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VI - LINHAS DE ESTADO
6.1 Definição
É o diagrama de influência da carga fixa, em todas as seções da estrutura. As linhas de estado podem ser diagramas de esforços ou de deslocamentos.
6.2 Traçados da linha de estado.
Em trechos compreendidos entre nós e apoios da estrutura determinamos as equações correspondentes nos esforços ou deslocamentos em pauta, a seguir analisamos a validade destas equações, procurando seus pontos críticos.
6.2.1 Regras práticas para traçado das linhas de estado
a) Num intervalo de barra, entre cargas concentradas, sem carga distribuída, o momento fletor varia linearmente, esforço cortante é constante.
b) Num intervalo com carga uniformemente distribuída: momento fletor é uma parábola do segundo grau, esforço cortante varia linearmente.
c) Num intervalo com carga variando linearmente: momento fletor é uma parábola do terceiro grau, esforço cortante é uma parábola de segundo grau.
d) Num intervalo com carga parabólica do segundo grau: momento fletor é uma parábola do quarto grau, esforço cortante e uma parábola do terceiro grau.
e) Ao conhecer os momento nos dois pontos, A e B, liga-se estes pontos por uma linha reta obtendo a linha reta, temos a linha de fechamento do momento e obteremos o diagrama neste intervalo considerando-o como uma barra simplesmente apoiada sobre a influência do seu carregamento.
Exercício 2: Traçar o diagrama de momento fletor e esforço cortante da seguinte estrutura:
Momento fletor trecho AC Ms 1 = -(-2,8. x 1 ) = 2,8.x 1 x = 0 .........Ms 1 = 0 x = 2 .........Ms 1 = 56 tf.m
trecho CD Ms 2 = -[(-2,8. x 2 ) + 2(x 2 - x 1 )] = 2,8x 2 2 - 2x 2 + 4
x = 2 ........Ms^2 = 5,6tf.m x = 7 ........Ms 2 = 9,6tf.m
trecho BD Ms 3 = 3,2 x 3 x = 0 .......Ms 3 = 0 x = 3 .......Ms 3 = 9,6tf.m
Esforço cortante trecho AC Qs 1 = -( +2,8) = -2,8tf trecho CD Qs 2 = -( +2,8 - 2) = -0,8tf trecho BD Qs 3 = 3,2tf
Exercício 4: Traçar o diagrama de momento fletor da seguinte estrutura
Momento fletor
balanço da esquerda Ms 1 = -[2. x 1 + 1.x 1 (x 1 /2)] = - 2x 1 - 1/2x 1 ²
x = 0 ........Ms 1 = 0 x = 2 ........Ms 1 = -6tfm
balanço da direita Ms 2 = +[ - 2x 2 (x 2 /2)] = - x 2 ² x = 0 ......Ms 2 = 0 x = 2 ......Ms^2 = -4tfm trecho AC Ms 3 = -[ -7,8x 3 + 4x 3 + 6 + 1x 3 (x 3 /2)] = 3,8x 3 - 6 - x 3 ²/
x = 0 ......Ms^3 = -6tm x = 2 .......Ms 3 = -0,4tfm
trecho BC Ms 4 = +[ -4 - 4 x 4 + 8,2x 4 - 2 x 4 (x 4 /2)] = - 4 + 4,2x 4 - x 4 ² x = 0 .......Ms 4 = - 4tfm x = 2 .......Ms 4 = 0,4tfm x = 3 .......Ms^4 = -0,4tfm
Exercício 5: Traçar o diagrama de momento fletor da seguinte estrutura
Reações de apoio Fy = 0 1,1.6 + 0,9(6+3) + 24,4659.sen 45 - Va + Vb = 0 Ra + Rb = 32tf Fx= 0 -2,7 - 24,4659.cos45 - Hb = 0 Hb = 20tf Mb = 0 Va.9 + 1,1.6.(3+6/2) - 0,9.9.9/2 - 24,4659.sen45. 1,5 - 2,7.1,5 - 24,4659.cos45.1,5 = 0 Va = 14,6666tf Vb = 17,3333tf
Trecho AC Ms1 = -( - 14,6666.x1 + (0,9 +1,1).x1(x1/2) = -x1² + 14, x1 = 0 ...........Ms1 = 0 x1 = 6 ...........Ms1 = 51,99999 = 52tfm Qs1 = -[14,66666 - (0,9+1.1)x1= -14,6666 + 2.x x1 = 0 ...........Qs1 = -14,6666 tf x1= 6 ........... Qs1= -2,66666 tf Ns1 = 0
Trecho BD
Ms2= Vb.sen45 + Hb.sen45 - (0,9.x2/2)sen45(x2/cos45) = 37,3333x2 - 0,45x2² x2 = 0 ...........Ms2= 0
x2 = 1,5 ........Ms2 = 54,98750 tf Qs2 = 17,3333cos45 + 20sen45 - (0,9.cos45)(x2/cos45) = 26,39865293 - 0,9x x2 = 0 ...........Qs2 = 26,39865293 tf x2 = 1,5 ........Qs2 = 25,04865293 tf Ns2 = +[ +Hb.cos45 + (0,9.cos45)(x2/cos45) + ( +20.cos45 - 17,333.cos45 + 0,9x2)] = +1,885618319 + 0,9x x2 = 0 ...........Ns2 = 1,8856 tf x2 = 1,5 ........Ns2 = 3,2356 tf Trecho DC Ms3= +[(17,3333.cos45 + 20.sen45 + 0,9.cos45.x3 /2)x3 /cos45 - 24,4659(x3 -1,5)/ cos45 - 2,7sen 45(x3 -1,5)/cos45] = -0,45x3 ² - 1,085047.x3 + 57, x3 = 1,5 .......Ms3 = 54,9875 tfm x3 = 3 ..........Ms3 = 50,322 tfm Qs3 = 26,39865293 - 0,9x3 - 24,4659 - 2,7sen45 = -0,9x3 + 0, x3 = 1,5 ......Qs3 = -1,3255353 tf x3 = 3 ..........Qs3 = - 2,676 tf Ns3 = +1,885618 + 0,9x3 - 2,7cos x3 = 1,5 ...... Ns3 = 1,32643 tf x3 = 3 ..........Ns3 = 2,676 tf
Exercício 6: Faça o cálculo, e trace as linhas de estado do momento fletor, esforço cortante e esforço normal, apresentando analiticamente para cada trecho as equações.
Reação de apoio Fy = 0 6.3 + 7,4 - Vc - Vn = 0 Fx= 0 Hd - 5 = 0 Hd = 5tf Md = 0 -5.5 + 7,4.0 + 6.3.(2+2+3/2) - Vn.7 = 0 Vn = 10,571tf Vd = 14,829tf
Momento fletor Esforço cortante Esforço normal
Trecho DF Ms1 = 0 Qs1 = 0 Ns1 = -( + 14,829 - 7,5) = - 7,329tf
1 Esforço na barra DH Mf = 0 -5.2 + 6.3(2+2+3/2) - 10,571.7 - VDH[2.cos(arctg3/2)] = 0 VDH = 9,014tf VDHv = 9,014 cos 33°41'24,2'' = 7,5tf VDHh = 9,014 sen 33°41'24,2'' = 5tf
2 Esforço na barra DF Fx= 0 VHDh - 5 = 0 VHDh = 5 tf Fy = 0 14,829 - VHDv - VFD = 0 VFD = 7,329 tf
Trecho FH Ms2 = 0 -(7,4x2 -
7,329x2) x2 = 0 ....Ms2 = 0 x2=2.......Ms2= -,14tfm
Qs2=-(-7,329+ 7,4) =
Ns2 = 0
Trecho HI Ms3 = 0 - (0,.071x3 -
7,5(x3-2) - 5. x3=2...MS3=-0,142tfm x3=4...MS3= 14,716tfm
Qs3 = -(-7,329+7, -7,5 ) = 7,429tf
NS3 = -(5) = -5 tf
Trecho MI Ms4 = 0 + (+5.x4)
x4 = 0 .......Ms4 = 0 x4 = 2 ...... Ms4 = 10tfm
Qs4 = 5tf Ns4= 0
Trecho IJ Ms5 = 0 -[( -7,429x5) + 5.2 + 6 (x5-4)(x5-4/2)] x5=4.....Ms5 = 4,716tfm x5 =7....Ms5 = 0
Qs5=7,429 - (60x5) x5=0..Qs5= 7,429tf x5=3Qs5= -10,571tf
Ns5 = - (5-5) = 0
Trecho JN
0 < x < 7
Ms6 = 0 Qs6 = 0 Ns6 = + (-10,517) = - 10,517tf
Diagramas
Momento Fletor
Estrutura II Fx = 0 Hb = 10KN Fy = 0 Va + Vb = 167,59259 + 50 + 60 + 40.2 + 40.2 = 437, Ma = 0 167,59259(2+2,5+2,5) + 10.3 + 40.2(2/2+2,5.2,5) + 50.2,5 - Va(2,5+2,5) - 60.2 - 40.2.2.1/2 = 0 Va = 321,62963KN Vb = 115,96296KN
Estrutura I Momento fletor Esforço cortante Esforço normal
Trecho GE 0<x<
Ms1 = - [10.x1] X = 0 0 x = 1 -10KNm
Qs1 = 10KN Ns1 = -20KN
Trecho EC 0<x<1,
Ms2 = -[10.1 + 20.x2 + 30.x2.x2.1/2] X = 0 -10KNm x = 1,5 -73,75KNm
Qs2 = -[-20-30.x2] x =0 20KN x =1,5 65KN
Ns2 = 10KN
Trecho CH 1,5<X<3,
Ms3 = -[10.1 + 20.x3 + 30.x3.x3.1/2 - 127,407(x3-1,5] X = 1,5 -73,75KNm x = 3,5 -8,93518KNm
Qs3= -[-20 - 30.x3 + 127,467] x =1,5 -62,4KN x =3,5 -2,41KN
Ns3 = 10KN
Trecho FD 0<x<
Ms4 = +[25 - 30.x4.x4/2 - (35-35/2.x4)x4.x4/2 - (35/2x4.x4.1/2)(2/3.x4)] X = 0 25KNm x = 2 -81,6666KNm
Qs4 = [-30.x4 - (35-35/2.x4)x4 - 35/2.x4.x4.1/2] x =0 0KN x =2 -95KN
Ns4 = 0KN
Trecho DH 2<x<4,
Ms5 = +[25 - 30.x5.x5/2 - (35.2.1/2)(x5-1/3.2) + 167,59259(x5-2)] X = 2 -81,6666KNm x = 4,5 6,0648KNm
Qs5 = [-30.x5 - (35.2/2)
- 167,59259] x =2 72,592KN x =4,5 -2,41KN
Ns5 = 0
Estrutura II
Trecho DI 0<x<
Ms6 = -[10.x6] X = 0 0KNm x = 3 -30KNm
Qs6 = -[-10]=10KN Ns6 = 10KN
Trecho AI 0<x<
Ms7 = -[167,592.x7 + 40.x7.x7/2 + 10.3] X = 0 -30KNm x = 2 -445,185KNm
Qs7= -[167,592.x7 + 40.x7.x7/2 + 10.3] x =0 167,59KN x =2 247,59KN
Ns7 = 10KN
Trecho AK 2<x<4,
Ms8 = -[167,592.x8 + 40.2(x8-2/2) + 10.3 – 321,62963(x8-2)] X = 2 -445,185KNm x = 4,5 -260,089KNm
Qs8 = -[-167,592 - 40.
Ns8 = 10KN
Trecho JB 0<x<
Ms9=+[-60.x9- 40.x9.x9/2] X = 0 0KNm x = 2 -200KNm
Qs9 = [-60 -40.x9] x =0 -60KN x =2 -140KN
Ns9 = 0KN
Trecho BK 2<x<4,
Ms10=+[-60.x10-40.2.(x -2/2) + 115,96296(x10-2)] X = 2 -200KNm x = 4,5 -260,0926Nm
Qs10 = [-60 - 40. +115,962] = 10KN
Ns10 = 10KN
Diagramas:
Momento Fletor
Esforço Cortante
Momento fletor Esforço cortante Esforço normal
Estrutura I
Trecho CD 0<x<
Ms1=-[-88,333.x1+30. x1.x1/2–50/23x1.x1.1/2. 1/3.x1] x = 0 0KNm x = 1 69,16KNm x = 2 83,33KNm
Qs1 = -[88,333 - 30.x1 - 50/2.x1.x1/2] x = 0 -88,333KN x = 1 -45,833KN x = 2 21,667KN
Ns1 = -50KN
Trecho BE
0<x<
Ms2 = +[+101,667.x2 – 40.x2.x2/2] x = 0 0KNm x = 1 81,667KNm x = 0 123,334KNm
Qs2 = +[101,667 - 40.x2] x = 0 101,667KN x = 1 61,667KN x = 2 21,667KN
Ns2 = 0
Trecho ED 0<x<1,
Ms3 = +[+101,667.2 – 40.2.1/2.2 - 50.x3] x = 0 123,334KNm x = 1 73,334KNm x = 1,5 48,334KNm
Qs3 = -50KN Ns3 = +[-101,667 + 40.2] = -21,667KN
D Md=-[-88,333.2+30.2/. 2+ 50.2.1/2.1/3.2 + 35 = 48,334KNm
Estrutra II
Trecho CA 0<x<
Ms4 = +[-88,333.x4 – 30.x4.x4/2] x = 0 0KNm x = 1,5 -166,25KNm x = 3 -400KNm
Qs4=+[-88, -30.x4] x = 0 -88,333KN x = 1,5 -133,333KN x = 3 -178,333KN
Ns4 = -50KN
Diagramas
Momento Fletor:
Esforço Cortante:
Esforço Normal:
Exercício 9: Calcule os esforços internos solicitantes e trace os seus respectivos diagramas
Diagramas
Momento Fletor
Esforço Cortante
Esforço Normal
