Introdução à Teoria das Estruturas e Resistência dos Materiais, Notas de estudo de Cálculo Avançado

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Introdução à Teoria das Estruturas e

Resistência dos Materiais

Prof. Eng. Esp. William Mallmann

Dezembro de 2014

1. INTRODUÇÃO

As disciplinas de ciências exatas dos cursos de engenharia civil e arquitetura, especificamente Teoria das Estruturas e Resistência dos Materiais, tem a importante missão de associar uma realidade abstrata a uma realidade concreta dentro da física. Nestes dois cursos, estas disciplinas são fundamentais para o entendimento da análise estrutural de estruturas de concreto armado, concreto protendido, estruturas metálicas e de madeira, além da disciplina de fundações e contenções. Existe ainda a importante função destas disciplinas no que se refere à concepção estrutural, assunto este que nem sempre é detalhado com grande profundidade pelos professores. Quando se observa a grade curricular do curso de engenharia civil, por exemplo, vê-se que estas duas disciplinas são responsáveis pela continuidade de pelo menos outras seis a sete disciplinas que podem somar juntas até 500 horas aula, o que representa em média mais de 11% de todo o curso de engenharia civil! No caso da arquitetura, estas disciplinas respondem pela continuidade de pelo menos outras três a quatro disciplinas que podem somar juntas até 300 horas aula, o que representa em média quase 8% de todo o curso de arquitetura. Embora alguns exercícios resolvidos pareçam fáceis, certas passagens de cálculo precisam ser bem entendidas, uma vez que pior que não entender algo, é entendê-lo errado e tomá-lo por correto. A pior coisa que pode acontecer a um aprendiz é “aprender errado”, pois será necessária uma reconstrução do conhecimento aprendido erroneamente, e isso nem sempre é fácil. Aos alunos que passaram por isto fica uma sensação revoltante, porque pode dar a entender que o seu professor quis prejudicá-lo ou então “não estava nem aí”. O autor afirma aos alunos que isto não é verdade, pois o que realmente acontece, às vezes, é o despreparo de alguns professores na difícil tarefa de ministrar uma disciplina de maneira satisfatória. É importante lembra também que aos alunos que impõem antecipadamente não gostar da matéria, já estão criando dificuldades antes mesmo de começar a aula, ou seja, estão causando voluntariamente um sofrimento maior ainda para aprender. O autor sugere que o estudante utilize como ferramenta de apoio o software educacional de cálculo chamado FTOOL, desenvolvido pelo Prof. Luiz Fernando Martha, da PUC do Rio de Janeiro. Este software tem a função de resolução de estruturas de vigas contínuas, treliças e pórticos, e foi muito utilizado pelo autor durante as aulas ministradas nos cursos de engenharia civil e arquitetura. O estudante pode criar seus próprios exercícios com o uso do FTOOL e, a partir dos cálculos, verificar se está no caminho certo da resolução.

2. INTRODUÇÃO À TEORIA DAS ESTRUTURAS E RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

2.1. TIPOS DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS

Todo elemento é uma parte constituinte de um todo ou de uma estrutura. No caso da análise de estruturas, os elementos são todas as partes que constituem a estrutura de uma construção ou edificação. Os principais elementos de estudo da análise estrutural são os elementos unidimensionais (barras), bidimensionais (placas ou chapas) e tridimensionais (blocos). Existem também outros tipos de elementos estruturais como, por exemplo, cabos e treliças, que não resistem à flexão, ou ainda as cascas, que são estruturas bidimensionais não planas. Entretanto, neste trabalho será dada prioridade aos elementos de maior utilização e relevância no dia a dia do desenvolvimento de projetos estruturais, fundamentado nas normas técnicas brasileiras. Os elementos unidimensionais mais encontrados em estruturas são as vigas e os pilares, lembrando que o funcionamento de cada uma destas peças é completamente diferente um do outro. As vigas trabalham à flexão, cisalhamento transversal e eventualmente à torção. Quer dizer, embora tanto as vigas como os pilares sejam elementos unidimensionais ou barras, o comportamento estrutural é distinto um do outro. Os elementos bidimensionais mais comuns são as lajes, que podem ser classificadas como placas ou chapas, conforme o comportamento estrutural. Se a peça é bidimensional e recebe carga perpendicular em relação ao seu plano, então é uma placa. Entretanto, se a peça também é bidimensional, mas recebe carga paralela em relação ao seu plano, então é uma placa. As sapatas de fundação também são classificadas como placas, pois se comportam como lajes em balanço à flexão. Os elementos tridimensionais mais encontrados na análise estrutural são os blocos de fundação, que diferem das sapatas pelo seu comportamento estrutural. Os blocos de fundação funcionam a partir do sistema de bielas comprimidas, onde não há o comportamento à flexão. Em termos geométricos, os elementos unidimensionais apresentam uma dimensão bem maior que as outras duas, caracterizando-se por barras e representados por uma linha. Os elementos bidimensionais apresentam duas dimensões bem maiores que uma terceira, caracterizando-se por placas ou chapas e representados por um quadrilátero. E finalmente, os elementos tridimensionais apresentam as suas três dimensões com a mesma ordem de grandeza e são representados por uma figura volumétrica como um cubo ou paralelepípedo.

Elementos unidimensionais (barras) são representados por uma linha. Ex.: vigas e pilares.

Elementos bidimensionais (placas e chapas) são representados por um quadrilátero. Ex.: lajes.

a b

c

A medida "c" é bem maior que as

a b

c

As medidas "b" e "c" são bem maiores que

medidas "a" e "b".

a medida "a".

Elementos tridimensionais (blocos) são representados por uma figura volumétrica. Ex.: blocos de fundação.

a

b

c

A medidas "a", "b" e "c" apresentam a mesma ordem de grandeza.

Quadro 1 – Tipos de elementos estruturais usuais.

Aparelho de apoio móvel (1ª espécie) Resulta apenas em reação vertical.

RV 0

RH = 0

M = 0

RH = 0 M = 0

RV 0

Aparelho de apoio fixo (2ª espécie) Resulta em reações vertical e horizontal.

RV 0

RH 0

M = 0

RH 0 M = 0

RV 0

Aparelho de apoio engastado (3ª espécie) Resulta em reações vertical, horizontal

RV 0

RH 0

M 0

RH 0 M 0

RV 0

e momento.

REPRESENTAÇÃO DO TIPO DE APARELHO DE APOIO CARACTERÍSTICAS

Quadro 2 – Tipos de aparelhos de apoio usuais.

2.3. TIPOS DE ESTRUTURAS

Entre as diversas classificações existentes das estruturas, duas se destacam como as mais importantes, que são quanto ao número de vínculos e quanto à forma. Em relação ao número de vínculos, podem-se encontrar estruturas hipostáticas, isostáticas e hiperestáticas. As estruturas hipostáticas são aquelas em que o número de equações é maior que o número de incógnitas, ou seja, são estruturas instáveis que não se sustentam pelas regras básicas da análise estrutural. As estruturas isostáticas são aquelas em que o número de reações vinculares é igual ao número de equações disponíveis, ou seja, podem ser resolvidas com a aplicação das 3 equações fundamentais da estática. Ao leitor, muito cuidado para não confundir as 3 equações fundamentais da estática com o método da equação dos 3 momentos, assuntos totalmente diferentes. As estruturas hiperestáticas são aquelas em que o número de incógnitas é maior que o número de equações, ou seja, não poderão ser resolvidas apenas com a aplicação das 3 equações fundamentais da estática. De maneira rudimentar, nas estruturas hipostáticas “faltam” apoios, nas estruturas isostáticas a quantidade de apoios é exatamente a mínima necessária e nas estruturas hiperestáticas “sobram” apoios. Analisando-se a questão etimológica grega das palavras, fica claro que os prefixos já estão expondo esta realidade sem a necessidade de maiores explicações, pois “hipo” significa menos ou quantidade inferior ao normal, “iso” significa igual, e “hiper” significa mais ou quantidade maior que o normal. As 3 equações fundamentais da estáticas são necessárias para a resolução de qualquer tipo de estrutura e estão expostas a seguir. Como este estudo de análise de estruturas é referente ao ramo da estática, fica claro que o somatório das solicitações sempre deverá resultar em zero.

 FHorizontais ^0 →^ Somatório das forças horizontais é igual a zero.^ (1.1)

 FVerticais ^0 →^ Somatório das forças verticais é igual a zero.^ (1.2)

 M ^0 →^ Somatório dos momentos é igual a zero.^ (1.3)

Para determinar se uma estrutura é hipostática, isostática ou hiperestática, é necessário determinar o seu grau de indeterminação estática. A indeterminação estática refere-se ao excesso de ações desconhecidas em relação ao número de equações de equilíbrio. Então, o grau

equações da estática, entretanto não se pode concluir a resolução das mesmas devido ao excesso de vínculos internos. Para a resolução destas estruturas, devem- se utilizar outros métodos como, por exemplo, energia de deformação. Exemplo: treliça isostática com excesso de barras. c) Estruturas externamente e internamente hiperestáticas: são as estruturas que apresentam excessos de vínculos externos e internos e deverão ser resolvidas por métodos especiais de resolução como, por exemplo, energia de deformação e método das forças. Exemplos: treliça hiperestática com excesso de barras e pórtico hiperestático com múltiplos níveis.

Neste trabalho somente serão estudadas as estruturas isostáticas e estruturas externamente hiperestáticas que sejam também internamente isostáticas , que são as vigas isostáticas e vigas hiperestáticas contínuas. As resoluções de outros tipos de estruturas podem ser encontradas em outras bibliografias específicas de análise estrutural.

Aparelho de apoio móvel

Aparelho de apoio móvel

Elemento unidimensional de viga

Aparelho de apoio fixo

Aparelho de apoio móvel

Elemento unidimensional de viga

Estrutura de viga hipostática

Aparelho de apoio fixo

Aparelho de apoio móvel

Elemento unidimensional de viga

Aparelho de apoio móvel

Aparelho de apoio engastado

Aparelho de apoio engastado

Elemento unidimensional de viga

Elemento unidimensional de pilar

Elemento unidimensional de pilar

Estrutura de viga isostática

Estrutura de viga hiperestática

Estrutura de pórtico hiperestático

Quadro 3 – Exemplos de estruturas usuais.

2.4. TIPOS DE ESFORÇOS NAS ESTRUTURAS

Os esforços a serem considerados em uma estrutura são basicamente:

2.4.1. Esforços externos ativos (ações).

Os esforços externos ativos são representados pelas cargas atuantes, as quais podem ser classificadas basicamente em:

a) Cargas permanentes: são aquelas que, uma vez concluída a obra, passam a atuar constantemente e sempre com o mesmo valor. Exemplos em edificações: peso próprio de lajes, vigas, pilares, paredes, revestimentos e pisos. A carga relativa ao peso próprio de uma estrutura deve ser previamente estabelecida a partir da fixação das dimensões das diversas peças componentes dessa estrutura. Isto pode ser feito por comparação com projetos já elaborados, por meio de um pré- dimensionamento ou utilizando formulas empíricas. Uma vez conhecidas as dimensões, pode-se determinar o volume das diversas peças e definir o seu peso próprio multiplicando-se o volume pelo peso específico do material. Os valores padronizados de peso específico dos materiais utilizados na construção civil podem ser encontrados na Tabela 1 da norma NBR 6120:1980 – Cargas para o cálculo de estruturas de edificações.

b) Cargas acidentais estáticas: são aquelas que atuam ocasionalmente em uma estrutura sem causar impactos. Estas cargas acidentais são normalmente de difícil consideração, de modo que seus valores acham-se fixados em regulamentos e normas técnicas como, por exemplo, a Tabela 2 da norma NBR 6120:1980 – Cargas para o cálculo de estruturas de edificações, bem como a norma NBR 6123:1988 – Foças devidas ao vento em edificações.

c) Cargas acidentais dinâmicas: são aquelas que atuam ocasionalmente em uma estrutura produzindo impactos na mesma. Estas cargas estão regulamentadas em normas técnicas como, por exemplo, as normas NBR 7187 – Projeto e execução de pontes de concreto armado e protendido, NBR 7188 – Cargas móveis em pontes rodoviárias e passarelas e a NBR 7189 – Cargas móveis em pontes ferroviárias.

2.4.2. Esforços externos reativos (reações).

Os esforços externos reativos ou reações de apoio deverão ser sempre determinados na resolução de qualquer estrutura. No caso de estruturas isostáticas pode-se encontrar as reações de apoio usando as 3 equações fundamentais da estática. Para estruturas hiperestáticas deve-se utilizar, além das 3 equações fundamentais da estática, outras hipóteses a fim de se determinar os esforços reativos.

2.4.3. Esforços internos solicitantes.

Tendo obtido os esforços externos ativos e os externos reativos, pode-se então obter todos os esforços internos solicitantes em qualquer seção de uma estrutura. A determinação dos esforços internos solicitantes nas seções de uma estrutura deve ser suficiente para o traçado dos respectivos diagramas.

2.5. ANÁLISE GERAL DE UMA ESTRUTURA

A análise geral de uma estrutura envolve as seguintes etapas:

a) Determinação dos esforços externos ativos (ações). b) Obtenção dos esforços externos reativos (reações). c) Determinação das equações dos esforços internos solicitantes. d) Traçado dos diagramas: momentos fletores, momentos torçores, esforços normais e forças cortantes.

Dependendo do tipo de estrutura, alguns destes diagramas têm importância secundária e poderão não ser traçados ou ainda nem existirem. No caso, por exemplo, de uma viga reta submetida a um carregamento vertical, os diagramas mais significativos são os de momentos fletores e forças cortantes.

2.6. CONVENÇÃO DE SINAIS

É conveniente que se entenda com clareza a convenção de sinais exposta no Quadro 5 a seguir. O autor lembra que esta convenção é adotada pela grande maioria das universidades, faculdades e bibliografias sobre a análise estrutural. As publicações norte-americanas adotam a convenção de sinais para o momento fletor invertida em relação às publicações brasileiras e europeias. E como a base do conhecimento científico no Brasil é procedente da Europa, em sua grande maioria, então será adotado o padrão europeu de convenção de sinais para o momento fletor.

Tração na fibra superior Momento Negativo

Tração na fibra inferior Momento Positivo

CONVENÇÃO DE SINAIS PARA MOMENTO FLETOR

Sentido de giro horário Força cortante positiva

CONVENÇÃO DE SINAIS PARA FORÇA CORTANTE

P

P Sentido de giro anti-horário Força cortante negativa

Sentido de giro horário Momento negativo

CONVENÇÃO DE SINAIS PARA MOMENTO CONCENTRADO

Sentido de giro anti-horário Momento positivo

Quadro 5 – Convenção de sinais para momento fletor, força cortante e momento concentrado.

2.7. MÉTODO DE RESOLUÇÃO DE VIGAS ISOSTÁTICAS

O domínio da resolução de vigas isostáticas é de suma importância, não só pela grande incidência deste tipo de estrutura na vida prática, mas também como subsídio na resolução de estruturas mais complexas. Em estruturas hiperestáticas quaisquer, uma vez determinadas as incógnitas hiperestáticas, retornam-se inevitavelmente para o caso de vigas isostáticas para cada barra da viga, submetidas ao carregamento próprio mais a influência de momentos de apoio. Visando a resolução de qualquer tipo de estrutura, será realizada a resolução de vigas isostáticas partindo do conceito de forças cortantes ao invés de reações de apoio, como normalmente é visto em Resistência dos Materiais. Serão tratadas, de um modo geral, as vigas e carregamentos coplanares que basicamente é o que se considera na prática. Nestas condições não existirá momento torçor, sendo os momentos fletores e os esforços cortantes os mais significativos. No Quadro 6 estão expostos os tipos de estruturas isostáticas mais utilizadas na construção civil, sendo que neste trabalho serão estudados somente os tipos “a”, “b” e “c”, bem como vigas hiperestáticas sem rótulas. Os diagramas de momento fletor e força cortante normalmente são determinados a partir do seu equacionamento, onde é possível desenhar de forma exata todos os pontos de suas curvas. Será abordado também outro método de resolução de vigas isostáticas, conhecido popularmente como Método do Varal , desenvolvido pelo professor Aiello Giuseppe Antônio Neto da Universidade Mackenzie, que determina reações e solicitações internas máximas com grande rapidez sem a necessidade de equacionamento de toda a viga. Ao leitor interessado em compreender melhor o método da equação dos 3 momentos para resolução de vigas hiperestáticas, é importante estudar o conceito de termos de carga.

Exemplo resolvido nº 1 – Determinar os diagramas de Força Cortante e Momento Fletor da estrutura em balanço abaixo.

L 1 = 6,

q = 10 kN/m 1

A

x

Cálculo das reações externas

 FHOR ^0  HA ^0

 FVERT^ ^0  RVA  q  l ^10 ^6 ^60 kN

 M^ ^0  MA  q  l 2 ^10 ^62 ^180 kN  m

2 2

Cálculo das solicitações internas Força Cortante (V) VX  q  x  10  x se x  0  V 0  10  0  0 kN

se x  l  V 6 , 00  10  6  60 kN

Momento Fletor (M)

x^2 x^2 M (^) X  q   

se x  0  M  10 ^02  0 kN  m

2 0 se x  l  M  10 ^62  180 kN  m

2 6 , 00

Diagramas de V e M

L 1 = 6,

q = 10 kN/m 1

A

x

V (kN) CortanteForça

M (kN·m) MomentoFletor

60,

180,

Exemplo resolvido nº 2 – Determinar os diagramas de Força Cortante e Momento Fletor da estrutura em balanço abaixo.

q = 15 kN/m 1

A B L 1 = 6,

Cálculo das reações externas

 FHOR ^0  HA ^0

 FVERT^ ^0  RVA  RVB  q  l ^15 ^6 ^90

RVA  RVB  90

2 2 MA RVB q l R VB

RVB  45 kN RVA  90  45  45 kN

Cálculo das solicitações internas Força Cortante (V)

VA  q 2  l ^152 ^6  45 kN

VB  q 2  l ^152 ^6  45 kN

Momento Fletor (M) MA  MB  0

MMAX  q  8 l ^158 ^6  67 , 50 kN  m

2 2

Diagramas de V e M

q = 15 kN/m 1

A B L 1 = 6,

45,

45, 3,

67,

V (kN) CortanteForça

M (kN·m) MomentoFletor