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10. CARGAS ACIDENTAIS E MÓVEIS;
LINHAS DE INFLUÊNCIA
10.1. Introdução
Diversas estruturas são solicitadas por cargas móveis. Exemplos são pontes rodoviárias e fer- roviárias ou pórticos industriais que suportam pontes rolantes para transporte de cargas. Os esforços internos nestes tipos de estrutura não variam apenas com a magnitude das cargas apli- cadas, mas também com a posição de atuação das cargas. Portanto, o projeto de um elemento estrutural, como uma viga de ponte, envolve a determinação das posições das cargas móveis que produzem valores extremos dos esforços nas seções do elemento.
No projeto de estruturas submetidas a cargas fixas, a posição de atuação de cargas acidentais de ocupação também influencia na determinação dos esforços dimensionantes. Por exemplo, o momento fletor máximo em uma determinada seção de uma viga contínua com vários vãos não é determinado pelo posicionamento da carga acidental de ocupação em todos os vãos. Posições selecionadas de atuação da carga acidental vão determinar os valores limites de momento fletor na seção. Assim, o projetista terá que determinar, para cada seção a ser dimensionada e para cada esforço dimensionante, as posições de atuação das cargas acidentais que provocam os va- lores extremos (máximos e mínimos de um determinado esforço).
Uma alternativa para este problema seria analisar a estrutura para várias posições das cargas móveis ou acidentais e selecionar os valores extremos. Este procedimento não é prático nem eficiente de uma maneira geral, exceto para estruturas e carregamentos simples. O procedimen- to geral e objetivo para determinar as posições de cargas móveis e acidentais que provocam va- lores extremos de um determinado esforço em uma seção de uma estrutura é feito com auxílio de Linhas de Influência.
Linhas de Influência ( LI ) descrevem a variação de um determinado efeito (por exemplo, uma reação de apoio, um esforço cortante ou um momento fletor em uma seção) em função da posi- ção de uma carga unitária que passeia sobre a estrutura. Assim, a LI de momento fletor em uma seção é a representação gráfica ou analítica do momento fletor, na seção de estudo, produzida por uma carga concentrada unitária, geralmente de cima para baixo, que percorre a estrutura. Isso é exemplificado na figura 10.1, que mostra a LI de momento fletor em uma seção S indica- da. Nesta figura, a posição da carga unitária P = 1 é dada pelo parâmetro x , e uma ordenada genérica da LI representa o valor do momento fletor em S em função de x , isto é, LIMS = MS(x). Em geral, os valores positivos dos esforços nas linhas de influência são desenhados para baixo e os valores negativos para cima.
S
M (^) S(x)
x P^ = 1
Figura 10.1 – Linha de Influência de momento fletor em uma seção de uma viga contínua.
Com base no traçado de LI ’s, é possível obter as chamadas envoltórias limites de esforços que são necessárias para o dimensionamento de estruturas submetidas a cargas móveis ou acidentais. As envoltórias limites de momento fletor em uma estrutura descrevem, para um conjunto de cargas móveis ou acidentais, os valores máximos e mínimos de momento fletor em cada uma
294 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha
das seções da estrutura, de forma análoga ao que descreve o diagrama de momentos fletores para um carregamento fixo. Assim, o objetivo da Análise Estrutural para o caso de cargas mó- veis ou acidentais é a determinação de envoltórias de máximos e mínimos de momentos fleto- res, esforços cortantes etc., o que possibilitará o dimensionamento da estrutura submetida a este tipo de solicitação. As envoltórias são, em geral, obtidas por interpolação de valores máximos e mínimos, respectivamente, de esforços calculados em um determinado número de seções trans- versais ao longo da estrutura.
A determinação de valores máximos e mínimos de um esforço interno em uma seção de estudo é exemplificada para o caso do momento fletor na seção S da figura anterior. O carregamento permanente, constituído do peso próprio da estrutura, é representado por uma carga unifor- memente distribuída g , tal como indica a figura 10.2.
g S LIM (^) S
Figura 10.2 – Carga permanente uniformemente distribuída atuando em uma viga contínua.
Considerando que a ordenada de LIMS (= MS(x) ) é função de uma carga concentrada unitária, o valor do momento fletor em S devido ao carregamento permanente pode ser obtido por inte- gração do produto da carga infinitesimal gdx por MS(x) ao longo da estrutura:
=∫ ⋅ = ∫ ⋅
12
0
12
0
M (^) Sg MS ( x ) gdx LIMS gdx
Considere que existe um carregamento acidental de ocupação que é representado por uma car- ga uniformamente distribuída q. Por ser acidental, a carga q pode atuar parcialmente ao longo da estrutura. O que se busca são as posições de atuação da carga q que maximizam ou minimi- zam o momento fletor em S. O valor máximo de MS é obtido quando a carga q está posicionada sobre ordenadas positivas da LIMS , e o valor mínimo é obtido quando a carga q está posiciona- da sobre ordenadas negativas da LIMS. Isso é mostrado nas figuras 10.3 e 10.4.
q q S LIM (^) S
Figura 10.3 – Posicionamento de carga acidental uniformemente distribuída para provocar máximo momento fletor em uma seção.
q S LIM (^) S
Figura 10.4 – Posicionamento de carga acidental uniformemente distribuída para provocar mínimo momento fletor em uma seção.
Os valores máximos e mínimos de MS devidos somente ao carregamento acidental podem ser obtidos por integração do produto LIMS · qdx nos trechos positivos e negativos, respectivamente, da linha de influência:
( ) =∫ ⋅ +∫ ⋅
12
9
4
0
M qSmáx LIMS qdx LIMS qdx
( ) =∫ ⋅
9
4
M qSmín LIMS qdx
296 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha
Q (^) S(x) (^) = (l–x) / l
x P^ = 1
l
VA VB
LIQ S
A B
MS(x) = b·x / l LIMS
S
a b
Q S
M S M S
Q (^) S(x) = –x / l –
MS(x) = a·(l–x) / l
a b
a b/l
Figura 10.6 – Linhas de Influência de esforço cortante e momento fletor em uma seção da viga biapoiada.
10.3. Método cinemático para o traçado de LI
O Princípio dos Deslocamentos Virtuais ( PDV ) oferece um método alternativo para o traçado de linhas de influência. Considere que a viga biapoiada da seção anterior sofreu um campo de deslocamentos virtuais v(x) , conforme indicado na figura 10.7, onde o apoio da esquerda é des- locado virtualmente para baixo de uma unidade de distância. Como a viga biapoiada é isostáti- ca, o movimento do apoio vai impor um deslocamento de corpo rígido para a viga. Isto é, a vi- ga permanece reta e não existem deformações internas. Deve-se observar que, por uma questão de consistência com a convenção adotada para o traçado de LI ’s, está sendo considerado como positivo um deslocamento transversal v(x) para baixo, e negativo para cima.
v(x) = (l–x) / l
x^ P^ = 1
l VA
VB
A B
Figura 10.7 – Campo de deslocamentos virtuais para determinar LI de reação de apoio de uma viga biapoiada.
O PDV diz que o trabalho virtual produzido pelas forças externas (reais) da estrutura pelos cor- respondentes deslocamentos externos virtuais é igual à energia de deformação internal virtual, que no caso é nula (não existem deformações internas virtuais). Portanto, o trabalho virtual das forças externas é nulo, isto é:
–VA· 1 + P·v(x) + VB· 0 = 0 ⇒ VA(x) = (l–x) / l.
Luiz Fernando Martha – Cargas Acidentais e Móveis; Linhas de Influência – 297
Vê-se que a aplicação do PDV resultou na expressão analítica encontrada anteriormente para a LIVA. Não podia deixar de ser desta maneira, pois o PDV nada mais é do que uma forma alter- nativa para se impor condições de equilíbrio.
As linhas de influência do esforço cortante e do momento fletor em uma seção S da viga biapoi- ada também podem ser determinadas pelo PDV. O campo de deslocamentos virtuais para a obtenção de LIQ (^) S está mostrado na figura 10.8.
VA VB
Q S
MS
MS
v(x) = –x / l
Q S
x P^ = 1
l
a b
v(x) = (l–x) / l
VA VB
Q S
MS
Q S MS
x P^ = 1
b/l
a/l
b/l
a/l
Figura 10.8 – Campo de deslocamentos virtuais para determinar LI de esforço cortante em uma seção de uma viga biapoiada.
O campo de deslocamentos virtuais da figura 10.8 é tal que a viga é cortada na seção S e é im- posto um deslocamento transversal relativo nesta seção igual a uma unidade de distância. Com a seção cortada, por ser a viga isostática, ela se transforma em um mecanismo (em uma cadeia cinemática) que não oferece resistência ao movimento imposto. Portanto, os movimentos virtu- ais dos dois segmentos de viga após o corte são de corpo rígido (sem deformação virtual inter- na). Além disso, as inclinações dos dois segmentos de viga à esquerda e à direita de S devem permanecer iguais para que não haja rotação relativa nesta seção, desta forma evitando que o momento fletor MS produza trabalho virtual. Nota-se também na figura 10.8 que o deslocamen- to transversal relativo na seção S é contrário às direções positivas do esforço cortante Q (^) S , isto é, o segmento à esquerda de S sobe de a / l , enquanto o segmento à direita desce de b / l.
A aplicação do PDV à estrutura da figura 10.8 resulta em:
P = 1 à esquerda de S ( x < a ):
- Q (^) S·a / l – Q (^) S·b / l + MS· 1 / l – MS· 1 / l – P·x / l + VA· 0 + VB· 0 = 0 ⇒ Q (^) S(x) = – x / l.
P = 1 à direita de S ( x > a ):
- Q (^) S·a / l – Q (^) S·b / l + MS· 1 / l – MS· 1 / l + P·(l–x) / l + VA· 0 + VB· 0 = 0 ⇒ Q (^) S(x) = (l–x) / l.
Como pode-se notar, estas expressões são as mesmas obtidas anteriormente para a LIQ (^) S por aplicação de condições de equilíbrio diretamente.
O campo de deslocamentos virtuais para determinar a linha de influência de momento fletor em uma seção S da viga biapoiada é mostrado na figura 10.9. Este campo de deslocamentos é tal que a continuidade de rotação da viga é liberada na seção S e é imposta uma rotação relativa unitária ( θ = 1 rad) nesta seção (consideram-se pequenos deslocamentos, isto é, um arco de cír-
Luiz Fernando Martha – Cargas Acidentais e Móveis; Linhas de Influência – 299
Wiley, New York, 1976; Süssekind, J.C., Curso de Análise Estrutural , Editora Globo, 1977), tam- bém conhecido como método cinemático para o traçado de LI.
θ (^) = 1
V
Q
M M
Q
Reação de apoio
Esforço cortante
Momento fletor
Efeito (^) Deslocamento generalizado
Figura 10.10 – Deslocamentos generalizados utilizados no método cinemático para traçado de LI.
A demonstração do Princípio de Müller-Breslau para estruturas hiperestáticas vai ser feita utili- zando-se o Teorema de Betti, que é uma conseqüência do PDV. Considere as duas vigas contí- nuas hiperestáticas com mesmo comprimento mostradas na figura 10.11. A viga (1) tem uma carga concentrada unitária P 1 = 1, aplicada a uma distância x do início da viga. A viga (2) difere da primeira pela inexistência do primeiro apoio, sendo que nesta posição é aplicada uma carga concentrada P 2 que provoca, no seu ponto de aplicação, um deslocamento para baixo de uma unidade de distância.
P 1 = 1
VA
P 2
1 v 2 (x)
x
v 1 (x)
Figura 10.11 – Aplicação do Teorema de Betti a duas vigas contínuas.
O PDV é aplicado para as vigas (1) e (2) da figura 10.11, sendo que os campos de deslocamentos virtuais utilizados são os deslocamentos da outra viga, isto é, o campo de deslocamentos virtu- ais imposto à viga (1) é a elástica v 2 (x) da viga (2) e para a viga (2) é imposta a elástica v 1 (x) co- mo campo de deslocamentos virtuais. Considerando um comportamento elástico-linear, as ex- pressões do PDV para as duas vigas são:
∑ =^ ∫ +∫ GA dx
QQ
dx EI
M M
Fv c
1 2 1 2 1 2
∑ =^ ∫ +∫ GA dx
QQ
dx EI
M M
Fv c
2 1 2 1 2 1
300 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha
Nestas expressões, o somatório do lado esquerdo do sinal de igualdade representa o trabalho virtual das forças externas, isto é, Σ F 1 v 2 é o trabalho das forças da viga (1) com os corresponden- tes deslocamentos externos da viga (2), e Σ F 2 v 1 é o inverso. As integrais do lado direito do sinal de igualdade representam a energia de deformação virtual interna. A primeira integral é a e- nergia de deformação por flexão e a segunda é a energia de deformação por cisalhamento. M 1 e Q 1 são os diagramas de momento fletor e esforço cortante da viga (1), e M 2 e Q 2 são os diagra- mas da viga (2). O parâmetro E é o módulo de elasticidade do material, o parâmetro G é o mó- dulo de cisalhamento, I é momento de inércia da seção transversal e Ac é a área efetiva para cisalhamento da seção transversal. Observa-se que as energia de deformação virtual interna das duas expressões são iguais. Portanto:
∑ F 1^ v 2 = ∑^ F 2 v 1.
Esta é a expressão do Teorema de Betti, que só é válido para estruturas elásticas-lineares: o trabalho da forças externas de uma estrutura com os correspondentes deslocamentos externos de outra estrutura é igual ao trabalho das forças externas da outra estrutura com os correspondentes deslocamentos da primeira.
Aplicando o Teorema de Betti para as duas vigas da figura 10.11, tem-se:
- VA· 1 + P 1 ·v 2 (x) = P 2 · 0 ⇒ VA(x) = v 2 (x) ∴ LIVA = v 2 (x).
Como a elástica v 2 (x) da viga (2) corresponde justamente à imposição de um deslocamento uni- tário na direção oposta à reação de apoio VA (com a liberação do vínculo associado), fica de- monstrado que o Princípio de Müller-Breslau também é válido para vigas hiperestáticas. De- monstrações análogas poderiam ser feitas para linhas de influência de esforço cortante e mo- mento fletor, ou mesmo para outros tipos de estruturas, como pórticos hiperestáticos.
Um fato importante a ser destacado, e que transparece da figura 10.11, é que as linhas de influ- ência para estruturas hiperestáticas são formadas por trecho curvos, enquanto que para estrutu- ras isostáticas elas são formadas por trechos retos, conforme mencionado anteriormente.
O método cinemático fornece uma explicação intuitiva para isso. No caso de estruturas isostáti- cas, a liberação do vínculo associado ao efeito que se quer determinar a LI resulta em um estru- tura hipostática, que se comporta como uma cadeia cinemática quando o deslocamento genera- lizado é imposto. Como a cadeia cinemática não oferece resistência alguma ao deslocamento imposto, as barras da estrutura sofrem movimentos de corpo rígido, isto é, permanecem retas. Assim, as LI para estruturas isostáticas são formadas por trechos retos.
Entretanto, a liberação do vínculo no caso de uma estrutura hiperestática resulta em uma estru- tura que ainda oferece resistência ao deslocamento generalizado imposto. Isto significa que a estrutura sofre deformações internas para se ajustar ao deslocamento imposto, isto é, as barras se flexionam. Se forem desprezadas deformações por cisalhamento e considerando barras prismáticas (seções transversais constantes), a equação diferencial que governa o comportamen- to de barras à flexão é a Equação de Navier:
EI
qx dx
d v ( x ) ( ) 4
4 = ,
onde v(x) é o deslocamento transversal da barra, q(x) é a taxa de carregamento transversal dis- tribuído, E é o módulo de elasticidade do material e I é o momento de inércia da seção transver- sal. Como no caso do método cinemático para o traçado de LI a taxa de carregamento distribuí- do é nula, a elástica resultante (que é a própria LI ) é regida pela seguinte equação diferencial:
4
4 4
4 = = dx
dLI dx
d vx .
Portanto, no caso geral, as LI ’s para estruturas hiperestáticas são formadas por trechos curvos que são descritos matematicamente por polinômios do 3º grau.
302 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha
de um mesmo vão têm LI ’s de esforço cortante diferindo apenas pela localização da descontinu- idade, que fica sobre a seção.
Aesq Adir S 1 B (^) esq B (^) dir
LIQ (^) A esq
LIQ (^) Adir
LIQ S 1
LIQ (^) Besq
LIQ (^) Bdir
Figura 10.14 – Linhas de influência de esforços cortantes para uma viga Gerber isostática.
Aesq Adir S 1 B^ esq B^ dir S 2
LIQ (^) A esq
∆ = 1 LIQ^ Adir
LIQ S 1
LIQ (^) Besq
LIQ (^) Bdir
∆ = 1 LIQ^ S^2
Figura 10.15 – Linhas de influência de esforços cortantes para uma viga contínua hiperestática.
Luiz Fernando Martha – Cargas Acidentais e Móveis; Linhas de Influência – 303
E, finalmente, as figuras 10.16 e 10.17 mostram LI ’s de momentos fletores.
A S 1 B
θ = 1
LIMA
θ = 1
LIMS 1
θ = 1 LIMB
Figura 10.16 – Linhas de influência de momentos fletores para uma viga Gerber isostática.
A S 1 B S 2 C
θ = 1
LIMA
θ = 1
LIMS 1
θ = 1 (^) LIMB
θ = 1
LIMS 2
θ = 1 (^) LIM (^) C
Figura 10.17 – Linhas de influência de momentos fletores para uma viga contínua hiperestática.
Luiz Fernando Martha – Cargas Acidentais e Móveis; Linhas de Influência – 305
(I). Nota-se que, na superposição dos dois casos, as forças e momentos aplicados aos nós da barra se cancelam, resultando somente no deslocamento generalizado imposto à viga como um todo.
Dessa forma, pode-se observar que a metodologia adotada para o cálculo da LI pelo método cinemático segue o formalismo do Método da Rigidez Direta: no caso (I) e’ considerado o efeito da solicitação externa e no caso (II) a estrutura é resolvida globalmente solicitada por cargas equivalentes nodais. A única novidade é que a solicitação externa neste caso é um deslocamen- to generalizado imposto à barra que contém a seção de estudo com as extremidades engastadas. Por esse motivo, qualquer programa de computador que implemente o Método da Rigidez Di- reta (procedimento padrão) e determine valores da elástica pode ser facilmente modificado para calcular LI ’s pelo método cinemático.
Portanto, para implementar computacionalmente este método, é necessário fornecer soluções de engastamento perfeito para linhas de influência típicas em uma barra. Estas soluções devem conter as reações de engastamento perfeito e a equação da elástica devida a um deslocamento generalizado imposto. Isso é feito a seguir para LI ’s de esforço cortante e momento fletor em uma seção genérica de uma viga biengastada.
10.5. Linha de influência de esforço cortante em viga biengastada
A figura 10.19 mostra a solução de uma viga biengastada à qual é imposto um deslocamento generalizado para o traçado de LI de esforço cortante em uma seção genérica. A barra é consi- derada prismática, com módulo de elasticidade E e momento de inércia da seção transversal I.
A convenção de sinais adotada para reações de apoio é tal que reações forças verticais são posi- tivas quando orientadas para cima e negativas para baixo. Reações momentos são positivas quando no sentido anti-horário e negativas quando no sentido horário. A convenção de sinais para a elástica é tal que deslocamentos tranversais v(x) são positivos quando para baixo e nega- tivos para cima. Como dito anteriormente, a inversão da convenção para deslocamentos trans- versais se deve a um costume de se indicar ordenadas positivas de linhas de influência para baixo.
V 1 V 2
M 1 v (^) esq(x) M 2 v (^) dir(x)
l
a b
S
Figura 10.19 – Solução de uma viga biengastada para determinação de LI de esforço cortante em uma seção.
A solução para a elástica da viga da figura 10.19 foi obtida considerando a seguinte equação diferencial (equação de Navier com taxa nula de carregamento transversal distribuído) e as se- guintes condições de contorno e de continuidade:
Equação diferencial
4
4
dx
d vx
306 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha
Condições de contorno
v ( 0 )= 0 v ( l )= 0
dx
dv 0
dx
dvl
Condições de continuidade (à esquerda e à direita da seção considerada)
v (^) dir ( a )− vesq ( a )= 1
dx
dv a dx
dv (^) dir ( a ) esq ()
Isso resulta na seguinte solução para a elástica da viga, isto é, para a linha de influência do es- forço cortante em uma seção genérica:
2 3 ( ) (^32)
l
x l
x LIQ (^) S vesqx para 0 ≤ x < a
2 3 ( ) (^132)
l
x l
x LIQ (^) S vdirx para a < x ≤ l
Na figura 10.19, as reações de apoio são mostradas com o sentido físico correspondente à LI in- dicada. Considerando a convenção de sinais adotada, as reações de engastamento têm os seguintes valores:
(^1 12) l 3
EI
V = − ⋅ 2 12
l
EI
V = ⋅
(^1 6) l 2
EI
M = − ⋅ 2 6
l
EI
M =− ⋅
10.6. Linha de influência de momento fletor em viga biengastada
A determinação da LI de momento fletor em uma seção qualquer da viga biengastada é análoga ao que foi feito para a LI de esforço cortante. Isto é mostrado na figura 10.20.
V 1 V 2
M 1 M 2
θ = 1
v (^) esq(x) v (^) dir(x)
l
a b
S
Figura 10.20 – Solução de uma viga biengastada para determinação de LI de momento fletor em uma seção.
A equação diferencial e as condições de contorno são as mesmas da LI de esforço cortante. A- penas as condições de continuidade são diferentes:
Condições de continuidade (à esquerda e à direita da seção considerada)
v (^) esq ( a )= vdir ( a )
dx
dv a dx
dv (^) esqa dir
308 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha
Determinação dos esforços cortantes mínimos e máximos da carga móvel
Posição da carga móvel para Q^ Besq mínimo
Posição da carga móvel (carga móvel não atuando) para Q (^) Besq máximo
LIQ (^) Besq B esq
( Q (^) Besq ) cmín. m .. =[ 20 ⋅(− 1. 00 )+ 10 ⋅(− 1. 00 )+ 10 ⋅ 3 ⋅(− 1. 00 )] =− 60. 00 kN
( Q (^) Besq ) cmáx. m .. = 0
Posição da carga móvel para Q^ Bdir mínimo
Posição da carga móvel para Q (^) Bdir máximo
Bdir LIQ (^) Bdir
( Q (^) Bdir ) cmín. m .. =[ 20 ⋅(− 0. 25 )+ 10 ⋅ 0. 5 ⋅ 3 ⋅(− 0. 25 )] =− 8. 75 kN ( Q (^) Bdir ) cmáx. m .. =[ 20 ⋅( 1. 00 )+ 10 ⋅( 0. 75 )+ 10 ⋅ 0. 5 ⋅ 3 ⋅( 0. 25 )+ 10 ⋅ 0. 5 ⋅ 12 ⋅( 1. 00 )] =+ 91. 25 kN
Posição da carga móvel para Q C mínimo
Posição da carga móvel para Q C máximo
LIQ C
C
( Q (^) C ) cmín. m .. =[ 20 ⋅(− 0. 25 )+ 10 ⋅ 0. 5 ⋅ 3 ⋅(− 0. 25 )+ 10 ⋅ 0. 5 ⋅ 3 ⋅(− 0. 25 )] =− 12. 50 kN ( Q (^) C ) cmáx. m .. =[ 20 ⋅( 0. 75 )+ 10 ⋅( 0. 50 )+ 10 ⋅ 0. 5 ⋅ 3 ⋅( 0. 25 )+ 10 ⋅ 0. 5 ⋅ 9 ⋅( 0. 75 )] =+ 57. 50 kN
Luiz Fernando Martha – Cargas Acidentais e Móveis; Linhas de Influência – 309
Posição da carga móvel para Q^ D mínimo
Posição da carga móvel para Q (^) D máximo
LIQ D
D
( Q (^) D ) cmín. m .. =[ 20 ⋅(− 0. 50 )+ 10 ⋅(− 0. 25 )+ 10 ⋅ 0. 5 ⋅ 6 ⋅(− 0. 50 )+ 10 ⋅ 0. 5 ⋅ 3 ⋅(− 0. 25 )] =− 31. 25 kN
( Q (^) D ) cmáx. m .. =[ 20 ⋅( 0. 50 )+ 10 ⋅( 0. 25 )+ 10 ⋅ 0. 5 ⋅ 6 ⋅( 0. 50 )+ 10 ⋅ 0. 5 ⋅ 3 ⋅( 0. 25 )] =+ 31. 25 kN
Posição da carga móvel para Q (^) E mínimo
Posição da carga móvel para Q E máximo
E LIQ E
( Q (^) E ) cmín. m .. =[ 20 ⋅(− 0. 75 )+ 10 ⋅(− 0. 50 )+ 10 ⋅ 0. 5 ⋅ 9 ⋅(− 0. 75 )+ 10 ⋅ 0. 5 ⋅ 3 ⋅(− 0. 25 )] =− 57. 50 kN
( Q (^) E ) cmáx. m .. =[ 20 ⋅( 0. 25 )+ 10 ⋅ 0. 5 ⋅ 3 ⋅( 0. 25 )+ 10 ⋅ 0. 5 ⋅ 3 ⋅( 0. 25 )] =+ 12. 50 kN
Posição da carga móvel para Q (^) Fesq mínimo
Posição da carga móvel para Q Fesq máximo
LIQ (^) Fesq F esq
( Q ) c m [ ] kN Fesq (^) mín
.
( Q ) c m [ ] kN Fesq (^) máx
.
Posição da carga móvel para Q (^) Fdir mínimo
Posição da carga móvel para Q^ Fdir máximo
(carga móvel não atuando)
Fdir LIQ (^) Fdir
( Q (^) Fdir ) c (^) mín. m .. = 0
( Q (^) Fdir ) cmáx. m .. =[ 20 ⋅( 1. 00 )+ 10 ⋅( 1. 00 )+ 10 ⋅ 3 ⋅( 1. 00 )] =+ 60. 00 kN
Luiz Fernando Martha – Cargas Acidentais e Móveis; Linhas de Influência – 311
Posição da carga móvel para M (^) C mínimo
Posição da carga móvel para M (^) C máximo
C LIM C
( M (^) C ) cmín. m .. =[ 20 ⋅(− 2. 25 )+ 10 ⋅ 0. 5 ⋅ 3 ⋅(− 2. 25 )+ 10 ⋅ 0. 5 ⋅ 3 ⋅(− 0. 75 )] =− 90. 00 kNm
( M (^) C ) cmáx. m .. =[ 20 ⋅( 2. 25 )+ 10 ⋅( 1. 50 )+ 10 ⋅ 0. 5 ⋅ 12 ⋅( 2. 25 )] =+ 195. 00 kNm
Posição da carga móvel para M (^) D mínimo
Posição da carga móvel para M (^) D máximo
D LIM D
( M (^) D ) cmín. m .. =[ 20 ⋅(− 1. 50 )+ 10 ⋅ 0. 5 ⋅ 3 ⋅(− 1. 50 )+ 10 ⋅ 0. 5 ⋅ 3 ⋅(− 1. 50 )] =− 75. 00 kNm
( M (^) D ) cmáx. m .. =[ 20 ⋅( 3. 00 )+ 10 ⋅( 1. 50 )+ 10 ⋅ 0. 5 ⋅ 12 ⋅( 3. 00 )] =+ 255. 00 kNm
Posição da carga móvel para M (^) E mínimo
Posição da carga móvel para M^ E máximo
E LIM E
( M (^) E ) cmín. m .. =[ 20 ⋅(− 2. 25 )+ 10 ⋅ 0. 5 ⋅ 3 ⋅(− 0. 75 )+ 10 ⋅ 0. 5 ⋅ 3 ⋅(− 2. 25 )] =− 90. 00 kNm
( M (^) E ) cmáx. m .. =[ 20 ⋅( 2. 25 )+ 10 ⋅( 1. 50 )+ 10 ⋅ 0. 5 ⋅ 12 ⋅( 2. 25 )] =+ 195. 00 kNm
312 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha
Posição da carga móvel para M (^) F mínimo
Posição da carga móvel para M (^) F máximo
LIM F
(carga móvel não atuando)
F
( M (^) F ) cmín. m .. =[ 20 ⋅(− 3. 00 )+ 10 ⋅ 0. 5 ⋅ 3 ⋅(− 3. 00 )] =− 105. 00 kNm ( MF ) cmáx. m .. = 0
Envoltórias de Momentos Fletores
Envoltórias de Momento Fletor [ kNm ] Seção Carga Carga Móvel Envoltórias Permanente mínimo máximo mínimo máximo A 0 0 0 0 0 B -90 -105 0 -195 - C +180 -90 +195 +90 + D +270 -75 +255 +195 + E +180 -90 +195 +90 + F (^) -90 -105 0 -195 - G (^) 0 0 0 0 0
Envoltórias: Momentos Fletores [ kNm ]
mínimos
máximos carga permanente
faixa de trabalho
-195 - -90 -
(^90 ) 195
525
375 375
