Baixe Lista de Cálculo - Exercícios - Cálculo I e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!
- Explique com suas palavras o significado da equação
2
lim ( ) 5 x
f x
. É possível, diante da equação anterior,
que f (2) 3? Explique.
- Explique o significado para você dizer que
1
lim ( ) 3 x
f x
e 1
lim ( ) 7 x
f x
Nessa situação é possível que 1
lim ( ) x
f x
exista?
Explique.
- Explique o significado de cada uma das notações a
seguir,
(a) 3
lim ( ) x
f x
(b) 4
lim ( ) x
f x
- Para a função h cujo gráfico é dado, determine o
valor de cada quantidade, se ela existir. Se não existir,
explique por quê.
(a) 3
lim ( ) x
h x
(b) 3
lim ( ) x
h x
(c) 3
lim ( ) x
h x
(d) h ( 3)
(e) 0
lim ( ) x
h x
(f) 3
lim ( ) x
h x
(g) 0
lim ( ) x
h x
(h) h (0)
(i) 2
lim ( ) x
h x
(j) h (2) (k) 5
lim ( ) x
h x
(l) 5
lim ( ) x
h x
- Para a função g cujo gráfico é dado, determine o
valor de cada quantidade, se ela existir. Se não existir,
explique por quê.
(a) 0
lim ( ) x
g t
(b) 0
lim ( ) x
g t
(c) 0
lim ( ) x
g t
(d) 2
lim ( ) x
g t
(e) 2
lim ( ) x
g t
(f) 2
lim ( ) x
g t
(g) g (2) (h) 4
lim ( ) x
g t
- Para a função f Cujo gráfico é mostrado a seguir,
determine.
(a) 7
lim ( ) x
f x
(b) 3
lim ( ) x
f x
(c) 0
lim ( ) x
f x
(d) 6
lim ( ) x
f x
(e) 6
lim ( ) x
f x
(f) As equações das assíntotas verticais.
5
lim x (^) x 5
1 2
lim 1
x
x
x
2 2 2
lim 2 x
x
x x ^
- (a) Encontre as assíntotas verticais da função
2 2
x y x x
(b) Confirme sua resposta na parte (a) fazendo o
gráfico da função.
- Dado que 0
lim ( ) 3 x
f x
0
lim ( ) 0 x
g x
e
0
lim ( ) 8 x
h x
, encontre, se existir, o limite. Caso não
exista, explique por quê.
(a)
0
lim ( ) ( ) x
f x h x
(b)
2
0
lim[ ( )] x
f x
(c)
1 3 0
lim[ ( )] x
h x
(d) 0
lim x f ( ) x
(e) 0
lim x ( )
f x
h x
(f) 0
lim x ( )
g x
f x
(g) 0
lim x ( )
g x
f x
(h) 0
lim x ( ) ( )
f x
(^) h x f x
- Os gráficos de (^) f e (^) g são dados. Use-se para
calcular cada limite. Caso não exista o limite, explique
por quê.
(a)
2
lim ( ) ( ) x
f x g x
(b)
1
lim ( ) ( ) x
f x g x
(c)
0
lim ( ) ( ) x
f x g x
(d) 1
lim x ( )
f x
g x
(e)
3
2
lim ( ) x
x f x
(f) 1
lim 3 ( ) x
f x
- Calcule
2 3
3
lim( 4)( 5 2) x
x x x
- Calcule
3
1 2 4
lim x 1 4 3
x
x x
^
- (a) O que há de errado com a equação a seguir?
2 6 3 2
x x x x
(b) Em vista de (a), explique por que a equação
2
2 2
lim lim 3 x (^) 2 x
x x x (^) x
está correta.
- Calcule o limite, se existir:
(a)
2
4 2
lim x 3 4
x x
x x
(b)
2
2
lim x 2
x x
x
(c)
2
1 2
lim x 3 4
x x
x x
(d) 9
lim t 3
t
t
(e) 0
lim h
h
h
(f) 2
lim x 7
x
x
(g) 4
lim x 4
x x
(h)
2
9
lim x 3
x
x
(i)
2
1
lim x 1
x x
x
(j) 2
lim x 2
x
x
- Se
2 1 f ( ) x x 2 x 2 para todo x , encontre
1
lim ( ). x
f x
- Prove que
4
0
lim cos 0 x
x x
- A função sinal, denotada por sgn, está definida por
1 se 0
sgn( ) 0 se 0
1 se 0
x
x x
x
^ ^
(a) Esboce o gráfico dessa função.
(b) Encontre ou explique por que não existe cada um dos
limites que se seguem.
(i) 0
lim sgn x
x
(ii) 0
lim sgn x
x
(iii) 0
lim sgn x
x
(iv) 0
lim sgn x
x
- Seja
2 4 se 2 ( ) 1 se 2
x x f x x x
^
(a) Encontre 2
lim ( ) x
f x
e 2
lim ( ) x
f x
(b) Existe 2
lim ( ) x
f x
(c) Esboce o gráfico de f.
- Mostre por meio de um exemplo que
0
lim[ ( ) ( )] x
f x g x
pode existir mesmo que nem 0
lim ( ) x
f x
nem 0
lim ( ) x
g x
existam.
- Quais as seguintes funções (^) f têm uma
descontinuidade removível em a? Se a descontinuidade
for removível, encontre uma função (^) g que é igual a f
para x a e é continua em.
(a)
2 2 8 ( ) 2
x x f x x
, a 2
(b)
x f x x
, a 7
(c)
3 64 ( ) 4
x f x x
, a 4
(d)
x f x x
, a 9
32.Suponha que uma função f seja contínua em [0,1],
exceto em 0,25, e que f (0) 1 e f (1) 3. Seja N 2.
Esboce dois gráfico possíveis de f , um indicandor que
f pode não satisfazer a conclusão do Teorema do Valor
Intermediário e outro mostrando que f pode satisfazer a
mesma conclusão. (Mesmo que não satisfaça as
hipóteses.)
- Se
3 2 f ( ) x x x x , mostre que existe um numero c
tal que f c ( ) 10.
- Use o teorema do valor intermediário para provar que
existe um numero c positivo tal que seu quadrado é igual
a
2 c 2. (Isso prova a existência do número 2 )
- Use o teorema do valor intermediário para provar que
existe uma raiz da equação cos x x no intervalo (1, 2).
- (a) Mostre que a função valor absoluto F x ( ) x é
continua em toda a parte.
(b) Prove que se f for uma função continua em um
intervalo, então f também é.
(c) A recíproca da afirmativa da parte (b) também é
verdadeiro? Em outras palavras, se f for continua,
segue que f também é? Se for assim, prove isso. Caso
contrário, encontre um contraexemplo.
- Um monge tibetano deixa o monastério às 7 horas da
manhã e segue sua caminhada usual para o topo da
montanha. Chegando lá às 7 horas d noite. Na manhã
seguinte, ele parte do topo às 7 horas da manhã, pega o
mesmo caminho de volta e chega ao monastério ás 7
horas da noite. Use o teorema do valor intermediário para
mostrar que existe um ponto no caminho que o monge vai
cruzar exatamente na mesma hora do dia em ambas as
caminhadas.
- Explique com suas palavras o significado de cada um
dos itens que se seguem.
lim ( ) 5
f x x
(b)lim ( ) 3
f x x
- (a) O gráfico de y f ( ) x pode interceptar uma
assíntota vertical? E uma assíntota horizontal? Ilustre
com gráficos.
(b) Quantas assíntotas horizontais pode ter o gráfico
de (^) y f ( ) x? Ilustre com um gráfico as possibilidades.
- Para a função g , cujos gráficos é dado, determine o
que se pede.
(a) lim g ( x ) x
(b) lim g ( x ) x
(c)lim ( ) 3
g x x
(d)lim ( ) 0
g x x
(e) lim ( ) 2
g x x
(f) As equações das assíntotas.
41-42. Esboce os gráficos de um exemplo de uma função
f^ que satisfaça a todas as condições dadas.
41.lim ( ) , 2
f x x
lim ( ),
f x x
lim ( ) 0 ,
f x x
lim ( ) , 0
f x x 0
e lim ( ). x
f x
- f (0) 3, 0
lim ( ) 4, x
f x
0
lim ( ) 2, x
f x
lim ( ) , x
f x
4
lim ( ) , x
f x
4
lim ( ) , x
f x
e lim ( ) 3. x
f x
43-44. Calcule o limite e justifique cada passagem
indicando a propriedade apropriada dos limites.
lim
2
2
x x
x x
x
2 3
3
lim x x
x x
x (^)
45-52. Encontre o limite.
2 3
1 lim x (^) x
lim
2
2
x
x x
x
lim 2
2
x
x
x
lim 3
6
(^) x
x x
x
lim 3
6
(^) x
x x
x
50. x x x
x
lim 9 3
2
51. x^ x x
x
lim 2
2
tan
π 2
lim
x
x
e
53-42. Encontre as assíntotas horizontais e verticais de
cada curva. Confira seu trabalho por meio de um gráfico
da curva e das estimativas das assíntotas.
4
x y x
3
2 3 10
x y x x
4 4 1
x
x hx 56. 4 3 2
2
x x
x F x
- Encontre uma fórmula para a função f que satisfaça
as seguintes condições:
lim ( ) , lim ( ) ,
lim ( ) 0 , lim ( ) , ( 2 ) 0 ,
3 3
0
^ ^
f x f x
f x f x f
x x
x x
- Encontre uma fórmula para uma função que tenha
por assíntotas verticais x 1 e x 3 , e por assíntota
horizontal y^ 1.
- Encontre os limites quando x e quando x
de
2
y x ( x 2)(1 x ). Use essa informação , bem
como os interceptos, para fazer um esboço do gráfico.
- Calcule
(a) 0
tg lim x
x
x
(b)
sen lim x
x
x
(c) 0
tg 3 lim x sen 5
x
x
(d)
2
0
lim x tg sen
x
x x
(e) 0
1 cos lim x
x
x
(f)
2
1 sen lim x^2
x
x
(g) 0
lim sen x
x x
(h)
2 2 sen( ) lim x p
x p
x p
(i)
2
0
sen( ) sen
lim x
x x x x
(j)
lim 1
x
x x
(k)
2 1 lim 1
x
x (^) x
(l)
1 2 lim 1
x
x (^) x
(m)
lim 1
x
x
x
x
(n)
0
lim 1 2
x
x
x
(o)
1
0
lim 1 2 x x
x
(p) 0
lim , 1
x
x
a a x
(q)
2
0
lim
x
x
e
x
(r)
2
0
lim
x
x
e
x
(s) 2 0
lim
x
x x
