Baixe Prova Cálculo Diferencial e Integral I Engenharia USP Outubro 2014 - Questões e Soluções e outras Exercícios em PDF para Cálculo, somente na Docsity!
-A-
MAT-2453 — Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia I — 3
a
Prova
POLI – USP — 10/11/2014 — Gabarito
Questão 1 (Valor: 3.5 pontos). Calcule as seguintes integrais:
a.
∫ ln(x^2 − 4 )
x^2
dx
b.
∫ π^2 32
0
arctg
2 x
( 1 + 2 x)
2 x
dx
Solução. a. Integrando por partes, com f ′(x) =
1 x^2 e^ g(x) =^ ln(x
(^2) − 4 ), temos f (x) = − 1 x ,^ g
′(x) = 2 x x^2 − 4 e
então ∫ 1
x^2
ln(x^2 − 4 ) dx = −
x
ln(x^2 − 4 ) +
∫ 2
x^2 − 4
dx
x
ln(x
2 − 4 ) −
∫ 1
x + 2
dx +
∫ 1
x − 2
dx
x
ln(x
2 − 4 ) −
ln(x + 2 ) +
ln(x − 2 ) + k.
b. Fazendo u = arctg
2 x temos du = √ dx 2 x( 1 + 2 x)
, donde
∫ π^2 32
0
arctg
2 x
( 1 + 2 x)
2 x
dx =
∫ (^) arctg( π 4 )
0
u du =
u^2
2
arctg( π 4 )
0
arctg^2 ( π 4 )
2
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-A-
Quest˜ao 3.
a. Determine o comprimento da curva y = ln
sec^5
( (^) x 5
, para 0 ≤ x ≤
5 π
f (x) = ln
sec^5
x 5
= 5 ln
sec
x 5
f ′(x) = 5
sec
x 5
) (^) · sec
x
5
tg
x
5
= tg
x
5
C =
∫ 5 π 4
0
tg
x
5
dx =
∫ 5 π 4
0
sec
x
5
dx =
[
5 ln
∣sec
x
5
x
5
] 5 π 4
0
= 5 ln
− 5 ln( 1 ) = 5 ln
b. Calcule F′(x)), onde F(x) =
∫ (^) arccos x
0
ln (secx^ t) dt.
F(x) =
∫ (^) arccos x
0
ln (secx^ t) dt = x
∫ (^) arccos x
0
ln (sec t) dt
F
′ (x) =
∫ (^) arccos x
0
ln (sec t) dt + x ln (sec( arccos x))
1 − x^2
∫ (^) arccos x
0
ln (sec t) dt +
x ln x √ 1 − x^2
