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Matemátic Básica
Tipologia: Notas de estudo
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Apostila: Matemática Básica vol. I – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
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Apostila: Matemática Básica vol. I – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
Apostila: Matemática Básica vol. I – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
Unidade 1
1.1 Apresentação
Esta é a primeira unidade da disciplina Matemática 1 dos cursos da área de Informática da Universidade Estácio de Sá.
Devido à flagrante heterogeneidade dos alunos, e já tendo tido várias turmas anteriores de experiência, optamos por apresentar, mesmo que de forma sucinta, alguns assuntos básicos que entendemos como sendo absolutamente fundamentais para o restante do curso, e esperamos que os estudantes que estejam fora do “bom combate” há algum tempo, ou há muito tempo, possam colocar suas idéias de novo em ordem, e os conceitos fundamentais nos seus devidos lugares.
1.2 Simbologia Matemática mais usual
Esperamos que o estudante conheça a seguinte simbologia:
a) = (igual à)
b) ≠ (diferente de)
c) φ ou { } (conjunto vazio)
d) ∈ (pertence à)
e) ∉ (não pertence à)
f) ⊂ (está contido)
g) ⊄ (não está contido)
h) ⊃ (contém)
i) ⊃/ (não contém)
j) ∃ (existe pelo menos um)
k) ∃/ (não existe)
l) ∃| (existe e é único)
m) | (tal que / tais que)
n) ∨ (ou)
o) ∧ (e)
p) A ∩ B (interseção dos conjuntos A e B )
q) A ∪ B (união dos conjuntos A e B )
Apostila: Matemática Básica vol. I – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
e) C = { z | z = x + j y }, sendo x ∈ R, y ∈ R e é j = − 1 , é o conjuntos dos números complexos
(voltaremos a tal assunto na seção 1.14).
Quando incluímos o **símbolo *** (asterisco), estamos indicando que o zero foi excluído do conjunto. Assim, temos:
f) N*^ = {1, (^) 2,3,4,5,K} ={ (^) x | x ∈N e (^) x ≠ 0 }
é o conjunto dos números naturais.
g) Z*^ = { x | x ∈Z e x ≠ 0 }
h) Q*^ = { x | x ∈Q e x ≠ 0 }
i) R*^ = { x | x ∈R e x ≠ 0 }
j) C*^ = { x | x ∈C e x ≠ 0 }
Quando incluímos o símbolo + (mais), estamos indicando que foram excluídos todos os números negativos dos conjunto.
k) Z (^) + = { x | x ∈Z e x ≥ 0 }= N
é o conjunto dos números inteiros não negativos.
l) (^) Q+ = { x (^) | x ∈Q e (^) x ≥ 0 }
é o conjunto dos números racionais não negativos
m) R+ = { x | x ∈R e x ≥ 0 }
é o conjunto dos números reais não negativos.
Quando acrescentamos o símbolo – (menos) estamos indicando que foram excluídos todos os números positivos do conjunto. Assim, temos:
n) Z (^) − = { x | x ∈Z e x ≤ 0 }
é o conjunto dos números inteiros não positivos.
o) Q− = { x | x ∈Q e x ≤ 0 }
é o conjuntos dos números racionais não positivos.
p) R− = { x | x ∈R e x ≤ 0 }
é o conjunto dos números reais não positivos.
Apostila: Matemática Básica vol. I – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
Devemos notar que o zero é elemento dos conjuntos (^) Z (^) + , (^) Z (^) − , (^) Q+ , (^) Q− , (^) R+ , (^) R−. Se excluímos o zero destes conjuntos, teremos:
q) Z+^ *^ = { x | x ∈Z e x > 0 }
r) Z−^ *^ = { x | x ∈Z e x < 0 }
s) Q+^ *^ = { x | x ∈Q e x > 0 }
t) Q−^ *^ = { x | x ∈Q e x < 0 }
u) R^ *+^ = { x | x ∈R e x > 0 }
v) R^ *−^ = { x | x ∈R e x < 0 }
O conjunto R^ *+^ é chamado conjunto dos números reais estritamente positivos e R^ *−^ é o
conjunto dos números reais estritamente negativos. Os outros têm nomes semelhantes.
Notemos a propriedade:
N *⊂Z⊂Q⊂R⊂ C
isto é, todo número natural é inteiro, todo número inteiro é racional, todo número racional é real e todo número real é também complexo.
Quando os números têm o mesmo sinal basta conservá-lo e adicionar os números; quando os sinais são contrários subtraímos o menor do maior, e o sinal que prevalece é o deste último. É bom lembrar também que o sinal mais (+) antes de um parêntese não vai alterar o sinal do número que está entre parênteses, ocorrendo o oposto quando o sinal antes do parêntese for o de (–). Se não houver nenhum sinal antes do parêntese estará implícito que o sinal será o de mais (+).
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— soma de ambos os resultados:
— ( + 12 )+(− 10 )=+ 2
Cumpre observar que o sinal de menos (–) antes de um parêntese troca o sinal do número que está entre parênteses e, no mais, procedemos como na operação anterior.
a) ( + 10 )−(+ 2 )=+ 10 − 2 =+ 8
b) ( + 10 )−(− 2 )=+ 10 + 2 =+ 12
c) ( − 10 )−(+ 2 )=− 10 − 2 =− 12
d) ( − 10 )−(− 2 )=− 10 + 2 =− 8
Para as operações de multiplicação e divisão que virão logo a seguir vale a seguinte regra: “Números de mesmo sinal dão sempre resultado positivo, enquanto que os de sinais contrários conduzem sempre à resultados negativos”.
1.4.3 Multiplicação
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a) ( + 10 )×(+ 2 )=+ 20
b) ( + 10 )×(− 2 )=− 20
c) ( − 10 )×(+ 2 )=− 20
d) ( − 10 )×(− 2 )=+ 20
a) ( + 10 )÷(+ 2 )=+ 5
b) ( + 10 )÷(− 2 )=− 5
c) ( − 10 )÷(+ 2 )=− 5
d) ( − 10 )÷(− 2 )=+ 5
Quando, em uma multiplicação, os fatores são todos iguais, em módulo e em sinal, esta operação recebe o nome de potenciação. Assim sendo, a potência de um número é o produto de fatores iguais a este número, sendo representada por:
p a
Conforme veremos a seguir, toda potência de expoente par é positiva, qualquer que seja o sinal da base, porém, toda potência de expoente ímpar tem o sinal de base.
→ expoente (n.º de repetições dos fatores iguais) → base (é o número ou fator em questão)
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digitamos o número 2. O restante da seqüência de operações é igual a do item a: tecla exponencial, expoente...
A esta altura é interessante notar a diferença entre a potenciação seqüencial e a potenciação escalonada , que serão analisadas logo a seguir.
a) Potenciação Seqüencial:
[( 2 )^2 ] 3 = [ 4 ] 3 = 64 , que também pode ser efetuada diretamente mantendo-se a base e multiplicando-se os expoentes:
2 2 ×^3 = 26 = 64
b) Potenciação Escalonada:
23 2 que pode ser entendida como 2
, ou seja:
3 = =
a) Raiz n -ésima de um número:
Dizemos que um número “ b ” é a raiz n -ésima exata de um número “ a ” quando
a = b^ n
e ela é representada por
n (^) a = b
Denomina-se radiciação a operação pela qual se obtém a raiz n -ésima de um número. Nas operações exatas, a radiciação é a operação inversa da potenciação.
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Temos então:
Onúmero" "éoíndicedo radical
Onúmero" "éoradicando
Osinal éoradical
n
a
Assim sendo
9 = 3 porque 32 = 9
(^3 8) = 2 porque 23 = 8
No caso de n = 2 a raiz se diz quadrada e não é usual escrever este índice no radical.
No caso de n = 3 a raiz se diz cúbica , mas este índice aparece no radical.
b) Valor algébrico dos radicais:
Se o radicando é considerado em valor absoluto (módulo), a radiciação é uma operação unívoca. No entanto, se este radicando é um número relativo a unicidade, em alguns casos, não estará mais garantida e por isso vamos considerar três casos:
1.º) Índice par e radicando positivo.
Neste caso o radical admitirá duas raízes reais e simétricas no conjunto dos números reais, bem como um par complexo conjugado (vide exercício proposto 39, item j da seção 1.15).
2.º) Índice ímpar.
Sendo o índice do radical um número ímpar, temos uma raiz no conjunto dos números reais, tendo o mesmo sinal que o radicando, e ( n – 1) raízes no conjunto dos números complexos (vide exercício proposto 38, item f, da seção 1.15).
3.º) Índice para e radicando negativo.
Neste caso não existe nenhum valor do conjunto do números reais que elevado ao índice para seja igual ao radicando. Este assunto será abordado na seção 1.14.
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4.º) Pressionamos a tecla EXE
5.º) O número 5 aparece no visor
b) Determinar 5 − 32 :
a.1) Utilizando um CASIO fx-82 LB
1.º) Digitamos o valor 32 e pressionamos a tecla + − para trocar o seu sinal
2.º) Pressionamos as teclas 2 nd^ Fe^ y^ x a fim de convocar a operação x^ y
3.º) Digitamos o índice 5
4.º) Pressionamos a tecla =
5.º) O valor – 2 aparece no visor.
a.2) Utilizando uma CASIO fx-6300 G
1.º) Digitamos o índice 5
2.º) Pressionamos a tecla x
3.º) Pressionamos a tecla −^ e depois o valor 32
4.º) Pressionamos a tecla EXE
5.º) O valor – 2 aparece no visor.
Observação: Devemos notar que as rotinas para calculadoras do mesmo fabricante (CASIO), mas de modelos diferentes, são totalmente diferentes. O que não esperar de modelos de outros fabricantes?
Por isso insistimos que cada estudante deve adquirir logo sua própria calculadora, a fim de se familiarizar com o uso da mesma.
1.4.7 Produto e Divisão de Potências de Mesma Base
a) Para multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes.
b) Para dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos o expoente do denominador do expoente do numerador.
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3 2 3241 2
1 a^3^ × a^2 × a −^4 × a = a +−+ = a
b) 5 85 3
8 b b b
b = − =
c) 5 25 3
2 = x −^ = x^ − x
x
d) 4 3 (^4 )^7
3 I I I
Toda potência de expoente nulo é igual à unidade.
Ilustração 1.
a^0 = 1
São exceções 00 e ∞ 0 , que não têm qualquer significado numérico, sendo símbolos de indeterminação, e são abordados em Análise Matemática na parte de Limites.
Toda potência de expoente negativo equivale a uma fração cujo numerador é a unidade e o
denominador é a potência com o expoente positivo ou seja: (^) n
n a
a
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Determinar os valores algébricos das seguintes operações:
a) 8 3 3 82 364 4
2 = = =
b) 162 16 4
1 = = ±
2
1
2
1 = = = ±
−
1.4.11 Emprego de Potências de Dez para simplificar a representação de certos Números
No Brasil: Nos E.U.A.:
a) 2 000 = 2 × 103 * —→ 2 , 000 = 2 × 103
b) 4 000000 = 4 × 106 * —→ 4 , 000 , 000 = 4 × 106
c) 0 , 0003 = 3 × 10 −^4 —→ 0. 0003 = 3 × 10 −^4
d) (^0) , 025 = 25 × 10 −^3 —→ (^0). 025 = 25 × 10 −^3
(*) Antigamente representava-se 2 e 4 milhões, respectivamente por 2.000 e 4.000.000. Já há alguns anos aboliram-se os pontos separatrizes de classes, mantendo-se agora um espaço entre as mesmas.
a) ( a + b )^2 :
( a + b )^2 =( a + b )( a + b )= a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2 ab + b^2
ou
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2 2
2
2
a 2 ab b
ab b
a ab
a b
a b
( a + b )^2 = a^2 + 2 ab + b^2 (4)
b) ( a − b )^2 :
( a − b )^2 =( a − b )( a − b )= a^2 − ab − ab + b^2 = a^2 − 2 ab + b^2
ou
2 2
2
2
a 2 ab b
ab b
a ab
a b
a b
( a − b )^2 = a^2 − 2 ab + b^2 (5)
( a + b )( a − b ):
( a + b )( a − b )= a^2 − ab + ab − b^2 = a^2 − b^2
ou
2 2
2
2
a b
ab b
a ab
a b
a b
( a + b )( a − b )= a^2 − b^2 (6)
