Livro de Álgebra Linear e Geometria Analítica, Notas de estudo de Geometria Analítica e Álgebra Linear

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GEOMETRIA ANALÍTICA E

ÁLGEBRA LINEAR

Antônio Fabiano Paiva

FACULDADE ÚNICA

DE IPATINGA

Antônio Fabiano Paiva

Possui graduação em Matemática pela Universidade Federal de Viçosa (1997), especiali-

zação em Matemática pela Universidade Federal de Viçosa (2001) e mestrado-

profissionalizante em ProfMat pela Universidade Federal de Viçosa (2015). Atualmente é

Professor da Secretaria Estadual de Educação de Minas Gerais, Professor da Faculdade

Única de Ipatinga, do Colégio Tiradentes de Ipatinga e Docente em conteúdos de cursos

EAD da Faculdade Única de Ipatinga.

GEOMETRIA ANALÍTICA E

ÁLGEBRA LINEAR

1ª edição

Ipatinga – MG

SUMÁRIO

VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO ............................................................ 7

1.1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................... 7

1.2 VETORES NO PLANO .......................................................................................................... 7

1.3 NORMA DE UM VETOR NO PLANO................................................................................. 8

1.4 OPERAÇÕES BÁSICAS COM VETORES NO PLANO .................................................... 9

1.4.1 Multiplicação de um v etor por um escalar .................................................. 9

1.4.2 Adição de vetores ................................................................................................ 9

1.5 VETORES NO ESPAÇO ℝ

𝟑

............................................................................................... 12

1.6 VETORES NO ℝ

𝐧

................................................................................................................ 13

FIXANDO OCONTEÚDO.................................................................................................. 13

COMBINAÇÃO LINEAR............................................................................... 18

2.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................... 18

2.2 DISTÂNCIA ENTRE DOIS VETORES ................................................................................. 18

2.3 ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES ..................................................................................... 19

2.4 PRODUTO VETORIAL......................................................................................................... 21

FIXANDO O CONTEÚDO................................................................................................. 22

SISTEMAS LINEARES ..................................................................................... 28

3.1 EQUAÇÕES LINEARES ...................................................................................................... 28

3.2 SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR ....................................................................... 28

3.3 SISTEMA LINEAR ................................................................................................................ 29

3.4 SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR............................................................................... 30

FIXANDO O CONTEÚDO.................................................................................................. 34

ESPAÇO VETORIAL ...................................................................................... 39

4.1 DEFINIÇÃO......................................................................................................................... 39

4.2 PROPRIEDADES DE UM ESPAÇO VETORIAL ................................................................ 40

4.3 SUBESPAÇOS VETORIAIS................................................................................................. 41

4.4 COMBINAÇÃO LINEAR ................................................................................................... 42

4.5 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR ................................................................. 42

4.6 BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL ................................................................................... 44

FIXANDO O CONTEÚDO.................................................................................................. 47

TRANSFORMAÇÕES LINEARES ................................................................... 52

5.1 DEFINIÇÃO......................................................................................................................... 52

5.2 PROPRIEDADES DAS TRANSFORMAÇÕES LINEARES................................................. 53

5.3 AUTOVALORES E AUTOVETORES ................................................................................... 55

FIXANDO O CONTEÚDO.................................................................................................. 56

GEOMETRIA ANALÍTICA ............................................................................. 61

6.1 PLANO CARTESIANO E PONTOS ................................................................................... 61

6.1.1 Ponto no plano cartesiano .............................................................................. 61

6.2 NOÇÕES DA RETA NO PLANO ...................................................................................... 67

6.3 DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA ................................................................................. 70

6.4 ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA ...................................................................................... 71

6.5 ESTUDO DAS CÔNICAS – ELIPSE ................................................................................... 73

6.6 ESTUDO DAS CÔNICAS – HIPÉRBOLE........................................................................... 75

6.7 ESTUDO DAS CÔNICAS – PARÁBOLA .......................................................................... 79

6.8 PLANOS NO ESPAÇO E QUÁDRICAS NO ℝ𝟑 ............................................................. 82

FIXANDO O CONTEÚDO ................................................................................................. 86

UNIDADE

02

UNIDADE

03

UNIDADE

04

UNIDADE

01

UNIDADE

05

UNIDADE

06

• RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO
• REFERÊNCIAS
• APÊNDICES
  • APÊNDICE A – ESTUDO DAS MATRIZES E DETERMINANTES
  • APÊNDICE B – NOTAÇÃO E REPRESENTAÇÃO DE UMA MATRIZ.....................................
  • APÊNDICE C – CONSTRUÇÃO DE UMA MATRIZ..................................................................
  • APÊNDICE D – MATRIZES ESPECIAIS.......................................................................................
  • APÊNDICE E – OPERAÇÕES COM MATRIZES

VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO

1.1 INTRODUÇÃO

Estudaremos nessa unidade, conceitos básicos a respeito de v etores, bem

como a aplicação desses em v ários ramos da ciência além de trabalharmos as re-

presentações dos mesmos no plano e no espaço.

1.2 VETORES NO PLANO

Definimos como v etores no plano a segmentos orientados de reta que tem

origem e extremidade, como no exemplo mostrado a seguir.

Figura 1 : Segmento de Reta AB

⃗⃗⃗⃗⃗

Fonte: Elaborado pelo Autor (2020)

Na figura, 𝐴𝐵

representa o v etor v com origem em A e extremidade em B.

Vetor é uma palavra que vem de um radical latino e que significa “carregar”. Portanto

um vetor é formado quando um determinado ponto é deslocado ou carregado a uma

certa distância e em uma certa direção. De uma maneira mais usual, o vetor “carrega”

três informações: Módulo (valor absoluto), direção e sentido.

UNIDADE

Para efeito de estudo, trabalharemos como v etores os quais a sua origem

coincidirá com a origem do sistema de coordenadas cartesianas, ou seja, o ponto O

(0; 0) e sua extremidade será um ponto P (x; y). I sto acarretará que ao representar-

mos um v etor analiticamente apresentaremos apenas a sua extremidade.

Exemplo: Sendo dado um v etor v

= (2 ; 4), dizemos que sua componente será o par

ordenado (2 ; 4). Veja na Figura abaixo a representação.

Figura 2 : Representação do Vetor ⃗ v

Fonte: Elaborado pelo Autor (2020)

1.3 NORMA DE UM VETOR NO PLANO

Definimos como norma de um v etor, também chamada de módulo do v etor,

ao seu comprimento e que será calculado atrav és da equação (1):

‖v⃗ ‖ = √x

v⃗⃗

2

• y

v⃗⃗

2

Graficamente, poderemos v isualizar a aplicação da fórmula de um v etor es-

pecífico:

Um vetor é um segmento de reta ORIENTADO, ou seja, uma semirreta.

tores u⃗ + ⃗v⃗ é:

u⃗ + ⃗⃗v = (x

v⃗⃗

• x

u⃗⃗

; y

v⃗⃗

• y

u⃗⃗

Graficamente, podemos dizer qual a soma de dois v etores u⃗ e ⃗⃗v pode ser

apresentada de duas formas:

 Regra da adição

Sendo dados dois v etores u⃗ e ⃗⃗v, v erificamos a soma u⃗ + ⃗⃗v como sendo

aquele v etor que “liga” a origem do v etor u⃗ com a extremidade do v etor ⃗⃗v , de

acordo com o desenho a seguir:

Figura 4 : Representação gráfica da soma vetorial dos vetores 𝐮⃗⃗ e ⃗⃗𝐯⃗

Fonte: Elaborado pelo Autor (2020)

 Regra do paralelogramo

Consideramos o v etor soma, como sendo a diagonal de um paralelogramo.

Observ ação importante: Os v etores serão considerados na posição padrão,

ou seja, com origem ponto (0;0 ) e extremidade em um ponto qualquer do plano

cartesiano. Veja a seguir:

Figura 5 : Vetor soma de 𝐮⃗⃗ e ⃗⃗𝐯⃗

Fonte: Elaborado pelo Autor (2020)

Exemplo: Considerando os v etores u⃗ e v⃗ de componentes (-3; 1) e (5; 2) respectiv a-

mente, podemos dizer que o v etor soma u⃗ + v⃗ será representado algebricamente e

graficamente da seguinte forma:

u⃗ + v⃗ = (2 ; 3)

 Produto escalar

O produto escalar, é aquele realizado entre dois v etores e é representado por

um número real e não um outro v etor.

Fonte: Elaborado pelo Autor (2020)

O v etor apresentado acima, tem componentes (1; 1; 2)

1.6 VETORES NO ℝ

𝒏

Podemos generalizar o estudo de v etores além do espaço, trabalhando assim

com v etores no ℝ

n

. Não é possiv el apresentar a representação gráfica de v etores no

n

, porém, podemos apresentá-los na forma algébrica.

Um v etor ⃗⃗v, no ℝ

n

, pode ser descrito por suas componentes assim:

⃗⃗ v = ( v

1

; v

2

; v

3

; … ; v

n

) ou ⃗v⃗ =

v

1

v

n

FIXANDO OCONTEÚDO

1. A grandeza força é considerada como v etorial, ou seja, para ficar bem definida,

necessitamos do seu módulo (v alor absoluto), direção e sentido. Suponha que

queiramos representar a grandeza força no plano. O v etor u que representa uma

força aplicada em um determinado objeto está mostrado a seguir:

A alternativ a que contém as componentes corretas de u é:

a) u = (2,5; - 5 )

b) u = (0; 2, 5)

c) u = (-2,5; 5)

d) u = (5; - 2, 5 )

e) u = (-5; 2,5)

2. Dois animais estão com cordas fixadas em um mesmo ponto e os v etores represen-

tam as forças de tensão estão apresentados a baixo:

As componentes do v etor soma u + v que é aquele no qual representamos a força

resultante nessas cordas seria:

a) Não seria possível apresentar o v etor soma pelo método do paralelogramo.

b) O estudante teria que efetuar apenas algebricamente a soma.

c) Ele dev eria transladar os vetores para o primeiro quandrante, onde as componen-

tes seriam todas positiv as e assim unir origem de u⃗ com extremidade de v⃗.

d) O estudante dev eria transladar u⃗ e v⃗, de modo que a origem de ambos fosse a

origem do sistema de coordenadas cartesianas e assim traçarmos o v etor soma

como a diagonal de um paralelogramo.

e) O estudante poderia realizar a soma apenas pelo método da adição (unir a ori-

gem de um com a extremidade de outro).

5. Assinale a alternativ a que apresenta o produto escalar entre os v etores abaixo:

a) 8

b) 10

c) 12

d) 26

e) 5

6. Sendo dados dois v etores do espaço (ℝ

3

), u⃗ e v⃗ , considere então as seguintes

afirmativ as a respeito do produto interno dos mesmos:

1ª afirmativa: O produto interno no ℝ

3

é definido como sendo a soma dos produtos

das componentes das ternas ordenadas.

2ª afirmativa: Se u⃗ = (

) e v⃗ = (

) então o produto escalar ), u⃗⃗⃗⃗ ∙ v⃗ será negativ o

pelo fato de termos 4 componentes negativ as e apenas duas positiv as.

Assim, em relação ás afirmativ as dadas, podemos garantir que:

a) Ambas estão corretas.

b) Ambas são falsas.

c) A 1ª afirmação é falsa e a 2ª é correta.

d) A 1ª afirmação é v erdadeira e a 2ª é falsa.

e) A primeira afirmação está correta e a segunda está parcialmente correta.

7. Considerando o v etor u⃗ =

do ℝ

3

, v amos supor que ele represente uma

grandeza v erificada em um fenômeno físico. O módulo desse v etor ou norma, re-

presenta na prática o seu tamanho. Assinale a alternativ a que apresenta a norma

de u⃗ (

u⃗

a) 12

b) 14

c) 18

d) 10

e) 5

8. Se os v etores u⃗ =

e v⃗ = ( 2 ; 5 ) pertencem ao ℝ

2

, a alternativ a que contém o

v alor correto da norma de u⃗ − v⃗ será:

a) 2

b) √ 29

c) √ 5

d) √ 2

e) √ 19

Figura 7 : Representação gráfica da distância entre dois vetores distintos

Fonte: Elaborado pelo Autor (2020)

A distância entre u⃗ e v⃗ será representada por d(u⃗ , v⃗) e será calculada por meio

da equação (5):

d

u⃗ , v⃗

u⃗ − v⃗

Observação importante: essa expressão também é v álida para qualquer par de v e-

tores u⃗ e v⃗ do ℝ

n

Exemplo: Determine a distância entre os v etores u⃗ =

e v⃗ =

Primeiramente calcularemos u⃗ − v⃗ =

E logo a seguir, calculamos a distância, usando a equação (5). Assim temos:

d

u⃗ , v⃗

u⃗ − v⃗

2

2

2

2.3 ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES

Considerando u⃗ e v⃗ como dois v etores do plano, v amos deduzir a expressão

para encontrarmos a medida do ângulo entre eles, como mostra a Figura 8 a seguir:

Figura 8 : Ângulo entre dois vetores

Fonte: Elaborado pelo Autor (2020)

Assim então, teremos a equação (6), que nada mais é que a Lei dos cossenos

aplicada ao triângulo.

u⃗ − v⃗

2

u⃗

2

v⃗

2

u

v

⋅ cos(α) ( 6 )

Desenv olvendo a igualdade no primeiro membro, teremos:

u

2

u⃗ ∙ v⃗

v

2

u⃗

2

v⃗

2

u

v

⋅ cos(α)

onde ( u⃗ ∙ v⃗ ) é o produto interno.

E assim, simplificando, tem-se a equação (7):

cos(α) =

u⃗ ∙ v⃗

‖u‖ ∙ ‖v‖

Exemplo: Determine o ângulo entre os v etores u⃗ =

e v⃗ =

Solução:

Primeiramente iremos encontrar o produto escalar u⃗ ∙ v⃗ = 2 ∙ 1 + 1 ∙ 1 +

1 , em seguida iremos encontrar as normas de u⃗ e v⃗.

u⃗

2

2

2

v⃗

2

2

2

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