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A LÓGICA NO COTIDIANO E A LÓGICA NA MATEMÁTICA
Flávia Soares Mestre em Matemática e Doutora em Educação (PUC– RIO) Professora da Universidade Severino Sombra (USS) – Vassouras/RJ Instituto Superior de Tecnologia/ FAETEC (Paracambi/ RJ) fsoares.rlk@terra.com.br
Geovani Nunes Dornelas Professor da Universidade Severino Sombra (USS) – Vassouras/RJ e da Rede Estadual de ensino gdornelas@uss.br
Introdução “Ela [a Lógica] lhe dará clareza de pensamento, a habilidade de ver seu caminho através de um quebra-cabeça, o hábito de arranjar suas idéias numa forma acessível e ordenada e, mais valioso que tudo, o poder de detectar falácias e despedaçar os argumentos ilógicos e inconsistentes que você encontrará tão facilmente nos livros, jornais, na linguagem cotidiana e mesmo nos sermões e que tão facilmente enganam aqueles que nunca tiveram o trabalho de instruir-se nesta fascinante arte” (Lewis Carroll).
Em Matemática estamos sempre tentando descobrir coisas novas e querendo saber se uma afirmação é verdadeira ou falsa. Em muitos casos, a intuição nos mostra a verdade, mas em outros ela pode nos pregar uma peça. Nesses momentos somos levados a buscar outros recursos mais eficientes que nos permitam afirmar com certeza o que queremos. Freqüentemente usamos expressões “é lógico que sim”, ou “é lógico que vai chover”, etc. Mas será que é realmente lógico? Em que nos baseamos para fazer tais afirmações? Quando usamos essas expressões quase sempre estamos nos referindo a algo que nos parece evidente ou quando temos uma opinião muito fácil de justificar (MACHADO, 2000). Fazemos afirmações e suposições de vários tipos e tiramos conclusões sobre os acontecimentos do dia a dia o tempo todo. A grande maioria delas é baseada em nossa intuição, em nossa experiência ou a partir de comparações com outras situações semelhantes já vivenciadas. Mas nem sempre isso é suficiente. Para provar alguma coisa, sustentar uma opinião ou defender um ponto de vista sobre algum assunto, é preciso argumentar. Ou seja, é preciso apresentar justificativas convincentes
e corretas que sejam suficientes para estabelecer, sem deixar nenhuma dúvida, se uma determinada afirmação é falsa ou verdadeira. A lógica formal surge com Aristóteles. Como indica o termo grego Órganon , nome dado ao conjunto dos escritos lógicos de Aristóteles, a lógica é um instrumento do pensamento para pensarmos corretamente. A Lógica não se refere a nenhum ser, a nenhuma coisa, ou a algum objeto em particular, nem a nenhum conteúdo, mas à forma do pensamento. Segundo Aristóteles, a lógica estuda a razão como instrumento da ciência ou como um meio de adquirir e possuir a verdade. E o ato próprio da razão é o ato de raciocinar (ou argumentar ). O raciocínio ou argumentação é um tipo de operação do pensamento que consiste em encadear logicamente idéias para delas tirar uma conclusão. Essa operação vai de uma idéia a outra passando por um ou vários intermediários e exige o uso de palavras. Portanto é dita uma inferência mediata , isto é, procede por mediação, por meio de alguma coisa (CHAUÍ, 1994). Ainda segundo Aristóteles a Lógica é o que devemos estudar e aprender antes de iniciar uma investigação filosófica ou científica, pois somente ela pode indicar qual o tipo de proposição, de raciocínio, de demonstração, de prova, e de definição que uma determinada ciência deve usar (CHAUÍ, 1994). A Lógica é uma disciplina que fornece as leis, regras ou normas ideais de pensamento e o modo de aplicá-las para demonstrar a verdade. A Lógica também estabelece os fundamentos necessários para as demonstrações pois, dada uma certa hipótese, a lógica permite verificar quais são as suas conseqüências; dada uma certa conclusão, a lógica permite verificar se ela é verdadeira ou falsa (CHAUÍ, 1994). Um argumento lógico é aquele em que a conclusão é encontrada a partir da análise das relações entre as premissas, sem considerar o conteúdo real das mesmas. Lógica e raciocínio dedutivo não estão preocupados em examinar a verdade das premissas em um argumento lógico. A preocupação é com o fato de se a premissa envolve logicamente a conclusão.
Lógica na Matemática e Lógica no Cotidiano Uma vez que a correção ou incorreção de um argumento depende somente da relação estabelecida entre as premissas e a conclusão, a validade do argumento independe da veracidade das premissas. Entretanto é fácil cair na tentação de aceitar
lógica matemática. O que ocorre é que, assim como concluem outros pesquisadores citados por Dias (1996), quando apresentados a argumentos dedutivos para serem avaliados, os sujeitos tendem a endossar aqueles cujas conclusões acreditam, e a não aceitar argumentos cujas conclusões são por eles desacreditadas, independentemente da validade das premissas. Além disso, acham difícil trabalhar com premissas cujos conteúdos vão de encontro às suas experiências. Assim, a adoção dessa mesma lógica, aceita pelo senso comum do cotidiano, na leitura de textos matemáticos leva, impreterivelmente, a sérios erros, comprometendo o aprendizado de um conteúdo matemático.
Sobre o ensino de Lógica A Matemática necessita da lógica para suas definições, postulados, além de ser fundamental para julgar se um teorema é verdadeiro ou falso, e a partir disso tirar outras conclusões, propor outras conjecturas, provar outros teoremas... Compartilhamos da opinião de Druk (1998) quando a autora afirma que o estudo da lógica no Ensino Fundamental e Médio não deve ser um ponto localizado em algum momento específico do currículo escolar, mas uma preocupação metodológica presente sempre que algum ponto do programa permitir. Ainda segundo Druk (1998), a Lógica é um tema com conotações interdisciplinares e que se torna mais rico quando se percebe que ela está presente nas conversas informais, na leitura de jornais e revistas e em nas diversas disciplinas do currículo, não sendo portanto um objeto exclusivo da Matemática. No sistema escolar e na vida em sociedade um certo domínio da lógica é necessário ao desenvolvimento da capacidade de distinguir entre um discurso correto e um incorreto, na identificação de falácias, no desenvolvimento da capacidade de argumentação, compreensão e crítica de argumentações e textos. Em seu livro Matemática e Língua Materna , Machado (2001) diz ser a afirmação “ A Matemática desenvolve o raciocínio lógico ” a frase que, entre outros tantos mitos que envolvem a Matemática, parece mais solidamente estabelecida no senso comum. O autor lembra ainda que, historicamente e em todas as épocas, muitos filósofos contribuíram para a legitimar uma associação entre Matemática e a Filosofia, onde o papel da Lógica seria fundamental. O autor não discute a veracidade da afirmação de que a Matemática desenvolve raciocínio, mas sim o superdimensionamento ou a exclusividade do papel que a
Matemática teria em tal tarefa, pois que, qualquer assunto poderia apresentar situações igualmente profícuas nesse sentido. Mas mesmo estando presente no seu discurso e mesmo que eles acreditem nessa capacidade da Matemática, a maior parte dos professores muitas vezes não compreende explicitamente o que isso significa e nem sabe como proporcionar situações para que os alunos realmente raciocinem bem. Os livros didáticos por muitos anos excluíram os alunos da construção dos conteúdos, abandonando o raciocínio dedutivo e as demonstrações, e enfatizando o uso de algoritmos e fórmulas nem sempre bem compreendidas pelos estudantes. No ensino da Matemática, pensar por meio de algoritmos tem uma desvantagem sobre o pensamento lógico. Os alunos aprendem uma enorme quantidade de fórmulas e em que tipos de situações devem aplicá-las. Assim, quando o estudante se depara com uma situação similar ele pode resolvê-la facilmente, entretanto não pode resolver qualquer tipo de problema desconhecido, mesmo se ele tem todo o conhecimento para isso. Problemas em Geometria tem uma característica comum: eles não podem ser resolvidos com o mesmo padrão. Nesses casos não é suficiente substituir um dado em uma fórmula, mas sim combinar e aplicar os teoremas conhecidos. Isto é problemático para os estudantes o que torna o desempenho deles fraco em Geometria mesmo que sejam bons em outros assuntos da Matemática. Outros temas geram igual dificuldade como a Análise Combinatória. No ensino de combinatória os livros didáticos e os professores tendem a agrupar as diferentes situações de contagem em combinações, arranjos e permutações, sem que se compreenda o porquê das fórmulas. Assim, somente o conhecimento das mesmas não resolve os problemas realmente significantes, aqueles nos quais o raciocínio lógico aliado ao princípio fundamental da contagem leva facilmente a resposta correta. Ensinar lógica freqüentemente pode ser associado com o ensino de conectivos, tabelas verdade e diagramas de Venn. Sendo assim, voltamos a ensinar mais uma vez algoritmos e fórmulas. Estes algoritmos têm praticamente nenhuma aplicação no ensino da Matemática no Ensino Fundamental e Médio, o que faz com que as escolas não ensinem Lógica alguma. Acreditamos que se deve ensinar lógica de uma forma diferente, ajudando os alunos a perceber a existência de uma estrutura lógica do pensamento matemático melhorando sua capacidade de resolver problemas. Aliado a essa questão, enfatizamos
________, Dimas Monteiro de. Enigmas, Desafios, Paradoxos e outros divertimentos matemáticos. Araçatuba: Novas Conquistas São Paulo, 2003. CHAUÍ, Marilena. Introdução à história da filosofia: dos pré-socráticos a Aristóteles. v. I. São Paulo: Brasiliense, 1994. DIAS, Maria da Graça Bompastor Borges. O desenvolvimento do raciocínio dedutivo. In: DIAS, Maria da Graça Bompastor Borges; SPINILLO, Alina Galvão (Orgs.) Tópicos em Psicologia Cognitiva. Recife: Editora da Universitária da UFPE, 1996. p. 11-44. DRUK, Iole de Freitas. A linguagem Lógica. Revista do Professor de Matemática , 17, p. 10 – 18, 1998. MACHADO, Nílson José. Lógica? É Lógico! São Paulo: Scipione, 2000. _________, Nílson José. Matemática e Língua Materna. 5.ed. São Paulo, Cortez, 2001. MALTA, Iaci; PESCO, Sinésio; LOPES, Hélio. Cálculo a uma Variável: uma Introdução ao Cálculo. v.1. Rio de Janeiro: Ed. PUC – Rio; São Paulo: Loyola, 2002. NASSER, Lilian; TINOCO, Lúcia A. A. Argumentação e Provas no ensino da Matemática. Rio de Janeiro: IM / UFRJ – Projeto Fundão, 2001. PALIS, Gilda de La Rocque; MALTA, Iaci. Somos todos mentirosos? Revista do Professor de Matemática , 37, p.1–10, 1998. SALMON, Wesley C. Lógica. Trad. Álvaro Cabral. Rio de Janeiro: Prentice-Hall do Brasil. SILVA, Josimar José da; LOPES, Luís. É divertido resolver problemas. Rio de Janeiro: J. Silva, 2000.
PROPOSTA DE ATIVIDADES
BLOCO I
- Um vaso antigo e valioso foi roubado de um museu. O ladrão (ou os ladrões) fugiu de carro. Três famosos delinqüentes, A, B e C, foram presos e interrogados. Os seguintes fatos ficaram estabelecidos: Nenhuma outra pessoa, salvo A, B e C, estava implicado no roubo; C nunca pratica nenhum roubo sem usar A (e talvez outros) como cúmplice; B não sabe dirigir. Pergunta-se, A é inocente ou culpado?
- Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo. Sabe-se que o crime foi efetivamente cometido por um ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se, ainda, que: (A) se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada. (B) ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada, mas não os dois. (C) o mordomo não é inocente. Logo, a) a governanta e o mordomo são os culpados. b) o cozinheiro e o mordomo são os culpados. c) somente a governanta é culpada. d) somente o cozinheiro é inocente. e) somente o mordomo é culpado
- (AFTN/96) Os carros de Arthur, Bernardo e César são, não necessariamente nessa ordem, uma Brasília, uma Parati e um Santana. Um dos carros é cinza, um outro é verde e o outro é azul. O carro de Arthur é cinza; o carro de César é o Santana; o carro de Bernardo não é verde e não é a Brasília. Qual carro pertence a cada um e qual é a sua cor?
- A Sra. Macedo tem três afilhadas_ Ana, Maria e Clara_ cujos esportes favoritos são a natação, o tênis e o golfe. Uma das moças pratica natação em Santos, a outra está em Campinas e a última em Curitiba. Ana não se encontra em Santos; Clara não está em Campinas e a que joga golfe não está em Curitiba. Se clara se dedica ao tênis, e não à natação, onde estão cada uma das três afilhadas da Sra. Macedo e que esporte praticam? Justifique a sua resposta.
BLOCO II
- Cláudio está perdido dentro de uma assustadora caverna. Consultando um mapa, ele encontra exatamente três passagens (I,II e III), como ilustra a figura abaixo:
I. A saída está aqui. II. A saída não está aqui. III. A saída não está na passagem I.
Para desespero de Cláudio, o mapa diz que quem entrar numa passagem onde não esteja a saída não conseguirá voltar, e que cada uma das três passagens possui, além da numeração, uma única mensagem, mas somente UMA das mensagens é VERDADEIRA. Em qual passagem está a saída e qual mensagem é a verdadeira? Justifique a sua resposta.
b) Kárita e Mariana não foram ao clube. c) Kárita foi ao clube. d) Mariana não foi à praia e Kárita foi ao clube. e) Mariana e Kárita foram ao clube no dia seguinte.
- (UFF-98) Numa cidade litorânea é rigorosamente obedecida a seguinte ordem do prefeito: “ Se não chover, então todos os bares à beira-mar deverão ser abertos”. Pode-se afirmar que: a) Se todos os bares à beira-mar estão abertos, então choveu. b) Se todos os bares à beira-mar estão abertos, então não choveu. c) Se choveu, estão todos os bares à beira-mar não estão abertos. d) Se choveu, estão todos os bares à beira-mar estão abertos. e) Se um bar à beira-mar não está aberto, então choveu.
- (AFC/ 96) Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Júlia têm a mesma idade. Se Maria e Júlia têm a mesma idade, então João é mais moço que Pedro. Se João é mais moço que Pedro, então Carlos é mais velho que Maria. Ora, Carlos não é mais velho que Maria. Então: a) Carlos não é mais velho que Júlia e João é mais moço que Pedro. b) Carlos é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia têm a mesma idade. c) Carlos e João são mais moços do que Pedro. d) Carlos é mais velho do que Pedro, e João é mais moço do que Pedro. e) Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia não têm a mesma idade.
- Considere a proposição verdadeira: Se duas retas são perpendiculares então o ângulo formado entre elas mede 90º. A partir desta proposição podemos afirmar que: a) Se as retas r e s não são perpendiculares então r e s não formam um ângulo de 90º. b) Se as retas r e s não formam um ângulo de 90º então as retas r e s são perpendiculares. c)Se as retas r e s formam um ângulo de 90º então r e s não são perpendiculares. d) Se duas retas r e s não formam entre si um ângulo de 90º então as retas r e s não são perpendiculares. e) Se duas retas r e s não são perpendiculares então as retas r e s formam entre si um ângulo de 90º.
BLOCO IV
- Considere a afirmação abaixo: “Dois ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida.” a) Escreva a proposição acima na forma “ Se ... então...” b) Escreva a recíproca do item (a) c) Escreva a contra positiva do item (a)
- Considere a afirmação abaixo: “ Num triângulo isósceles os ângulos da base são iguais.” a) Escreva a proposição acima na forma “ Se ... então...” b) Escreva a recíproca do item (a) c) Escreva a contra positiva do item (a)
- Considere a afirmação abaixo:
“Num triângulo retângulo a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”. a) Escreva a proposição acima na forma “Se ... então...” b) Escreva a recíproca do item (a) c) Escreva a contra positiva do item (a)
BLOCO V
- (ICMS/SP-97) Assinale a alternativa que apresenta uma CONTRADIÇÃO. a) Todo espião não é vegetariano e algum vegetariano é espião. b) Todo espião é vegetariano e algum vegetariano não é espião. c) Nenhum espião é vegetariano e algum espião não é vegetariano. d) Algum espião é vegetariano e algum espião não é vegetariano. e) Todo vegetariano é espião e algum espião não é vegetariano.
- Tomando como verdadeira a proposição “Quem fuma morre de câncer” , assinale V para as conclusões verdadeiras e F para as conclusões falsas. ( ) Rafael fuma, logo Rafael morrerá de câncer. ( ) Rafael não fuma, logo Rafael não morrerá de câncer. ( ) Rafael não morreu de câncer, logo Rafael não fumava. ( ) Rafael têm câncer, logo Rafael não fuma.
- Tomando como verdadeira a proposição “Sorte no jogo, Azar no amor” , assinale V para as conclusões verdadeiras e F para as conclusões falsas. ( ) Andréia tem sorte no jogo, logo Andréia tem azar no amor. ( ) Andréia tem não sorte no jogo, logo Andréia não tem azar no amor. ( ) Andréia tem azar no amor, logo Andréia não tem sorte no jogo. ( ) Andréia não tem azar no amor, logo Andréia não tem sorte no jogo.
- Considere as seguintes proposições. I. Se X torce pelo Flamengo, então X não torce pelo Vasco. II. Se X é vascaíno, então X é inteligente. Com base nessas duas proposições, pode-se concluir que: a) Todo pessoa inteligente é vascaína. b) Existe vascaíno que não é inteligente. c) Se X não torce pelo Flamengo, então X é inteligente. d) Se X não é inteligente, então X não torce pelo Vasco. e) Existem pessoas inteligentes que torcem pelos dois times.
- Todos os primogênitos da família Almeida Braga têm olhos azuis. Emiliano tem olhos castanhos. Então, NÃO se pode afirmar que: a) se Emiliano é primogênito, então certamente não pertence à família Almeida Braga. b) se Emiliano pertence à família Almeida Braga, então certamente não é primogênito. c) é possível que Emiliano pertença à família Almeida Braga e seja primogênito. d) é possível que Emiliano não pertença à família Almeida Braga nem seja primogênito. e) Emiliano pertence à família Almeida Braga se e somente se não for primogênito.
- Sabe-se que: I- Quando Ricardo fica gripado, ele falta ao trabalho. II- Emília só falta ao trabalho quando está gripada.
A partir das frases ditas, Rafael não pôde definir a época da viagem do neto representado pelo seguinte número: (A) I (B) II (C) III (D) IV
BLOCO VI
- A,B,C,D,E são pessoas de diferentes nacionalidades:
- A,C e E falam inglês; B e D falam alemão;
- A e D falam francês; B e E falam espanhol;
- C fala russo. a) quem sabe falar inglês e espanhol? b) quem sabe falar inglês ou francês? c) quem sabe falar francês e alemão? d) Poderá haver rodinhas de bate papo com D e E? Com A, B e D? A e C?
- Num conjunto de 30 pessoas, 5 são altas e gordas, 11 são baixas e 13 são gordas. Quantas são altas e magras? Quantas são baixas e magras?
- Nos argumentos a seguir, identifique quais são as premissas e qual é a conclusão e qual a melhor ordem em que cada uma delas deve ser apresentada para que a conclusão seja conseqüência das premissas. Argumento I Sempre que chove muito o ônibus da escola chega atrasado. A meteorologia prevê muita chuva para amanhã cedo. Logo, amanhã o ônibus da escola deverá chegar atrasado. Argumento II Vágner gosta de música porque ele é filho de músicos e todos os filhos de músicos gostam de música. Argumento III Márcia é médica. Portanto, Márcia estudou em uma faculdade, pois todos os médicos estudaram em faculdades.
- Dê exemplos do que se pode concluir e do que não se pode concluir das afirmações abaixo: a) “ Todos os produtos importados são caros” b) “ Todos os atletas são saudáveis” c) “ Todo número par termina em 0,2,4,6, ou 8”
