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• Eliminação Gaussiana;

• Substituição Inversa;

• Eliminação de Gauss-

Jordan.

 Eliminacao Gaussiana:

 Matriz na forma escalonada reduzida por linhas :

 Propriedades:

 1) Se uma linha não consistir só de zeros, então o primeiro

número não-nulo da linha é um 1. Chamamos este número 1 de

líder ou pivô ;

 2) Se existirem linhas constituídas somente de zeros, elas estão

agrupadas juntas nas linhas inferiores da matriz;

 3) Em quaisquer duas linhas sucessivas que não consistem só

de zeros, o líder da linha inferior ocorre mais à direita que o

líder da linha superior;

 4) Cada coluna que contém um líder tem zeros nas demais

entradas.

 Substituição Inversa:

 Técnica de Solução de sistemas utilizada com a

Eliminacão de Gauss.

 Exemplos:

 Neste caso o sistema tem uma única solução.







− − =

− =−

• =−

3 2 5 26

2 4 4

3 8

x y z

x y

x z



 

 

 

 − −

−

−  → 

 

 

 − −

− −

−  → 

 

 

 − −

− −

− (^) → − →− → − 00 12 314 /^2503

1 0 3 8 0 2 14 50

0 4 6 12

1 0 3 8 3 2 5 26

2 4 0 4

(^1 ) 3 3 1

2 41 3

L L L L^ L L L L



 

 

 

 −

−

− →→ + 0 0 11 44

0 1 3 / 3 3 L 3 L 3 2 L (^210383 111310 01) 3 / 2^3
0 0 1 4

L →→ − L ^ −−   (^) −    

 =−

=

= 4

3

4 z

y

x

 Solução de Sistemas Lineares:

 1 Técnica: Escalonamento de Matrizes:

 Eliminação Gaussiana;

 Eliminação de Gauss-Jordan.

 Eliminação de Gauss-Jordan:

 Exemplos:

 Neste caso o sistema tem infinitas soluções e é dito

indeterminado.



 − + − =

• • =

− + − =

2 4 0

2 4 0

2 0

x y z t

x y z

x y z t 

 

 

 

 − −

− − 1 1 2 4 0

2 1 4 0 0

1 1 2 1 0



 

 

 

  → 

 

 

 −  → 

 

 

 −

− →



 

 

 

 −

− −  → 

 

 

 −

− −  → 

 

 

 − −

− −

→ + → −

→ + →−

→ − → → −

0 0 0 1 0

0 1 0 0 0

1 0 2 0 0 0 0 0 1 0

0 1 0 2 / 3 0

1 0 2 1 / 3 0 0 0 0 3 0

0 1 0 2 / 3 0

1 0 2 1 / 3 0

0 0 0 3 0

0 1 0 2 / 3 0

1 1 2 1 0 0 0 0 3 0

0 3 0 2 0

1 1 2 1 0 1 1 2 4 0

2 1 4 0 0

1 1 2 1 0

1 1 133 2 2 32 3

1 1 2 3 31 3

2 2 21 2 31 2 3 3 1 L L L L L L

L L L L L

L L L L L L L L 



=

• = 0

0

2 0 t

y

x z

 Eliminação de Gauss-Jordan:

 Exemplos:

 Neste caso dizemos que o sistema não tem solução , ou

que é impossível.





• • =

• − =

• • = 2 2 2 1

2 3 1 3

4 x y z

x y z

x y z 

 

 

 

 − 2 2 2 1

2 3 1 3

1 1 1 4



 

 

 

 → −



 

 

 

  → − − 

 

 

  → − − 

 

 

 −  → − − 

 

 

 − → − → +

→ − →− → − → −

0 0 0 1

0 1 3 0

1 0 4 0

0 0 0 1

0 1 3 5

1 0 4 9 0 0 0 1

0 1 3 5

1 1 1 4 0 0 0 7

0 1 3 5

1 1 1 4 2 2 2 1

2 3 1 3

1 1 1 4

1 1 93 2 2 53

2 2 21 3 713 1 1 2 3 3 21 L L L L L L

L L L L L L L L L L L

 5ª Lista de Exercícios - Respostas:

 1) a)

 b)

 c)

 d)

x 1 = 2 ; x 2 =− 5 ; x 3 = 3

x 1 = 3 ; x 2 = 3 ; x 3 =− 2

x 1 = 1 ; x 2 = 2 ; x 3 = 3

x 1 = − 1 ; x 2 = − 1 ; x 3 = − 1