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Baixe Livro-Matematica Vol. 1 -Manoel Paiva e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Física, somente na Docsity!
me ia COORDENAÇÃO EDITORIAL Anã Mario Onofro Dalva F. N. Muramareu José Luis Carvalho da Crur Aicardo Sebattos PREPARAÇÃO DO TEXTO Sergio Roberto Tortas EDIÇÃO DE ARTE Marco) Desta cara Anne Mane Bardor Fato: “Bortolota e Orquidea (imagens mfinias)” E Fleming 8 Parker SPL Stock Photos PESQUISA ICONOGRÁFICA Sérgio Scarutea Graricos Sidnei Moura ILUSTRAÇÕES Falo Menat EDITORAÇÃO ELETRÔNICA Formato Produções Gráficas Ltd COORDENAÇÃO DO PCP Feemantia Doro Degan Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CP) (Câmara Brasi do Livro, SP; Bensil Palva, Manoel Rodngues. 1950 Matemática! Manve) Rodrigues Paiva — São Pauto Moema, 1995, Obra eim E solumes Supeamentndo pe gu o mesi. Matematica 1? py 2 Magica 28 gr Pelo, osarpem FAVA 004 Duas 2 PROGRAMAÇÃO, exercito, lê Mateguca (Vestlbutie! 1 Tito cobsma Índices para catátogo eietemático: ISBN 85-16-01169-0 Td reto rvermnts EDITORA MODERNA LTD); Ria Alea Brás, 31 Tel tzo- so CUP 4544990! - Sho Pao - SP- Bra 1998 eres no Bra 2579108642 Capítulo 17 - Função constante, erescente ou decrescente. ” 1. Raiz de uma função, 128. 2, Função constame, 128. 3, Função crescente e função decrescente, 129. Capítulo 18 — Função afim ou do 1º grau 1, Conceituação, 135. 2. Gráfico de uma função do 1º grau, 138. Capítulo 19 - Variação de sinal da função do 1º grau 1. Introdução, 144. 2. Estudo genérico da variação da função do 1º grau f(x) «A Capítulo 20 — Inequação produto e inequação quociente. 1. Introdução, 154. 2. Inequação produto, 154. 3, Inequação quociente, 157. «ese Capítulo 21 - Função quadrática ou do 2º grau... 1.4 parábola, 165. 2. A parábola como gráfico de uma função, do 2º grau, 167. 4. Pontos notáveis da parábola, 68. 166. 3. Gráfico de uma função «Capítulo 22 - Máximo e mínimo de uma Funçã 1. Valor máximo de uma função, 182. 2. Valor mínimo de uma função, 183. * Capítulo 23 - Variação de sinal de uma função do 2º grau. 1, Conceituação, 190. 2. Generalização, 191. 3, Inequação do 2º grau, 193. Capítulo 24- Aplicação das funções do 2º grau na resolução de uma inequação produto ou de uma inequação quociente... E 197 Capítulo 25 - Função definida por mais de uma sentença... 1. Conceituação, 207. Capítulo 26 - O conceito de módul A 1. Distância entre dois pontos do eixo real, 213. 2. Módulo de um número real, 214. 3. Pro- priedades dos módulos, 215. Capítulo 27 - Função modular 1. Conceituação, 219. Capítulo 28 — Técnicas para construção de gráficos de Funções modulare: 1. Conceituação, 228. 235 Capítulo 29 - Equações modulares. E 1. Equações do tipo | f(x)! = | g€x)!, 235. 2. Equações do tipo | f(x)] = 1(x), em que 1(x) é uma função que não apresenta módulo, 235. 3. Equações do tipo | fo) * | g()] * ... + [Ato] = = (0), 236. Capítulo 30 - Desigualdades e módutos.. 1, Propriedades, 240.2. Inequações modulares, 241, Capítulo 31 - Composição de funções “ 246 1. Conceituação, 246. 252 Capítulo 32 - Funções sobrejetoras, injetoras e bijetoras.... a 1, Funções sobrejetoras, 252. 2. Funções injetoras, 252. 3. Funções bijetoras, 253. 4. Classifi- cação de uma função através do gráfico, 254. 5, Classificação de uma função / através da lei de associação y = f(x), 256. Capítulo 33 - Conceito de funções inversas. 1. Introdução, 260. 2. Relações inversas, 261. 3. Funções inversas, 262. 4. Condição necessária & suficiente para que uma função seja invertível, 263. 5. Técnica para a obtenção da inversa de uma função, 265. 6. Pontas simétricos em relação à reta suporte das bissetrizes dos quadrantes ímpares, 268. 7. Gráficos de funções inversas, 269. Capítulo 34 — Potenciação em R (revisão; 1, Potência de base real e expoente inteiro, 273. 2, Propriedades das potências de expoentes in- teiros, 274. Capítulo 35 - Radiciação em IR (revisão) 1. Radiciação em IR, 276. 2. Propriedades dos radicais, 276. 3, Simplificação de radicais, 277. 4. Operações com radicais, 278. 5, Potência de expoente racional, 278. 6. Propriedades das potências de expoentes racionais, 279. 7. Potência de expoente irracional, 280. 8. Propriedades. das potências de expoentes irracionais, 281. Capítulo 36 — Função exponencial. 1. Conceituação, 283, 2. Propriedades da função exponencial , 285. 3, Equação exponencial , 286. Capítulo 37 — Ineguação exponencial. 1. Conceituação, 290. 2, Resolução de uma inequação exponencial, 290. Capítulo 38 - Teoria dos logaritmos — o porquê dos logaritmos... 1. Princípios básicos, 294. 2. Logaritmo, 294. 3. Propriedades dos logaritmos, 296. Capítulo 39 — Outras propriedades dos logaritmos... 1. Apresentação, 300. Capítulo 40 — Função logarítmica. 1, Introdução, 305. 2. Propriedades da função logarítmica, 307. 305 Capítulo 41 — Equação logarítmica.... 2. Conceituação, 310. 2. Resolução de uma equação logarítmica, 310. Capítulo 42 — Ineguação logarítmica... GG eira no NR li eua Eca note] Capítulo 43 - Logaritmos decimais 1. A tábua de logaritmos, 321. 2. Uso da tábua de logaritmos, 321. 4 Capítulo 44 — Cálculo de logaritmos não-tabelados.. 1. Propriedade fundamental da mantissa, 326. 2, Interpolação logarítmica, 327. 3. Tábua de loga- ritmos decimais, 330. Capítulo 45 — Conceito de ângulo. 1. Semiplano. 336. 2. Ângulo geométrico, 336. 3 Ângulo replementar de um Ingulo geométrico, 337. 4. Ângulo raso, 338. 5, Ângulo de uma volta e ângulo nulo, 338. 6. O grau, umidade de medida de arco e ângulo. 338. 7. Operações com medidas em graus. minutos e segun- dos, 340. Capítulo 46 — Generalidades sobre ângulos... 1. Ângulo reto, 346. 2. Ângulo agudo, 346. 3. Ângulo obuso, 346. 4. Ângulos complementares. 347. 5, Ângulos suplementares, 347. 6. Ângulos adjacentes, 347. 7, Ângulos opostos pelo vértice, 347. 8, Bisseiriz de um ângulo, 348. 9. Retas perpendiculares, 348. Capítulo 47 - Trigonometria no triângulo retângulo... 1. Introdução, 351. 2. Seno, co-seno e tangente de um ângulo agudo, 352. Capítulo 48 - Dois teoremas importantes. 1. Relação entre o seno, o co-seno e a tangente de um ângulo agudo, 359. 2. Ângulos comple- mentares, 360. Capítulo 49 — A trigonometria e o teorema de Pitágoras. 1. Aplicações, 364, Capítulo 50 — Cálculos de alguns senos, co-senos e tangentes. 1. Ângulos notáveis, 368. « 46] Capítulo 67 - Identidades notáveis. 1. Aplicação de identidades na resolução de problemas, 461. Capítulo 68 - Girando as infinitas voltas da circunferência trigonométrica 1. Introdução, 464, 2, Progressão aritmética, 464. 3. Expressão geral das medidas de um arco, 465. 4 Aplicação do conjunto dos números reais (IR) sabre o conjunto de pontos da cireun- ferência trigonométrica, 467. 5. Resolução de uma equação trigonométrica em IR, 469. 473 Capítulo 69 - Ampliação do conceito de expressão geral das medidas de arcos..... 1. Pontos simétricos em relação à origem do sistema, 473. 2, Pontos que dividem a circunferência trigonométrica em arcos de mesma medida, 475. Capítulo 74 - Inequações trigonométricas com universo R.. 1. Resolução de uma inequação irigonométrica em IR, 479. Capítulo 71 - Fórmulas de adição de arcos para o seno e 0 co-seno... 1. Seno e co-seno dos arcos de medidas a + be a - b, 484. Capítuto 72 - Fórmulas de adição de arcos para a tangente. 1. Tangente dos arcos de medidas a + bea — b, 491. Capítulo 73 — Fórmulas de arco duplo para o seno e co-seno...... 1. Seno e co-seno do arco duplo. 494. Capítulo 74 — Fórmula de arco duplo para a tangente... 1. Tangente do arco duplo, 498. Capítulo 75 - Fórmulas do arco triplo... 1. Seno e co-seno do arco triplo. 501. Capítulo 76 — Fórmulas do arco metade 1. Seno, co-seno e tangente do arco metade, 503. Capítulo 77 - Equações trigonométricas com arcos da forma ax + b.. 1. Técnica de resotução, 507. . 512 Capítulo 78 — Inequações trigonométricas com arcos da forma ax + b....... 1. Técnica de resolução, 512. Capítulo 79 — Fatoração de expressões trigonométricas em seno e co-seno — fórmulas de prostaférese. 1. Fórmuias de transformação em produto, $15. 515 Capítulo 80 — Equações trigonométricas na forma fatorada 1. Resolução de equações através das fórmulas de transformação em produto. 548. Capítulo 81 - Fatoração de expressões trigonométricas em tangente... 1, Fórmulas de transformação em produto, 521 Capítulo 82 - A função seno 1. Conceituação, 523. 2. Gráfico da função sen x, 523. Capítulo 83- A função co-seno... . 530 1. Conceituação, 530. 2 Gráfico da função y = cos x, 530. Capítulo 84 - Outras funções trigonométricas. 1. Função tangente, 535, 2, Função co-tangente, 538. 3. Função co-secante, 540. 4, Função se- came, 542. Capítulo 85 - Funções periódicas. 1. Períodos de funções trigonométricas, 547. Capítulo 86 — A inversa da função seno.. + Relação arco-seno, 551. 2. Função arco-seno, 552. Capítulo 87 — A inversa da função co-seno. 1 Relação arco-co-seno, 557. 2. Função arco-co-seno, 558. Capítulo 88 — A inversa da função tangente... 1. Relação arco-tangente, 563. 2. Função arco-tangente, 564. Capítulo 89 - Gráficos das funções trigonométricas inversas... 1. Função arco-seno, 568. 2. Função arco-co-seno, 568. 3. Função arco-tangente, 569. Capítulo 9 — Lei dos co-senos. 1. Aplicação do co-seno na resolução de triângulos, 573. Capítulo 91 - Lei dos senos. 1. Aplicação do seno em resolução de triângulos, $78. Respostas. Noções básicas de lógica A proposição -p será falsa se p for verdadeira; ou será verdadeira se p for falsa. Podemos repre- sentar os valores de p e -p através da tabela ao lado, chamada de tabela verdade. Exemplos api8AS(v) -pr8=5(F) b)p:5<3(F) »p5=3(V) 3. Sentença aberta Considere as seguintes afirmações: a pi“x+5=8” e b).g: “Fulano é jogador da seleção brasileira de futebol”. Qual é o valor lógico, V ou F, de cada uma dessas afirmações? Nenhuma delas pode ser classificada como V ou F, pois nos faltam informações a respeito do x e do “Fulano”. Afirmações desse tipo são chamadas de sentenças abertas. Sentença aberta é toda expressão que encerra um pensamento de sentido completo mas não pode ser classificada como V ou F. Toda sentença aberta possui pelo menos um termo variável, ou seja, um termo que pode assumir mais de um valor. Exemplos a) Na sentença “x + S = 8”, a variável é x, pois podemos atribuir infinitos valores a x. Apenas um desses infinitos valores transforma a sentença aberta numa proposição verdadeira. b) Na sentença “Fulano é jogador da seleção brasileira de futebol”, a variável é “Fulano”, pois po- demos substituí-lo por um nome qualquer. Porém, para que a proposição obtida seja verdadeira, a variá- vel deve ser substituída pelo nome de um jogador da seleção brasileira de futebol. 4. Conectivo É uma expressão que une duas proposições dando origem a uma outra proposição. Estudaremos os seguintes conectivos: IL e(A); H. ou(v); HI. se ..., então (—); TV. se, e somente se (—). 1, Dadas duas proposições p e q, chama-se Representando na tabela verdade, temos: “conjunção de p e q” a proposição “p A q” (lê-se q PAq “peg”). À conjunção p A q será verdadeira quan- ] V nn <|3 A 6=5+1 (V) ce) ALuaéumaestrela e o Sol é uma estrela. (F) [dada “er v v F v b5>3 A 6H5+1 «F) dy 2>6 A 4<1 «4F) fe RE Est peida x v F F F Noções básicas de lógica II. Dadas duas proposições p e q, chama-se Representando na tabela verdade, temos: “disjunção de p e q” a proposição “p V q” (lê-se “p p q | pvq ou q"). A disjunção p V q será verdadeira se pelo v V menos uma das proposições (p ou q) for verdadei- v F Y ra; e será falsa apenas no caso em que as duas (p e q) forem falsas. F V v F F F Exemplos a) 8>6 V 8=7+1 (v) RA) e v v b)5=3 (V)», pois essa proposição pode ser escritaassim: 5>3 Vv 5=3 («Y) v F c) A Luaéumaestrela ou o Sol é uma estrela. (V) d) 5>8 v 5=8 (F) Ei e, aa RS, F v F F HI, Dadas duas proposições p e q, a propo- A tabela verdade da proposição condicional é: sição “se p, então q”, que será indicada por “p>g”, € chamada de condicional, A p q 8) proposição condicional p — q será falsa quando p v = = v for verdadeira e q falsa; e será verdadeira nos ou- V ia E tros casos. Ip v V F F V Exemplos a)Se 5>3 então 5>2. (V) O 8>9 > 8>7 (v) ef, RE 7 Ea Ee de v v F v bd) 5>3 > 5>6 «F) k a a E a) v F F E IV. Dadas duas proposições p e q, a proposição Sua tabela verdade é: “p se, e somente se, q”, que será indicada por [EaD = po pego “pe q”, é chamada de bicondicional. A proposição bicondicional p — q será verdadeira t quando p e q forem ambas verdadeiras ou ambas falsas; e será falsa nos demais casos. nn<< u2 se esomentese, 3>4 . (F) ul Ses c) ALuaéumaestrela se,esomentese, o Soléumaestrela. . (F) F v d) 3épar se esomentese, 2éímpar . (V) Ega pra ir F F Noções básicas de lógica 7. Quantificadores Que valor lógico você atribuiria à sentença aberta x + 2 = 57 Não podemos classificá-la como V ou F, pois nos faltam informações sobre a variável x, Para transformarmos uma sentença aberta em uma proposição, ou seja, uma afirmação que pode ser qualificada como V ou F, devemos atribuir valores às variáveis ou utilizar símbolos lógicos chamados de “quantificadores”. Estudaremos o quantificador universal e os existenciais. L Quantificador universal: Y (lê-se “qualquer que seja”, ou, ainda, “para todo”). II. Quantificadores existenciais: 3 (lê-se “existe pelo menos um”) e di (lê-se “existe um único”). Nos quatro exemplos seguintes, considere IN = (0, 1,2,3,4, Exemplos a) (Vx, x EIN) (x + 2 = 5), que se lê “qualquer que seja x, x elemento de IN, tem-se x + 2 = 5", é uma afirmação falsa. b) (x, x EIN) (x + 2 = 5), que se lê “existe pelo menos um x, x elemento de IN, tal que x + 2 = 5”, é uma afirmação verdadeira, o (Bx, x EIN) (x + 2 = 5), que se Iê “existe um único x, x elemento de IN, tal que x + 2 = 5”, é uma afirmação verdadeira. A) (x, x EIN) (x + 2 > 5), que se lê “existe um único x, x elemento de IN, tal que x + 2 > 5", é uma afirmação falsa. Exercícios resolvidos Rift Quais das afirmações seguintes são proposições? Classificar cada proposição como V ou F; a4+2-6 b2+9>15 oOx+5=6 dr +y=10 Resolução É proposição toda afirmação que pode ser classificada como V ou F. Assim, temos que: » (a) é uma proposição verdadeira; « (b) é uma proposição falsa; * (e) e (d) não são proposições, pois não podem ser classificadas como V ou F; são sentenças abertas. R2 Sendop:5>3,9:5 + 3, escrever a negação de cada uma dessas sentenças. Resolução * pis * mq5=3 R.3 | Dadas duas proposições p e q, construir a tabela verdade de: adpv-p bpa-p Jpv-q DpAa-q Resolução E) p [op | pv-p E) p | 4 ds v v E F F v v F v F “EH e q = | pv-q -q | pA-g v v E | v F = e ! v F v v v “EMEA io RE F F FF Tv. F Noções básicas de lógica R$ R5 R6 R.7 R$ R.9 Dadas duas proposições p e q. comparar a tabela verdade de =(p V q) com ade =p A «q. Resolução p pvq p q q v v Y v v F F | V F v V F 3 V F v v F v v F F F F V F F v | As proposições -(p V 4) e -p A =q têm a mesma tabela verdade; por isso dizemos que são proposições equivalentes, ou seja, (p V q) & -p A -q. De acordo com a conclusão do exercício R.4, escrever a negação da proposição “João é alto ou gordo”. Resolução João não é alto e não é gordo. Mostrar que às proposições Lp A q) e -p Y -q são equivalentes. Resolução v v v F v v F F = V F F A v F F v v F v F V F v v F v F F F v F F V V v Como as proposições -(p A q) e =p V -q têm a mesma tabela verdade, temos que: (p A q) & -p V -q. Dadas as proposições p e q, comparar a tabela verdade de p — q com a de -q — =p. Resolução v v v v v F F V v F F v E v F ã [ V v 7 V F YV V F (3 v F F v v v A tabela verdade de p — q é à mesma de =q — =p; por isso dizemos que essas proposições são equivalentes: (p — q) «+ (-q > —p). De acordo com a conclusão do exercício R.7, escrever a proposição equivalente a “Se Celso é pai de Guilherme, então Rita é esposa de Celso”. Resolução Se Rita não é esposa de Celso, então Celso não é pai de Guilherme. Sendo Z.= [... 3, —2, —1,0,1,2,3, ..., classificar cada uma das afirmações como V ou F: ad (VrxeM(-x=0) EE 5=7 JE xEZ)(=9) b(VrrEm(-5=7) DAXEZ—5=7) B Er, x ED) (x 3) Resolução a) V, pois a diferença x — x é zero para todo x. DJ E pois, se fizermos x = 6, teremos a sentença 6 — 5 = 7, que é falsa. e) V, pois existe x — |2 talquex — 5 = 7. d) V, pois existe e é único o valor 12 paraxtal que x — 5 = 7. e) E, pois existem dois valores para x: 3 ou —3 tal que x? = 9. 1) E, pois o valor que satisfaz a igualdade 2x = 36 x = S, que não é inteiro. Noções básicas de lógica B.6 B7 B8 Usando a equivalência -(p A q) +» (=p) V (-4), escreva a negação da sentença “José casou-se e foi viajar”, Escreva a negação da sentença “Márcia não voltou e foi ao cinema”. Classifique como V ou F cada uma das sentenças: a) Sendo x um número, tem-se (V'x) (x > 0). c) Sendo x um número, tem-se (3x) (x > 0). b) Sendo x um número, tem-se (dx) (x > 0). d) Sendo x um número, tem-se (Va) (+ 2=2+2). Exercícios complementares G1 ez [e ca cs cs Numa sentença do tipo p — q, O condicional — só pode ser substituído pela relação de implicação = quando a sentença p — q for verdadeira, Substitua, quando for possível, o símbolo -— por =>, a)5>3>3+1=4 J3<2=6>5 b)6>5-3<2 d)3+2=6=5<1 Numa sentença do tipo p — q, O bicondicional — só poderá ser substituído pelo símbolo de equivalência quando a sentença p — q for verdadeira. Substitua, quando for possível, o símbolo — por e: g9+1=10m5>2 J6+I=506+1=7 b)3<5=3-1=6 )6<13+1=0 Classifique cada uma das sentenças como V ou F: a) Sendo x um número, tem-se x > 3 >x > 2. b) Sendo x um número, tem-sex>2>x>3. c) ABC é um triângulo retângulo => o triângulo ABC possui apenas dois ângulos agudos. d) O triângulo ABC possui apenas dois ângulos agudos = ABC é um triângulo retângulo. e) Sendo x um número, tem-se x? = 9 =» x — 3. f) Sendo x um número, tem-se x = 3» x) = 9. &) Sendo x um número, tem-se 2x > 6 es x > 3. h) Sendo x um número, tem-se x? = 25 o x =5. i) Sendo x um número, tem-se x é par se, e somente se, x + 1 é fmpar. j) Sendo x um número, tem-se E é par se, e somente se, x é par. (Sugestão: para classificar como V ou F uma sentença do tipo p < q, entenda-a como p => q A4=p.) Mostre que “(-p) +» p. (Sugestão: basta mostrar que as tabelas verdade de «-p) e de p são iguais.) Usando a equivalência (-p) = p, dê uma sentença equivalente a “Não é verdade que Márcia não voltou”. Usando a equivalência (p — q) «» (-q — —-p), escreva uma sentença equivalente a cada uma das sentenças: ax>3>1>2 b) Se Raquel é mulher de José, então Beto é filho de Raquel. c) Se um triângulo é retângulo, então o quadrado da medida do maior lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois tados. Questões dos vestibulares va vz vs (UFBA) Sendo p e q proposições quaisquer, r uma proposição verdadeira, s uma proposição falsa, a proposição (p A.r) — (q Y 5) será: a) verdadeira, somente se p for verdadeira. d)falsa, se p for verdadeira e q, falsa, b) verdadeira, somente se q for verdadeira. e falsa, se p e q forem ambas falsas. c) verdadeira, para quaisquer valores lógicos de p e q. (PUC-RS) A sentença (Ex | x — a = b) é à negação de: adM|x-a*b Qk|x-a» DVxx-a=b (Mackenzie-SP) Duas grandezas x e y são tais que, “se x = 3, então y = 7”. Pode-se concluir que: a)sex + 3, então y * 7. d)sex = 5, então = 5. b)sey — 7, entãox = 3. e) nenhuma das conclusões anteriores é válida. c)sey *7,entãox + 3. 7» Capítulo 1 Conjuntos, subconjuntos e suas representações 1. Introdução A teoria dos conjuntos foi desenvolvida por Georg Cantor por volta de 1872. Dentre outras tantas contribuições dadas à matemática por essa teoria, destacam-se as definições precisas dos conceitos de infinito e infinitésimo. No início do século XX (1910-1913), a teoria de Cantor obteve um auxílio inestimável do matemáti- co, filósofo e sociólogo inglês Bertrand Russeil, que através da teoria dos tipos eliminou alguns para- doxos da teoria dos conjuntos. opESS «rvsTONE Bertrand Russell | (1872-1970), Dentre muitas contribuições à ciência, ele publicou trabalhos sobre a fundamentação lógica da matemática. Georg Cantor (1845-1918) fez da teoria dos conjuntos um vasto campo de investigação matemática. Estudaremos agora os conceitos elementares da teoria dos conjuntos. 2. Conceitos primitivos Para dar início à sua teoria, Georg Cantor admitiu os conceitos primitivos (não-definidos) de “con- junto” e de “elemento de um conjunto”, que exemplificaremos a seguir. A idéia de conjunto é a mesma de coleção. Exemplos a) Uma coleção de revistas é um conjunto; e cada revista é um elemento desse conjunto. b) Um time de futebol é um conjunto; e cada atleta do time é um elemento desse conjunto. c) Os alunos de sua sala de aula formam um conjunto; e você é um elemento desse conjunto. Conjuntos, subconjuntos e suas representações Exemplos a) A=[x| x é país da Europa |. b) B=(x| x émamífero ). Propriedade p Propriedade p Entenda bem: * o conjunto A é formado por todos os países da Europa; * o conjunto B é formado por todos os mamíferos. 4. Tipos de conjunto 4.1. Conjunto unitário Conjunto unitário é todo conjunto formado por um único elemento. Exemplos ajA=(5). b) B= |x|x é estrela do Sistema Solar. 4.2. Conjunto vazio Conjunto vazio é o conjunto que não possui elemento algum, Representa-se o vazio por 2 ou por ( |. Exemplos ajA=(x|xénúmervex:0=5) =D. b) B = [x|x é palavra proparoxítona, da língua portuguesa, não-acentuada| = ( |. 4.3. Conjunto finito Considere o conjunto A = (a, b, c, d, e, f, g, h). Contando seus elementos, um a um, conseguimos chegar ao “fim” da contagem. Por isso dizemos que À é um conjunto finito, Exemplos aB=7 bC=[1,2,3,4) o)D=(x|xé brasileiro). 4.4. Conjunto infinito Você já estudou no primeiro grau o conjunto dos mímeros naturais (IN) e o conjunto dos números in- teiros (Z): NRO, 1, 2:3; 4 se 32 O ZA Cada um desses conjuntos é infinito, pois, se contarmos seus elementos um a um, jamais chegaremos ao “fim” da contagem. Exemplos aJA=(xEIN|xépar) = (0,2,4,6,8,. bB-=|xEZ|xé divisível por3) =|... —-6,-3,0,3,6,9,..). ” Conjuntos, subconjuntos e suas representações 5. Conjunto universo (U) Quando estudamos a história da humanidade, o conjunto de todos os seres humanos que viveram ou vivem até hoje é chamado de “conjunto univer- so” (U) do estudo em questão. Quando estudamos as figuras contidas num Plano, o conjunto de todos os pontos desse plano é o conjunto universo do estudo em questão. Novembro de 1989: o Muro de Berlim começa a ruir, dando inicio a uma nova ordem mundial, Os per- sonagens que viveram esse momento pertencem ao universo da história da humanidade. Assim, podemos generalizar: Conjunto universo de um estudo é um conjunto ao qual pertencem todos os elementos desse estudo, Curiosidade Em estudos antigos da teoria dos conjuntos, admitia-se a existência do conjunto universo absoluto, isto é, o conjunto que possui todo e qualquer elemento. Isso provocou alguns paradoxos na teoria, que teve de ser reformulada. Após a reformulação, provou-se que não existe o conjunto universo absoluto. Faremos essa prova, a título de curiosidade, no capítulo 2, após estudarmos alguns pré-requisitos necessários. 6. Subconjunto Consideremos o conjunto B, formado por todos os brasileiros. Com os elementos de B podemos for- mar 9 conjunto A, dos homens brasileiros, e o conjunto €, das mulheres brasileiras. Dizemos que os con- juntos A e C são subconjuntos de B. De modo geral, podemos definir: Sendo A e B dois conjuntos, diz-se que A é subconjunto de B se, e somente se, todo ele- mento de A pertence a B. Indica-se que A é subconjunto de B por: AC B (lê-se “A está contido em B”), ou, ainda, por: BDA (lê-se“B contém 4”). 12 E Ê E 5 Ê 
