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MECÂNICA DOS SÓLIDOS 5 1 MECÂNICA DOS SOLIDOS TIMOSHENKO/GERE 1 Tradução e Coordenação Pécnica de JOSÉ RODRIGUES DE CARVALHO Professor da UERI, FTESM e UFF RIO DE JANEIRO SÃO PAULO OE UNOS TÉCNICOS E CIENTÍFICOS EDITORA S.A. PREFÁCIO É possível escrever um livro sobre Mecinica dos Sólidos capaz de preencher as necessidades dos estu- dantes que se iniciam no assunto e de engenheiros que precisam de uma fonte de referência fidedigna. O objetivo dos Autores deste livro é satisfazer ambas as necessidades, Para isso, apresentam as teorias e os métodos de maneira didática e fácil de entender, com descrições amplas e exemplos ilustrativos, de maneira que os estudantes possam rapidamente dominar os fundamentos da matéria. Entretanto, o texto vai frequentemente além dos estágios elementares; assim, foi preciso incluir assuntos mais avançados e mais especializados. Portanto, o engenheiro, quer esteja engajado em projetos ou pesquisa, quer aperfeiçoando seus estudos pos própria iniciativa, encontrará muito material adicional de seu interesse. Uma vista de olhos no Sumário mostrará os tópicos estudados neste livro. São tópicos que incluem a análise de elementos estruturais sujeitos à carga axial, torção, flexão, bem como todos os conceitos básicos da Mecânica dos Sólidos, tais como energia de deformação, transformações de tensão e deformação, com- portamento inelástico e assim por diante. Assuntos de especial interesse dos engenheiros também são tratados, inclusive efeitos térmicos, vigas não-prismáticas, grandes deflexões de vigas, flexão de vigas assimétricas, centro de torção e muitos outros. No último capítulo existe uma introdução à Análise Estru- tural e aos métodos de energia, incluindo o da carga unitária, teoremas recíprocos, métodos de flexibilidade e rigidez, teoremas da energia de deformação, teoremas da energia potencial, método de Rayleigh-Ritz e teoremas da energia complementar. Este capítulo serve para o leitor como base para o estudo da moderna teoria estrutural, Há certamente mais material neste livro do que um curso de graduação poderia abranger. Conseguente- mente, cada professor terá a oportunidade de selecionar o material que considere mais importante, De prande utilidade são as centenas de novos problemas que o livro apresenta (mais de 600), disponíveis para os trabalhos de casa ou para uso em discussões na sala de aula, O leitor cedo descobrirá as referências que foram coletadas no final do livro, que dão o desenvolvimento histórico e as fontes originais do assunto em pauta. Além disso, tendo em vista O interesse existente em relação aos pioneiros que desenvolveram o assunto, foram incluídas, também, algumas notas biográficas. Este livro é “novo” no sentido de que é uma apresentação completamente diferente da Mecânica dos Sólidos, apresentando assuntos de interesse atual, Porém, em outro sentido, ele é o “velho” livro que evoluiu da bem conhecida série, apresentada em dois volumes, intitulada “Resistência dos Materiais”, escrita pelo Prof. Timoshenko. A última revisão de “Resistência dos Materiais” foi feita em 1955 e 1956, quando foi publicada uma terceira edição. A segunda foi publicada em 1940 e 1941 e a primeira, em 1930. Além disso, a primeira edição foi bascada, de modo geral, em algumas edições mais antigas publicadas na Vi — PREFÁCIO Rússia pelos idos de 1908. Uma lista das primeiras edições russas pode ser achada na bibliografia de Timoshenko, que aparece na sua autobiografia, As 1 Remember (D, Van Nostrand Co., Inc, 1968). Os Autores esperam que este livro e o volume intitulado Advanced Mechanics of Materials tenham contribuído para a atualização desta longa linha de livros-textos, Agradecer à todas as pessoas que contribuíram para à publicação desta obra seria impossível; porém, o maior débito dos Autores é com o Prof. D. H. Young, que leu o manuscrito inteiro e deu multas sugestões valiosas. Outro colega, Prof. William Weaver, Jr., pelos conselhos que deu a respeito de Análise Estrutural e métodos de energia. Aos muitos alunos que estudaram pelas versões mais antigas desta obra e com quem os Autores aprenderam a melhor maneira de escrever um livro-texto, eles também agradecem. E, é lógico, nenhum livro poderia ser escrito sem a ajuda das devotadas secretárias — Mrs. Mark F. Nelson, Jeanne Mackenzie, Mrs. Richard E. Platt e Susan Bennett. A estas pessoas e muitas outras, os Autores têm o prazer de expressar sua gratidão. 8. P, Timoshenko J. E. Gere Vit — LISTA DE SÍMBOLOS E?) força concentrada, pritneiro momento (ou momento estático) d uma área plana q intensidade da carga distribuída (carga por unidade de comprimento), taxa de carregamento átim carga de ruptura, cargadimite e qe carga de escoamento R reação, raio r raio, distância, raio de giração (r = «/I/A) s fosça, módulo de seção de uma viga, centro de torção, coeficiente de rigidez , 8 distância, comprimento de uma linha curva T temperatura, momento de torção ou torque Tym momento de torção (ou torque) de ruptura ou momento de torção (ou torque-limite) Te momento de torção (ou torque) de escoamento t espessura U enesgia de deformação u energia de deformação por unidade de volume, módulo de resilência [71 energia complementar ue energia complementar por unidade de volume V farça cortante, volume v deflexão, velocidade v, v”ete, dvdx, di v/dx? eto. w peso, trabalho we trabalho complementar x redundante estática PR, coordenadas cartesfanas, distâncias XE cootdenadas do centróide z médnio de resistência à flexão, módulo plástico para uma viga a ângulo, cocficiente do dilatação térmica, razão a coeficiente de cisalhamento g ángulo ! 4 ângulo, deformação por cisalhamento, peso par unidade do volume (pesa específico) ap yes tax deformações do cisalhamento nos planos xy, )z ezx va deformação de cisalhamento para eixos inclinados E deflexão, deslocamento, alongamento . ce deformação unitária, alongamento específico, alongamento relativo, deformação específica Ex, Ep, E deformações específicas nas direções x, 62 €1, 62,63 deformações principais A deformação de escoamento eg deformação para cixos inclinados 2 ângulo, ângulo de torção por unidade de comprimento, ângulo do rotação dos eixos da viga Pg ângulo para um plano principal ou um eixa principal Be ângulo posa um plano de tensão de cisalhamento máxima £ eusvatura (e = 1/2) A curvatura de escoamento » distância . » raio, raio de curvatura, distância radial em coondenadas polares v razão, relação ou coeficiente de Poisson o tensão normal Ox Gy Oz tensões normais cm planos perpendiculares aos eixos x, y é EN tensão normal no plano inclinado . PARA tensões principais cer tensão crítica para uma coluna o tensão residual im tensão de mptura, tensão-limite ou tensão máxima adm tensão de trabalho ou tensão admissível EM tensão de escoamento, limite de escoamento a tensão de cisalhamento rep ye tax tensões de cisalhamento em planos perpendiculares aos eixos, 2 é x e paralelo aos eixos x. ez Tg tensão de cisalhamento em plano inclinado Ttim tensão de cisalhamento de ruptura, tensão de cisalhamento limite ou tensão de cisalhamento máxima Taim tensão de cisalhamento de trabalho ou tensão de cisalhamento admissível Te tensão de escoamento por cisalhamento ó ângulo, ângulo de torção [4 fator adimensionial 7) velocidade angular An NOTA DO EDITOR Os enunciados dos problemas e 6 próprio texto desta obra estão com as nnidades no sistema métrico: forças em kgf, comprimentos em metros (múltiplos e submúltiplos), pressão em Kkgf/mm? etc, Corno a transformação das unidades inglesas das tabelas para o sistema métrico encareceria muito o custo da composição gráfica com o correspondente aumento da preço de venda, optamos pelo processo mais simples de indicar sempre o fator de transformação. Assim, as observações (a), (b), (c), (d) e (e), no final de cada tabela permitirão a utilização dos valores tabelados tanto no sistema inglês quanto no sistema métrico. Influenciou, em parte, a tomada dessa decisão o fato de se ter, na prática, inúmeros vasos que são tratados nas unidades inglesas, como consegiiéncia da padronização adotada por parto da própria indústria nacional, a isso obrigada polas máquinas e equipamentos importados. Acrescentamos, inda, algumas informações sobre o Sistema Internacionil (SE) e uma tabela com fatores usuais para conversão de unidades, XH — SUMÁRIO 3.5 Torção Inelástica de Barras Circulares, 72 Problemas, 75 4, FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR, 78 41 Tipos de Vigas, 78 4.2 Tensões Resultantes nas Vigas, 79 43 Relações entre Carga, Força Cortante é Momento Fletor, 82 44 Diagramas de Forças Cortantes e Momentos Fletores, 83 Problemas, 88 a . TENSÕES EM VIGAS, 92 5.1 . Tensões Normais, 92 52 Cálculo de Vigas,97 5.3 Tensões de Cisalhamento, 100 5.4 Tensões de Cisalhamento em Vigas com Seção Transversal Circular, 106 5.5 Vigas Compostas, 107 56 Tensões Principais, 109 5.7 Tensões nas Vigas Não-Prismáticas. Teoria Aproximada, 111 5.8 Vigas de Dois Materiais Diferentes, 117 5.9 Flexão e Torção Combinadas, 122 5.10 Flexão e Carga Axial Combinadas, 123 Problemas, 127 6. DEFORMAÇÕES DE VIGAS, 135 6.1 Equação Diferencial da Linha Elástica, 135 6.2 Vigas Simplesmente Apoiadas, 138 6.3 Vigas em Balanço, 142 6.4 Método dos Momentos Estáticos de Áreas, 144 6.5 Método da Superposição, 147 6.6 Vigas Não-Prismáticas, 150 6.7 Método das Diferenças Finitas, 153 6.8 Trabalho de Deformação Elástica na Flexão, 156 6.9 Carga Proporcional à Deformação, 159 6.10 Efeitos Térmicos, 162 6.11 Influência das Deformações Angulares, 163 6.12 Grandes Deformações nas Vigas, 169 Problemas, 172 7. VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS, 178 74 Vigas Estaticamente Indeterminadas, 178 7.2 Equação Diferencial da Linha Elástica, 180 7.3 Método da Superposição, 182 74 Método dos Momentos Estáticos de Área, 187 7.5 Método das Diferenças Finitas, 189 76 Vigas Contínuas, 190 77 Efeitos Térmicos, 194 7.8 Deslocamento Horizontal das Extremidades da Viga, 195 Problemas, 198 o Ss + APÊNDICE A PROPRIEDADES DE ÁREAS PLANAS, 203 A.l Centróide de uma Área, 203 A2 Centróide de Área Composta, 205 A.3 Momento de Inércia de Área, 207 A4 Momento de Inércia Polar, 209 A.5 Teorema do Eixo Paralelo, 211 A6 Produto de Inércia, 213 A.7 Rotação de Eixos, 215 AB Eixos Principais, 217 Problemas, 218 APÊNDICE B PROPRIEDADES DAS ÁREAS PLANAS, 221 APÊNDICE C PROPRIEDADES DE PERFIS ESTRUTURAIS SELECIONADOS, 224 APÊNDICE D DEFLEXÕES E INCLINAÇÕES DE VIGAS, 230 RESPOSTAS DOS PROBLEMAS SELECIONADOS, 235 REFERÊNCIAS E NOTAS HISTÓRICAS, 245 S1-SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES, 250 ÍNDICE DE AUTORES, 252 ÍNDICE REMISSIVO, 254 SUMÁRIO — XH1 2 — MECÂNICA DOS SÓLIDOS 1.2 TENSÕES E DEFORMAÇÕES Os conceitos de tensão e deformação podem .ser ilustrados, de modo elementar, considerando-se o alongamento de uma barra prismática (ver a Pig. 1-1a). Uma barra prismática tem seção constante em todo o comprimento e eixo reto, Nesta ilustração, supõe-se a barra carregada nas extremidades por forças axiais, P, que produzem alongamento uniforme ou tração na barra. Fazendo um corte imaginário (seção mm) na barra, normal a seu eixo, é possível isolar parte dela como corpo livre (Fig. 1-1b). A força P é aplicada na extremidade direita, aparecendo à esquerda as forças que traduzem a ação da parte removida sobre a que ticou. Estas forças estão distribuídas uniformemente sobre toda a seção transversal, de modo análogo à distribiição da pressão hidrostática sobre uma superfície imersa. A força por unidade de área é denominada z | —? Es Fig. 2.4, Barra prismática sob tração. ! rensão, sendo comumente designada pela Ietra grega 0. Supondo que a tensão seja uniformemente distribuí- da sobre toda a seção transversal (ver a Fig. 1-1b), pode-se ver facilmente que a resultante é dada pelo produto da intensidade de a pela área, À, da seção transversal da barra. Além disso, pelo equilíbrio do corpo representado na Fig. 1-1b, pode-se também ver que o resultado deve ser igual em intensidade e oposto em sentido à força P. Assim, FR) a lj alo é a equação para a tensão uniforme numa barra prismática. Esta equação mostra que a unidade que mede a tensão é uma força dividida por uma área, isto é, quilograma força por centímetro quadrado (kgf/cmn?), libra por polegada quadrada (Ib/pol? ou psi), newton por metro quadrado (N/m? ou pascal) ete. Quando a barra está sendo alongada pela força £, como na figura, à tensão resultante é uma tensão de tração; se as forças tiverem o sentido oposto, comprimindo a barra, a tensão é de compressão. A condição necessária para validar a Eq. (1-1) é que a tensão o seja uniforme sobre toda a seção trans- versal da barra. Esta condição estará preenchida se a força axial P agir no centróide* da seção transversal, como será demonstrado pela Estática (ver o Probl, 1.2-1). Quando a carga P não atua no centróide, aparece flexão na barra, o que exige análise mais complicada (ver o Art. 5.10). Neste livro, a menos que se especifi- que o contrário, admite-se a força atuando sempre no centróide e considera-se o peso do corpo desprezível, salvo indicação diferente, tal como se fez ao discutir a barra da Fig. 1-1. *N.T. Se à massa específica do corpo for constante, o centróide confunde-se com a centro de massa, Se, além disso, a Eravidade for constante, a centro de gravidude, o centro de massa c 0 centróide teduzem-se a um único ponto. O) TRAÇÃO, COMPRESSÃO E CISALHAMENTO — 3 O alongamento total de uma barra que suporta uma força axial será designado pela letra grega 8 (ver à Fig. 1-12). Assim, o alongamento por unidade de comprimento, ou alongamento específico, (ou alongamen- to relativo), denominado deformação (€), é calculado pela equação: a-2) a ] nis onde L é o comprimento total da barra, Note-se que a deformação e é uma quantidade adimensional, podendo ser determinada pela Eg. (1-2) caso o alongamento seja uniforme ao longo da barra, Se à barra estiver sob tração, ter-se-á uma deformação de tração, representando um alongamento do material; se a barra estiver sob compressão tem-se uma deformação de compressão, o que significa que as seções transver- sais adjacentes aproximar-se-ão. 1.3 OTESTEDE TRAÇÃO A relação entre as tensões e as deformações, para um determinado material, é encontrada por meio de um teste de tração. Um corpo-de-prova, em geral uma barreta de seção circular, é colocado na máquina de testar e sujeito à tração, A força atuante e as deformações resultantes são medidas à proporção que a carga aumenta. Obtêm-se as tensões dividindo as forças pela área da seção transversal da barra, e a deformação especifica dividindo o alongamento pelo comprimento ao longo do qual ocorre a deformação. Deste modo obtém-se um diagrama tensão-deformação completo para o material em estudo. A forma típica do diagrama tensão-de formação para 6 aço estrutural aparece na Fig. 1-2a, onde as defor- mações axiais estão representadas no eixo horizontal, sendo as tensões correspondentes dadas pelas ordena- das dos pontos da curva O4ABCDE, De O até À, as tensões são diretamente proporcionais às deformações e o diagrama é linear. Além desse ponto, a proporcionalidade já não mais existe c o ponto À é chamado iiiite de proporcionalidade, No caso de aços de baixo carbono (estruturais), este limite está, em geral, entre 21 kgt/mmn? e 25,2 kgf/mm?, porém, quando os aços têm alta resistência, os valores podem ser muito mais altos. Com o (a) €b) Fig. 1.2. Diagrama tensão-deformação típico para aço estrutural: (e) fora de escala; (b) em escala, aumento da carga, as deformações crescem mais rapidamente do que as tensões, até um ponto 8, onde uma deformação considerável começa a aparecer, sem que haja aumento apreciável da força de tração, Este fenômeno é conhecido como escoamento do material e a tensão no ponto B é denominada tensão de escoa- y mento ou ponto de escoamento. Na região BC, diz-se que o material tornou-se plástico e a barra pode real- mente deformar-se plasticamente, da ordem de 10 a 15 vezes o alongamenta vcorrido até o limite de proporcionalidade, No ponto C, o material começa a oferecer resistência adicional ao aumento da carga, TRAÇÃO, COMPRESSÃO E CISALHAMENTO — & É possível traçar diagramas análogos aos de tração, para vários materiais sob compressão, estabelecen- do-se tensões características, tais como limite de proporcionalidade, escoamento e tensão máxima. Para o aço, verificou-se que as tensões do limite de proporcionalidade e do escoamento são, aproximadamente, as mesmas na tração e na compressão. Para muitos materiais quebradiços, as tensões características em com- pressão são muito maiores que as de tração.” Elasticidade. Os diagramas tensão-deformação vistos nas Figs. 1-2, 1-4 e 1-5 ilustram o comportamento de vários materiais, quando carregados por tração. Quando um corpo-de-prova do material é descarregado, isto é, a carga é gradualmente diminuída até zero, a defonnação sofrida durante o carregamento desaparecerá parcial ou completamente. Esta propriedade do material, pela qual ele tende a retornar à forma original, é denominada elasticidade. Quando a barra volta completamente à forma original, é perfeitamente elástica; mas se O retorno não for total, é parcialmente elástica, Neste último caso, a deformação que permanece depois de retirada da carga é denominada deformação permanente. Ao se fazer um teste de tração em determinado material, a carga pode ser levada até um certo valor (pequeno) e, em seguida, removida. Não havendo deformação permanente, isto é, se a deformação da barra voltar a zero, o material é elástico até aquele valor atingido pela carga. Este processo de carregar e descar- regar o material pode ser repetido para sucessivos valores, cada vez mais altos. Em certo momento, atingir. se-á um valor que fará com que a deformação não volte a zero quando se retirar o carregamento da barra. Desta maneira, pode-se determinar a tensão que representa o limite superior da região elástica, esta tensão é chamada limite elástico. Para os aços e alguns outros materiais, os limites elástico e de proporcionalidade são aproximadamente coincidentes. Materiais semelhantes à borracha, entretanto, possuem uma proprieda- de — a elasticidade — que pode continuar muito além do limite de proporcionatidade, ' Tensão Admissível Ao projetar uma estrutura, é necessário assegurar-se que, nas condições de serviço, ela atingirá o objetivo para o qual foi calculada. Do ponto de vista da capacidade de carga, a tensão máxima na estrutura é, normalmente, mantida abaixo do limite de proporcionalidade, porque somente até aí não haverá deformação permanente, caso as cargas sejam aplicadas e, depois, removidas. Para permitir sobrecar- gas acidentais, bem como para levar em conta certas imprecisões na construção e possíveis desconhecimentos de algumas variáveis na análise da estrutura, normalmente empregase um coeficiente de segurança, esco- Jhendo-se uma tensão admissível, ou tensão de projeto, abaixo do limite de proporcionalidade, Por exemplo, em estruturas de aço, uma tensão admissível de 14 kgf/mm? é muitas vezes usada, para os aços que têm O ponto de escoamento em 23,10 kpf/mm”, o que dá um coeficiente de segurança igual a 1,65. Há outras situações em que a tensão admissível é fixada tomando-se um coeficiente de segurança adequado sobre a tensão máxima do material, Isto é normal quando se trata de materiais quebradiços, tais como o concreto ou a madeira, Em geral, quando se projeta em função da tensão admissível, uma das duas equações seguintes deve scr usada no cálculo da tensão admissível, Gaam [o [um Gaim — a OU CagmE a (1-3) onde 0, € Ohm tepresentam, respectivamente, a tensão no ponto de escoamento e a tensão máxima do material, cn, € ny, nos coeficientes de segurança. A escolha adequada do coeficiente de segurança é assunto complicado, porque depende do tipo de material e das condições de serviço, Quando as cargas são dinâmicas (subitamente aplicadas ou com intensidade variável), fais como as que ocorrem nas máquinas, aviões, pontes etc., é necessário usar maiores coeficientes de segurança do que os correspondentes às cargas estáti- cas, dada a possibilidade de falhas por fadiga do material. Uma alternativa ao uso da tensão admissível no projeto é calcular a estrutura com um coeficiente de segurança que evite o colapso completo. À intensidade da carga (ou cargas) que causará a ruptura da estru- tura deve ser determinada em primeiro lugar para, em seguida, determinar-se a carga admissível (ou carga de trabalho), dividindo-se a carga de ruptura por um fator de carga adequado. Este método de cálculo é conhe- cido como projeto por curga de ruptura. Verifica-se que, nestes casos, as intensidades das tensões reais na * Os introdutores do diagrama tensão-deformação faram Jacob Bermoulti (1654-1705) e É. V. Poncelot (1788-1867); ver Ref. 1-4. 6 — MECÂNICA DOS SÓLIDOS estrutura não têm participação direta na determinação das cargas de trabalho. No cálculo das estruturas metálicas, tanto o método da tensão admissível quanto o da carga de ruptura são de uso corrente. À deter- minação das cargas de ruptura para algumas estruturas simples será discutida nos Arts. 1.8 e 9,5, 1,4 ELASTICIDADE LINEAR E LEI DE HOOKE Os diagramas tensão-deformação da maioria dos materiais estruturais apresentam uma região inicial de comportamento elástico e linear, Na Fig. 1-22, a região de O até À é um exemplo; outros exemplos são as regiões abaixo dos limites de proporcionalidade das curvas das Figs. 1-4 e 1-5, Quando um material se comporta elasticamente e apresenta, também, uma relação linear entre a tensão e a deformação, diz-se que é linearmente elístico, Esta é uma propriedade extremamente importante de muitos materiais sólidos, incluindo a maioria dos metais, plásticos, madeira, concreto e cerâmicas. A relação linear entre a tensão e a deformação, no caso de uma barra em tração, pode ser expressa pela equação q = Ee (1-4) onde E é uma constante de proporcionalidade conhecida como módulo de elasticidade do material. Este é o cosficiente angular da parte linear do diagrama tensão-deformação e é diferente para cada material, Alguns ! valores de E aparecem na Tab, 1-1. (Note-se que as unidades de E são iguais às da tensão.) Para a maioria dos imateriais, o módulo de elasticidade sob compressão é igual ao sob tração. Nos cálculos, as tensões e deformações de tração são, em geral, consideradas positivas, enquanto que as de compressão são negativas, O módulo de elasticidade é conhecido também como módulo de Young, por referência ao cientista inglês Thomas Young, (1773-1829), que estudou q comportamento elástico das barras (Refs. 1-5 e 1-6). A Eq. (1-4) € conhecida como Lei de Hooke, pelos trabalhos de outro cientista inglês, Robert Hooke (1633-1703), que foi o primeiro a estabelecer experimentalmente a relação linear existente entre tensões e deformações (Refs. 1.7 e 1-8). Tabela 1.1. Propriedades Mecânicas Típicas de Materiais* H Material Massa Módulo Módulo Tensão Tensão específica de de elasticidade de máxima de fusfom?) elasticidade pansversal escommento nuptura E fed cç otim Gegffmm?) tkgtfmm? > tkgífmm?) (kgfm?) Alumínio 2,69 70x 102 28x 10º 14 bj] Ligas de alumínio 2712832 70 x 102 28 x 10º 105235 14242 Latão 832 98 x 102 385x 10º 10,542 284525 Bronze 832 98x 10? 38,5 x 10º 72385 Ha42 Concreto (compressão) 2,36 (143 28)x 107 1447 Cobre 388 105 x 10º 42x 10º 72315 2242 j Ferro fundido 1 105 x 102 42% 10º 4,2x28 112242 Magnésio 178 42x 10º 16,8 x 10º 842 126 14a2l É] Aço 785 £2032210)x 102 (7aB4)x10? 21242 354 70 PRO Ata Aço (alta resistência) 785 (2032210)x10º (97aB4)x10º 352112 70219 Tungstênio 18,86 350 x 10? 140 x 10? 420 Madeira-estrutural 0,27720832 (Fat 10? “2847 i (compressão) i i * Nora. Algumas dessas propricdades sofrem grande variação devido à composição, tratamento térmico, trabalho a frio eto, Salvo indicação em contrário, as propriedades relacionadas referem-se à tração, A 8 — MECÂNICA DOS SÓLIDOS (1 — ve)!: 1. Desenvolvendo o produto é desprezando os termos de ordem superior por serem insignifican- tes, simplifica-se a relação, para (1 + e — 2v€) : 1. A variação do volume é dada pela diferença entre os volu- mes final é Inicial ou e(1 — 2v). Esta quantidade é a variação do volume unitário e pode ser expressa do seguinte modo. id =e1-2. (17 Nesta equação, AV/V' representa a relação entre a variação do volume, AY, e o volume inicial, V. Tal equação pode ser usada para calcular a variação do volume de uma barra fracionada, desde que se conheçam a deformação específica, e, e a relação de Poisson, ». Como não é razoável admitir-se que um material diminua de volume quando tracionado, pode-se concluir da Eq. (1-7) que » é sempre menor do que 05. Bortacha e parafina são dois materiais que, pratica- mente, não sofrem variação de volume quando tracionados € » se aproxima do limite 0,5. Por outro lado, cortiça é um material para o qual v é praticamente zero, enquanto o valor pata O concreto é aproximada- mente 0,1. A discussão acima pode ser aplicada à compressão, observando-se que à compressão longitudinal é acompanhada por uma expansão lateral. Para fins práticos, o valor numérico de v é o mesmo, independente- mente do material estar sob tração ou compressão. 1.5 DEFORMAÇÕES DE BARRAS CARREGADAS AXIALMENTE Há uma variedade de casos que envolvem barras com carregamento axial em que as defurmações podem ser calculadas pela Eq. (1-5). Por exemplo, é fácil determinar as deformações de uma barra carregada axial- mente não somente pelas extremidades como também por uma ou mais forças axiais intermediárias, como se vê na Fig. 1-7. O procedimento para determinação da deformação da barra representada na Fig. 1-7 consiste em se obter a força axial em cada parte da barra, isto é, nas partes 4B, BC e CD e, em seguida calcular separadamente o alongamento (ou encurtamento) de cada parte. A soma algébrica dessas variações: de comprimento dará a variação total da barra, O mesmo método pode ser usado quando a barra é formada por partes de diferentes seções transversais, como ilustra a Fig. 1-8. Assim, vemos que, em geral, a deforma- ção total, à, de barras formadas por várias partes, sob a ação de forças axiais ou tendo áreas diferentes de seções transversais, pode ser obtida pela cquação "PL 5 =p Bis (1-8) EA, na qual o índice i identífica as várias partes da barra, sendo R O número total de partes. » a P, dy » P + Fig 1.7. Barra com cargas axiais intermediárias. Fig. 1.8. Barra com seções transversais diferentes. SS TRAÇÃO, COMPRESSÃO E CISALHAMENTO — 9 Quando a variação da força'axial, ou da área da seção transversal, for contínua, o longo da barra, a Eq. (1-8) não poderá mais ser aplicada, A deformação da barra será obtida mediante a consideração de um elemento diferencial, obtendo-se uma expressão para a sua deformação e, em seguida, integrando-se ao tongo de todo o comprimento da barra. Esta idéia está ilustrada na Pig. 1-9, onde se admite que a barra Fig. 1.9. Barra com seção transversal e força axial vaciando continuamente, afilada esteja sujeita a uma carga axial distribuída continuamente, resultando numa força axial variável na barra. Um elemento de comprimento dx pode ser retirado da barra, a uma distância x da extremidade | esquerda. Tanto à força axial P,., que atua no elemento, quanto a área da seção transversal, 4,,, do elemen- i to devem ser expressas em função de x. A equação para o alongamento do elemento transforma-se, então, em Podx dê = É i EA, sendo o alongamento total da barra: L LP. dx - = JA, 1.9 Ê I, sá J, EA, (8) Quando não for fácil determinar a integral da Eq. (1-9), pode-se usar um método numérico, À Eq. (1-9) só dará resultados precisos no caso de barras afiladas, quando o ângulo de inclinação dos lados for pequeno. Como exemplo específico, pode-se notar que, se esse ângulo for de 20º, o erro máximo no cálculo da tensão normal o = P/A será de somente 3%. Para ângulos menores, o erro será menor. Se o ângulor for grande, será necessário usar métodos de análise mais precisos (ver a Ref. 1-10). Deflexões nas Treliças. As deflexões dos nós de treliças simplos podem ser calculadas geometricamente, desde que se conheçam as variações nos comprimentos das barras dessa tretiça, o que pode ser obtido pelos métados vistos anteriormente. Para ilustrar o método geométrico de determinação das deflexões nas treliças, calcula-se o deslocamento do nó B da treliça sepresentada na Fig. 1-L0a. As forças F,p é F pç, nas duas barras da treliça, são | Fab =P cotg 0; Fho = P coco, onde F,p é uma força de tração e Pp, de compressão, As variações nos comprimentos das burras são: — PLocoigô PL à. EA de EAm Para calcular o deslocamento do nó 8, começa-se admitindo que a barra AS se alonga de um valor 64%, (ver a Fig. 1-10b), ficando sua extremidade no ponto B,. Traça-se um arco com centro em À e saio 4 Como o destocamento de B é muito pequeno; o arco pode ser substituído por uma reta que passa por B,, ttormal ao eixo da barra 48. Analogamente, supõe-se que à barra BC diminua de um valoz 84,» ficando sua extremidade no ponto 8;. Traçase outro arco, com centro. é raio CB, , que é substituído por uma treta 
