Baixe Matemática Financeira no Excel: Conceitos e Aplicações e outras Esquemas em PDF para Matemática Financeira, somente na Docsity!
Matemática Financeira Com Francisco Cavalcante e Afonso Tobias Módulo 1 - Conceitos Básicos 1.1 O Valor do Dinheiro no Tempo A Matemática Financeira surgiu da necessidade de se levar em conta o valor do dinheiro no tempo. Mas o que é o " valor do dinheiro no tempo"? Intuitivamente, sabemos que R$ 4.000,00 hoje "valem" mais que esses mesmos R$ 4.000,00 daqui a um ano, por exemplo. A princípio, isso nos parece muito simples, porém, poucas pessoas conseguem explicar porque isso ocorre. É aí que entram os juros. Os R$ 4.000,00, hoje, valem mais do que os R$ 4.000,00 daqui a um ano porque esse capital poderia ficar aplicado em um banco, por exemplo, e me render juros que seriam somados aos R$ 4.000,00, resultando numa quantia, obviamente, maior que esse capital. Por exemplo: suponha que um banco me pague R$ 400,00 de juros ao ano caso eu aplique esses R$ 4.000, hoje. Isso quer dizer que, daqui a um ano, quando esse capital for resgatado, o valor recebido será de R$ 4.400,00, e não somente os R$ 4.000,00 iniciais. Isso mostra que receber os R$ 4.000,00 hoje seria equivalente a receber R$ 4.400,00 daqui a um ano, e não os mesmos R$ 4.000,00, já que esses, daqui a um ano, já terão perdido parte de seu valor. Os juros de R$ 400, referentes ao prazo de um ano funcionariam como uma recompensa por termos de esperar todo esse tempo para ter o dinheiro em vez de tê-lo hoje. É esse o valor do dinheiro no tempo. Os juros fazem com que uma determinada quantia, hoje, seja equivalente a outra no futuro. Apesar de diferentes nos números, os valores R$ 4.000,00 hoje e R$ 4.400,00 daqui a um ano seriam equivalentes para juros de R$ 400,00.
Um capital de R$ 4.000,00 só será equivalente a R$ 4.000,00 daqui a um ano na hipótese absurda de a taxa de
juros ser considerada igual a 0. A Matemática Financeira, portanto, está diretamente ligada ao valor do dinheiro no tempo, que por sua vez está ligado à existência da taxa de juros. 1.2 – Principais Conceitos CAPITAL ou VALOR PRESENTE (VP) Capital ou Valor Presente (VP) é o Capital Inicial (Principal) em uma transação financeira, referenciado, geralmente, na escala horizontal do tempo, na data inicial (n=0). É, ainda, o valor a vista quando nos referimos, nos termos comerciais, àquele valor "com desconto" dado como opção às compras a prazo. É considerado também como o investimento inicial feito em um projeto de investimento. No EXCEL, é indicado pela sigla VP (Valor Presente).
Na HP 12C pela tecla PV (Present Value). JUROS (J) Os juros (J) representam a remuneração pela utilização de capitais de terceiros , ou por prazos concedidos. Podem ser, também, a remuneração por capital aplicado nas instituições financeiras. São considerados rendimento se você os recebe, e são considerados despesa se você os paga. TAXA DE JUROS (i) Taxa de juros (i) é o valor do juro em determinado tempo, expresso como porcentagem do capital inicial. Pode ser expresso da forma unitária ou percentual (0,15 ou 15%, respectivamente). Veja: Se um banco me paga R$ 400,00 de juros sobre um capital de R$ 4.000,00 aplicado durante um ano, a taxa de juros nada mais é do que: Isso significa que esse banco está pagando uma taxa de juros de 10% ao ano. Para tratar de taxa de juros, o EXCEL utiliza a terminologia “taxa”. A HP 12C usa a tecla “i “ ( de “Interest” = juro). PRAZO ou PERÍODOS (n) As transações financeiras são feitas tendo-se como referência uma unidade de tempo (como um dia, um mês, um semestre e etc.) e a taxa de juros cobrada nesse determinado tempo. O período de uma transação é o tempo de aplicação de cada modalidade financeira. Pode ser unitário ou fracionário. Por exemplo, uma aplicação em CDB de 33 dias. O prazo dessa aplicação é unitário se o banco utilizar uma taxa específica para 33 dias. Isso quer dizer que n=1 (1 período), pois 33 dias foi o período considerado para a taxa de juros como sendo uma unidade de tempo. O banco pode, ainda, considerar para essa aplicação uma taxa que corresponda a um período de um ano, por exemplo. Já nessa situação, o prazo da aplicação (n) será de 33/360, o que significa a proporção de tempo em relação a um ano, que foi considerado como unidade de tempo (tendo em vista que a taxa de juros é anual). Daí temos um período fracionário, pois n=33/360. Então, o prazo ou período considerado só pode ser definido se levarmos em consideração a taxa de juros, que pode ser definida para qualquer período. R$ 400,00 = 0,1 ou 10% R$ 4.000,
EXEMPLO:
Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado a uma taxa de 12 % a.m. Acompanhe como é realizado o cálculo dos juros e do Montante ao final do primeiro mês. Exemplo: Suponhamos que você aplicou R$ 1.500,00 a uma taxa de juros de 25% a.a. Veja como é calculado, no Excel, o rendimento de juros e quanto seria resgatado em 1 ano. A B C (^1) Dados Valores Memória de Cálculo (^2) Valor Presente (Capital) R$ 1.500, (^3) Taxa de Juros 25% 4 Juros R$ 375,00 J = C * i (^5) Valor Futuro (Montante) R$ 1.875,00 M = C + J Agora vamos verificar como é realizado este cálculo na HP 12C. Se você tem uma calculadora HP 12C, também pode utilizá-la para efetuar esse cálculo.
Valores de Entrada Tecla função Saída 1500 ENTER 1500 :: > Valor do Capital 25 % 375 :: > Usando a tecla indicada, a calculadora efetuará 25% dos
- 1875 1.500 do Capital. Depois é só somar os dois valores para encontrar o Montante Exemplo: Você tem R$ 2.346,00 hoje, mas daqui a três meses terá que pagar uma dívida de R$ 3.123,00. Para honrar a sua dívida, alguém sugere que você aplique seu dinheiro para que, no futuro, tenha o que precisa. A qual taxa de juros você precisaria aplicar esse capital? Nesse caso, você já tem os Valores Presente e Futuro, e precisa da taxa de juros que renderia os R$ 777,00 de juros para a formação do Montante de R$ 3.123,00 objetivado. A B C (^1) Dados Valores Memória de Cálculo 2 Valor Presente (Capital) R$2.346, (^3) Valor Futuro R$3.123, (^4) Taxa de Juros 33,12% i = (M/C)- 1 (^5) Juros R$777,00 J = C * i Agora vamos ver como se faz este cálculo na HP 12C. Na HP 12C você poderia fazer esse exercício usando a tecla de variação percentual. Valores de Entrada Tecla função Saída 2346 ENTER 2346 ::> Valor do Capital 3123 % 33,12 ::> Depois é inserido o Valor Futuro, acionada a função variação percentual e encontrada a taxa de juros. 1.4 - Diagrama de Fluxo de Caixa Mais um conceito fundamental da matemática financeira é o de fluxo de caixa. Ele é definido como o conjunto de entradas e saídas monetárias (pagamentos e recebimentos) referentes a uma transação financeira de uma empresa, projeto de investimento e etc. Nesse contexto, o diagrama de fluxo de caixa é a representação gráfica desse indispensável instrumento de análise de rentabilidade, custos, viabilidade econômica e financeira de projetos de investimento. O diagrama torna mais fácil a visualização da movimentação monetária, facilitando o processo de análise. O diagrama é universal e feito da seguinte forma:
A B C
1 Dados Valores Memória de Cálculo (^2) Valor Presente (Capital) R$ 1,000, (^3) Taxa de Juros (ao período) 10% (^4) Juros (ao período) R$ 100,00 J = C * i (^5) Valor Futuro (Montante) R$ 1.500,00 M = C + 5J* Na HP 12C, os cálculos podem ser executados da seguinte forma: Valores de Entrada Tecla função Saída 1000 ENTER 1000 ::> Insere capital 10 % 100 ::> Calcula juros sobre o capital 5 X 500 ::> Multiplica juros por período
- 1500 ::> Encontra o valor futuro 1.5 - Regimes de Capitalização Capitalização é o ato de incluir os juros incorridos durante um período no capital inicial, resultando em um montante "capitalizado" (acrescido dos juros). Quando um capital é aplicado à determinada taxa, o montante resultante dessa aplicação pode "crescer" de duas formas: pela capitalização simples ou pela capitalização composta. Capitalização Simples Em um regime de capitalização simples os juros são sempre iguais e incidem somente sobre o capital inicial durante todo o período. O montante, dessa forma, cresce de maneira linear. Nessa forma de capitalização, geralmente os juros são pagos no final da operação. Exemplo: Aplica-se um capital de R$ 2.000,00 no início do primeiro ano e espera-se resgatá-lo daqui a 3 anos. Sabendo que o regime é de capitalização simples e que os juros são de 17% a.a., é fácil calcular o montante. Veja: Você pode fazer o cálculo dos juros e montante usando o EXCEL. Verifique os passos abaixo:
A B C
1 Dados Valores Memória de Cálculo (^2) Valor Presente (Capital) R$ 2,000, (^3) Taxa de Juros 17% (^4) Juros (ao período) J = C * i (^5) Número de Períodos (n) 3 (^6) Valor Futuro (Montante) M = C + (J * n) A B C 1 Dados Valores Memória de Cálculo 2 Valor Presente (Capital) R$ 2,000, (^3) Taxa de Juros 17% (^4) Juros (ao período) = B2 * B3 J = C * i (^5) Número de Períodos (n) 3 (^6) Valor Futuro (Montante) = B2 + (B4 * B5) M = C + (J * n) Vejamos a planilha resolvida: A B C 1 Dados Valores Memória de Cálculo 2 Valor Presente (Capital) R$ 2,000, (^3) Taxa de Juros 17% (^4) Juros (ao período) R$ 340,00 J = C * i (^5) Número de Períodos (n) 3 (^6) Valor Futuro (Montante) R$ 3.020,00 M = C + (J * n) Na HP 12C, os cálculos podem ser executados da seguinte forma: Valores de Entrada Tecla função Saída 2000 ENTER 1000 ::>^ Valor do capital 17 % 340 ::> Valor dos juros 3 x 1020 ::> Juros multiplicados pelo número de períodos
- 3020 ::> Valor futuro Capitalização Composta Nesse regime de capitalização, o capital é remunerado a cada período, e os juros incidem sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até a referida data. Sendo assim, o montante, ao final da data 1(n = 1), por exemplo, é o capital inicial da data 2 (n = 2) e sobre ele incidirão juros novamente. O montante, neste caso, cresce em progressão geométrica , ou seja, crescimento exponencial. Exemplo:
Na HP 12C, os cálculos podem ser executados da seguinte forma: Valores de Entrada Tecla função Saída 2000 ENTER 2000 ::> Valor do capital 17 % 340 ::> Valor dos juros
- 2340 ::> Montante 1 17 % 397,8 ::> Juros 2
- 2737,8 ::> Montante 2 17 % 465,43 ::> Juros 3
- 3203,23 ::> Montante 3 Função VFPLANO Existe, ainda, uma terceira forma de se resolver esse e outros problemas com capitalização composta. Trata-se da função VFPLANO oferecida pelo EXCEL, que ajuda a calcular o montante resultante de uma aplicação composta de taxas de juros sobre um determinado capital. Para a função VFPLANO estar disponível no EXCEL, entre na Barra de Ferramentas, clique sobre o item Suplementos e habilite Ferramentas de Análise. Essas funções oferecidas pelo EXCEL geralmente estão agrupadas no Assistente de Função. Esse Assistente pode ser acionado pela Barra de Ferramentas , com um clique no ícone fx. Clicando aí, aparecerá uma caixa de diálogo do Assistente de Funções, onde deve ser selecionada a categoria "Financeira". Feito isso, escolhe-se a função " VFPLANO". Aparecerá outra caixa de diálogo, da função, onde deverão ser inseridas as referências das células indicadas, apenas clicando com o mouse e selecionando as células com os valores pedidos.
- No espaço para o Capital : deve-se inserir a referência da célula que armazena o valor do capital da operação.
- No espaço para o Plano : deve-se inserir o intervalo que contém os valores da taxa de juros a cada período. Nesse caso, serão inseridos os valores 17%, 17% e 17%, porque a taxa é igual para os três períodos. A B (^1) Dados Valores (^2) Valor Presente (Capital) R$ 2.000, 3 Taxa de Juros 1 17% (^4) Taxa de Juros 2 17% (^5) Taxa de Juros 3 17% (^6) Montante R$ 3.203, =VFPLANO(B2; B3:B5) Módulo 2 - Juros Simples 2.1 Fórmulas: Montante, Juros e Taxas de Juros Os juros simples têm seu fundamento no regime de capitalização simples, no qual o crescimento do capital se dá linearmente (por isso, o cálculo dos juros simples também é chamado de cálculo linear). Trata-se de juros simples toda transação em que os juros incidem sempre sobre o capital inicial e são, então, iguais em todos os períodos. A fórmula dos juros simples é, intuitivamente:
Ao invés de usar fórmulas e fazer os cálculos, você poderia efetuar todas as operações usando a planilha do Excel, o que facilita bastante os cálculos e permite que você insira problemas de juros simples no meio de tabelas demonstrativas, balanços e etc. Além disso, o Excel calcula datas corridas, o que facilita bastante as operações envolvendo prazos não inteiros ou de difícil cálculo mental. Veja: A B C (^1) Dados Valores Memória de Cálculo (^2) Valor Presente (Capital) R$ 120.000, 3 Taxa de Juros 15% (^4) Juros (trimestrais) R$ 18.000,00 J = C * i * n (^5) Períodos 4 n = 12/ 6 Valor Futuro (Montante)
R$
192.000,00 M = C*(1+ i * n) Na HP 12C, o cálculo poderia ser executado da seguinte forma: Valores de Entrada Tecla função Saída 120000 ENTER 120000 ::> Valor presente 15 % 18000 ::> Juros para 1 trimestre 4 X 72000 ::>^ Juros para 4 trimestres (1 ano)
- 192000 ::>^ Montante final (C + 4J) Repare que a fórmula inserida na célula do valor do montante nada mais é do que a cópia da fórmula apresentada anteriormente, na qual: B2 = capital B3 = taxa de juros B5 = n.º de períodos Se a sua fórmula estiver certa, apresentará o seguinte conteúdo editado =B2(1+B3B5)**
Exemplo: Uma outra aplicação muito útil sobre juros simples usando o Excel é o cálculo dos juros a pagar se um título é pago em atraso. Por exemplo, vamos imaginar que você tem dois boletos bancários vencidos e não pagos. O primeiro é para pagamento de um fornecedor seu, que venceu dia 7 de abril e cobra 3% a.m. em caso de atraso. O segundo é a fatura do cartão de crédito, que venceu dia 5 de abril, e cobra 10% a.m. por atraso no pagamento. Quais seriam os juros incorridos se você só pudesse pagá-los no dia 25 do mesmo mês? Os valores estão abaixo; A B C D E F G 1 Títulos Valor Vencimento PGTO Taxa de Juros Juros Valor Pago 2 Boleto R$ 2.650,00 07/Abr 25/Abr 3%
R$
47,70 R$ 2.697,
Fatura R$ 1.478,00 05/Abr 25/Abr 10%
R$
98,53 R$ 1.576,
É importante ressaltar que o cálculo efetuado foi feito em cima do total de dias corridos entre uma data e outra, para uma simplificação dos cálculos a serem executados. Em uma operação real, no mercado, teriam que ser descontados os sábados, domingos e feriados, deixando somente os dias úteis nos cálculos. A calculadora HP12C também permite o cálculo de dias entre duas datas, função que pode ser usada para esse tipo de problema apresentado. Veja quais são os passos a seguir. Calculando os juros de atraso no caso da fatura do cartão: O cálculo dos juros incorridos é baseado no cálculo do período incorrido. Nesse caso, a taxa é mensal e o período é contado em dias. Para fazer esse cálculo, divide-se a taxa mensal por 30 e multiplica-se pelo total de dias da transação. Veja que o EXCEL calcula o número de dias corridos simplesmente diminuindo-se uma célula da outra. A formula editada na célula é: =Valor((Tx. Juros/30)(pgto - venc.))** Se a sua fórmula estiver correta, a célula do seu resultado F3 deverá apresentar o seguinte conteúdo: =B3((E3/30)(D3-C3))** O montante final é nada mais que o valor inicial do título mais os juros pelo atraso no pagamento.
Daí tiramos que a taxa equivalente é de 30% ao ano. Veja que isso é exatamente o que fizemos no exemplo dado para transformar a taxa mensal de juros do cartão de crédito, de 10 % a.m., em uma taxa diária de juros de 0, % a.d. (10/30). 2.3 Juros Exatos e Juros Comerciais O cálculo de taxas equivalentes diárias é muito comum no nosso dia-a-dia, como visto anteriormente. Porém, o cálculo das taxas equivalentes tem como pressuposto o cálculo dos dias corridos da operação. Essa conta, por sua vez, pode ser feita de duas maneiras distintas, aplicáveis de acordo com a operação. Quando usamos como base o ano civil, com 365 dias (ou 366) e meses com números variáveis de dias, os juros calculados são os juros exatos. Quando usamos como base o ano comercial de 360 dias e meses com 30 dias, os juros obtidos são os juros comerciais. Exemplo: Um capital de R$ 5.000,00 foi aplicado à taxa de 20% a.a. pelo prazo de 53 dias. Verifique os juros comerciais e os juros exatos dessa aplicação. A B (^1) Dados Valores 2 Valor presente (Capital) R$ 5.000, (^3) Período 53 (^4) Taxa de juros 20% (^5) Taxa de juros exatos ao dia 0,05479% 6 Taxa de juros comerciais ao dia 0,05556% (^7) Juros exatos R$ 145, (^8) Juros comerciais R$ 147, A taxa de juros exatos por dia é calculada dividindo-se a taxa nominal anual dada por 365. A taxa de juros comerciais por dia é calculada dividindo-se a taxa nominal anual por 360. Para o cálculo de ambos os juros, simplesmente multiplique cada uma das taxas diárias equivalentes pelo período de aplicação. A calculadora HP 12C também permite estes cálculos. Acompanhe.
Valores de Entrada Tecla função Saída F X Y CLX 0 ::> Limpa toda a memória financeira da calculadora f 9 0,000000000 ::> Estipula nove casas decimais 20 ENTER 20,000000000 ::> Taxa de juros 365 0,054794521 ::> Taxa de juros exatos/dia 100 0, 5000 X 2,739726027 ::> Valor de juros exatos/dia 53 X 145,205479452 ::> Valor dos juros exatos no período (53 dias) 20 ENTER 20, 360 0,055555556 ::> Taxa de juros comerciais/dia 100 0, 5000 X 2,777777778 ::> Valor de juros comerciais/dia 53 X 147,222222222 ::> Valor dos juros comerciais no período ( dias) As aplicações para cada um dos casos dependem dos parâmetros adotados no mercado para cada caso. Um exemplo típico de aplicações de curtíssimo prazo, onde as taxas equivalentes diárias precisam ser calculadas, são as operações com HOT MONEY (empréstimos de curtíssimo prazo das instituições financeiras para empresas). Nesse tipo de operação, as taxas dadas são mensais, os juros são contabilizados no padrão comercial e o critério utilizado é o de juros simples. Normalmente os empréstimos são tomados por um dia e renovados a cada dia, se necessário. Veja, simplificadamente, como funciona: A B (^1) Dados Valores (^2) Capital Emprestado R$ 25.000, 3 Período (dias) 2 4 Tx. Juros 1º dia (mês) 31 %
Taxa disponível no mercado para empréstimos de Hot Money - 1º dia 5 Tx. Diária 1º dia 1,03 % ::> Taxa equivalente diária da taxa mensal do Hot Money - 1º dia (^6) Juros 1º dia R$ 258, (^7) Montante 1º dia R$ 25.258, 8 Tx. Juros 2º dia (mês) 33 %
Taxa disponível no mercado para empréstimos de Hot Money - 2º dia (^9) Tx. Diária 2º dia 1,10 % ::> (^) Taxa equivalente diária da taxa mensal do Hot Money - 2º dia 10 Juros 2º dia R$ 277,84 ::> (^) Note que os juros incidem sobre o montante resultante do 1º dia, (^11) Montante 2º dia R$ 25.536,18 quando da renovação do empréstimo por mais um dia (total = 2)
Na matemática financeira, denomina-se valor atual o valor presente de uma operação, um título, uma transação financeira, uma dívida, ou ainda o preço à vista de certo produto. Na outra ponta de todos esses casos está o valor nominal , que geralmente é empregado para valores de títulos na data de seu vencimento, mas também pode ser estendido para todos esses outros casos citados. O valor nominal é o valor final da operação, que, se tirados os juros incorridos ou embutidos, torna-se igual ao valor presente. Veja nesse exemplo. Neste caso, temos: V + V. i. n = N V = N 1 + i. n Exemplo: Suponhamos que você tenha que pagar R$ 4.000,00 a um fornecedor em 120 dias. Como você tem um pouco de dinheiro em caixa, que ficaria parado, você vai até o banco e procura saber com o gerente quanto precisaria aplicar hoje para ter os R$ 4.000,00 em 120 dias, já que o banco dispõe de uma aplicação que paga 10% a.m. de juros. No EXCEL, a solução seria a seguinte: A B 1 Dados Valores 2 Valor nominal R$ 4.000, (^3) Taxa de juros 10% (^4) Período 4 ::> Taxa em meses, período em meses. (^5) Valor presente R$ 2.857,14 ::> (^) Esse é o valor que tem que ser aplicado na data 0, para que no final dos 120 dias se tenha os R$ 4.000, Na HP 12C a solução também é simples. Veja: Valores Entrada Tecla função Saída
4000 ENTER 4000 ::> Valor nominal 0,1 ENTER 0,1 ::> Taxa de juros 4 X 0,4 ::> Período 1 + 1, (divide) 2857,14 ::> Valor presente 2.5 Método Hamburguês Esse nome pode nos parecer estranho, a princípio. Entretanto, ele está diretamente ligado a nosso dia-a-dia. É o método utilizado na cobrança dos juros de cheques especiais. Tal cálculo, por muitas vezes, causa certa insegurança aos usuários desse tipo de cheque. Veremos, então, como ele procede. Os juros são calculados sobre os saldos devedores. Supondo, por exemplo, que o Sr. Alberto apresente um saldo devedor de R$ 400,00 do dia 02/07/00 ao dia 10/07/00. Os juros são calculados sobre esse saldo devedor, levando-se em consideração o número de dias nos quais ele permaneceu nessa situação (no caso, 8 dias). Como estamos tratando de dias, a taxa de juros utilizada deve ser a taxa diária. Então, se a taxa de juros mensal for de 12 % a.m., a taxa diária será de: Essa taxa diária deve, então, incidir sobre o saldo devedor pelo número de dias que ele permaneceu nessa situação. Teremos então: O método em questão permite o cálculo dos juros incorridos em diferentes aplicações. Essas aplicações podem estar em períodos diversos, porém com a mesma taxa incidente. É um método simplificado que facilita a contabilização de aplicações de investidores que movimentam bastante seus investimentos. A fórmula do cálculo dos juros vem da somatória de cada capital, multiplicado pelo período no qual os juros incidiram sobre ele, tudo multiplicado pela taxa comum. Veja abaixo: Como os capitais são todos empregados a juros simples, temos que; J = J 1 + J 2 + J 3 +........+Jp
Ck. nk
J = i [C 1 n 1 + C 2 n 2 + C 3 n 3 +.....+Cpnp] i = 0,12 = 0,004 ou 0,4% 30 Juros = 400,00 X 0,004 X 8 = R$12, J Juros = 400,00 * 0,4 * 8
J = i.
p k = 1
