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Matemática do básico ao avançado, Manuais, Projetos, Pesquisas de Matemática

Instituto Superior Politécnico Metropolitano de Angola (IMETRO)Matemática
Prof. Francisco Mayanda

Aprenda facilmente matemática do básico ao avançado, este livro foi escrito por Angolanos

Tipologia: Manuais, Projetos, Pesquisas

2022
Em oferta
30 Pontos
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Oferta por tempo limitado

Compartilhado em 14/11/2022

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SEBENTA EXCLUSIVA-MATEMÁTICA
MÓDULO I, II, III
ACADEMIA DE MATEMÁTICA-MORRO BENTO
2
MARCAÇÃO DE AULAS | 930020528 / 993750984
ELENCO DA ACADEMIA: FRANCISCO MAYANDA, DAVID RAFAEL, JOÃO DALA, HUGO LEMOS.
Índice
PREFÁCIO ..................................................................................................................................................... 4
OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS DA MATEMÁTICA. ....................................................................................... 5
OPERAÇÕES COM SINAIS ........................................................................................................................... 14
RESOLUÇÃO DE EXPRESSÕES ARITMÉTICAS .............................................................................................. 17
REGRAS DE DIVISIBILIDADE ....................................................................................................................... 20
DECOMPOSIÇÃO EM FACTORES PRIMOS. ................................................................................................. 23
DETERMINAÇÃO DO MDC E MMC ............................................................................................................. 24
ESTUDO COMPLETO DAS FRAÇÕES ........................................................................................................... 28
DÍZIMA PERIÓDICA .................................................................................................................................... 40
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS. ........................................................................................................................ 43
CONJUNTOS NUMÉRICOS .......................................................................................................................... 45
INTERVALOS NUMÉRICOS.......................................................................................................................... 52
EXTRAÇÃO DE UMA RAIZ ........................................................................................................................... 54
POTENCIAÇÃO ........................................................................................................................................... 56
NOTAÇÃO CIENTÍFICA ................................................................................................................................ 61
SISTEMAS DE MEDIDAS ............................................................................................................................. 64
ESTUDO DOS POLINÓMIOS ....................................................................................................................... 78
FUNÇÃO DO 1º GRAU ................................................................................................................................ 93
EQUAÇÃO DO 1º GRAU. ............................................................................................................................ 97
INEQUAÇÕES DO 1º GRAU ...................................................................................................................... 105
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU A DUAS VARIÁVEIS. ................................................................... 108
PROBLEMAS QUE CONDUZEM A EQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU ......................... 117
REGRAS DE TRÊS SIMPLES E 3 COMPOSTAS ............................................................................................ 122
PORCENTAGEM ....................................................................................................................................... 130
EQUAÇÃO DO 2º GRAU ........................................................................................................................... 132
FUNÇAO DO 2º GRAU .............................................................................................................................. 136
INEQUAÇÃO DO 2º GRAU. ....................................................................................................................... 141
EQUAÇÕES DO 2º GRAU EM FUNÇÃO DE K ............................................................................................ 142
PROBLEMAS DO SEGUNDO GRAU: .......................................................................................................... 146
EQUAÇÃO BIQUADRADA ......................................................................................................................... 148
RADICIAÇÃO ............................................................................................................................................. 151
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MÓDULO I, II, III

MÓDULO I, II, III

MÓDULO I, II, III ACADEMIA DE MATEMÁTICA-MORRO BENTO

5 MARCAÇÃO DE AULAS | 930020528 / 993750984

CAPÍTULO 1.

OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS DA MATEMÁTICA.

A Matemática possui quatro operações fundamentais, são elas: adição, subtração, multiplicação e divisão.

Adição:

Nesta operação chamamos os números de parcelas, sendo a operação adição, e o resultado final é a soma ou total.

3 + 4 = 7

onde 3 e 4 são parcelas e 7 soma ou total.

Para nos facilitar resolver exercícios de adição, utilizamos a operação armada, e para se colocar os números na operação armada, os números devem estar dispostos um por baixo do outro da direita para esquerda, e efectuamos a adição da direita para esquerda também.

Exemplo:

+^3323 56

Na adição de números decimais, as parcelas devem estar dispostas de modo que se tenha vírgula sobre vírgula. Depois de se somar os números, contamos a quantidade de algarismos depois das vírgulas e no resultado, contamos também a quantidade de algarismos da esquerda para direita e colocamos a vírgula.

Exemplo:

+6,32, 8,

  • 48,652, 50,

Propriedades da adição

Comutativa.

Para todo 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ temos que: a + b = b + a

Exemplo: 3 + 5 = 5 + 3 = 8

MÓDULO I, II, III ACADEMIA DE MATEMÁTICA-MORRO BENTO

6 MARCAÇÃO DE AULAS | 930020528 / 993750984

Elemento neutro.

Existe o elemento neutro aditivo em ℕ, que é o zero, de modo que para todo a ∈ ℕ temos que:

a + 0 = 0 + a = a

Exemplo: 9 + 0 = 0 + 9 = 9

Associativa.

Para todo a, b, c ∈ ℕ temos que: (a + b) + c = a + (b + c)

Exemplo: (12 +4) + 3= 12 + (4 + 3) = 19

EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
SÉRIE 1.

MÓDULO I, II, III

Subtração:

Na subtração os números são chamados de minuendo ou aditivo e subtraendo ou subtrativo, sendo a operação a subtração, e o resultado é a diferença.

MÓDULO I, II, III

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

MÓDULO I, II, III

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

153. 1,23 × 93,

MÓDULO I, II, III ACADEMIA DE MATEMÁTICA-MORRO BENTO

12 MARCAÇÃO DE AULAS | 930020528 / 993750984

SÉRIE 3
166. 2 × (5 + 2)
167. 5 × (2 − 1)
168. 13 × (4,5 + 2)
169. 4 × (3 + 1,2)
170. 1,3 × (1,4 + 2,5)
171. (5 + 6) × 7

Divisão

Na divisão, os números são chamados de dividendo (a parte que está a ser dividida) e divisor (o número de vezes que esta parte está a ser dividida), a operação é a divisão, e o resultado é o quociente.

Existe na divisão, o que se pode chamar de resto. Isto é, quando uma divisão não é exata irá sempre sobrar um determinado valor.

Para verificar se o resultado é verdadeiro basta substituir os valores na seguinte fórmula:

D = d x q + r

843 = 5 x 168 + 3

Obs: se o resto for igual a zero a divisão é chamada exata.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
SÉRIE 1.
172. 24 ÷ 2
173. 34 ÷ 2
174. 44 ÷ 4
175. 124 ÷ 4
176. 234 ÷ 2
177. 243 ÷ 3
178. 222 ÷ 2
179. 24324 ÷ 2
180. 3844344 ÷ 2
181. 24 ÷ 5
182. 452 ÷ 3
183. 392 ÷ 3
184. 4321 ÷ 4
185. 1244 ÷ 3
186. 4 ÷ 12
187. 3 ÷ 6
188. 2011 ÷ 11
189. 4 ÷ 200

MÓDULO I, II, III ACADEMIA DE MATEMÁTICA-MORRO BENTO

14 MARCAÇÃO DE AULAS | 930020528 / 993750984

CAPÍTULO 2.

OPERAÇÕES COM SINAIS

Adição de números positivos

A soma de dois números positivos é sempre um número positivo.

Exemplos:

𝑎) (+2) + (+5) = +

𝑏) (+1) + (+4) = +

𝑐) (+6) + (+3) = +

Simplificando a maneira de escrever

𝑎) + 2 + 5 = +

𝑏) + 1 + 4 = +

𝑐) + 6 + 3 = +

Observe que escrevemos a soma dos números inteiros sem colocar o sinal + da adição e eliminamos os parênteses das parcelas.

Adição de números negativos

A soma de dois números negativos é um número negativo.

Exemplo:

𝑎) (−2) + (−3) = −

𝑏) (−1) + (−1) = −

𝑐) (−7) + (−2) = −

Simplificando a maneira de escrever

𝑎) − 2 − 3 = −

𝑏) − 1 − 1 = −

𝑐) − 7 − 2 = −

MÓDULO I, II, III ACADEMIA DE MATEMÁTICA-MORRO BENTO

15 MARCAÇÃO DE AULAS | 930020528 / 993750984

Multiplicação

Multiplicação de dois números de sinais iguais:

𝑎) (+5). (+2) = +

𝑏) (+3). (+7) = +

𝑐) (−5). (−2) = +

𝑑) (−3). (−7) = +

Conclusão: se os fatores tiverem sinais iguais o produto é positivo.

Multiplicação de dois números de sinais diferentes.

𝑎) (+3). (−2) = −

𝑏) (−5). (+4) = −

𝑐) (+6). (−5) = −

𝑑) (−1). (+7) = −

Regra prática dos sinais na multiplicação:

Sinais iguais: o resultado é positivo.

Sinais diferentes: o resultado é negativo.

Valendo a mesma regra para divisões.

MÓDULO I, II, III ACADEMIA DE MATEMÁTICA-MORRO BENTO

17 MARCAÇÃO DE AULAS | 930020528 / 993750984

CAPÍTULO 3.

RESOLUÇÃO DE EXPRESSÕES ARITMÉTICAS

A resolução de uma expressão aritmética se faz procedendo da seguinte maneira:

Primeira fase: resolvem-se as operações que estiverem entre os parênteses ( ), depois os colchetes [ ] e finalmente as chaves { }, sempre a partir dos mais internos, que geralmente são os parênteses ( ), para os externos, ou vice-versa.

Segunda fase: ordem das operações:

Grupo I — adição e subtração

Grupo II — multiplicação e divisão

Grupo III — potenciação e radiciação

Caso hajam duas operações de um mesmo grupo, resolvesse primeiramente a que primeiro aparecer. Caso hajam duas operações de grupos distintos, resolve-se primeiramente as do grupo III, depois as do grupo II e finalmente as do grupo I, levando- se sempre em conta as posições que as operações ocupem com referência à primeira fase.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

a) 4 + 2 × 8 − 3 × 5 − 1

= 4 + 16 − 15 − 1

= 20 − 15 − 1

= 5 − 1

= 4

b) 36 + (5 × 4 − 3 × 6) × 2 − 2 × 4

= 36 + (20 − 18) × 2 − 2 × 4

= 36 + 2 × 2 − 2 × 4

= 36 + 4 − 8

= 40 − 8

= 32

MÓDULO I, II, III ACADEMIA DE MATEMÁTICA-MORRO BENTO

18 MARCAÇÃO DE AULAS | 930020528 / 993750984

c) 107 − {27 + (36 − 2 × 5) − [2 + 3 × (4 − 2)] − 1}

= 107 − {27 + (36 − 10) − [2 + 3 × 2] − 1}

= 107 − {27 + 26 − [2 + 6] − 1}

= 107 − {27 + 26 − 8 − 1}

= 107 − {53 − 8 − 1}

= 107 − {45 − 1}

= 107 − 44

= 63

d) {2 + 4^2 ÷ (2 × 5 − 3^2 ) × [3 + 2^2 × (17 + 2^3 )] + 5^3 } ÷ 71

= {2 + 16 ÷ (2 × 5 − 9) × [3 + 4 × (17 + 8)] + 125} ÷ 71

= {2 + 16 ÷ (10 − 9) × [3 + 4 × 25] + 125} ÷ 71

= {2 + 16 ÷ 1 × [3 + 100] + 125} ÷ 71

= {2 + 16 ÷ 1 × 103 + 125} ÷ 71

= {2 + 16 × 103 + 125} ÷ 71

= {2 + 1.648 + 125} ÷ 71

= {1.650 + 125} ÷ 71

= 1.775 ÷ 71

= 25

MÓDULO I, II, III ACADEMIA DE MATEMÁTICA-MORRO BENTO

20 MARCAÇÃO DE AULAS | 930020528 / 993750984

CAPÍTULO 4.

REGRAS DE DIVISIBILIDADE

Divisibilidade por 2

Um número é divisível por 2 quando o último algarismo da direita for par, ou seja, quando o número dado, terminar em: 0, 2, 4, 6, 8.

Exemplificando, teríamos: 502 → é divisível por 2, pois o algarismo das unidades é par.

503 → não é divisível por 2, pois o algarismo das unidades não é par.

Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for um número divisível por 3.

Exemplificando, teríamos:

249 → é divisível por 3, pois 15 (2 + 4 + 9 = 15) é divisível por 3;

283 → não é divisível por 3, pois 13 (2 + 8 + 3 = 13) não é divisível por 3.

Divisibilidade por 5

Um número é divisível por 5 se o algarismo das unidades for zero ou cinco.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

  1. Sem fazer as divisões, assinale quais números são divisíveis por 2:

a) 13

b) 204

c) 28

d) 111.

e) 115

f) 22.

MÓDULO I, II, III ACADEMIA DE MATEMÁTICA-MORRO BENTO

21 MARCAÇÃO DE AULAS | 930020528 / 993750984

  1. Dos números a seguir, quais são divisíveis por 2:

a) 35

b) 36

c) 78

d) 138

e) 91

f) 551

  1. Dos números a seguir, quais são divisíveis por 3.

a) 415

b) 205

c) 69

d) 42.

e) 1.

f) 333

Dica: Some os algarismos dos números anteriores.

Exemplo:

415 → 4 + 1 + 5 + = 10

Agora divida o resultado das somas por 3.

O que você observa nos resultados?