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Conte´udo
- 1 Zeros de fun¸c˜oes de vari´avel real
- 1.1 Introdu¸c˜ao
- 1.2 Delimita¸c˜ao dos zeros de uma fun¸c˜ao
- 1.2.1 M´etodos gr´afico
- 1.2.2 M´etodo an´alitico
- 1.3 Crit´erios de parada
- 1.4 N´umero de itera¸c˜oes
- 1.5 M´etodo de Bissec¸c˜ao
- 1.5.1 Algo´ritmo do M´etodo de Bissec¸c˜ao
- 1.6 M´etodo de Ponto Fixo
- 1.6.1 Algoritmo do m´etodo de Ponto Fixo
- 1.7 M´etodo de Newton
- 1.8 M´etodo da Secante
- 1.9 M´etodo da Falsa Posi¸c˜ao
Cap´ıtulo 1
Zeros de fun¸c˜oes de vari´avel real
1.1 Introdu¸c˜ao
Dada uma fun¸c˜ao real f definida e cont´ınua em um intervalo aberto I, chama-se de zero desta fun¸c˜ao em I, a todo x ∈ I, tal que f (x) = 0.
Neste tema ser˜ao apresentados alguns processos iterativos para calcular de forma aproximada os zeros reais de uma fun¸c˜ao real f dada. Por um processo iterativo entende-se um processo que calcula uma sequˆencia de aproxima¸c˜oes x 1 , x 2 , x 3 ,... da solu¸c˜ao desejada. O c´alculo de uma nova aproxima¸c˜ao ´e feito utilizando aproxima¸c˜oes anteriores. Dizemos que a sequˆencia x 1 , x 2 , x 3 ,... converge para x, se dado > 0, ∃N ∈ N, tal que qualquer que seja n > N , |xn − x| < . Neste caso tem-se que (^) nlim→∞ xn = x, o que tamb´em poder´a ser indicado por xn → x. Nos processos iterativos que ser˜ao apresentados, a determina¸c˜ao dos zeros de uma fun¸c˜ao real de vari´avel real ser´a feita em duas etapas:
Fase I: Isolar cada zero que se deseja determinar da fun¸c˜ao f em um intervalo [a, b], sendo que cada intervalo dever´a conter um e somente um zero da fun¸c˜ao f.
Fase II: C´alculo dos zeros aproximados utilizando um m´etodo iterativo, com precis˜ao prefixada ou n˜ao.
Exemplo
Sejam dadas as fun¸c˜oes:
a) f (x) = 3x − 4 b) f (x) = x^2 + 2x − 3
c) f (x) = sin(x) − x d) f (x) = xex^ − 2
Conlus˜ao: ∃x 1 zero de f : x 1 ∈ (−
2 , 0) e ∃x 2 zero de f : x 2 ∈ (0,
Exemplo
Delimitar os zeros da fun¸c˜ao f (x) = ln(x) + x.
Solu¸c˜ao: f (x) = 0 ⇐⇒ ln(x) + x = 0 ⇐⇒ ln(x) = −x (Figura abaixo).
Conclus˜ao: ∃x zero de f : x ∈ (0, 1).
1.2.2 M´etodo an´alitico
Este m´etodo ´e baseado no seguinte teorema
Teorema 1.1 (Teorema do Valor Interm´edio (TVI)). Seja f : R → R cont´ınua. Se existem a, b ∈ R: f (a)f (b) < 0 , ent˜ao ∃ c ∈ (a, b) : f (c) = 0.
Observa¸c˜ao: O TVI assegura que se f troca de sinal nos pontos a e b ent˜ao f tem pelo menos um zero entre estes pontos. E claro que existe a possibilidade de que a fun¸´ c˜ao tenha mais do que um zero no intervalo.
Exemplo
Isolar a fun¸c˜ao f : R → R, f (x) = x^3 − x.
Solu¸c˜ao: • f^ (2) = 8^ −^ 1 = 7^ >^0
- f (−2) = − 8 − 1 = − 9 < 0
=⇒T V I^ f tem um zero no intervalo (− 2 , 2).
Na verdade f tem 3 zeros nesse intervalo x = −1, x = 0 e x = 1.
Exemplo
Isolar f (x) = xx^ − 2.
Solu¸c˜ao: f (0) = −2 e f (1) = e − 2 > 0 =⇒ f (0)f (1) < 0 =⇒ ∃x zero de f tal que x ∈ (0, 1).
Exemplo
Ache intervalos contendo solu¸c˜oes da equa¸c˜ao 4x^2 − ex^ = 0. Solu¸c˜ao:
- Continuidade: f (x) = 4x^2 − ex^ ´e cont´ınua em R porque Df = R.
- Come¸cando aleatoriamente pelos valores mais f´aceis (mais pr´oximos de zero) tem-se: f (0) = 4 ∗ 02 − e^0 = − 1 < 0; f (1) = 4 ∗ 12 − e^1 ≈ 1. 28 > 0. Logo, h´a-de existir em [0,1] um valor c, tal que f (c) = 0, uma vez que f ´e cont´ınua em [0,1].
Uma pergunta natural neste ponto ´e sobre a existˆencia ou n˜ao de outro zero neste intervalo. O teorema a seguir nos ajuda a responder essa quest˜ao.
Teorema 1.2 (Teorema de Rolle). Seja f : R → R cont´ınua em [a, b] e deriv´avel em (a, b). Seja x 1 , x 2 ∈ [a, b] tal que f (x 1 ) = f (x 2 ) = 0. Ent˜ao ∃c ∈ (x 1 , x 2 ) tal que f ′(c) = 0.
Exemplo
Determine se o teorema de Rolle se aplica nas seguintes situa¸c˜oes. Se sim, dˆe um n´umero c que satisfaz o teorema; e se n˜ao, mostre que tal n´umero n˜ao existe.
(a) f (x) = |x|, [a, b] = [− 1 , 1] Resolu¸c˜ao:
- f (x) cont´ınua em R. Logo, f (x) ´e cont´ınua em [−1; 1] ⊂ R.
- f (x) ´e diferenci´avel em R−^ e em R+. Logo, f (x) n˜ao ´e diferenci´avel em ] − 1; 1[, uma vez que f (x) n˜ao ´e diferenci´avel para x = 0.
- f (xn) <
- |xn − xn− 1 | <
- |xn^ −^ xn−^1 | |xn| < , com xn 6 = 0
bn − an an^ < , com^ an^6 = 0.
Infelizmente podem surgir dificuldades na utiliza¸c˜ao indiscriminada destes crit´erios de paragem. Por exemplo, h´a sequˆencias (xn) com propriedade de que xn −xn− 1 converge para zero, enquanto que a pr´opria sequˆencia ´e divergente. E tamb´´ em poss´ıvel f (xn) estar perto de zero enquanto xn difere significativamente de x. Sem conhecimentos adicionais sobre f ou x, a terceira inequa¸c˜ao ´e o melhor crit´erio de paragem aplic´avel, porque testa o erro relativo.
No entanto, podem-se estabelecer outros crit´erios de parada.
1.4 N´umero de itera¸c˜oes
Suponhamos que f ⊂ C[a, b] e f (a)f (b) < 0, isto ´e, f (a) e f (b) tˆem sinais contr´arios. Qualquer dos m´etodos a seguir indicados gera uma sequˆencia (xn) que converge para a raiz x (ou zero de
f ), com |xn − xn− 1 | ≤ b − a 2 n^ < , para^ n^ ≥^ 1. Exemplo
Determine o ´umero de itera¸c˜oes necess´arias para alcan¸car uma aproxima¸c˜ao `a solu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao, que se encontra no intervalo [1, 2], com uma exactid˜ao at´e 10−^4.
Solu¸c˜ao: Temos que a = 1 e b = 2. Daqui,
2 − 1 2 n^ <^10
− (^4) ⇐⇒ 2 n (^) > 1 10 −^4 ⇐⇒^ n >^
log 2 ≈^13 .3 =⇒^ n^ = 14.
1.5 M´etodo de Bissec¸c˜ao
Este m´etodo ´e normalmente utilizado para diminuir o intervalo que cont´em o zero da fun¸c˜ao, para a aplica¸c˜ao de outro m´etodo, pois o esfor¸co computacional cresce demasiadamente quando se aumenta a precis˜ao exigida.
O processo consiste em dividir o intervalo que cont´em o zero ao meio e por aplica¸c˜ao do Teorema 1.1, aplicado aos subintervalos resultantes, determinar qual deles cont´em o zero. [ a, a + b 2
]
[
a + b 2 , b
]
O processo ´e repetido para o novo subintervalo at´e que se obtenha uma precis˜ao prefixada. Desta forma, em cada itera¸c˜ao o zero da fun¸c˜ao ´e aproximado pelo ponto m´edio de cada subintervalo
que a cont´em.
O maior erro que se pode cometer na:
- 1a itera¸c˜ao (n = 1): ´e b − a 2
- 2a itera¸c˜ao (n = 2): ´e b − a 22
- 3a itera¸c˜ao (n = 3): ´e b − a 23 -...
- n itera¸c˜ao: ´e b^ −^ a 2 n
Se o problema exige que o erro cometido seja inferior a um parˆametro e, determina-se a quanti-
dade n de itera¸c˜oes encontrando o maior inteiro que satisfaz a inequa¸c˜ao: b − a 2 n^ ≤^ Exemplo
Determinar um valor aproximado para
3, com erro inferior a 10−^2.
Solu¸c˜ao: Determinar
3 ´e equivalente a obter o zero positivo da fun¸c˜ao f (x) = x^2 − 3 com erro inferior a 10−^2.
- Determina¸c˜ao do intervalo de zero. f (x) = x^2 − 3, f (1) = −2 e f (2) = 1 =⇒ ∃x ∈ [1, 2] : f (x) = 0 f ′(x) = 2x 6 = 0, ∀x ∈ (1, 2) =⇒ x ´e ´unico.
- Calculo do n´umero de itera¸c˜oes. 2 −^1 2 n^ < 10 −^2 =⇒ 2 n^ > 102 =⇒ n > 2 ln(10) ln(2)
Logo n = 7 ou seja devemos realizar 7 itera¸c˜oes.
k ak bk xk+1 = ak^ +^ bk 2 f (xk+1) 0 1 2 1. 5 < 0 1 1. 5 2 1. 75 > 0 2 1. 5 1. 75 1. 625 < 0 3 1. 625 1. 75 1. 6875 < 0 4 1. 6875 1. 75 1. 71875 < 0 5 1. 71875 1. 75 1. 73438 > 0 6 1. 71875 1. 73438 1. 72657 < 0 7 1. 72657 1. 73438 1. 73048
Resposta:
k ak bk xk f (xk) 1 1 2 1. 5 < 0 2 1. 5 2 1. 75 < 0 3 1 , 75 2 1 , 875 > 0 4 1 , 75 1 , 875 1 , 8125 < 0 5 1 , 8125 1 , 875 1 , 84375 > 0 6 1 , 8125 1 , 84375 1 , 828125 < 0 7 1 , 828125 1 , 84375 1 , 835938 > 0 8 1 , 828125 1 , 835938 1 , 832031 > 0 9 1 , 828125 1 , 832031 1 , 830078 > 0 10 1 , 828125 1 , 830078 1 , 829102 < 0 11 1 , 829102 1 , 830078 1 , 82959 > 0 12 1 , 829102 1 , 82959 1 , 829346 < 0 13 1 , 829346 1 , 82959 1 , 829468 > 0 14 1 , 829346 1 , 829468 1 , 829407 > 0 15 1 , 829346 1 , 829407 1 , 829376 < 0 16 1 , 829376 1 , 829407 1 , 829391 > 0 17 1 , 829376 1 , 829391 1,829384 > 0
Solu¸c˜ao: x = 1, 829384 ´e a raiz procurada.
1.6 M´etodo de Ponto Fixo
O m´etodo nesta sec¸c˜ao e a maioria dos restantes m´etodos deste tema baseiam-se na mudan¸ca da equa¸c˜ao f (x) = 0 para g(x) = x, equa¸c˜ao t´ıpica que fornece os pontos fixos de g(x). H´a muitas maneiras de realizar esta mudan¸ca. Um dos procedimentos consiste em definir g(x) como sendo x − f (x). Neste caso, x satisfaz f (x) = 0 se e s´o se g(x) = x. Consequentemente, se pode ser encontrado o m´etodo geral de resolu¸c˜ao de um problema na forma g(x) = x, ent˜ao uma solu¸c˜ao para f (x) = 0 pode ser obtida definindo-se a fun¸c˜ao g(x) = x − f (x).
Defini¸c˜ao 1.1. Se g : [a, b] → R e g(x) = x para algum x ∈ [a, b], ent˜ao a fun¸c˜ao g diz-se ter o ponto fixo x em [a,b].
Exemplo
Seja g(x) = x^2 − 2 = x. Os pontos fixos segundo se pode ver no gr´afico abaixo, s˜ao x = −1 e x = 2.
Exemplo
- g(x) = x ´e uma fun¸c˜ao constitu´ıda s´o de pontos fixos;
- h(x) = x − sin(πx) tem ponto fixo no intervalo [0;1], e
- i(x) = x^2 tem dois pontos fixos: (0,0) e (1,1).
Teorema 1.3. Se g ⊂ C[a, b] e g(x) ∈ [a, b], ∀x ∈ [a, b], ent˜ao g tem um ponto fixo em [a, b]. Al´em disso, supondo que ∃g′(x) ∈]a, b[ e |g′(x)| ≤ k < 1 , ∀x ∈ [a, b], ent˜ao g tem um ´unico ponto fixo p em [a, b].
Exemplo
Seja g(x) = x^2 − 1 3 , no intervalo [−^1 ,^ 1]. Pelo teorema do valor extremo, o m´ınimo absoluto de g ocorre em x = 0 e g(0) = − 1 3
. Analogamente, os m´aximos de g ocorrem em x = ±1, com o
valor g(±1) = 0. Por outro lado, |g′(x)| = 2 x 3 ≤^
3 ,^ ∀x^ ∈^ (−1; 1). Assim,^ g^ satisfaz a hip´otese
1.6.1 Algoritmo do m´etodo de Ponto Fixo
Para achar uma solu¸c˜ao de p = g(p) dada uma aproxima¸c˜ao inicial p 0 :
Entrada Aproxima¸c˜ao inicial p 0 ; tolerˆancia TOL (m´aximo n´umero de itera¸c˜oes). Sa´ıda Solu¸c˜ao aproximada p ou mensagem de falha.
p1=p REPITIR p0=p p1=g ( p0 ) ENQUANTO | p1−p0|<TOL
Exemplo Determine o zero da equa¸c˜ao da x^3 + 4x^2 − 10 = 0 no intervalo [1; 2], com erro inferior a 10−^5.
Solu¸c˜ao: Obtemos g(x) = x − (^) ff ′((xx)) = x − x
(^3) + 4x (^2) − 10 3 x^2 + 8x , isto ´e,^ g(xi) =^ xi^ −^
x^3 i + 4x^2 i − 10 3 x^2 i + 8xi
Pegando x 0 = 0.5, obtemos:
i xi g(xi) |xi+1 − xi| 0 0. 5 2. 368421053 1 2. 368421053 1. 649408073 1. 868421053 2 1. 649408073 1. 397991494 0. 71901298 3 1. 397991494 1. 365743858 0. 251416579 4 1. 365743858 1. 365230143 0. 032247636 5 1. 365230143 1. 365230013 0. 000513715 6 1. 365230013 1. 365230013 0. 00000013
Conclus˜ao: x = 1.365230013.
1.7 M´etodo de Newton
Um m´etodo muito popular e eficiente para o c´alculo de zeros de fun¸c˜oes ´e o chamado m´etodo de Newton. Ele ´e um m´etodo de aproxima¸c˜oes sucessivas mas com uma ordem de convergˆencia muito melhor que o m´etodo da bisse¸c˜ao. A sequˆencia de aproxima¸c˜oes no m´etodo de Newton ´e:
xn =
x 0 n = 0 xn− 1 − f (xn− 1 ) f ′(xn− 1 ) n^ ≥^1
Exemplo
Seja f (x) = xex^ − 1. f (0)f (1) < 0 =⇒ ∃x ∈ (0, 1) : f (x) = 0. f ′(x) = ex(1 + x). Daqui,
xn = xn− 1 − xn−^1 e
xn− (^1) − 1 exn−^1 (1 + xn− 1 ) =^
1 − x^2 n− 1 exn−^1 exn−^1 (1 + xn− 1 )
Algumas itera¸c˜oes usando o M´etodo de Newton figuram na tabela baixo:
n xn |xn+1 − xn| 0 1(arbitr´ario) 1 0. 683939721 0. 316060279 2 0. 577454477 0. 106485243 3 0. 567229738 0. 010224739 4 0. 567143297 0. 000086441 5 0. 567143290 0. 000000006
1.8 M´etodo da Secante
O m´etodo da secante consiste em usar uma aproxima¸c˜ao para a derivada da fun¸c˜ao no m´etodo de Newton. No entanto, precisamos de dois valores iniciais x 0 e x 1 :
xn =
x 0 , x 1 arbitr´arios xn− 1 − f (xn− 1 )(xn− 1 − xn− 2 ) f (xn− 1 ) − f (xn− 2 ) paran^ ≥^2
Exemplo
Seja f (x) = e
2 x (^) − 1 ex^ − 1 − 3. Determine uma aproxima¸c˜ao para o zero de f usando o m´etodo da
secante e calculando as itera¸c˜oes at´e que |xn+1 − xn| < 10 −^3.
Solu¸c˜ao: n xn |xn+1 − xn| 0 x 0 = 1 x 1 = 3 1 0. 917283206 2. 082716794 2 0. 857764050 0. 059519156 3 0. 710454815 0. 147309235 4 0. 694528899 0. 015925917 5 0. 693159100 0. 001369798 6 0. 693147189 0. 000011912
Solu¸c˜ao: Usando a equa¸c˜ao 1.1, obtemos:
x 2 = x 0 − f (x 0 )(x 0 − x 1 ) f (x 0 ) − f (x 1 ) e^ x^3 =^ x^1 −^
f (x 1 )(x 1 − x 2 ) f (x 1 ) − f (x 2 )
Assim,
x 2 = 3 − f (3) · (3 − 2) f (3) − f (2) = 2.^4 ,^ x^3 = 2^ −
− 2 − (− 0 .24) = 2.^454545455.
Referˆencias
- Gerald, C. F.; Wheatley, P. O. (1994). Applied Numerical Analysis. 5th Edition. Addison- Wesley Publishing Company.
- Freitas, S. R. de (2000). M´etodos Num´ericos. Departamento de Computa¸c˜ao e Estat´stica, Universidade Federal de Mato Grosso do Sul.
