Matemática - Vol. 3 - Manoel Paiva, Manuais, Projetos, Pesquisas de Física

Baixe Matemática - Vol. 3 - Manoel Paiva e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Física, somente na Docsity!

Moderna PLUS

Manoel Paiva

Licenciado em Matemática pela Faculdade de Filosofia, Ciência e Letras

de Santo André. Mestre em Educação Matemática pela Pontifícia

Universidade Católica de São Paulo. Professor do ensino fundamental,

médio e de cursos pré-vestibular durante 29 anos.

matemática 3

paiva

2

a

edição

Moderna Plus

Apresentação

Caro estudante

As transformações do Ensino Médio brasileiro nos últimos

anos visam, entre outros objetivos, a um aprendizado voltado

para a continuação dos estudos e ao mundo do trabalho. Por

isso, uma das orientações do Ministério da Educação para o

Ensino Médio é recorrer a situações práticas, que possibilitem

o trânsito entre as disciplinas escolares e suas aplicações na

indústria, no comércio, em serviços etc.

Além dessas orientações, comuns a todas as disciplinas,

os documentos oficiais enfatizam: “A Matemática no Ensino

Médio não possui apenas o caráter formativo e instrumental,

mas deve ser vista como ciência, com suas características

estruturais específicas”. Essa ênfase tem a finalidade de alertar

sobre os exageros da visão pragmática da ciência, que podem

pôr em risco a aquisição do pensamento matemático.

Neste livro, seguimos essas orientações, recorrendo

frequentemente a aplicações práticas, destacando, porém,

a Matemática como conhecimento científico e, como

tal, evolutivo e sistêmico. Enfim, buscamos um ponto de

equilíbrio entre ciência e prática.

Manoel Paiva

Ao tio Paulo, cujos ensinamentos transpõem gerações.

organização DeSte Livro

Capítulo

55

Capítulo

5

As cônicas estão presentes nos estudos de Astronomia, Óptica, Acústica, Engenharia, Navegação e de várias outras áreas do conhecimento. Neste capítulo estudaremos três figuras cônicas: a elipse, a hipérbole e a parábola.

5.1 Figuras cônicas

As cônicas são curvas obtidas pela intersecção de um plano com a superfície de um cone.

5.2 Elipse Um plano oblíquo ao eixo de rotação de um cone, interceptando todas as geratrizes em pontos distintos, determina uma elipse na superfície do cone.

5.3 Hipérbole Um plano que não passa pelo vértice e não é paralelo a nenhuma das geratrizes ilimitadas de dois cones de revolução opostos pelo vértice determina uma hipérbole nas superfícies desses cones.

5.4 Parábola Um plano paralelo a uma das geratrizes ilimitadas de um cone de revolução determina uma parábola na superfície desse cone.

5.5 Lugar geométrico Qualquer conjunto de pontos, inclusive o conjunto vazio, é um lugar geométrico.

Geometria analítica:

cônicas

Forno solar

?kikk^faperkalnaoanr]nkiaek]i^eajpa(eranokol]ŽoaorŒi aoajrkhrajk(ki]]fq]]I]paiƒpe]a]BŽoe_](pa_jkhkce]o mqa]lnkraep]i]ajance]okh]n(qi]bkjpaheil]anajkrƒraha can]‰‡kaajance]*R]ikoranqiatailhk]]lhe]‰‡kaoo] pa_jkhkce]6kbknjkokh]naKaehhk(j]Bn]j‰](qikoi]eknaok iqjk(kiqi]lkpŒj_e]pŠnie]`a-,,,gS_

1

Direcionando os raios do Sol Dezenas de espelhos planos, cuja inclinação é controlada eletronicamente, direcionam os raios do Sol para uma superfície parabólica.

2

Superespelho Os raios solares incidem na superfície parabólica formada por espelhos e refletem, convergindo para o foco.

3

Temperatura máxima No foco, a temperatura atingida chega a 3.000 °C. Isso permite estudar o comportamento de materiais em temperaturas extremas, como componentes de satélites, que devem suportar radiação solar intensa nas altas camadas da atmosfera.

1. Voc ê conhece outra aplicação **para a energia solar?

2. Você conhece outros dispositivos** tecnológicos que tenham forma- to parabólico? Para que servem?

Para pensar

Localização e disposição dos espelhos O local foi escolhido pela qualidade e duração da insolação, mais de 3.000 horas por ano, além da pureza de sua atmosfera pouco submetida à contaminação. Os 63 espelhos heliostáticos estão dispostos para obter melhor aproveitamento.

Forno

O forno solar francês ocupa uma área de três campos de futebol.

210 m 90 m

64 m

I

PARTE

Capítulo 1 Estatística, 12

Capítulo 2 Geometria analítica: ponto e reta, 50

Capítulo 3 Geometria analítica: ângulos, distâncias, áreas e inequações, 106

PARTE I

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Abertura de Capítulo

Cada abertura de capítulo

traz uma imagem retratando

situações cotidianas que

envolvem a Matemática ou

propiciam a aquisição de

informações sobre assuntos

relacionados ao capítulo.

Abertura de Parte

Cada parte está dividida

em capítulos.

A coleção Moderna Plus Matemática é

composta de três livros. O conteúdo

de cada volume é encadernado

separadamente em três partes:

Parte I, Parte II e Parte III. Assim, você

leva para a sala de aula apenas a parte

onde está o conteúdo em estudo.

Apresenta uma

breve descrição

do que será

estudado no

capítulo e uma

síntese de

cada seção.

Cada abertura

propõe algumas

questões que

possibilitam o

estudo do tema

proposto.

Alguns temas

foram destacados

com infografias,

para possibilitar a

interpretação da

leitura de imagens.

SUmário geraL

PARTE

I

Seção

1.1 Representação de dados, 14

Universo estatístico

(ou população estatística) ________________ 15

Amostra _________________________________ 16

Amplitude de uma amostra de dados

numéricos, 16

Rol, 16

Distribuição de frequências________________

Distribuição de frequências em classes

unitárias, 17

Gráfico de linha, 18

Gráfico de barras verticais, 18

Gráfico de barras horizontais, 19

Gráfico de setores, 19

Distribuição de frequências em classes

representadas por intervalos reais, 23

Histograma, 24

1.2 Medidas de posição, 28

Média aritmética _________________________ 29

Média aritmética ponderada, 29

Moda ____________________________________ 31

Mediana _________________________________ 31

1.3 Medidas de dispersão, 36

Desvio absoluto médio ___________________ 37

Variância ________________________________ 38

Desvio padrão ___________________________ 38

Exercícios complementares, 40

Análise da resolução, 49

Capítulo 1 Estatística 12

Capítulo 2

Geometria analítica:

ponto e reta 50

Seção

2.1 Ponto, 52

Uma nova forma de representação ________ 52

Sistema cartesiano ortogonal

de coordenadas __________________________ 53

Coordenadas de um ponto, 54

Pontos notáveis do plano cartesiano, 54

Pontos do eixo das abscissas, 54

Pontos do eixo das ordenadas, 54

Pontos da bissetriz dos quadrantes

ímpares, 54

Pontos da bissetriz dos quadrantes

pares, 55

Distância entre dois pontos

no plano cartesiano ______________________ 55

Divisão de um segmento por

um ponto interno ao segmento ___________ 58

Coordenadas do ponto médio

de um segmento de reta _________________ 60

Baricentro de um triângulo _______________ 62

2.2 Reta, 65

Determinação de uma reta _______________ 65

Inclinação e coeficiente

angular de uma reta ______________________ 66

Cálculo do coeficiente angular de

uma reta não vertical por dois

de seus pontos, 67

Interpretação do coeficiente angular

como taxa de variação, 69

Condição de alinhamento

de três pontos ____________________________

Equação fundamental da reta ____________ 73

Equações das bissetrizes dos

quadrantes e das retas horizontais

e verticais ______________________________ 75

Bissetriz dos quadrantes ímpares, 75

Bissetriz dos quadrantes pares, 75

Retas horizontais, 75

Retas verticais, 76

2.3 Formas da equação da reta, 79

Equação geral da reta ____________________ 79

Intersecção de retas

concorrentes, 80

Uma condição de concorrências

de duas retas, 81

Equação reduzida da reta _________________ 83

Estudo das posições relativas de

duas retas no plano cartesiano, 85

Retas perpendiculares, 88

Equações paramétricas da reta ___________ 93

Exercícios complementares, 94

Exercícios de revisão cumulativa, 104

Análise da resolução, 105

PARTE

II

Capítulo 4

Geometria analítica:

circunferência 154

Capítulo 5

Geometria analítica:

cônicas 186

Capítulo 3

Geometria analítica:

ângulos, distâncias,

áreas e inequações 106

Seção

3.1 Ângulos entre duas retas, 108

Ângulo entre uma reta oblíqua e uma reta

vertical, 112

Casos particulares, 115

Ângulo entre retas paralelas, 115

Ângulo entre uma reta vertical e uma reta

horizontal, 115

3.2 Distância entre ponto e reta, 117

3.3 Aplicação de determinantes na Geometria

analítica, 121

Área de um triângulo ____________________

Condição de alinhamento

de três pontos __________________________ 126

Obtenção da equação de uma reta através de

um determinante, 127

3.4 Representação gráfica de uma inequação

do 1

o

grau, 128

Semiplano de origem paralela

a um dos eixos coordenados _____________ 128

Semiplano de origem oblíqua ____________ 130

Uma técnica de otimização ______________ 132

Exercícios complementares, 134

Exercícios de revisão cumulativa, 139

Análise da resolução, 140

Respostas da Parte I ...........................................

Seção

4.1 Equações da circunferência, 156

Equação reduzida _______________________ 156

Reconhecimento de uma

circunferência, 159

Equação geral (ou normal) _______________ 160

Seção

5.1 Figuras cônicas, 188

Visualizando as cônicas _________________ 189

Da origem das cônicas às suas

aplicações atuais, 190

5.2 Elipse, 191

Definição _______________________________ 191

Construção de uma elipse _______________ 192

Equação da elipse _______________________ 194

Equação reduzida da elipse ______________ 195

Equação reduzida da elipse com eixo maior

paralelo ao eixo Ox , 196

Equação reduzida da elipse com eixo maior

paralelo ao eixo Oy , 196

5.3 Hipérbole, 199

Definição _______________________________ 199

Construção de uma hipérbole ____________ 201

Equação da hipérbole ___________________ 203

Equação reduzida da hipérbole ___________ 204

Equação reduzida da hipérbole com eixo real

paralelo ao eixo Ox , 205

Equação reduzida da hipérbole com eixo real

paralelo ao eixo Oy , 205

5.4 Parábola, 209

Definição _______________________________ 209

Construção de uma parábola ____________ 210

Equação da parábola ____________________ 211

Equação reduzida da parábola ___________ 212

Determinação do centro e do raio de uma

circunferência a partir de sua equação geral, 160

Reconhecimento de uma circunferência, 163

4.2 Posições relativas, 164

Posições relativas entre um

ponto e uma circunferência ______________ 164

Posições relativas entre uma

reta e uma circunferência _______________ 167

Intersecção entre uma reta e uma

circunferência, 170

Posições relativas entre

duas circunferências ___________________ 173

Intersecção entre duas circunferências, 176

Exercícios complementares, 179

Exercícios de revisão cumulativa, 184

Análise da resolução, 185

Seção

8.1 Equações polinomiais, 312

Equações polinomiais ou equações

algébricas ______________________________ 312

Teorema fundamental da Álgebra ________ 315

Teorema da decomposição ______________ 315

Número de raízes de uma

equação polinomial _____________________ 317

Multiplicidade de uma raiz _______________ 317

8.2 Pesquisa de raízes em uma equação

polinomial, 320

Teorema das raízes imaginárias

de uma equação polinomial ______________ 320

Teorema das raízes racionais

de uma equação polinomial ______________ 322

8.3 Relações de Girard, 324

As relações de Girard em uma equação

polinomial do 2

o

grau ____________________ 324

As relações de Girard em uma equação

polinomial do 3

o

grau ____________________ 325

Capítulo 8 Equações polinomiais 311

Capítulo 9

Introdução ao Cálculo

diferencial: limite de

uma função 335

Seção

9.1 A origem e a ideia central do Cálculo

diferencial, 336

O problema da reta tangente ____________ 336

Taxa média de variação __________________ 337

Taxa pontual de variação ________________ 339

9.2 O conceito de limite, 340

Vizinhanças em V _______________________ 341

Vizinhança completa de um número

real, 341

Vizinhança reduzida de um número

real, 341

Definição de limite ______________________ 342

Definição, 342

Limites laterais _________________________ 347

Conjectura, 350

Propriedades dos limites ________________ 351

Propriedades das operações elementares

com limites, 351

Generalização das propriedades P2 e P4, 351

Propriedades dos limites de funções

compostas, 351

9.3 Função contínua, 353

Definição, 354

Outra forma da definição de função

contínua em um ponto __________________ 355

Uma sutileza da definição de função

contínua, 356

Propriedades das funções contínuas _____ 357

Algumas funções contínuas _____________ 358

Cálculo do limite de uma função f para x

tendendo a a , com f descontínua em a ou f

não definida em a _______________________ 360

O limite trigonométrico fundamental _____ 363

Teorema do confronto, 363

Consequência do limite trigonométrico

fundamental, 365

Exercícios complementares, 368

Exercícios de revisão cumulativa, 370

Análise da resolução, 371

Multiplicação de polinômios _____________ 285

Propriedades da multiplicação, 286

Grau do polinômio produto, 288

Divisão de polinômios ___________________ 289

Grau do polinômio quociente, 290

Algoritmos da divisão de polinômios, 291

Método de Descartes, 291

Método da chave, 292

Fração polinomial _______________________ 293

Frações polinomiais idênticas, 293

Divisão de polinômios por binômios

do 1

o

grau_______________________________ 295

Teorema do resto, 296

Teorema de D´Alembert, 298

Dispositivo prático de Briot-Ruffini, 299

Divisão de um polinômio P ( x ) por kx 2 a , 301

Extensão do teorema do resto, 302

Extensão do teorema de D´Alembert, 303

Divisão de um polinômio pelo

produto ( kx 2 a )( mx 2 b ) ________________ 304

Exercícios complementares, 305

Exercícios de revisão cumulativa, 309

Análise da resolução, 310

As relações de Girard em uma equação

polinomial de grau n _____________________ 327

Exercícios complementares, 329

Exercícios de revisão cumulativa, 333

Análise da resolução, 334

SUMÁRIO geRal

Introdução ao Cálculo Seção

 - de sua derivada, 10.3 Estudo da variação de uma função através - Máximos e mínimos de funções __________ - Máximo absoluto, - Mínimo absoluto, - Máximo relativo, - Mínimo relativo, - Extremantes e extremos de uma função, - e a variação de uma função ______________ Relação entre o sinal da derivada - Teorema, - Teorema, - de extremos e de pontos de inflexão _____ Um teorema auxiliar para a determinação - Derivadas sucessivas, - Teorema, - movimento, 10.4 Aplicação das derivadas ao estudo do - velocidade escalar instantânea __________ Velocidade escalar média e - aceleração escalar instantânea __________ Aceleração escalar média e - 10.5 Diferencial, - Exercícios complementares, - Exercícios de revisão cumulativa, - Análise da resolução, - Respostas da Parte III ...................................... 

• Capítulo - uma função diferencial: derivada de
  • pontual de variação), 10.1 Derivada de uma função em um ponto (taxa
    • Derivadas laterais _______________________
• 10.2 A função derivada, - Derivadas fundamentais ________________ - Derivada da função constante, - Derivada da função potência, - Derivada da função seno, - Derivada da função cosseno, - Regras de derivação ____________________ - Derivada da soma, - Derivada da diferença, - Derivada do produto, - Derivada do quociente, - Consequências da derivada do quociente, - (Regra da cadeia) _______________________ Derivada da função composta - Derivada da função inversa ______________ - Derivada da função potência, - Derivada da função arco-seno, - Derivada da função arco-cosseno, - Derivada da função arco-tangente,

Capítulo

Para pensar

14 %

Após várias transformações na

grafia e no sentido, a palavra

latinastatisticum adquiriu a

forma estatística e, a partir do

início do século XIX, passou a

significar: coleta, classificação,

análise, interpretação e

representação de dados.

1.1 Representação de dados

A análise dos dados coletados

de uma população exige uma

representação que sintetize as

informações, simplificando o

entendimento e a interpretação.

Nessa seção estudaremos algumas

técnicas de representação de dados.

1.2 medidas de posição

As medidas de posição são valores

relacionados com sua localização

em relação aos termos de uma

sequência de dados numéricos.

1.3 medidas de dispersão

As medidas de dispersão são valores

que avaliam o afastamento dos

elementos de um conjunto de dados

numéricos, em relação a um valor

previamente fixado.

1. De acordo com a pesquisa, o que você

entende por amostra?

2. Qual é o assunto de maior interesse

entre os jovens entrevistados? E o de

maior preocupação?

Estatística

O que quer o jovem brasileiro

Estudar, fazer universidade e conseguir um bom emprego

são os principais interesses de quem tem entre 15 e 24 anos.

Quem pensa que o jovem prefere diversão a responsabilidade vai se

surpreender, pois o que os jovens brasileiros deste século XXI querem

mais é estudar e trabalhar. Isso segundo a pesquisa Perfil da Juventude

Brasileira, que entrevistou milhares de jovens de 15 a 24 anos em 2003.

Leia mais sobre essa pesquisa.

Educação

Mais de um terço dos jovens citou como interesse a

escola, os estudos, o vestibular e outros temas desse

tipo. Essa média é bem maior na região Norte.

Um quinto das

garotas e 14%

dos rapazes

mencionaram o

estudo como uma

preocupação.

O interesse aumenta tanto

entre os rapazes como entre

as garotas mais novas.

20 %

45 %

44 %

43 %

37 %

39 %

32 %

Trabalho

Mais citado como preocupacão do que como interesse, o trabalho,

entre os homens mais velhos, é quase tão preocupante quanto a

violência (veja os dados de Segurança).

Ambos os sexos

de 15 a 17 anos

Homens

62 % 42 %

51 % 25 %

Homens de

21 a 24 anos

Mulheres de

15 a 17 anos

Mulheres

Homens e mulheres

demonstram mais

preocupação do que interesse

no assunto trabalho.

E o romantismo

masculino é ainda

maior entre os

mais novos.

Quase dois terços dos

jovens das metrópoles e

metade dos entrevistados

do interior disseram

preocupar-se com a

violência.

A média dos que acham

o assunto preocupante é

ligeiramente maior entre os mais

novos de ambos os sexos.

28 %

65 %

44 %

25 %

31 %

14 %

45 %

27 %

Relacionamentos

Um quarto de todos os rapazes citou namoro entre

seus interesses, 11% a mais que as garotas.

Segurança

Crimes, brigas e outras questões ligadas à

segurança e à violência são os mais citados

entre as preocupações, especialmente nas

regiões mais ricas.

Drogas

Apenas 7% dos jovens citou drogas, inclusive

bebidas, como um de seus interesses, mas o tema foi

o terceiro mais mencionado entre os problemas.

Homens de

15 a 17 anos

Homens

Mulheres

Sudeste

Norte/

Centro-

-Oeste

50 %

Capitais e

metrópoles

Cidades do

interior

Mulheres

de 15 a 17 anos

Homens de

15 a 17 anos

A amostra

Foram entrevistadas 3.501 pessoas de 15 a

24 anos, sorteadas de modo a reproduzir as

proporções de sexo e renda do universo de 34

milhões de jovens brasileiros da época, segundo

o IBGE. Os pesquisadores foram a 198 municípios

urbanos e rurais de todos os tamanhos e estados,

também selecionados para compor uma amostra

de cidades que refletisse a diversidade do país.

Os assuntos mais populares

Os pesquisadores pediram a cada entrevistado

que citasse os três assuntos que mais

despertavam interesse e preocupação.

Citada como interesse Citada como preocupação

Porcentagem de entrevistados que

mencionaram o assunto

Maiores interessesMaiores interesses

38%

37%

27%

21%

20%

16%

13%

10%

7%

7%

7%

6%

6%

5%

6%

Educação

Emprego / profissional

Cultura / lazer

Esportes / ativ. físicas

Relacionamentos amorosos

Família

Saúde

Segurança / violência

Drogas

Governo / política

Sexualidade

Temas gerais

Religião

Amizades

Economias / finanças

Fonte: Perfil da Juventude Brasileira, Instituto

Cidadania, Instituto de Hospitalidade, Sebrae.

Maiores preocupaçõesMaiores preocupações

55%

52%

24%

17%

17%

16%

14%

10%

8%

5%

3%

2%

2%

2%

2%

Segurança / violência

Emprego / profissional

Drogas

Educação

Saúde

Fome / miséria

Família

Crise econômica

Assuntos pessoais

Questões sociais

Adm. política Brasil

Relacionamento / amizades

Meio ambiente

Moradia

Sexualidade

% %

63 %

Seção 1.

Objetivos

Conceituar população,

amostra, frequência e

frequência relativa.

Construir tabelas

de distribuição de

frequência.

Representar uma

distribuição de

frequência em gráfico de

linha, gráfico de barras

(horizontais e verticais)

e gráfico de setores.

Construir e interpretar

histogramas de

uma distribuição de

frequência de classes

não unitárias.

Termos e conceitos

• universo estatístico
  • amostra
    • rol
• tabela de distribuição

de frequência

• gráfico de linha
• gráfico de barras
• gráfico de setores
• histograma

Representação de dados

Exemplo

Em novembro de 2009, o DataSenado (órgão que realiza pesquisas para

conhecer a opinião da população sobre assuntos em discussão dentro e

fora do Senado) realizou uma pesquisa de abrangência nacional para ouvir

o cidadão brasileiro a respeito do aquecimento global.

Uma das perguntas feitas aos entrevistados foi:

Ao preparar uma sopa, Carlos prova uma colherada para avaliar o

teor de sal. Para experimentar o tempero, ele não precisa tomar toda a

sopa da panela.

O mesmo princípio que orienta Carlos é um dos fundamentos da

Estatística, que é a ciência da indução lógica, isto é, das generaliza-

ções de características observadas em uma parte da coletividade que

se deseja conhecer.

Detalhando, a Estatística é um conjunto de técnicas e métodos de

pesquisa que abrange, entre outros temas: planejamento de experimentos,

coleta de dados, representação de dados numéricos por meio de tabelas

e gráficos, análise de dados, previsões e tomadas de decisões com base

na análise de dados.

Nós temos contato com essa ciência quando vemos, por exemplo, a

previsão do tempo nos noticiários, os resultados de pesquisas eleitorais,

a porcentagem de eficácia de um medicamento ou as previsões de inflação

para o ano seguinte.

Vivemos em um mundo de números. E saber relacionar números com

fatos facilita o acompanhamento das rápidas transformações do dia a dia,

assim como dificulta o engano induzido por resultados falseados.

Como o Brasil deve

tratar a Amazônia?

14

Capítulo 1

• Estatística

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Amostra

Quando o universo estatístico é muito vasto ou quando não é possível coletar dados de todos

os elementos desse universo, seleciona-se um subconjunto dele, chamado amostra, no qual os

dados para a pesquisa são coletados.

Para que a amostra seja representativa, isto é, para que ela não apresente tendências distintas

das do universo estatístico, devem ser adotados alguns critérios para torná-la imparcial.

Exemplo

Um partido político quer conhecer a tendência do eleitorado quanto à preferência entre dois

candidatos ao governo do estado do Ceará. Para isso, encomenda uma pesquisa a um instituto

especializado.

O universo estatístico (ou população estatística) é, nesse caso, o conjunto de todos os elei-

tores que votam no estado do Ceará. Para a realização da pesquisa, os técnicos do instituto

escolhem algumas regiões do estado e, nessas regiões, entrevistam os eleitores. Os eleitores

entrevistados formam a amostra da pesquisa.

A escolha das regiões deve obedecer a critérios que procurem aproximar o máximo possível

as tendências da amostra das tendências do universo estatístico, como:

• as regiões devem estar igualmente distribuídas pelo estado;
• os entrevistados devem estar proporcionalmente distribuídos pelas várias classes sociais;
• a quantidade de entrevistados em cada região deve ser proporcional ao número de eleitores

dessa região.

Amplitude de uma amostra de dados numéricos

Acompanhe a situação.

Uma amostra de barras de ferro para a construção civil apresenta os seguintes comprimen-

tos, em metro:

6,28 6,35 6,26 6,30 6,20 6,38 6,28 6,29 6,30 6,25 6,26 6,

Observando que o maior e o menor comprimento dessa amostra são, respectivamente, 6,38 m

e 6,20 m, dizemos que a amplitude da amostra é (6,38 2 6,20) m, ou seja, 0,18 m.

Assim, podemos definir: Sendo a e b , respectivamente o menor e o maior elemento de uma

amostra de dados numéricos, chama-se amplitude da amostra o número b 2 a.

Rol

Os dados coletados em uma amostra podem ser organizados em tabelas ou gráficos. Quando

esses dados são numéricos, podemos ainda organizá-los em sequências chamadas rol.

Rol é toda sequência de dados numéricos ( a

, a

, a

, ..., a

n

) tal que cada elemento, a partir do

segundo:

• é maior ou igual a seu antecessor; ou
• é menor ou igual a seu antecessor.

Exemplo

Em uma amostra de sete dias, os números de atendimentos diários em um pronto-socorro

público foram: 28, 25, 32, 18, 29, 32, 25, respectivamente.

Apresentando esses dados em rol, temos:

(18, 25, 25, 28, 29, 32, 32) ou (32, 32, 29, 28, 25, 25, 18)

16

Capítulo 1

• Estatística

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Distribuição de frequências

A análise dos dados numéricos de uma amostra é facilitada pela organização dos dados em

uma tabela ou em um gráfico. Para isso, os elementos da amostra são separados em classes.

Por exemplo:

• Uma amostra de pares de sapato produzidos por uma indústria em determinado período pode ser

agrupada em classes representadas por um único número, referente ao tamanho do sapato: 38,

39, 40, 41, 42 e 43. Uma classe representada por um único número é chamada de classe unitária.

• Uma amostra das estaturas, em centímetro, de pessoas adultas de certa região pode ser

separada em classes representadas por intervalos reais: [140, 150[, [150, 160[ , [160, 170[ ,

[170, 180[ , [180, 190[ e [190, 200].

Apresentamos a seguir a construção da tabela e do gráfico em situações que apresentam a

amostra separada em classes unitárias ou em classes representadas por intervalos reais.

Distribuição de frequências em classes unitárias

Para uma pré-avaliação do desempenho dos candidatos em um exame vestibular, foi selecio-

nada uma amostra de 80 provas.

Depois de corrigidas essas provas, as notas foram organizadas em uma tabela, obedecendo-

-se aos seguintes critérios:

• a amostra foi separada em classes determinadas pelas notas das provas;
• a quantidade de notas de uma mesma classe é chamada de frequência ( F ) dessa classe;
• a soma das frequências de todas as classes é chamada de frequência total ( F

t

) da amostra;

• dividindo-se a frequência F de uma classe pela frequência total F

t

obtém-se um número chamado

de frequência relativa ( F %) da classe.

Com os resultados, construiu-se a tabela a seguir, chamada de tabela de distribuição de

frequências.

Classe

(nota)

Frequência

(número de alunos)

Frequência

relativa

4 8 10%

5 17 21,25%

6 24 30%

7 20 25%

8 11 13,75%

Frequência total:

F t

5 80

O cálculo da frequência relativa de uma classe é dado por:

F __

F

t

Observe:

• a frequência relativa da nota 4 é:

8

---

80

5 0,1 5 10%

• a frequência relativa da nota 5 é:

17

---

80

5 0,2125 5 21,25%

• a frequência relativa da nota 6 é:

24

---

80

5 0,3 5 30%

• a frequência relativa da nota 7 é:

20

---

80

5 0,25% 5 25%

• a frequência relativa da nota 8 é:

11

---

80

5 0,1375 5 13,75%

Os dados da tabela anterior também podem ser descritos por gráficos de diferentes tipos,

conforme é mostrado a seguir.

17

Seção 1.

• Representação de dados

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Gráfico de barras horizontais

As frequências são indicadas em um eixo horizontal. Marcamos os pontos determinados pelos

pares ordenados (frequência, classe) e os ligamos ao eixo das classes por meio de barras horizontais.

Desempenho dos candidatos

Frequência (número de candidatos)

0

8 11 17 20 24

4

5

6

7

8

Classe (nota)

Desempenho dos candidatos

nota 4

nota 8

nota 7

nota 6

nota 5

76,5°

36°

49,5°

90°

108°

A medida a, em grau, do ângulo central que corresponde a uma classe de frequência F é dada

por: a 5

360 w

---

F

t

3 F

Observe:

• a medida do ângulo central que corresponde à nota 4 é: a 5

360 w

---

80

3 8 5 36 w

• a medida do ângulo central que corresponde à nota 5 é: a 5

360 w

---

80

3 17 5 76,5w

• a medida do ângulo central que corresponde à nota 6 é: a 5

360 w

---

80

3 24 5 108 w

• a medida do ângulo central que corresponde à nota 7 é: a 5

360 w

---

80

3 20 5 90 w

• a medida do ângulo central que corresponde à nota 8 é: a 5

360 w

---

80

3 11 5 49,5w

Gráfico de setores

Dividimos um círculo em setores, com ângulos de medidas diretamente proporcionais às

frequências das classes.

19

Seção 1.

• Representação de dados

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

A forma mais usual do gráfico de setores é a que apresenta em cada setor a frequência rela-

tiva da respectiva classe. Por exemplo, vamos representar o gráfico anterior com as frequências

relativas das classes:

Desempenho

dos candidatos

nota 4

10%

nota 8

13,75%

nota 7

25%

nota 6

30%

nota 5

21,25%

Note que a frequência relativa de cada classe pode ser obtida dividindo-se a medida, em grau,

do arco de setor por 360w; por exemplo, o arco da classe “nota 5” mede 76,5w; então, a frequência

relativa dessa classe é:

76,5w

---

360 w

5 0,2125 5 21,25%

EXERCÍCIOS pROpOStOS

1 A tabela ao lado corresponde à distribuição de fre

quências dos refrigeradores vendidos por uma loja nos

cinco primeiros dias do mês de janeiro.

a) Copie essa tabela em seu caderno e complete a com

a coluna das frequências relativas.

b) Construa os gráficos de linha, de barras verticais e

de setores dessa distribuição. (No gráfico de setores,

indique a medida, em grau, de cada arco.)

Classe

(dia)

Frequência

(número de refrigeradores)

1 14

2 13

3 20

4 17

5 16

Ft 5 80

2 Os conteúdos de 20 caixas de leite longa vida apresentaram os seguintes volumes, em litro:

0,98 1,00 1,01 0,98 0,

0,99 1,01 1,01 1,00 0,

1,00 1,02 0,98 0,99 1,

0,99 1,00 1,01 0,98 0,

a) Calcule a amplitude dessa amostra.

b) A tabela ao lado apresenta a coluna relativa às

classes dessa amostra. Completea com as colunas

correspondentes à distribuição de frequências e às

frequências relativas.

c) Construa os gráficos de linha, de barras verticais

e de setores dessa distribuição. (Em cada arco do

gráfico de setores, indique a frequência relativa da

respectiva classe.)

Classe

(volume em litro)

0,

0,

1,

1,

1,

20

Capítulo 1

• Estatística

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.