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Investigacao operacional aulas do professor universitario da universidade Eduardo Mondlane, Alberto Mulenga
Tipologia: Manuais, Projetos, Pesquisas
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Compartilhado em 10/10/2020
3.8
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Apontamentos de Investigação Operacional 1 Alberto Mulenga
1.1 Definição da investigação operacional
O nome “Investigação Operacional – IO" apareceu pela primeira vez durante a Segunda Guerra Mundial, quando equipas de investigadores procuravam desenvolver métodos para resolver determinados problemas de operações militares. O sucesso destas aplicações levou o mundo académico e empresarial a procurar utilizar as técnicas criadas em problemas de administração. Segundo Ackoff (1968), por volta de 1950 a investigação operacional ou Operations Research (Britânico), Management Science (Americano) e Pesquisa Operacional (Brasileiro), já era reconhecida como objecto de estudo nas universidades e no mundo académico.
Churchman (1971), no seu livro sobre “Introdução à teoria dos sistemas”, considerou a Investigação Operacional, como a aplicação de instrumentos, técnicas e métodos científicos a problemas referentes ao funcionamento de um sistema, permitindo que os encarregados do seu controle, alcancem soluções óptimas para tais problemas. Para Richard (1974), a investigação operacional é uma aplicação sistemática da abordagem científica à investigação de problemas operacionais existentes ou previstos que requerem decisões pelos administradores. O Conselho da Sociedade de Pesquisa Operacional da Inglaterra, considera a investigação operacional como o ataque da ciência moderna a problemas complexos, como consequência da administração de grandes sistemas de homens, máquinas, materiais e dinheiro.
De um modo geral, a investigação operacional tem em vista trabalhar com factores inter- relacionados, aplicando sobre estes um conjunto de aspectos, diferentes técnicas quantitativas para permitir com um bom censo resolver problemas empresariais ao nível da administração.
A investigação operacional pode ser definida como:
A abordagem mais característica da investigação operacional, utilizada pelos especialistas, consiste em procurar desenvolver um modelo científico do sistema em estudo, incorporando a medição ou quantificação de factores, tais como: o acaso e o risco; mediante os quais pode – se prever e comparar os resultados através do controle da estratégia usada, do número de alternativas de decisão, etc. O objectivo da investigação operacional é ajudar ao gestor a estabelecer suas linhas de acção de maneira científica, como resultado do emprego do método quantitativo , para equacionar e solucionar os problemas existentes .
Apontamentos de Investigação Operacional 2 Alberto Mulenga
A Investigação Operacional tem sido vista pelos gestores e outros praticantes sob dois enfoques diferentes quanto à abordagem, mas coerentes e complementares na aplicação no campo da gestão empresarial: (a) Enfoque clássico – busca da solução óptima. O investigador nesta aabordagem tem um conjunto de variáveis quantitativas, ele faz relações funcionais ou sistema de equações, resolve e obtém uma solução óptima.
(b) Enfoque actual – busca de solução viável. O investigador nesta abordagem usa modelos para identificação correcta do problema. Aqui são consideradas tanto variáveis quantitativas como qualitativas, o investigador relaciona as variáveis e produz modelos económico-matemáticos. Dos modelos derivam – se alternativas de solução e finalmente é escolhida uma destas alternativas como solução viável para o problema.
Pela natureza da investigação operacional muitas definições da investigação operacional podem ser feitas, todas estarão correctas se tiverem argumentos aceitáveis. Devemos salientar que historicamente o sucesso da investigação operacional sempre ficou relacionado com: A aplicação do método científico; A abordagem por equipa e inter - disciplinar; O envolvimento no controlo e organização dos problemas dos sistemas (pessoas – máquinas, recursos) para a obtenção de soluções óptimas.
1.2. Características e técnicas da investigação operacional
Características da Investigação Operacional
As principais características da investigação operacional são:
Apontamentos de Investigação Operacional 4 Alberto Mulenga
O critério usado na sucinta descrição foi o de tratar em separado, quando possível, as várias técnicas, teorias, métodos e modelos que precisamente são discutidos em muitas áreas do conhecimento científico.
Mesmo considerando que a análise quantitativa é importante para a tomada de decisão, é necessário esclarecer aos utilizadores das técnicas ou métodos quantitativos, que nem todos os problemas são susceptíveis de solução pelas técnicas quantitativas. Uma aplicação bem-sucedida dos métodos quantitativos, requer uma interacção entre as ciências matemáticas e as ciências do comportamento, pois, o sistema em estudo interage com seres humanos, e: Nem todos factores de um dado problema podem ser quantificados quando se tem variáveis qualitativas. Variáveis não controláveis podem dificultar ao máximo o processo de modelação do problema, fazendo com que os modelos sejam menos perfeitos. O uso de números e de equações, dá uma aparência de exactidão científica. O desejo de confrontar demais os métodos quantitativos pode ser perigoso, pois chega-se a soluções matemáticas que carecem de uma interpretação social.
Ferramenta Operacional Matemática Teoria de Informação Enfoque desejado Solução exacta Solução viável Objectivo Solução óptima Gerir melhor recursos e satisfazer os interesses da organização
Referências: ACKOFF, RL, Sasieni, M.W(1968) – Fundamentals of Operations Research, John Wiley & Sans, Inc USA. ANDRADE, EL (1998) – Introdução à Pesquisa Operacional – métodos e modelos para a análise de decisão, 2a^ edição, editora LTC, RJ, Brasil FARIA, AN(1978) – Dinâmica da Administração – perspectivas e projectos, editora LTC, Rio de Janeiro, Brasil; HILLIER, FS; Gerald, J.L(1995) – Introduction to Operations Research – sexth Edition, McGraw-Hill, International Editions, Singapure; TAHA, HA(2003) – Operations Research an Introduction, sixth edition, Prentice – Hall International, Inc, USA
Designa - se por programação linear (PL) um conjunto de técnicas que permitem resolver os problemas de optimização, num sistema de recursos limitados, sendo lineares, quer a função objectivo, quer as restrições.
A importância especial da programação linear, resulta não só das potencialidades dos seus algorítmos de resolução e da sua grande aplicação prática, mas também da sua génese de estar directamente relacionada com o desenvolvimento dos próprios conceitos fundamentais das teorias de optimização. Os principais desenvolvimentos teóricos da programação linear são devidos a Kantorovich (1939) e a um grupo de cientístas americanos que lançaram as bases da programação linear entre 1939 à 1951, nos quais se destacam os nomes de von Neumann, Harold, W.Kuhn e A.W.Tucker.
A programação linear lida-se com problemas que dizem respeito à atribuição e a distribuíção de recursos entre as diversas tarefas ou actividades que devem ser realizadas. Normalmente, os recursos disponíveis não são suficientes para que todas as actividades sejam executadas no nível desejado. Assim, o que se procura, é encontrar a melhor distribuição possível dos recursos, de forma a atingir um valor óptimo objectivo que pode ser a maximização dos lúcros ou a minimização dos custos.
Assim, um problema de programação linear é caracterizado por três elementos básicos:
Os estudos de programação linear permitem responder questões como:
Exemplo 2.1. Uma companhia de montagem de lâmpadas, usa dois modelos para a montagem: o modelo actual automático e o modelo antigo com acessoria. Cada pessoa no modelo actual requer 1 hora de trabalho se vier do departamento de corte e 3 horas se vier do departamento de verificação. No modelo antigo, cada pessoa necessita de 2 horas de trabalho, se vier do departamento de corte e 4 horas de trabalho se, fôr do departamento de verificação. O número máximo de horas de trabalho para o departamento de corte e de 32 enquanto no departamento de verificação é 84. Se a companhia recebe um lucro de 50
Partindo das situações anteriores, escreve-se o modelo matemático do problema de programação linear.
Maximizar Z = 50x 1 + 80x 2 função objectiva
Sujeito à
1 2
1 2
1 2
x x
x x
x x conjunto das restrições
Qualquer solução que satisfaz todas as restrições do modelo é uma solução possível ou admissível. Por exemplo, o por de valores x 1 = 2 e x 2 = 5 é uma solução possível poís não viola nenhuma das restrições incluindo as de não negatividade. Para verificar basta substituir em cada uma das restrições: 1 a^ restrição: 12 + 25 = 12 < 32, verdadeiro; 2 a^ restrição: 32 + 45 = 26 < 84, verdadeiro; o lucro possível para esta solução é: Z = 502 +805 = 500 u.m.
Variando os valores a atribuir as variáveis de decisão, podemos encontrar outra solução admissível, entretanto o objectivo da optimização linear é encontrar entre todas as soluções possíveis, uma solução óptima possível. Para que o processo não seja por tentativas, existem métodos específicos que são usados para encontrar as soluções óptimas. Para o exemplo 2.1, a solução óptima é: x 1 = 20; x 2 = 6 com Zmax = 1480 u.m.
No exemplo anterior, assumimos que tanto a função objectiva como as restrições são todas lineares. Intrinsecamente são utilizados duas proposições:
Proposição 1. Porporcionalidade – nos modelos de programação linear, a contribuição das variáveis de decisão na função objectivo e nas restrições é directamente proporcional aos valores que as variáveis assumem.
Proposição 2. Aditividade – a contribuição total de todas as variáveis na função objectivo e em cada restrição é igual a soma das contribuições individuais de cada variável.
Exemplo 2.2. Um alfaiate tem disponível 16 m^2 de algodão, 11 m^2 de seda e 15 m^2 de lâ. A confecção de um fato necessita de 2 m^2 de algodão, 1 m^2 de seda e 1 m^2 de lã, e um vestido gasta 1, 2 e 3 m^2 dos mesmos tecidos, respectivamente. Se um fato é vendido à 30 u.m (unidades de medida) e um vestido por 50 u.m., quantas unidades de cada artigo fato ou vestido deve o alfaiate confeccionar de modo a obter maior lucro? Resolução
Tipo de tecido
Artigos Quantidade Fato Vestido Disponível Algodão 2 1 16 Seda 1 2 11 Lã 1 3 15 Preço de venda (u.m) 30 50
O modelo económico - matemático correspondente é:
Maximizar Z = 30x 1 + 50x 2 função objectivo max Z = f(x 1 ,x 2 )
Sujeito à
1 2
1 2
1 2
1 2
x x
x x
x x
x x
conjunto de restrições incluindo as de não negatividade
Exemplo 2.3. Um indivíduo pretende fazer uma selecção de um conjunto de 5 alimentos básicos. Por forma a conseguir estruturar uma dieta que, do ponto de vista nutritivo, tenha como normas mínimas de calorias e vitaminas, respectivamente de 70 e 50 unidades, gastando o mínimo possível. Os preços de venda dos alimentos, bem como a sua composição em elementos nutritivos são dados pelo seguinte quadro.
Elemento nutritivo Alimentos A B C D E Calorias 1 0 1 1 2 Vitaminas 0 1 0 1 1 Custo unitário 2 20 3 11 12
Elabore o modelo matemático do problema.
Resolução Minimizar W = 2x 1 + 20x 2 + 3x 3 + 11x 4 + 12x 5
Sujeito à
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
x x x x x
x x x x x
x x x x x
Exemplo 2.4. Um agricultor precisa de 100 kg de Azoto (N), 120 kg de Fósforo (P) e 120 kg de Potássio (K), para adubar a sua plantação. Ele tem duas possibilidades no mercado, sendo uma na forma líquida em tambores que contém 50 kg de N, 20 kg de P e 10 kg de K ao preço de 30 u.m cada; outra empresa fornece adubo em sacos, contendo 10, 20 e 40 kg de N, P e K, respectivamente, ao preço de 20 u.m cada saco. Quantas embalagens de cada fonte deverá o agricultor comprar para suprir as suas necessidades pelo menor custo.
Resolução composição Possibilidades do mercado necessidades do adubo tambor sacos mínimas Azoto 50 10 100 Fósforo 20 20 120 Potássio 10 40 120 Custo 30 20
Exercício 2.1. Um padeiro dispõe de 150, 90 e 150 unidades dos ingredientes A, B e C respectivamente. Cada pão necessita de 1 unidade de A, 1 de B e 2 de C, e um bolo precisa de 5, 2 e 1 unidades de A, B e C, respectivamente. Se um pão é vendido a 35 u.m., e um bolo é vendido por 80 u.m. Como deve o padeiro distribuir a matéria-prima disponível de modo a obter o maior lucro? Elabore o modelo matemático correspondente a este problema de programação linear.
Exercício 2.2. Cada kg do alimento A custa 85 u.m. e contém 2 unidades de proteína, 6 de hidrato de carbono e 1 de gordura. O alimento B que se pode comprar a 45 u.m. por kg, contém 1, 1 e 3 unidades, daqueles produtos, respectivamente. Supondo que as necessidades semanais mínimas de uma pessoa são 8 unidades de proteínas, 12 de hidrato de carbono e 9 de gordura. Elabore o modelo económico - matemático de forma que a pessoa economize os seus gastos.
Exercício 2.3. Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de 100 contos e o lucro unitário de P2 é de 150 contos. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os dois produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Construa e resolva o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa.
Exercício 2.4. A empresa Sementes de Moçambique (SEMOC), pretende semear arroz e milho, dispondo para tal de áreas que não excedem, respectivamente, 3 e 4 hectare nos arredores de Boane. Por outro lado, as suas disponibilidades em trabalho são apenas de 9 horas diárias. Admitindo que, por cada hectare semeado de arroz é necessário 1 hora de trabalho diário e por cada hectare de milho são necessárias 2 horas. Sabendo que por cada hectare de arroz semeado o lucro é de 5 u.m. e por cada hectare de milho 2 u.m, formule o problema como um problema de programação linear.
Exercício 2.5. Dois países A e B, emprestam dinheiro a outro pais C. Por cada unidade monetária concedida pelo pais A, este cobra anualmente do pais C, uma tonelada de cortiça, 5 toneladas de trigo e 3 toneladas de peixe. Por cada unidade monetária concedida pelo país B, são cobrados anualmente ao país C, uma tonelada de cortiça, 2 toneladas de trigo e 8 toneladas de peixe. Anualmente o pais C não tem disponíveis mais de 20 toneladas de cortiça, 100 toneladas de trigo e 120 toneladas de peixe. Sabendo que por cada unidade monetária emprestada, o país C recebe do país A 500 espingardas e do país B 300 metralhadoras, formule o problema de programação linear que maximize o número de armas que C pode adquirir por este processo.
Exercício 2.6. Uma companhia de aluguel de camiões possuí dois tipos: o tipo A com 2 m^3 de espaço refregerado e 4 m^3 de espaço não refregerado e o tipo B com 3 m^3 refregerado e 3 m^3 não refregerado. Uma fábrica de produtos alimentícios precisou transportar 9 m^3 de produto refregerado e 12 m^3 de produto não refrigerado. Quantos
camiões de cada tipo devem ser ela alugados, de modo a minimizar o custo, se o aluguel de um camião do tipo A é 30 u.m por km e do B é 40 u.m por km. Formule o problema de programação linear da fábrica que necessita de transportar os seus produtos.
Exercício 2.7. Uma pequena manufatura produz dois modelos, Standart e Luxo, de um certo produto. Cada unidade do modelo standart requer 3 horas de lixação e 1 hora de polimento. Cada unidade do modelo de luxo exige 1 hora de lixação e 4 horas de polimento. A fábrica dispõe de 2 lixadores e 3 polidores, cada uma trabalha 40 horas semanais. As margens de lucro são 24 e 32 unidades de medida, respectivamente, para cada unidade standart e luxo. Não existem restrições de demanda para ambos os modelos. Elabore um modelo de programação linear que permita calcular a produção semanal que maximiza a margem total de lucro do fabricante.
Exercício 2.8. Um médico tem de escrever um artigo, para publicação numa revista, subordinada ao tema da composição de uma refeição à base de carnes e legumes, em quantidades de acordo com um mínimo nutricional exigido e de modo a que o custo dessa refeição fosse mínimo. Ele sabe que cada refeição deve conter um mínimo de 8 unidades de carbohidratos, 15 unidades de proteinas e 6 unidades de vitaminas. Sabe também, que o custo de cada unidade de carne é de 5 u.m. e o custo de cada unidade de legumes é de 4 u.m. O número de unidades dos três factores contidos em cada unidade dos dois alimentos acima descritos são:
compostos Carne Legumes Carbohidratos Proteinas Vitaminas
O dietista pretende indicar que quantidades de cada alimento devem ser compradas para que se possa obter o mínimo nutricional requerido com um custo mínimo. A que conclusão terá chegado?
Exercício 2.9. Uma indústria processa três tipos de fibra sintética: A, B e C usando as mesmas máquinas. No Departamento responsável pela mistura de ingredientes, que dispõe de 200 horas por mês, a produção é limitada a 2 horas por tonelada da fibra A, 4 horas por tonelada da fibra B e 3 horas por tonelada da fibra C. No departamento responsável pela embalagem as necessidades são de 6 horas por tonelada da fibra A, 8 horas para a fibra B e 5 horas para a fibra C, com um total de 480 horas disponíveis de máquina por mês. Para o departamento responsável pelo corte das fibras, as necessidades são 10, 6, e 7 horas por tonelada das fibras A, B e C, respectivamente. Esse departamento pode utilizar no mínimo 400 horas de máquina por mês. Outros departamentos limitam – se a produção da fibra B a um máximo de 35 toneladas por mês. O lucro é de 8, meticais por tonelada para a fibra A, 10.00 meticais para a fibra B e 9.00 meticais para a fibra C. A empresa deseja determinar as quantidades mensais de fibras A, B e C que devem ser produzidas de forma a maximizar os lucros. Usando a informação apresentada formule o modelo económico - matemático do problema de programação linear.
Apontamentos de Investigação Operacional 13 Alberto Mulenga
Os pontos A, B, C e D são chamados pontos extremos do polígono. As coordenadas de cada ponto podem ser obtidas resolvendo o sistema de duas equações de rectas que passam por cada ponto.
Assim, a solução do sistema
1 2
1 2 x x
x x define as coordenadas do ponto A(-2;0).
Coordenadas de cada ponto Valor da função f = x1- 2x2+
A = r 2 r 3 A (-2;0) B = r 2 r 4 B (3, - 5/2) C = r 1 r 4 C (3,1) D = r 1 r 3 D (1;3)
Da tabela apresentada, nota – se que o máximo da função f é 12 e ocorre no ponto B enquanto o mínimo é – 1, ocorre no ponto D.
Para os problemas de programação linear com inequações a duas variáveis, o método gráfico consiste em construir através das restrições um conjunto das soluções possíveis e tomar o ponto máximo (para maximização) ou mínimo (para minimização) como solução óptima.
Vejamos através de um exemplo. Resolver graficamente o problema de programação linear: Maximizar Z = 3x 1 + 2x 2
Sujeito à
1 2
1 2
1 2
1 2
x x
x x
x x
x x
Passo 1. Transformar as inequações em equações: Maximizar Z = 3x 1 + 2x 2
Sujeito à
1 2
1 2
1 2
1 2
x x
x x
x x
x x
4 5
3
2
1
r , r
r
r
r
Passo 2. Representar num mesmo sistema de coordenadas, todas rectas e considerar os semi-planos que satisfazem as inequações correspondentes.
Z = 3x 1 +2x 2 = 0 2 1 2
x x é a recta Z
r1 x1 x 0 3
r2 x1 x2 R3 x1 x 0 14 0 - 2 7 0 3 0
r4; x1 > 0 r5: x2 > 0
Rz x1 x 0 0 2 - 1
Apontamentos de Investigação Operacional 14 Alberto Mulenga
Como encontrar o ponto óptimo? Conhecida a região, domínio solução ou conjunto das oportunidades da solução, existêm duas possibilidades para chegar a solução.
Primeira possibilidade:
Segundo os valores da função objectivo e pelo objectivo exposto a solução óptima é SPL = {x 1 = 4; x 2 = 6 com Zmax = 24 unidades de medida}.
Apontamentos de Investigação Operacional 16 Alberto Mulenga
Observações:
Nos problemas de programação linear podem ocorrer os seguintes casos: Uma única solução, esta é obtida num ponto extremo do domínio solução; Duas ou mais soluções (solução múltipla), quando a função objectiva assume o seu valor óptimo em mais de um ponto extremo; Uma solução infinita, geralmente quando as restrições estão mal elaboradas, pois tendo recursos finitos não se poderia aumentar infinitamente os lucros ou despesas; Não ter nenhuma solução, quando as restrições não apresentam um plano comum.
Exemplo 2.5 .Uma pessoa precisa de 10, 12, e 12 unidades dos produtos químicos A, B e C, respectivamente para o seu jardim. Um produto líquido contém 5, 2 e 1 unidades de A, B e C, respectivamente por vidro; um produto em pó contém 1, 2 e 4 unidades de A, B e C, respectivamente por caixa. Se o produto líquido custa 3 u.m. por vidro e o produto em pó custa 2 u.m. por caixa, quantos vidros e quantas caixas ele deve comprar para minimizar o custo e satisfazer as necessidades?
Resolução A seguinte tabela resume os dados do problema
Unidades Unidades por vidro por caixa
Unidades Necessárias Produto A Produto B Produto C
Preço (u.m) 3 2
O modelo matemático é:
Minimizar W = 3x 1 + 2x 2 recta W, se w = 0 então 2
2
x x
Sujeito à
1 2
1 2
1 2
1 2
x x
x x
x x
x x
as equações são
1 2
1 2
1 2
1 2
x x
x x
x x
x x
3
2
1
r
r
r
Construção da recta W: se W = 0 então 2
2
x x
r1 x1 x 0 10 2 0
r2 x1 x 0 6 6 0
R3 x1 x 0 3 12 0
RW x1 x 0 0 2 -
Apontamentos de Investigação Operacional 17 Alberto Mulenga
2 4 6 8 10 12 x
10
8
6
4
2
12
x
r
r1 r
Rw
Wmin
Ponto Minimo
A, M, N e O são os pontos extremos do domínio solução e M é o ponto mínimo. M = r1 r2, resolvendo o sistema de duas equações temos:
1 2
1 2 x x
x x solução
2
1 x
x ; Wmin = 31+25 = 13
Resposta: a pessoa deve comprar 1 vidro e 5 caixas e terá um custo mínimo de 13 unidades monetárias.
Exemplo 2.6. Uma empresa pode recorrer à utilização de dois computadores A e B para obter a emissão dos recibos aos seus clientes. Cada período de utilização do computador A é de 4 horas, custa à empresa 20 u.m e obtém-se a emissão de 1200 recibos, enquanto que um período de utilização do computador B é de 3 horas e custa a empresa 50 u.m., obtendo em contrapartida 1900 recibos. Sabendo que a empresa não consegue obter automáticamente, a emissão de todos os recibos, nas 84 horas e com os 760 u.m que dispõe mensalmente para a utilização dos computadores A e B, como é que se pode programar a utilização destes, de modo a obter o máximo de recibos.
Resolução Tabela auxiliar dos dados: Computador A Computador B Disponível por mês Horas por período Custo por período
Recibos por computador/p 1200 1900
Apontamentos de Investigação Operacional 19 Alberto Mulenga
Resumo:
Teorema 1. (teorema fundamental de programação linear): se existe um valor óptimo da função objectivo num problema de programação linear, este valor ocorre em um ou mais pontos extremos da região das soluções admissíveis.
Teorema 2 (teorema de existência de solução): Dado um problema de programação
Se S é uma área fechada, então existe um máximo e um mínimo para z.; Se S não é uma área fechada e a > 0 e b > 0, então existe apenas o mínimo da função z e não existe o ponto máximo sobre S; Se S é um conjunto vazio, não existe nem máximo nem mínimo da função z.
2.2.2 Procedimento do método
As regras gerais para a resolução dos problemas de programação linear pelo método gráfico, resumem-se nos passos:
Passo 1. Para um problema prático, destacar e colocar numa tabela as informações relevantes; Passo 2. Escrever o modelo matemático do problema usando a sequência: Introduzir as variáveis de decisão e escrever a função objectivo; Escrever as restrições do problema, usando inequações ou equações; Escrever as restrições de não negatividade. Passo 3. Representar num gráfico o conjunto solução. De acordo com o teorema 2 se existe solução, calcular as coordenadas deste ponto extremo. Passo 4. Usando as coordenadas do passo 3, calcular o valor da função objectivo; Passo 5. Interpretar a solução óptima, em função do enunciado do problema original.
2.2.3 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Exercício 2.9. Uma carpintaria deseja estabelecer um programa diário de produção dos seus artigos. Actualmente, a carpintaria faz apenas dois produtos: mesa e armário, ambos de um só modelo. Para efeito de simplificação, vamos considerar que a carpintaria tem limitações em somente dois recursos: madeira e mão-de-obra, cujas disponibilidades diárias são 12 m^2 e 8 homens por hora (H.h), respectivamente. O processo de produção é tal que, para fazer 1 mesa a fábrica gasta 2 m^2 de madeira e 2 H.h de mão-de-obra. Para fazer um armário, a fábrica gasta 3 m^2 de madeira 1 H.h de mão-de-obra. Além disso, o fabricante sabe que cada mesa dá uma margem de contribuíção para lucro de 4 u.m, e cada armário, de 1 u.m. a) Formule o modelo de programação linear que descreve este problema. b) Usando o método gráfico, resolva o problema do fabricante de modo a encontrar o programa de produção que maximiza a margem de contribuição para lucro. ( Resp : x 1 = 4; x 2 = 0; Zmax = 16 u.m.)
Apontamentos de Investigação Operacional 20 Alberto Mulenga
Exercício 2.10. Um fabricante dispõe de 24, 37 e 18 quilos de madeira, plástico e aço, respectivamente. O produto A requer 1, 3 e 2 quilos de madeira, plástico e aço e o produto B requer 3, 4 e 1 quilos, respectivamente. Se A é vendido por 20 u.m e B por 30 u.m, quantos quilos de cada produto ele deve fazer de modo a obter o máximo rendimento bruto. Escreva o modelo e resolva-o gráficamente. ( Resp: x 1 = 3; x 2 = 7; Zmax = 270 u.m)
Exercício 2.11. A companhia Cervejas de Moçambique precisa, de 90, 120 e 260 caixas de cerveja de alta, média e baixa qualidades, respectivamente. Existem duas fábricas: a cerveja 2M que produz por dia 10, 30 e 40 caixas de alta, média e baixa qualidades e a cerveja Laurentina que produz por dia 20, 10 e 30 caixas, respectivamente. Se o custo operacional de cada fábrica for de 20 u.m por dia, durante quantos dias deve funcionar cada fábrica de modo a se minimizar o custo e satisfazer as necessidades da companhia. ( Resp : x 1 = 5; x 2 = 2; Wmin = 140 u.m)
Exercício 2.12. Um paciente num hospital necessita no mínimo de 84 unidades de um medicamento M1, e 120 unidades de outro medicamento M2 por dia. Cada grama da substância A contém 10 unidades da M1 e 8 unidades da M2 e cada grama de substância B contém 2 unidades da M1 e 4 unidades da M2. Se cada grama de A custa 3 u.m e de B custa 1 u.m, quantas gramas de cada substância A e B, que o paciente deve tomar por dia de modo que ele melhore e minimize o seu dinheiro. Qual é o valor mínimo que ele vai gastar por dia. ( Resp : x 1 = 4; x 2 = 22; Wmin = 34 u.m)
Exercício 2.13. Usando o método gráfico, resolva as seguintes alíneas dos problemas de programação linear. a) Maximizar Z = 5x 1 +5x 2 b) Minimizar W = 10x 1 +30x 2
Sujeito à
1 2
1 2
1 2
x x
x x
x x Sujeito à
1 2
1 2
1 2
1 2
x x
x x
x x
x x
( Resp : x 1 = 4; x 2 = 2; Zmax = 30) ( Resp : x 1 =14; x 2 =0; Wmin =140)
c) Maximizar Z = 3x 1 +4x 2 d) Minimizar W = 20x 1 +10x 2
Sujeito à
1 2
1 2
1 2
x x
x x
x x Sujeito à
1 2
1 2
1 2
1 2
x x
x x
x x
x x
( Resp : x 1 =2.4; x 2 = 2.4; Zmax = 16.8 ( Resp : x 1 = 3; x 2 = 8; Wmin =140)