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MATEMÁTICA
FORMULÁRIO
30 o^45 o^60 o
sen (^2)
1 2
2 2
3
cos 2
3 2
2 2
1
tg 3
3
1) an = a 1 + (n-1). r 10) Vparalelepípedo = a.b.c
2) S (^) n = ⎟ ⎠
a 1 an
. n (^) 11) Vcubo = a^3
3) an = a 1. qn –1^ 12) Vcone = 3
AB. h
4) S n q 1
a (^1) .(qn 1) −
= 13)^ dA,B=^ (^ )^ (^ )
2 B A
2 xB − xA + y − y
1 q
a S 1 −
= (^) 14) (x – a)^2 + (y – b)^2 = r 2
(n p)!
n! An p −
= 15) Aesfera = 4. π .r 2
7) Pn = n! 16) Alateral cone = π .r.g
α!β!
n! P (^) n =
α ,β
p!(n p)!
n! C (^) np −
17) Atrapézio = 2
(B + b) ⋅ h
Questão 21
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
- Dividindo-se 32
2 por
23
2 obtém-se 1.
- Os astrônomos usam o termo ano-luz para representar a distância percorrida pela luz em
um ano. Se a velocidade da luz é de 3,0 × 105 km/s e um ano tem aproximadamente
3,2 × 107 segundos, então a distância em quilômetros da estrela Próxima Centauri, que está
aproximadamente a 4 anos-luz de distância da Terra, é 3,84 × 1013.
- Para Pitágoras e seus discípulos um número é perfeito se a soma dos divisores desse
número, com exceção dele mesmo, é igual ao próprio número. Portanto, segundo o critério dos pitagóricos, o número 28 não é perfeito.
- Uma grandeza x (x>0 ) varia de forma inversamente proporcional ao quadrado da grandeza
y (y>0). Se para x = 16 temos y = 3 , então para x = 4 temos y = 12.
- Numa padaria, o quilo do pão salgado custa 3
do preço do quilo do pão doce. Se para
comprar 4 quilos de pão salgado e 6 quilos de pão doce você vai gastar R$ 26,00 , então o
quilo do pão salgado custa R$ 6,.
- Ana tem ao todo 15 notas, sendo essas notas de 1 real, 5 reais e 10 reais, totalizando
100 reais. Se Ana tem pelo menos uma nota de cada tipo, então Ana possui 5 notas de 1 real.
- Se Lucas pesa 70 kg e senta a 1,1 m do centro de apoio de uma gangorra, então Sofia,
que pesa 55 kg , deverá sentar a 1,4 m do centro para que a gangorra fique em equilíbrio.
Gabarito: 98 (02+32+64) Número de acertos: 603 (8,78%) Grau de dificuldade previsto: fácil Grau de dificuldade obtido: difícil
A questão compreende sete proposições, que envolvem conhecimentos básicos e fundamentais de alguns dos principais tópicos do Ensino Fundamental e sua aplicação em situações-problema, como potências e suas propriedades, notação científica, divisores de um número natural, grandezas diretamente e inversamente proporcionais e sistemas de equações do primeiro grau. A porcentagem de candidatos que obtiveram acerto total foi muito baixa (apenas 8,78%), com um espalhamento correlato distribuído entre várias respostas. Esta foi a segunda questão da prova a ter o menor índice de acerto e, portanto, a segunda mais difícil. É surpreendente o fato de que mais de 90% dos candidatos tiveram dificuldades de trabalhar com conhecimentos básicos e fundamentais de temas que, além de bastante explorados no Ensino Fundamental, são também utilizados ao longo do Ensino Médio e aplicados em situações reais, como comprar pão e brincar de gangorra. Além da resposta correta - 98 (02+32+64) -, outras respostas predominaram no quadro de freqüência, que são, em ordem
Questão 22
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
- Um vendedor recebe, ao final de cada mês, além do salário-base de R$ 400,00 , uma comissão percentual sobre o total de vendas que realizou no mês. No gráfico abaixo estão registrados o total de vendas realizadas pelo vendedor e o salário total recebido por ele.
Com base nos dados fornecidos pelo gráfico, pode-se afirmar que a comissão do vendedor é de 20% sobre o total de vendas que realizou no mês.
- Observe o quadrado de lado 10 cm da figura abaixo. A área da parte colorida será sempre
a metade da área do quadrado, independentemente do valor escolhido para x.
- Em Química, o pH é definido por: pH = log , onde [ H+ ] é a concentração de
hidrogênio em mol por litro de solução. Para uma solução de ácido clorídrico cuja
concentração hidrogeniônica é 2 × 10 -4^ molL-1 , o pH é igual a 4,.
Considere: log 2 = 0,.
- Uma decoradora comprou 240 rosas para colocar nas mesas de um salão. Na hora da festa, havia 4 mesas a mais do que o planejado. Por isso, ela precisou tirar 2 rosas de cada mesa para que todas ficassem com a mesma quantidade. O número de mesas que a decoradora havia planejado decorar era 12.
- Bento vai para a escola. Depois de algum tempo caminhando, lembra-se da sua carteira de estudante e pára para procurá-la nos bolsos e na mochila. Percebe que esqueceu a carteira em casa e corre de volta para pegá-la. O gráfico abaixo corresponde a essa situação vivenciada por Bento.
[ H+ ] ⎟
Tempo
Posição
2200 2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 6000 12000 18000
- • Total de vendas em reais
Total de salários em reais
0
x
x
Gabarito: 18 (02+16) Número de acertos: 2276 (33,25%) Grau de dificuldade previsto: fácil Grau de dificuldade obtido: médio
A questão envolve a aplicação de conhecimentos básicos e fundamentais de alguns dos principais tópicos do Ensino Fundamental e Médio: interpretação gráfica e aplicação da função polinomial do primeiro grau, áreas de figuras planas, aplicação dos logaritmos decimais e suas propriedades na área de Química para a determinação do pH, aplicação da equação do segundo grau, interpretação de gráficos de movimento. Esta foi a terceira questão da prova a ter o maior índice de acerto. A proposição 02 foi a proposição correta que teve o segundo maior índice de preferência dos candidatos: 75,12%. Ela foi responsável pelos índices das respostas: 02 – 10,94%; 06 (02+04) – 5,40%; 10 (02+08) – 4,24%; 18 (02+16) – 33,25% e 22 (02+04+16) – 9,93%. Talvez o alto índice de preferência dos candidatos por esta proposição deva-se à facilidade com que o seu resultado pode ser verificado com o auxílio do formulário
fazendo: 50 2 2
A cm x x A B b h Atrapézio (^) trapézio ⇒ trapézio =
=. Portanto, a área da parte
colorida será sempre a metade da área do quadrado, independentemente do valor escolhido para x. Nesta questão também fica evidente, no quadro de freqüência de respostas da prova, a preferência dos candidatos por não arriscar e tirar proveito do acerto parcial, como se pode observar através dos índices das respostas 02 – 10,94% e 16 – 6,16%. A proposição incorreta 04 obteve 29,68% da preferência dos candidatos e foi responsável pelos índices de 2,56%, 5,40%, 3,05% e 9,93% para as respostas 04, 06 (02+04), 20 (04+16) e 22 (02+04+16), respectivamente. Provavelmente a maioria dos candidatos que assinalou tal proposição como correta até tenha substituído, na expressão dada, a concentração hidrogênica ( H +)por 2 × 10 −^4
e aplicado as propriedades dos logaritmos, obtendo
log ( 2. 10 ) log( 2 ) log( 10 )
- 10
log (^4) ⎟⇒ =^14 ⇒ =^1 +^4 ⎠
pH (^) − pH pH , mas não deu a devida atenção
aos sinais e fez pH = log( 2 )+ 4 log( 10 )⇒ pH = 0 , 30 + 4 = 4 , 30 ao invés de
pH = −log( 2 )+ 4 log( 10 )⇒ pH =− 0 , 30 + 4 = 3 , 70. A proposição incorreta 08 obteve 19,94% da
preferência dos candidatos e foi responsável pelos índices de 2,47%, 4,24% e 2,86% para as respostas 08, 10 (02+08) e 26 (02+08+16), respectivamente. É surpreendente o fato de que quase 20% dos candidatos consideraram esta proposição como correta, já que a sua veracidade, ou não, podia ser facilmente verificada utilizando-se os próprios dados fornecidos no enunciado da proposição.
Grau de dificuldade obtido: médio
Nesta questão, esperava-se que o candidato aplicasse seus conhecimentos sobre progressões aritméticas e progressões geométricas na resolução de situações-problema e na determinação das raízes de uma equação polinomial. A proposição 01 trata de um tema muito explorado no Ensino Médio e nos vestibulares, que é a identificação de regularidades e a aplicação do termo geral de uma progressão aritmética. A proposição 32 poderia ser resolvida calculando-se as raízes através do dispositivo prático de Briot-Ruffini e a seguir fazendo-se a soma entre elas, ou aplicando as relações de Girard e verificando diretamente que a soma das raízes é 12. Estas duas proposições obtiveram 65,55% e 46,70% da preferência dos candidatos, respectivamente, e foram responsáveis pelos índices das respostas 01 – 16,99%; 32 – 5,17% e 33 (01+32) – 16,89%. O fato de os candidatos concentrarem suas respostas em 01 e 32 vem, novamente, reforçar a tese de que eles, na dúvida, optam pelo acerto parcial. A proposição incorreta 04 obteve 27,54% da preferência dos candidatos e foi responsável pelos índices obtidos pelas respostas: 04 – 2,97%; 05 (01+04) – 5,87% e 37 (01+04+32) – 3,85%. Talvez os candidatos que consideraram esta proposição como correta tenham feito equivocadamente o cálculo a seguir: 2 h= 120 min= 6 × 20 min⇒( 2 g )^6 = 64 g.
RS
SC
PR
SP
Questão 24
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
- Observe a figura abaixo. Girando a flecha, a probabilidade de ela parar na cor branca
é 12
. Para o cálculo da probabilidade suponha que a flecha não pare sobre as linhas que
são fronteiras comuns.
- Uma moeda e um dado são lançados ao mesmo tempo. A probabilidade de se obter uma “cara” e um número menor que 4 é de 25%.
- Para acessar um site da internet, o internauta deve realizar duas operações: digitar uma senha composta por quatro algarismos distintos e, se a senha digitada for aceita, digitar uma segunda senha, composta por duas letras distintas, escolhidas num alfabeto de 26 letras. O número máximo de tentativas necessárias para acessar o site é 5960.
- Uma Comissão Parlamentar de Inquérito (CPI) será formada por cinco parlamentares indicados pelos três partidos A , B e C , de acordo com o tamanho de sua representação no Congresso Nacional. O partido A tem 10 parlamentares e deve indicar 2 membros, o partido B tem 8 parlamentares e deve indicar 2 membros, e o partido C tem 4 parlamentares e deve indicar 1 membro. O número de CPIs diferentes que podem ser formadas é 5040.
- O número de maneiras diferentes de colorir os quatro estados identificados no mapa abaixo usando as cores verde, vermelho, amarelo e azul, de modo que cada estado tenha uma cor diferente e que Santa Catarina só possa ser pintada de verde ou vermelho, é 24.
Questão 25
A figura a seguir mostra os cartazes da loja de eletrodomésticos “PREÇO BOM”, que está fazendo uma promoção de venda “casada” para vender dois eletrodomésticos. Com base nos dados fornecidos pelos cartazes, determine o valor, em reais, da décima parte do preço do forno de microondas.
PREÇO BOM – ELETRODOMÉSTICOS
Se comprar um Forno de Microondas e um Refrigerador, você só pagará R$ 1.490,
Se comprar um Refrigerador e um Fogão, você só pagará R$ 1.750,
Se comprar um Fogão e um Forno de Microondas, você só pagará R$ 840,
Assinale o resultado encontrado no cartão-resposta.
Gabarito: 29 (questão aberta) Número de acertos: 3406 (50,34%) Grau de dificuldade previsto: fácil Grau de dificuldade obtido: fácil
A questão envolve a aplicação de conhecimentos básicos e fundamentais de alguns dos principais tópicos do Ensino Fundamental e Médio: equações e sistemas de equações lineares. Esta foi a questão mais fácil da prova toda, obtendo o maior índice de acerto entre as respostas corretas: 50,34%. Cabe registrar, também, que não houve outras respostas com porcentagens de freqüência em destaque para esta questão. Por outro lado, sobressai o fato de que os outros quase 50% dos candidatos tiveram dificuldades de trabalhar com esses tópicos que são introduzidos no Ensino Fundamental e aprofundados no Ensino Médio. Trata- se de uma situação-problema que faz parte do cotidiano dos candidatos, ou seja, analisar ofertas e promoções das lojas e supermercados.
Questão 26
As marés são fenômenos periódicos que podem ser descritos, simplificadamente, pela função
seno. Suponhamos que, para uma determinada maré, a altura h, medida em metros, acima do
nível médio, seja dada, aproximadamente, pela fórmula h(t) = 8 + 4sen (^) ⎟ ⎠
⎛ (^) t 12
π , em que t é o
tempo medido em horas.
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
- O valor mínimo atingido pela maré baixa é 8 m.
- O momento do dia em que ocorre a maré baixa é às 12 h.
- O período de variação da altura da maré é de 24 h.
- O período do dia em que um navio de 10 m de calado (altura necessária de água para que o navio flutue livremente) pode permanecer nesta região é entre 2 e 10 horas.
Gabarito: 12 (04+08) Número de acertos: 786 (11,52%) Grau de dificuldade previsto: difícil Grau de dificuldade obtido: difícil
A questão envolve conhecimentos de trigonometria, em particular o estudo da função seno. Apenas 11,52% dos candidatos responderam corretamente, com um espalhamento correlato, distribuído entre várias respostas. Listando-se as respostas pela ordem decrescente das preferências, têm-se: 04 – 9,16%; 10 (02+08) – 8,94%; 08 – 8,35%; 11 (01+02+08) – 7,81%; 09 (01+08) – 6,92%; 06 (02+04) – 6,90%; 02 – 6,80%; 05 (01+04) – 6,70%; 03 (01+02) – 6,52%; 01 – 5,20%; 15 (01+02+04+08) – 4,13%; 07 (01+02+04) – 3,81%; 14 (02+04+08) – 3,34% e 13 (01+04+08) – 3,00%. Como pode-se observar, a grande responsável pelo erro e pelo espalhamento nesta questão foi a consideração das proposições 01 e 02 como corretas, as quais obtiveram, respectivamente, 43,86% e 48,06% da preferência dos candidatos. As proposições 01 e 02 foram as duas proposições incorretas da prova com o maior índice de preferência dos candidatos. Talvez, da mesma forma como os índices foram tão próximos, também o raciocínio feito pelos candidatos para verificar a veracidade ou não das duas proposições tenha sido muito próximo, já que ambas estavam relacionadas. É provável que a maioria dos candidatos que assinalou a proposição 01 como correta tenha considerado, equivocadamente, o conjunto imagem da função seno como sendo de [ 0 , 1 ]ao invés de [− 1 , 1 ]e
assim fizeram () 8 4 ( 0 ) () 8 12
ht = + sen ⎛^ π^ ⋅ t ht ht. Isto talvez tenha contribuído para
que os candidatos assinalassem também como correta a proposição 02 ao fazer, de forma
equivocada, sem prestar a devida atenção ao estudo da função seno: 0 12 12
sen ⎛^ π^ ⋅ t t.
As proposições corretas 04 e 08 obtiveram 48,33% e 53,83% da preferência dos candidatos, respectivamente. Como pode-se observar, cada uma das proposições corretas da questão, separadamente, obteve um bom índice da preferência dos candidatos, mas o problema foi a combinação de ambas, realizada por um número muito reduzido de candidatos, o que implicou um baixo índice de acerto total da questão.
a matriz C para obter diretamente os valores de x , y e z e, finalmente, verificar que
x + y + z ≠ 5.
Questão 28
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
- A lenda do altar de Apolo, que tinha a forma de um cubo, conta a história da duplicação do volume desse altar , exigida pelo oráculo da cidade de Delfos para acabar com a peste que assolava Atenas. Para cumprir a ordem, basta fazer como os habitantes de Atenas: dobrar as medidas dos lados do altar.
02. Um cone, cuja superfície lateral é construída com um semicírculo de raio r , é semelhante a
outro cone cuja superfície lateral é formada por um quarto de círculo de mesmo raio r.
- Se uma esfera está inscrita num cubo de 4 cm de aresta, então a área da superfície esférica
é igual a 16 π cm^2.
- Um paralelepípedo reto, de base retangular, tem uma de suas arestas da base medindo 3 cm a mais do que a altura do sólido, e a outra aresta da base mede 5 cm a mais do que essa altura. Se o volume do sólido é de 144 cm^3 , então sua altura mede 2 cm.
- Se um poliedro convexo tem 4 faces triangulares e 3 faces quadrangulares, então esse poliedro tem 7 vértices.
Gabarito: 20 (04+16) Número de acertos: 807 (11,78%) Grau de dificuldade previsto: médio Grau de dificuldade obtido: difícil
A questão compreende cinco proposições, que envolvem conhecimentos de geometria espacial e equações algébricas, tendo como objetivo avaliar a capacidade dos candidatos de relacionar os dois temas. O resultado obtido ficou muito aquém do esperado, pois apenas 11,78% dos candidatos responderam corretamente à questão. Além da resposta correta, outras respostas predominaram no quadro de freqüência, a saber: 02 – 5,05%; 04 – 18,53%; 05 (01+04) – 5,33%; 06 (02+04) – 9,56%; 16 – 4,57% e 22 (02+04+16) – 4,96%. Esses resultados reforçam a tese de que os candidatos, na dúvida, optam pelo acerto parcial, assinalando apenas aquela(s) proposição(ões) que têm certeza que estão corretas, 04 e 16, que obtiveram, respectivamente, 67,51% e 38,83% da preferência dos candidatos. A proposição 04 era, talvez, uma das mais fáceis da prova toda, podendo ser resolvida, simplesmente, por verificação dos dados do enunciado na fórmula da área da esfera, como a seguir:
Aesfera = 4 ⋅π ⋅^ ( ) 2 2 ⇒ Aesfera = 16 π. A grande responsável pela concentração nas respostas 02, 06
(02+04) e 22 (02+04+16), foi a consideração da proposição 02 como correta, que obteve 37,67% da preferência dos candidatos. Talvez a maioria dos candidatos que assinalou tal proposição como correta tenha sido impulsionada por suas concepções espontâneas de semelhança geométrica, considerando que todos os cones são semelhantes, assim não percebendo que tanto a altura como a base dos dois cones considerados na proposição são diferentes.
Gabarito: 17 (01+16) Número de acertos: 2603 (37,98%) Grau de dificuldade previsto: médio Grau de dificuldade obtido: médio
A questão tinha como objetivo avaliar a capacidade dos candidatos de analisar e interpretar gráficos de funções polinomiais do segundo grau. Nesta questão, além da resposta correta, destaca-se apenas a resposta 16, com índice de 39,15%. O fato de o índice da resposta 16 ser superior ao da resposta correta vem, novamente, reforçar a tese de que os candidatos preferem não arriscar: na dúvida, optam pelo acerto parcial. A proposição 16 foi a proposição correta da prova que teve o maior índice de preferência dos candidatos, 91,79%, pois tratava- se de uma leitura direta no gráfico indicado. Esta foi a segunda questão mais fácil da prova toda, obtendo o segundo maior índice de acerto entre as respostas corretas: 37,98%. Por outro lado, cabe destacar o fato de que quase 54% dos candidatos tiveram dificuldades de verificar a veracidade ou não da proposição 01, isto é, de fazer a passagem da representação gráfica para a representação analítica, o que significa que não se apropriaram de forma efetiva do estudo da função polinomial do segundo grau.
Questão 30
O artista holandês Mauritius Cornelis Escher, que dedicou toda a sua vida às artes
gráficas, criou uma grande série de litografias impregnadas de geometrismo, figurativismo e
ornamentalidade. Traduziu visualmente e de modo sugestivo problemas matemáticos e
geométricos em seus edifícios inacabados ou em suas fabulações caracterizadas por uma
relação impressionante entre superfície e espaço. Na figura dada, Verbum (Terra, Céu e
Águia), julho de 1942, litografia de autoria de M. C. Escher, tem-se o hexágono regular
ABCDEF com lado medindo 6 unidades de comprimento.
Com base na figura acima, assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
- A equação da reta que contém o segmento AF é 3 x + y − 3 3 = 0.
- A área do hexágono da figura, em unidades de área, é 9 3.
- A equação da mediatriz do segmento AF é 2 3 x − 2y = 0.
- A equação da circunferência circunscrita ao hexágono da figura é x 2 + y^2 − 12x − 6 3 y + 27 = 0.
- O apótema do hexágono da figura mede 2
unidades de comprimento.
Gabarito: 09 (01+08) Número de acertos: 769 (11,28%) Grau de dificuldade previsto: difícil
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
3 3
A B
C
E D
F
y
x
