esc. adm.) σσσσ
máxc c σσσσ c
s
==== ==== (tensão de compr. adm.)
VIII. ESFORÇO NORMAL AXIAL
Seja uma barra prismática de eixo longitudinal reto e seção transversal constante de área A. Quando sob ação de duas forças iguais e opostas, coincidentes com o seu eixo (lugar geométrico de todas as seções transversais) originam-se esforços no seu interior, mesmo sendo de equilíbrio a situação. Pode-se imaginar a barra sendo cortada ao longo de uma seção transversal qualquer, por exemplo b-b (fig a). Assim como todo o corpo está em equilíbrio, qualquer parte sua também estará. Na seção de corte de área A, deve aparecer uma força equivalente ao esforço normal N, capaz de manter o equilíbrio das partes do corpo isoladas pelo corte (fig b e c).
Observe que se as partes isoladas forem novamente unidas, voltamos a situação precedente ao corte. Neste caso, apenas a solicitação de esforço normal N, atuando no centro de gravidade da seção de corte é necessária para manter o equilíbrio. Por meio deste artifício (corte) os esforços internos transformaram-se em externos e o seu cálculo se fez aplicando-se uma equação de equilíbrio. Admite-se que este esforço normal se distribui uniformemente na área em que atua(A), ficando a tensão definida pela expressão:
sendo: N → Esforço Normal desenvolvido A→ Área da seção transversal
σσσσ =
N
A
As deformações desenvolvidas podem ser calculadas diretamente pela lei de Hooke:
εεεε =
∆∆∆∆ l l
εεεε
σσσσ
E
N = P σσσσ =
N
A
∆∆∆∆ l l
E
σσσσ ∴∴∴∴
∆∆∆∆ l =
N
l EA
ou :
∆∆ ∆∆ l =
N.l
E. A
II. VALIDADE DA DISTRIBUIÇÃO UNIFORME
Ao aceitarmos as equações acima, deve-se ter em mente que o comportamento do material é idealizado, pois todas as partículas do corpo são consideradas com contribuição igual para o equilíbrio da força N. Podemos calcular a resultante de força N aplicada no centróide da seção se somarmos todas as resultantes de força que atuam em todos os elementos de área que constituem a seção transversal.
N==== (^) (^) Aσσσσ .dA
Como partimos da premissa de que em todos os elementos de área atua a mesma tensão, decorre daí que:
Nos materiais reais esta premissa não se verifica. Por exemplo, os metais consistem em grande número de grãos e as madeiras são fibrosas. Sendo assim, algumas partículas contribuirão mais para a resistência de que outras, e o diagrama verdadeiro de distribuição de tensões varia em cada caso particular e é bastante irregular. Os métodos de obtenção desta distribuição exata de tensões são tratados na teoria matemática da elasticidade e mesmo assim apenas casos simples podem ser resolvidos.
N = σ.A
Neste caso observa-se que quanto mais perto da carga aplicada estiver a seção em estudo, maior será o pico de tensões normais. Em termos práticos porém, os cálculos pela equação da tensão uniforme são considerados corretos. Outros dois fatores de concentração de tensões, onde a distribuição uniforme não é válida, são mostrados abaixo, e representam peças com variações bruscas de seção.
Deve-se ter um cuidado adicional para com as peças comprimidas, pois peças esbeltas devem ser verificadas a flambagem. A flambagem representa uma situação de desequilíbrio elasto-geométrico do sistema e pode provocar o colapso sem que se atinja o esmagamento.
Sendo: A - área da seção transversal da peça l - comprimento γγ γγ – peso específico do material
Na tração ou compressão axial a não consideração do peso próprio é o caso mais simples. A não consideração do peso próprio se dá em peças construídas em materiais de elevada resistência, quando a mesma é capaz de resistir a grandes esforços externos com pequenas dimensões de seção transversal, ficando portanto o seu peso próprio um valor despresível em presença da carga externa. Nestes casos é comum desprezarmos o peso próprio da peça. Exemplo: Treliças e tirantes.
2. ESFORÇO NORMAL E TENSÕES NORMAIS
Consideremos uma barra sujeita a uma carga externa P e ao seu próprio peso, conforme exemplo abaixo:
Sejam:
A - área de seção transversal da peça
γ - peso específico do material
l - comprimento da peça
P - carga externa atuante na peça
Usando o método das seções cortamos a barra acima por uma seção S qualquer e isolamos um dos lados do corte, por exemplo, o lado de baixo.
OBS: Sempre que ao separarmos em 2 partes um corpo uma delas for uma extremidade livre é conveniente isolarmos esta parte pois evita o cálculo das reações vinculares.
Como o peso do material não pode mais ser desprezado, na seção cortada deve aparecer um esforço normal que equilibre a carga externa e também o peso próprio do material isolado. Isto já nos indica que a posição da seção de corte tem agora importância pois ela determina o peso da peça isolado pelo corte.
De acordo com esta conclusão devemos criar uma variável que nos indique a posição da seção de corte desejada.
Sendo: x → ordenada genérica da posição da seção à ser analizada Como a barra tem um comprimento l 0 ≤ x ≤ l
Aplicando a equação de equilíbrio pertinente:
Σ Fy = 0
N - P - g = 0
N = P + g(x) onde gx é o peso parcial da barra isolada pelo corte
Para avaliarmos o peso de um corpo, multiplicamos o seu volume por seu peso específico
V = A.x ∴ gx = A. γ. x
Observe que o esforço normal varia linearmente em função da ordenada x da seção de referência.
Como 0 ≤ x ≤ l podemos calcular os valores extremos do esforço normal
x = 0 N = P x = l
N = P + A. γγγγ. x
Nmáx = P + A. γγγγ. l
