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Introdução ao cálculo
Tipologia: Notas de estudo
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Não perca as partes importantes!
Os n´umeros foram criados pelos homens nas eras mais primitivas. A id´eia de n´umero inteiro positivo surgiu provavelmente pela necessidade pr´atica da con- tagem. Como sabemos, o homem das cavernas precisava, de alguma forma, contar o n´umero de animais de seu rebanho. Naquela ´epoca, a representa¸c˜ao do resultado dessa contagem era bastante diferente da que usamos agora e ´e prov´avel que cada pessoa tivesse sua maneira pr´opria de fazˆe-lo. Fun- damentalmente, contar nada mais ´e que estabelecer uma compara¸c˜ao entre quantidades de elementos de conjuntos distintos. Por exemplo, a quantidade de pedrinhas em um saco com a quantidade de bois ou ovelhas, ou a quan- tidade de x´ıcaras com a quantidade de pires. Se sobre cada pires colocamos uma x´ıcara, de forma a n˜ao sobrarem x´ıcaras nem pires, ent˜ao esses dois conjuntos, dos pires e das x´ıcaras, tem a mesma quantidade de elementos. O 0, pensado como um n´umero que representasse uma quantidade, surgiu bem depois, no s´eculo IX d.C , por inven¸c˜ao dos povos hindus. Somente na era moderna, algebristas italianos iniciaram o uso sistem´atico dos n´umeros nega- tivos. Segundo MILIES^1 , “O primeiro uso conhecido dos inteiros negativos encontra-se numa obra indiana, devida a Brahmagupta, de 628 d.C. aproxi- madamente, onde s˜ao interpretados como d´ıvidas. Desde seu aparecimento, eles suscitaram d´uvidas quanto a sua legitimidade. Assim por exemplo, Stifel
(^1) MILIES, C´esar Polcino. Breve Hist´oria da ´Algebra Abstrata, II Bienal da SBM, Salvador: Sociedade Brasileira de Matem´atica, 2006. pp 13. Dispon´ıvel em www.bienasbm.ufba.br/M18.pdf.
7
em 1543 ainda os chama de n´umeros absurdos e Cardano (...) os conside- rava solu¸c˜oes falsas de uma equa¸c˜ao.”As fra¸c˜oes tamb´em surgiram como uma id´eia natural. A princ´ıpio, como uma resposta ao problema de se partilhar um ou mais bens de propriedade comum entre determinadas pessoas. E num est´agio mais avan¸cado pela necessidade das pessoas trocarem entre si bens de tipos diferentes. Por exemplo, um pastor deseja trocar com um agricultor carneiros por sacos de milho numa raz˜ao de 3 carneiros para 10 sacos de milho. Os gregos antigos, a quem devemos boa parte da matem´atica, n˜ao reconheciam outros n´umeros que n˜ao os inteiros e os fracion´arios. Essa id´eia de um “n´umero”que n˜ao seja nem inteiro nem fracion´ario ´e, muito menos natural e intuitiva e surge num est´agio muito mais avan¸cado da civiliza¸c˜ao com a necessidade da pr´atica da medi¸c˜ao de segmentos e ´areas. Nas se¸c˜oes seguintes descreveremos brevemente esses tipos de n´umeros, mostrando suas principais propriedades e diferen¸cas entre um e outro.
Em toda a matem´atica usamos a linguagem de conjuntos. O conceito de conjunto tem in´umeras aplica¸c˜oes e ´e basilar em Matem´atica. Por ser um conceito t˜ao primitivo n˜ao tem uma defini¸c˜ao formal. Para n´os, basta entender um conjunto como uma cole¸c˜ao de objetos bem definidos, objetos esses a que chamamos de elementos do conjunto. O imprescind´ıvel ´e podermos saber quais s˜ao e quais n˜ao s˜ao os elementos de um conjunto. Podemos descrever um conjunto de diversas formas. Uma delas consiste em dar uma descri¸c˜ao inteiramente, listando todos os seus elementos. Nesse caso, os elementos dever˜ao vir listados entre chaves, nota¸c˜ao reservada para os conjuntos. Por exemplo:
S = {a, e, i, o, u}.
Aqui a, e, i, o e u s˜ao os elementos do conjunto e, indicamos isso escrevendo: a ∈ S; e ∈ S ; i ∈ S; o ∈ S; u ∈ S.
Por outro lado, por exemplo b /∈ S.
O conjunto S acima poderia tamb´em ser descrito atrav´es de uma pro- priedade espec´ıfica e caracter´ıstica de seus elementos: o conjunto das vogais.
{vogais}.
Essa segunda forma de representa¸c˜ao de um conjunto ´e a forma construtiva e ´e bastante mais usual em Matem´atica, uma vez que na maior parte dos
Exemplo: Se A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } e B = { 3 , 7 , 9 }, ent˜ao:
A ∪ B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 9 } e A ∩ B = { 3 }.
Encerramos essa se¸c˜ao apresentando alguns s´ımbolos que s˜ao utilizados com grande freq¨uˆencia na Matem´atica e, em particular, nessas notas de aula.
∀ Para todo ⇒ Implica
⇔ Se e Somente Se
∴ logo
1.2 Conjunto N dos n´umeros naturais
O conjunto dos n´umeros naturais ´e indicado por N e seus elementos s˜ao exa- tamente os n´umeros ordinais, por isso n˜ao consideraremos 0 como n´umero natural. Assim N = { 1 , 2 , ..., n, ..} ,
em que n representa um n´umero natural gen´erico. Dentre as principais caracter´ısticas de N destacam-se o fato de ele ser um conjunto infinito, ou seja com mais elementos que qualquer quantidade pr´e-determinada, e o de que cada elemento, exceto o 1, ser obtido do anterior somando-se 1.
No conjunto dos n´umeros naturais definimos duas opera¸c˜oes, soma e multiplica¸c˜ao, para os quais N ´e fechado, isto ´e, a soma e o produto de dois n´umeros naturais s˜ao ainda n´umeros naturais.
Por outro lado, N n˜ao ´e fechado com rela¸c˜ao a diferen¸ca, j´a que 1 − 7 = − 6 ∈/ N, embora 1 ∈ N e 7 ∈ N. Observe que 7 − 1 = 6 ∈ N, mas isso n˜ao ´e suficiente. Para que N fosse fechado com rela¸c˜ao
a diferen¸ca seria necess´ario que todas as diferen¸cas de elementos de N estivessem em N, o exemplo que demos mostra que isso nem sempre acontece.
Da mesma forma N n˜ao ´e fechado com rela¸c˜ao `a divis˜ao e nesse caso s˜ao “raros”os exemplos em que a divis˜ao de elementos de N ainda est´a em N. Por exemplo, 5 ∈ N e 2 ∈ N, mas 52 ∈/ N, o que j´a mostra o n˜ao-fechamento.
Os n´umeros naturais s˜ao normalmente representados na base decimal. Para essa representa¸c˜ao usamos os chamados algarismos hindu-ar´abicos:
0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 e 9.
Esse ´e um sistema posicional de numera¸c˜ao, ou seja, algarismos em posi¸c˜oes diferentes tem interpreta¸c˜oes diferentes, que usa as potˆencias de 10. Por exemplo, quando escrevemos 1252, na verdade estamos nos referindo a
1252 = 2 + 5 × 10 + 2 × 102 + 1 × 103.
Analogamente,
45079 = 9 + 7 × 10 + 5 × 103 + 4 × 104.
De forma geral ent˜ao adotamos a nota¸c˜ao decimal seguinte:
(anan− 1 · · · a 2 a 1 a 0 ) 10 = a 0 + 10 × a 1 + 10^2 × a 2 + · · · + 10n−^1 × an− 1 + 10n^ × an.
O conjunto dos n´umeros naturais possui alguns subconjuntos impor- tantes:
1 o^ O conjunto dos n´umeros naturais pares:
{ 2 , 4 , ..., 2 n, ..} com n ∈ N
2 o^ O conjunto dos n´umeros naturais ´ımpares:
{ 1 , 3 , ..., 2 n + 1, ..} com n ∈ N
3 o^ O conjunto dos n´umeros primos:
P = { 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , ..}
Observa¸c˜ao 1.2.1. Vale lembrar que um n´umero natural maior que 1 ´e primo se ele ´e divis´ıvel apenas por 1 e por ele mesmo. Note que, por essa defini¸c˜ao, 1 n˜ao ´e considerado um n´umero primo.
1.4 Exerc´ıcios
A = {x ∈ N ; |x ´e impar}, B = {x ∈ Z ; − 3 ≤ x ≤ 4 } e C = {x ∈ Z∗ + ; x < 6 }.
Encontre o conjunto D = (A ∩ B) − C.
1.5 Conjunto Q dos n´umeros racionais
A id´eia de medir est´a ligada a comparar, ou seja, quantas vezes uma deter- minada distˆancia ou superf´ıcie ´e menor ou maior que determinada unidade adotada como padr˜ao. Se, por exemplo, tentarmos medir a altura de um pr´edio com uma unidade como o metro, podemos obter eventualmente um n´umero n˜ao inteiro. Estar´ıamos diante da id´eia de uma fra¸c˜ao de metro.
A compara¸c˜ao entre duas medidas, usando-se uma unidade comum, est´a associada `a id´eia de n´umero racional.
O conjunto dos inteiros racionais ´e formado por todos os n´umeros que
podem ser escritos na forma
a b
, em que a ´e um inteiro qualquer e b, um
inteiro qualquer diferente de zero. Esse conjunto ´e indicado por Q e pode ser representado assim:
Q = {
a b
; a ∈ Z e b ∈ Z∗}
Note que quando b = 1 temos que
a 1
= a ∈ Z o que mostra que Z ⊂ Q
(Z ´e um subconjunto de Q).
Observa¸c˜ao 1.5.1. Porque n˜ao existe divis˜ao por zero? De fato, imagine que b 0 = x, isto ´e, que o resultado da divis˜ao de b por 0 fosse um n´umero x. Como sabemos a divis˜ao ´e a opera¸c˜ao inversa da multiplica¸c˜ao e, portanto, nesse caso, deveria valer que:
b = 0 · x ⇒ b = 0.
Ou seja, at´e aqui, conclu´ımos que para haver divis˜ao por zero o numerador(ou dividendo) tamb´em tem que ser zero. Assim, resta-nos apenas a pergunta,
por que n˜ao ´e poss´ıvel fazer 00? E essa resposta ´e simples. Porque qualquer n´umero poderia ser o resultado dessa divis˜ao. Poderia ser 5 , j´a que 5 ·0 = 0, mas tamb´em poderia ser 17 , j´a que 17 · 0 = 0. Dessa forma, ter´ıamos infinitos resultados, o que definitivamente n˜ao ´e interessante. Portanto, n˜ao existe divis˜ao por zero.
O conjunto Q ´e infinito e ilimitado superior e inferiormente. Uma caracter´ıstica que o distingue bastante de Z e N, ´e que em Q n˜ao existe a figura do “pr´oximo n´umero”. Por exemplo, se perguntarmos qual ´e o primeiro n´umero racional depois do 0, a resposta ´e que ele n˜ao existe! De fato, dado um n´umero racional x > 0 qualquer, sempre existe um n´umero racional positivo menor que ele, por exemplo
x 2
. (Pense nisso!) Em Q destacam-se os seguintes subconjuntos:
Q∗: O conjunto dos racionais n˜ao nulos
Q+: O conjunto dos racionais n˜ao negativos
Q∗ +: O conjunto dos racionais positivos
Q−: O conjunto dos racionas n˜ao positivos
Q∗−: O conjunto dos racionais negativos
Os n´umeros racionais s˜ao normalmente representados na forma de fra¸c˜oes: 1 2
. Cabe aqui relembrar que todo n´umero que possa ser escrito na
forma
a b
, com a, b inteiros e b 6 = 0, ´e racional. Tal representa¸c˜ao n˜ao ´e ´unica. De fato, na forma fracion´aria, um mesmo n´umero racional tem infini- tas representa¸c˜oes. Por exemplo:
2 n 3 n
, n ∈ N. A simplifica¸c˜ao
´e usual exatamente para facilitar os c´alculos. Dessa forma, ´e comum repre- sentarmos um n´umero racional na forma fracion´aria ab com a e b inteiros primos entre si, ou seja, sem fator comum. Essa forma de representa¸c˜ao da fra¸c˜ao ´e a chamada forma irredut´ıvel. O uso da forma irredut´ıvel n˜ao ´e obrigat´oria, mas desej´avel para evitar c´alculos demasiados.
H´a outra representa¸c˜ao dos n´umeros racionais chamada de forma decimal. As fra¸c˜oes
e
, por exemplo, podem ser representadas por 0, 25, 0, 175 e 3, 875 respectivamente, esses valores s˜ao obtidos dividindo o numerador pelo
O inverso de um n´umero racional n˜ao-nulo ab ´e representado por
(a b
e vale ba , ou seja, (a b
b a
, a, b 6 = 0.
Note que a b
(a b
a b
b a
A divis˜ao ´e feita multiplicando-se a primeira fra¸c˜ao pelo inverso da segunda, desde que ela seja diferente de zero:
a b
c d
a b
d c
ad bc
b, c, d 6 = 0.
Vejamos um exemplo: 2 5
Para ordenarmos os n´umeros racionais, usaremos o seguinte princ´ıpio. Se os n´umeros racionais ab e cd tˆem denominadores positivos, ent˜ao ab ´e maior que cd se, e somente se, a·d ´e maior do que c·b. Ou seja, a compara¸c˜ao ´e feita reduzindo-se as fra¸c˜oes a um denominador comum (positivo!) e comparando- se a seguir, os numeradores. Assim, por exemplo: 67 > 45 , j´a que
4 5
e 30 > 28.
1.6 Exerc´ıcios
a)
b)
c)
d)
e)
a) 0 , 4 b) 1 , 81 c) 0 , 234 d) 18 , 1 e) 1 , 2415
p q
, sendo p e q n´umeros inteiros positivos relativamente
primos, determine o valor de p + q.
b) Qual ´e o maior n´umero inteiro menor que −
(b)
(c) 0, 999 ... +
de sua idade. Qual ´e a idade de Beatriz?
do algarismo das unidades. Se os algarismos forem permutados entre si, obt´em-se um n´umero que ´e 9 unidades maior que o primeiro. Qual ´e a soma dos dois algarismos?
1.7 Os n´umeros irracionais
Como vimos na se¸c˜ao anterior, todo n´umero racional pode ser escrito na forma decimal por uma representa¸c˜ao finita (como −3 ou 2 , 85, por exem- plo) ou infinita peri´odica (como 0, 3333 ... = 13 , por exemplo). Cabe ent˜ao a seguinte pergunta: Ser´a que todo tipo de n´umero tem uma representa¸c˜ao decimal finita ou infinita peri´odica? A resposta ´e n˜ao. Por exemplo, o n´umero
0 , 202002000200002000002 · · ·
tem representa¸c˜ao decimal infinita e n˜ao peri´odica. Al´em desse, existem n´umeros important´ıssimos cuja representa¸c˜ao decimal ´e infinita e n˜ao se repete, ´e o caso dos conhecidos π = 3, 1415926 · · · e
Historicamente, os n´umeros racionais n˜ao solucionaram todos os proble- mas envolvendo a geometria e a aritm´etica. Por exemplo, em determinadas figuras, alguns segmentos n˜ao tˆem uma unidade de medida que caiba um n´umero inteiro de vezes em cada um deles; s˜ao os chamados segmentos in- comensur´aveis. Pit´agoras e seus seguidores j´a haviam percebido essa dificul- dade com rela¸c˜ao a diagonal de um quadrado de lado
= 1.
1 d
1
1
1
Aplicando o teorema de Pit´agoras 2 no ∆ABC, obtemos
d^2 = 1^2 + 1^2 ⇒ d^2 = 2 ⇒ d =
o qual n˜ao pertence a Q pois ele tem representa¸c˜ao infinita n˜ao peri´odica.
(^2) Num triˆangulo retˆangulo com hipotenusa (o maior dos lados do triˆangulo retˆangulo) medindo a e catetos medindo b e c vale a seguinte rela¸c˜ao:
a^2 = b^2 + c^2.
Fica evidente que nem sempre a raiz de um n´umero racional ´e um n´umero racional. Para que a teoria dos n´umeros racionais evolu´ısse foi necess´ario o avan¸co dos estudos sobre infinitos e geometria anal´ıtica. Foram gastos al- guns s´eculos para que, entre tantas contribui¸c˜oes chegasse ao s´eculo XIX com Dedekind (J.W.R. Dedekind, 1831-1916) e Cantor (Georg Cantor, 1845- 1918), dando um rigor cient´ıfico a essa teoria. O conjunto I dos irracionais ´e formado por n´umeros cuja representa¸c˜ao decimal n˜ao ´e finita e nem peri´odica.
Exemplos:
O n´umero π = 3, 141592 ..., ´e o resultado da divis˜ao da medida do com- primento de uma circunferˆencia pela medida do sue diˆametro.
O n´umero e = 2, 718 ...,conhecido com n´umero de Euler (Leonhard Eu- ler, 1707-1783).
Radicais do tipo
5 = 2, 2360 ..., e, de forma geral
p, com p primo.
1.8 Exerc´ıcios
− 0 , 064 ´e um n´umero racional ou irracional?
√ 2 ,
√ 2 , (
√ 2 )
√ 2 .