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Invers˜ao de Matrizes
Defini¸c˜ao e Propriedades
Defini¸c˜ao. Uma matriz quadrada A, n × n, ´e invert´ıvel (ou n˜ao-singular) se existe uma matriz B, n × n, tal que AB = BA = I. B ´e chamada a inversa de A.
Se A n˜ao possui inversa, dizemos que A ´e singular (esta terminologia se explica pelo fato que as matrizes que n˜ao possuem inversa serem uma minoria entre todas as matrizes, minoria em um sentido matematica- mente preciso al´em do alcance deste curso), ou n˜ao-invert´ıvel.
Proposi¸c˜ao. Se uma matriz possui uma inversa, ent˜ao esta inversa ´e ´unica.
Prova: Suponha que
AB 1 = B 1 A = I. AB 2 = B 2 A = I.
Tomando a equa¸c˜ao B 1 A = I, por exemplo, e multiplicando ambos os lados desta equa¸c˜ao `a direita por B 2 , obtemos (B 1 A)B 2 = IB 2 ⇒ B 1 (AB 2 ) = B 2 ⇒ B 1 I = B 2 ⇒ B 1 = B 2.
Propriedades.
- Se A ´e invert´ıvel, ent˜ao A−^1 tamb´em ´e e (A−^1 )−^1 = A.
- Se A, B s˜ao invert´ıveis, ent˜ao AB tamb´em ´e e
(AB)−^1 = B−^1 A−^1.
Para verificar isso, temos que mostrar que
(AB)B−^1 A−^1 = I, B−^1 A−^1 (AB) = I.
Provaremos a primeira identidade, j´a que a demonstra¸c˜ao da segunda ´e an´aloga. De fato,
(AB)B−^1 A−^1 = A(BB−^1 )A−^1 = AIA−^1 = AA−^1 = I.
- Se A ´e invert´ıvel, ent˜ao At^ tamb´em ´e e (At)−^1 = (A−^1 )t. Com efeito, At(A−^1 )t^ = [(A−^1 )A]t^ = It^ = I,
e analogamente se prova que (A−^1 )tAt^ = I.
- Se AB = I, ent˜ao BA = I. A propriedade 4 nos diz que para verificar se uma matriz ´e invert´ıvel, basta verificar se ela possui uma inversa
a direita ou uma inversaa esquerda. Uma demonstra¸c˜ao deste resultado, usando matrizes elementares, ´e dada no livro-texto.
Exerc´ıcio. Se A e B s˜ao matrizes n × n tais que o produto AB ´e invert´ıvel, ent˜ao A e B tamb´em s˜ao necessariamente invert´ıveis?
Resposta: Sim, pois A−^1 = B(AB)−^1 e B−^1 = (AB)−^1 A.
C´alculo da Matriz Inversa atrav´es do M´etodo de Gauss-Jordan
Exemplo 1. Calcule a inversa, se existir, da matriz
A =
[
]
Obter a inversa A−^1 de A significa encontrar uma matriz
B =
[
x y z w
]
tal que AB = I, ou seja, (^) [ 1 2 3 4
] [
x y z w
]
[
]
Achar A−^1 ´e portanto equivalente a resolver dois sistemas: [ 1 2 3 4
] [
x z
]
[
]
[
] [
y w
]
[
]
Ao inv´es de resolver cada um destes sistemas separadamente, podemos resolver os dois sistemas simul- taneamente atrav´es do m´etodo de Gauss-Jordan construindo uma ´unica matriz aumentada: [ 1 2 3 4
]
De fato,
2 a^ linha − 3 × 1 a^ linha → 2 a^ linha ⇒
[
3 2 −^
1 2
]
− 12 2 a^ linha → 2 a^ linha ⇒
[
]
1 a^ linha − 2 × 2 a^ linha → 1 a^ linha ⇒
[
3 2 −^
1 2
]
