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Materiais elétricos e dielétricos
Tipologia: Manuais, Projetos, Pesquisas
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1.1 Introdução
O estudo das propriedades dos materiais tem contribuído para a introdução de novos dispositivos usados em engenharia elétrica. O desenvolvimento tecnológico da indústria eletro-eletrônica está fortemente ligado ao avanço da ciência dos materiais. Para evidenciar o desenvolvimento dessa área, podemos citar: diodos lasers e fibras óticas – utilizados na transmissão e recepção de sinais; as ligas amorfas - usadas em núcleos de transformadores de alto rendimento; varistores à base de óxido de zinco – utilizados em pára-raios de subestações; materiais poliméricos – utilizados em cadeias de isoladores, etc. Para o entendimento das propriedades dos materiais é necessário o estudo de tópicos como: física do estado sólido; física de gases e física moderna. Pretende-se neste capítulo, fazer uma breve revisão sobre campos elétricos em meios materiais e uma breve introdução a perdas em dielétricos. Deve-se enfatizar que muitas vezes é conveniente a utilização de modelos, em escala atômica, que justifiquem as grandezas reais medidas.
1.2 Modelos
O comportamento físico de um material pode ser caracterizado por grandezas macroscópicas, quantidades mensuráveis, como condutividade elétrica, condutividade térmica, permeabilidade magnética, permissividade elétrica, etc. Em geral, essas grandezas são funções de parâmetros externos como temperatura, pressão e freqüência do campo aplicado. O estudo das grandezas macroscópicas tem levado a conclusões importantes a respeito da microestrutura do material (estrutura atômica do material).
Os materiais são compostos por átomos e os átomos de núcleos e elétrons. No estudo de materiais muitas vezes torna-se conveniente à adoção de modelos apropriados, em escala atômica, que representem o comportamento do material em escala macroscópica. A introdução de modelos teve grande desenvolvimento através dos trabalhos de Faraday, Lord Kelvin, Maxwell e J. J. Thomson no século passado. Em tese, os modelos não precisam corresponder à realidade em termos microscópicos, mas sua utilização está condicionada a uma eficiente aproximação da realidade macroscópica, sendo uma ferramenta muito importante para o entendimento dos fenômenos que ocorrem na natureza. Por exemplo, em eletricidade não existe carga estática, porém modelos adotados em eletrostática têm contribuído muito para o entendimento de campos elétricos em meios materiais ao longo dos anos. Além disso, modelos diferentes podem reproduzir a mesma realidade.
1.3 Conceitos Básicos de Eletrostática
Existem cinco grandezas em física, que servem de ponto de partida para a definição de todas as outras grandezas utilizadas em física e engenharia: massa, comprimento, tempo, carga, temperatura. Essas cinco grandezas são intuitivas e portanto consideradas indefiníveis. Por exemplo, a temperatura é associada com a sensação de “quente” ou “frio” sem a preocupação de dar uma definição precisa desses termos.
As cargas elétricas são as fontes de todos os campos eletromagnéticos. A unidade de carga é o Coulomb (C). O elétron tem carga negativa de aproximadamente e = - 1.6 x 10 -19^ C, conhecida como carga elementar. A carga é quantizada e se conserva, ou seja, o excesso de
A seguir serão estudados campos produzidos por distribuições de cargas estacionárias começando pela lei de Coulomb, definição de campo elétrico, lei de Gauss, potencial escalar elétrico e capacitância.
1.3.1 Lei de Coulomb
Embora tenha sido estabelecido que a carga elétrica é uma grandeza fundamental, indefinível, pode-se dar uma definição precisa da quantidade de carga em termos dos conceitos da força que age entre corpos carregados. Em 1785, um engenheiro francês, Charles Coulomb, conseguiu medir forças que atuam entre duas cargas separadas por uma distância R 12 no vácuo (Figura 1.1).
Figura 1.1: Lei de Coulomb para cargas puntuais.
O resultado é conhecido como lei de Coulomb e é dada por:
0 12 4 π ε 2 N
em que ε 0 é a permissividade do vácuo e ε 0 ≅ 8.854 x 10-12^ F/m. Na forma vetorial, a equação acima pode ser reescrita como:
F
a (^) R
→ → = 1 2 0 12 4 π ε 2 12 (1.1)
O vetor unitário a (^) R 12
→ pode ser facilmente determinado no sistema de coordenadas
retangulares. Por exemplo, se Q 1 estiver localizado em [x 1 , y1, z 1 ] e Q 2 em [x 2 , y2, z 2 ], o vetor que aponta na direção de Q 1 para Q 2 será dado por:
R (^) 12 R (^) 2 R (^) 1 x (^) 2 x (^) 1 a (^) x y (^) 2 y (^) 1 a (^) y z (^) 2 z (^) 1 az
→ → → → → → = − = ( − ) + ( − ) + ( − ). (1.2)
Onde (^) a (^) x
→ , (^) a (^) y → e (^) a (^) z
→ são vetores unitários na direção dos eixos x , y e z respectivamente. O
vetor unitário a (^) R 12
→ pode ser obtido normalizando-se R
→ 12 para o comprimento unitário:
a
12 12
→
→ =. (1.3)
Onde R 12 (^) = ( x (^) 2 − x (^) 1 ) 2 + ( y (^) 2 − y (^) 1 )^2 + ( z (^) 2 − z 1 ) 2 (1.4)
2
→
[ x 1 , y 1 , z 1 ] [ x 2 , y 2 , z 2 ]
Exemplo 1 - Força entre cargas puntuais
Considere um par de cargas puntuais no espaço livre (Figura 1.2). Q 1 , de -300μ C , está
localizada em [ 2 4 5, , ] m. A carga Q 2 , de 10 μ C , está localizada em [ 1 1 3, , ]m. Determine a
força em Q 1 exercida por Q 2.
Figura 1.2: Par de cargas puntuais.
Solução:
R (^) 21 R (^) 1 R (^) 2 x (^) 1 x (^) 2 a (^) x y (^) 1 y (^) 2 a (^) y z (^) 1 z (^) 2 a (^) z a (^) x 3 a (^) y 2 az
→ → → → → → → → → = − = ( − ) + ( − ) + ( − ) = + +
e
R (^) 21 = ( x (^) 1 − x (^) 2 ) 2 + ( y (^) 1 − y (^) 2 ) 2 + ( z (^) 1 − z 2 ) 2 = 12 + 32 + 2 2 = 14.
Logo,
a
a a a R a^ a^ a
x y z 21 x^ y^ z
21 21
→
→ →^ →^ → → → → , , ,.
Assim, F 21
→ será dado por:
21 1 2 a^ R 0 12
π ε
6 6
0 21
x x π ε
a (^) R = − − −
→ → → 0 52, a (^) x 1 55, a (^) y 1 03, a (^) z N.
Para um sistema de cargas (Figura 1.3), pode-se determinar a força que atua em cada uma delas.
Figura 1.3: Superposição de forças.
A superposição de forças atuando numa carga q devido a várias cargas puntuais Q 1 , Q 2 ,..., QN é dada por:
F
qQ R
i a i
R i
N i
→ →
=
= (^) ∑ 1 4 πε^02
→ R 2
→
→ 21 [ x 1 , y 1 , z 1 ] [ x 2 , y 2 , z 2 ]
→
→
→
→
R (^) N
→
q
Figura 1.5: Linhas de fluxo elétrico geradas por uma carga puntual.
As regras para o esboço de linhas de fluxo para qualquer distribuição de cargas são as seguintes:
1.3.3 Lei de Gauss - Fluxo e Densidade de Fluxo Elétrico
Foi mostrado anteriormente que o campo elétrico devido a uma carga puntual no vácuo é:
→ → = (^) Rp p
a R
4 πε (^0)
Se o meio em que a carga está localizada não for o vácuo, ε 0 deverá ser substituído por ε , a
permissividade do meio: ε = ε 0 ε r.
ε (^) r é a permissividade relativa ou constante dielétrica relativa do meio. Ela tem valor unitário
paro o vácuo, cerca de 80 para a água e em alguns dielétricos pode atingir valores acima de
Para uma carga puntual localizada no vácuo:
→ → = (^) Rp p
a R
4 π
O fluxo elétrico é uma medida do número de linhas de fluxo que atravessam uma superfície. O fluxo total que atravessa uma superfície fechada que envolve uma carga líquida Q pode ser obtido pela lei de Gauss:
φ = =
→ → ∫ s D d s.^^ Q.^ (1.7)
A superfície S é chamada de superfície gaussiana. ds é um elemento de área de S e ds
→ é um vetor normal à essa superfície. No caso de uma carga puntual, para uma esfera imaginária de raio R, centrada na carga Q tem-se:
φ 4 π 2 4 π^2
A lei de Gauss é bastante aplicada para resolver problemas de campos em situações onde
existe simetria. O interesse é normalmente determinar D
→ ou E
→ partindo da expressão Q = ∫ s^ D d s
→ →
.. No entanto, para retirar D
→ do interior da integral é conveniente escolher uma superfície gaussiana que satisfaça as condições abaixo:
1 - D
→ é em qualquer ponto ou normal ou tangencial à superfície gaussiana D d s Dds D d s
→ → → →
. = ou. =0. 2 - Na porção da superfície onde D d s
→ →
. não for zero, D deve ser constante.
Exemplo 2 - Campo devido a uma distribuição linear de cargas.
O condutor filamentar da figura abaixo tem densidade linear uniforme ρ l C/m. Determine a densidade de fluxo e o campo elétrico no espaço.
ou W (^) BQ (^) pE dl
A = −
→ → ∫.^.
A diferença de potencial entre os pontos A e B é definida como o trabalho realizado por
uma fonte externa para trazer uma carga unitária de B até A , dentro do campo elétrico E
→ . Assim,
V V V
AB A B E dl p B
A = − = = −
→ → ∫.^ (1.9)
Exemplo 3 - Potencial elétrico devido a uma esfera uniformemente carregada
Considere uma esfera condutora com carga total Q uniformemente distribuída em sua superfície, como mostrado na Figura 1.8. Determine o campo elétrico dentro e fora da esfera. Determine também a diferença de potencial entre os pontos A e B.
Figura 1.8: Casca esférica uniformemente carregada.
Solução: o campo elétrico poder ser obtido facilmente através da utilização da lei de Gauss. Assim,
D r
r
φ 4 π 2 4 π^2
e
E
r
4 πε 0 2
Note que o campo elétrico na região fora da esfera é idêntico ao campo produzido por uma carga puntual de mesmo valor localizada no centro da esfera. Mais ainda, qualquer distribuição simétrica de carga, cuja carga total seja Q, colocada dentro de uma esfera fictícia, produzirá o mesmo campo elétrico fora da esfera. Ou seja, para um observador fora da esfera, todas essas fontes de carga são equivalentes.
(^2) Se as cargas tiverem liberdade de movimento e houver campo no interior do condutor, haverá aceleração das
cargas para a superfície. Quando o equilíbrio eletrostático for atingido, o campo elétrico no interior do condutor será nulo. O potencial no interior da esfera será constante.
r (^) a r (^) b
O potencial elétrico VAB pode ser obtido por: V (^) AB E dl (^) AE dl
B B
A = − =
→ → → →
ou V
r
d
r
AB (^) r r r
r
b a^ b
a = − = −
1.3.5 Capacitância
Todo condutor elétrico pode ser carregado, adquirindo um potencial que logicamente dependerá da carga no condutor, como foi mostrado na seção anterior. A relação entre a carga no condutor e o potencial elétrico adquirido por ele é conhecido como capacitância. Considere a Figura 1.9.
Figura 1.9: Capacitância entre condutores. De uma forma geral, a capacitância entre os condutores A e B é dada por:
C
ou
D ds
E dl
S
B
→ →
→ →
1.3.6 Capacitores com Dielétricos - Polarização (Visão Macroscópica)
Um dielétrico é um material não condutor como papel, borracha, ou vidro. Quando um material dielétrico é inserido entre as placas de um capacitor, sua capacitância aumenta. Se o dielétrico preencher completamente o espaço entre as placas, a capacitância cresce por um fator ε r , chamado de permissividade relativa ou constante dielétrica.
O seguinte experimento pode ser feito para ilustrar o efeito de um dielétrico em um capacitor (Figura 1.10).
Meio de permissividade ε 0
Condutor A (carga +Q)
Condutor B (carga -Q)
Tabela 1 - Constante dielétrica e rigidez dielétrica de alguns materiais à temperatura ambiente Material ou meio Constante dielétrica (Permissividade relativa) ε r
Rigidez dielétrica ( kV/cm )
Vácuo 1.00000 (^) ∞ Ar seco 1,00059 30 Baquelite 4,90000 240 Quartzo 3,78000 80 Vidro pirex 5,60000 140 Papel 3,70000 160 Água 80,00000 80 Teflon 2,10000 600 Óleo isolante 2,50000 150
Para o capacitor de placas paralelas com dielétrico entre as placas tem-se: Ed < Eo indicando a presença de cargas induzidas na superfície do dielétrico. O campo no dielétrico pode ser calculado levando em conta a contribuição da carga nas placas e as cargas induzidas na superfície do dielétrico. Logo,
E (^) d E Ei
→ → → = 0 + (1.13)
Em que E 0
→ é o campo devido apenas à carga nas placas e E (^) i
→ o campo gerado pelas cargas
induzidas na superfície do dielétrico. De (1.11), tem-se:
V
Q d d d A
0
ε (^) rε
Como Ed =Vd /d e E 0 =V 0 /d , tem-se:
E
d (^) A
ε (^) rε 0
e E
0 0
ε
Pode-se escrever (1.13) na forma:
E
q d A = 0 − i ε 0 ε (^0)
onde qi representa as cargas induzidas na superfície do dielétrico como mostrado na Figura 1.11.
Figura 1.11: Cargas induzidas na superfície do dielétrico.
Q 0 /A é a densidade de fluxo D devido à carga nas placas se desprezarmos o efeito das bordas e q (^) i /A é a densidade de fluxo P devido ao efeito de polarização do dielétrico. Para o capacitor de placas paralelas, a equação 1.14 pode ser reescrita como: D = ε 0 E (^) d + P.
De uma maneira geral, para um dielétrico linear e isotrópico, pode-se relacionar a densidade de fluxo nas placas de um capacitor com o campo macroscópico no dielétrico na forma
→ → → = ε 0 +. (1.15)
A densidade de fluxo é uma função linear do campo elétrico
D (^) rE
→ → = ε 0 ε (1.16)
De 1.15 e 1.16, tem-se
P (^) r E C m
→ → = ε 0 (ε − 1 ) ( / 2 ) (1.17)
P
→ é definido como Polarização e é conhecido também como momento de dipolo por unidade de volume. Para dielétricos lineares, a polarização é proporcional ao campo elétrico aplicado ao dielétrico. Na dedução da equação 1.17 nada foi dito a respeito do estado físico do dielétrico, assim ela é válida para sólidos, líquidos e gases. Se tornará evidente que ε r é uma grandeza macroscópica que depende da estrutura atômica do material.
1.3.7 Permissividade Relativa Complexa - Perdas em Dielétricos em Campos Alternados
Considere um capacitor ideal, cujo dielétrico é o vácuo, alimentado por uma fonte de freqüência ω (Figura 1.12).
Figura 1.12: Fonte senoidal alimentando capacitor ideal. A carga q(t) nas placas do capacitor pode ser expressa como função do potencial nas placas. Assim,
q t ( ) = C 0 (^) v t ( ).
Para uma fonte v t ( ) = Vm cosω t , a corrente no capacitor é:
i t dq dt
C dv dt
( ) = = 0 = −ω C V 0 (^) m senω t.
Os fasores de corrente I e tensão V estão relacionados de acordo com a equação: I = j ω C V 0.
Imagine agora que o capacitor seja preenchido por um dielétrico ideal (sem perdas). Sua capacitância aumentará para C=C 0. ε r´ , onde ε r´^ é a permissividade relativa do meio e é um real puro. A representação fasorial da tensão e corrente no capacitor ideal é mostrado na Figura 1.13, em que
I = j ω C 0 ε r ′ V. (1.18)
Figura 1.13: Diagrama fasorial para tensão e corrente no capacitor ideal.
v(t)^ Cd
i(t)
(a) (b)
Figura 1.14: Circuitos equivalentes de um capacitor real. Note que no circuito da Figura 1.14a, os fasores de corrente I e tensão V estão relacionados pela equação:
j C V R
I (^) p p
= + ω
que tem a mesma forma da equação 1.22 em que
0
r
R (^) p (^) ω C ε e ' C (^) p = C 0 ε r.
Pode-se mostrar que para o circuito paralelo
p p p
p C V R C
ω
ω
δ =
tan.
Note ainda que
'
' tan r
r ε
ε δ=
′
. (1.24)
Em qualquer dos circuitos usados para representar um capacitor real linear, a potência total dissipada no capacitor (perdas) pode ser obtida por:
Perdas = V ⋅ I ⋅ cosφ (1.25)
em que φ é o ângulo entre os fasores de tensão V e de corrente I , segundo a Figura 1.13.
Isto é equivalente a dizer que:
Perdas = V ⋅ I ⋅ senδ (1.26) Como δ é um ângulo bastante pequeno, podemos escrever: Perdas = V ⋅ I ⋅ sen δ ≅ V ⋅ I ⋅ δ ≅ V ⋅ I ⋅tanδ (1.27)
e portanto tan δ é uma indicação de perdas no dielétrico. Os parâmetros dos circuitos série são diferentes dos parâmetros do circuito paralelo. Observe que tan δ é independente do circuito circuito equivalente utilizado.
v(t)^ Rp Cp
i(t)
Rs
Cs
v(t)
i(t)
capacitor real
7- Uma amostra de dielétrico sólido de constante dielétrica εr = 4.0, mostrada na Figura 3 a seguir, apresenta uma cavidade de espessura 0.1 mm, comprimento 1 mm e largura 10 mm. A amostra tem espessura de 1mm, largura de 10 mm e 10 cm de comprimento. As partes superior e inferior da amostra são submetidas a uma diferença de potencial com taxa de crescimento muito baixa (quase DC). Admita que a cavidade seja preenchida por ar com rigidez dielétrica de 30 kV/cm. Encontre a tensão entre as partes superior e inferior da amostra em que uma descarga interna possa ocorrer (admita que o campo elétrico dentro e fora da cavidade seja uniforme).
1 mm
1 mm
Figura 1
∈ 1 ∈ 2 1 mm
Figura 2
