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Introdução probabilidade, Notas de estudo de Engenharia de Telecomunicações

Estatistica

Tipologia: Notas de estudo

2013

Compartilhado em 15/04/2013

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eloy-s-guandalini-5 🇧🇷

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02/2012
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NOTAS DE AULA PROBABILIDADE
Profa. Dra. Lúcia F. A. Guimarães
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NOTAS DE AULA PROBABILIDADE

Profa. Dra. Lúcia F. A. Guimarães

I. REVISÃO DE ALGUNS CONCEITOS:

I.1. MÉDIA

É uma Medida de Tendência Central, ou seja, é o valor, em torno do qual, tendem a se concentrar a maioria dos dados.

É a única Medida de Tendência Central que sofre influência de todos os dados. Basicamente, seu cálculo é:

n

x númerototalde valores

x =somadetodososvaloresda^ variável=∑ i

É utilizada quando existe uma necessidade de obter a medida de posição que possui maior estabilidade. É também o valor que pode substituir todos os valores da variável, isto é, o valor que a variável assumiria caso fosse necessário como constante.

A média requer interpretação. Por exemplo, se a pessoa A tira nota 10 (dez) em uma prova e a pessoa B tira 0 (zero). Cada uma delas, em média, terá nota 5,0??????

I.2. VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO

Dado 3 séries:

X= 70, 70, 70, 70, 70 ⇒ x = 3505 = 70

Y= 68, 69, 70, 71, 72 ⇒ y = 3505 = 70

Z= 5, 15, 50, 120, 160 ⇒ z = 3505 = 70

 Dados que não possuem variabilidade tem σ=0;

 A média é tanto mais representativa quanto menor for o desvio padrão (variância)  Resumindo , as fórmulas da variância e desvio padrão para dados Agrupados são: POPULAÇÃO AMOSTRA

VARIÂNCIA

2 2 i^2 i i i n

fx n

fx 

σ =∑^ − ∑ (^ )

n*(n 1 )

fx n 1 S^2 fix^2 i i i^2 = (^) − − −

DESVIO

PADRÃO

2 i^2 i i i n

fx n

fx 

σ = ∑^ − ∑ (^ )

n*(n 1 )

fx n 1 S fix^2 i i i^2 = (^) − − −

II. PROBABILIDADE

No dia a dia, fazemos afirmações onde usamos probabilidade sem nos darmos conta. Por exemplo, a chance de chover hoje; a chance de você conseguir um determinado estágio, etc. A probabilidade mede a possibilidade de que um evento venha ocorrer e é importante para a estatística indutiva. Na estatística indutiva tomamos decisões através de incertezas e a teoria da probabilidade é usada para avaliar a incerteza envolvida nessa decisão.

II.1. Experimento Aleatório (ou fenômeno aleatório) É aquele que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. Ou seja, fenômenos que o resultado final depende o acaso.

II.2. Espaço Amostral (ou conjunto Universo, (S)) É o conjunto de resultados possíveis dentro de um experimento.

Exemplos:  Lançar uma moeda: S= {Ca, Co}  Lançar um dado: S={1, 2, 3, 4, 5 ,6}  Dois lançamentos sucessivos de uma moeda. S= {(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Co), (Co,Ca)}

Espaço Amostral Finito: Possui um número finito de elementos.

Espaço Amostral Infinito : Possui um número infinito de elementos. (Exemplo: Altura de uma população; {x: 0 <x < 1}.)

O espaço amostral pode também ser contínuo (representado por números reais) ou discreto (representado por números inteiros).

o conjunto vazio (A∩E = φ), ou seja, quando a realização de um exclui a realização do outro.

Exemplo: Na extração de uma só carta, os eventos: “a carta é de copas” e a “carta é de ouros” são mutuamente excludentes, porque uma carta não pode ser ao mesmo tempo de copas e de ouros. Já os eventos “a carta é de copas” e “a carta é uma figura” não são mutuamente excludentes, porque algumas cartas de copas são também figuras.

Eventos Independentes: quando a realização ou não de um evento não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa. Ex: no lançamento de dois dados, o resultado obtido em um deles independe do resultado obtido no outro.

Eventos Condicionados: quando a realização de um evento depende da realização de outro evento no mesmo experimento. Exemplo: Na retirada de 2 cartas vermelhas em um baralho de 52 cartas. Na 1ª retirada temos 26 cartas vermelhas em 52 cartas. Na 2ª retirada temos 25 cartas vermelhas em 51 cartas, pois na 1ª retirada a carta não foi recolocada no baralho.

Evento Diferença (A– B): O evento diferença é formado por todos os pontos amostrais que existem no evento A e não existem no evento B.

Evento Soma ou Evento União (A ∪∪∪∪ B): O evento união é formado pelos pontos amostrais que pertencem a pelo menos um dos eventos.

Evento Produto ou Evento Intersecção (A∩B): O evento intersecção é formado pelos pontos amostrais que pertencem simultaneamente aos dois eventos.

EXEMPLO:

No lançamento de um dado, sabemos que S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Consideremos os eventos: a) A: ocorrência de um número par  A = {2, 4, 6} b) B: ocorrência de múltiplo de 3  B = {3, 6} c) C: ocorrência de um número par ou número múltiplo de 3  C = A∪B = {2, 3, 4, 6} d) D: ocorrência de um número par e múltiplo de 3  D = A∩B = {6} e) E: ocorrência de um número ímpar  E = Ā = S – A = {1, 3, 5}. Note que A∪Ā = S.

Muitas vezes é útil representar graficamente um espaço amostral, pois torna mais fácil a visualização dos seus elementos:

Os eventos A e A’ são eventos complementares

Os eventos A e B são mutuamente excludentes, não existem elementos comuns entre eles, ou seja, não existe intersecção.

Os eventos A e B não são mutuamente excludentes, existem elementos comuns entre eles, ou seja, existe intersecção.

A

A’

A B

A

Logo, a probabilidade de obtermos, simultaneamente, 1 no dado A e 5 no dado

B é de 36

x^1 6

7. Se A e B são Eventos Condicionados, a probabilidade de o evento A ocorrer,

uma vez que B tenha ocorrido, é dado por

P ( A/B) =P(^ P(B)A∩B) , com P(B) > 0.

EXEMPLOS:

1. Consideremos o lançamento aleatório de uma moeda perfeita. Qual a probabilidade de sair cara? Tanto “sair cara” como “sair coroa” (que são os eventos elementares) têm a mesma “chance” de ocorrer. Assim: Espaço Amostral: S = {Ca, Co} n(S) = 2 Evento A: A = {Ca}  n(A) = 1

Logo P(A) = 2

1 n(S)

n(A) (^) =

. Portanto, temos 50% de chance de sair cara no lançamento de uma moeda. 2. Selecionemos aleatoriamente uma carta de um baralho comum de 52 cartas. Temos um espaço equiprovável. Sejam A = {a carta é uma espada} e B = {a carta é uma figura} Vamos calcular P(A), P(B) e P(A∩B) P(A) = numerodecartas

número deespadas = 4

P(B) = númeronumero^ dedefigurascartas = 13

P(A∩B) = númeronumero^ defigurasdecartasdeespadas = 52

3. No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos distinguíveis, qual a probabilidade de não sair soma 5? Sabemos que n(S) = 36. Seja A o evento “sair soma 5”  n(A) = 4, pois A = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}

P(A) = n(S)

n(A) = 9

e

P(Ā) = 1 – P(A) = 9

. Logo, a possibilidade de não sair soma 5 é de 8/9. 4. Dispõe-se de duas urnas, sendo que na urna I temos 5 bolas azuis, 3 pretas e 4 brancas. Na urna II temos 6 azuis, 4 pretas e 10 brancas, todas de mesmo raio. Se uma bola é retirada de cada urna, qual a probabilidade de ambas serem da mesma cor? Eventos Independentes, pois retirar uma bola branca da urna I não altera a chance da ocorrência de tirar uma bola branca da urna II. Podemos formar um par de bolas azuis, um par de bolas pretas e um par de bolas brancas. Urna I: n(S1) = 12 e n(Az1) = 5  P(Az1) = 125

Urna II: n(S2) = 20 e n(Az2) = 6  P(Az2) = 206

Logo, P(2A) = P(Az 1 ) x P(Az 2 ) = 125 x 206 = 24030

Analogamente, temos: P(2P) = P(P1) x P(P2) = 12

(^3) x 20

(^12) e P(2B) =

P(B1) x P(B2) = 124 x 1020 = 24040

Então, P(2A + 2P + 2B) = 24030 + 24012 + 24040 = 24082 = 12041

 (^) = 66  número de maneiras nas quais dois objetos podem ser

escolhidos num lote de 12. Logo n(S) = 12

 (^) = 6  número de maneiras nas quais dois objetos podem ser

escolhidos dentre os 4 defeituosos. Logo n(A) = 6

 (^) = 28  número de maneiras nas quais dois objetos não

defeituosos podem ser escolhidos dentre os 8 não defeituosos. Logo n(B) = 28

Conseqüentemente P(A) = 11

e P(B) = 33

C é o complemento de B. logo, P(C) = P(Bc) = 1 – P(B) = 33

1 −^14 =

III. PROBABILIDADE E CIRCUITOS

O circuito ao lado opera somente se houver um caminho de dispositivos funcionais da esquerda para a direita. A probabilidade de cada um funcionar é dada no gráfico. Qual a probabilidade do circuito operar?

Resolução:

O funcionamento de cada circuito é independente, a probabilidade dele funcionar é 0,9*0,8 = 0,72= 72%

O circuito ao lado opera somente se houver um caminho de dispositivos funcionais da esquerda para a direita. Sejam S e I os eventos em que os dispositivos da parte superior e da parte inferior operam, respectivamente. Haverá um caminho se, no mínimo, um dispositivo operar. Qual a probabilidade o circuito operar?

Resolução:

O funcionamento de cada circuito é independente, a probabilidade dele é:

P(S ou I) = 1 –[P(S ou I) ] = 1- P(S)*P(E) = 1- (0,95)^2 = 99,75%