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24.- Dinámica impulsiva
del sólido rígido.
§24.1. Dinámica impulsiva del sólido rígido (697); §24.2. Percusión y percusión angular (697); §24.3. Ecuaciones fundamentales de la dinámica impulsiva (698); §24.4. Movimiento plano. Teorema del centro de percusión (700); §24.5. Percusiones sobre un sólido ligado (702); §24.6. Percusiones sobre un sólido con un punto fijo (703); §24.7. Percusiones sobre un sólido con un eje fijo (705); §24.8. Colisiones. Coeficiente de restitución (707); §24.9. Ecuación simbólica de la dinámica impulsiva (711); §24.10. Teorema de Carnot (712); Problemas (714)
§24.1. Dinámica impulsiva del sólido rígido.- En el transcurso de ciertos
procesos reales, tales como las colisiones, aparición o desaparición brusca de
ligaduras, explosiones, ..., se observan variaciones finitas de la velocidad durante
intervalos de tiempo infinitesimales o, al menos, difícilmente medibles, de actuación
de las fuerzas. A tales fuerzas las llamamos fuerzas impulsivas y sus efectos suelen
recibir el nombre de percusiones. La Dinámica Impulsiva del sólido rígido se interesa
tan sólo en los cambios de velocidad del sólido rígido sometido a las fuerzas
impulsivas, sin preocuparse del cálculo de la intensidad de dichas fuerzas, ni del
cálculo de los intervalos de tiempo de actuación de las mismas o de los desplaza-
mientos del cuerpo durante la actuación de las fuerzas impulsivas.
En la Lección 19 enunciábamos las dos Leyes del Movimiento Impulsivo de la
partícula; podemos aplicar esas leyes igualmente al Movimiento Impulsivo del sólido
rígido :
1. Cuando sobre un sólido rígido actúan simultáneamente las fuerzas
ordinarias y las fuerzas impulsivas, podemos despreciar las primeras durante
el tiempo de actuación de las segundas.
2. El sólido rígido no cambia de posición durante el tiempo de actuación de
las fuerzas impulsivas.
§24.2. Percusión y percusión angular.- Ya hemos definido en lecciones
anteriores (§7.7 y §12.3) los conceptos de impulsión (Π) y de impulsión angular (Λ)
de una fuerza. Esos conceptos, que son generales, se aplican fundamentalmente a las
fuerzas impulsivas. Tanto el uno como el otro pueden interpretarse como una medida
Manuel R. Ortega Girón 697
698 Lec. 24.- Dinámica impulsiva del sólido rígido.
de la efectividad de las fuerzas para modificar el estado de movimiento de traslación
(cantidad de movimiento) y de rotación (momento angular), respectivamente, del
cuerpo sobre el que actúan.
Consideremos un sólido rígido sobre el que actúa una
Figura 24.
fuerza impulsiva F , durante un intervalo de tiempo muy corto
Δ t (Figura 24.1). La impulsión que produce dicha fuerza du-
rante el tiempo que actúa suele recibir el nombre de percusión
(Π), y viene dada por
Π [24.1]
Δ t
0
F d t
donde Π es un vector deslizante a lo largo de la línea de
acción de la fuerza.
La impulsión angular que produce la fuerza F , respecto
a un punto, que o bien estará fijo en un referencial inercial o
será el centro de masa del cuerpo, suele recibir el nombre de percusión angular (Λ)
y está dada por
Λ [24.2]
Δ t
0
M d t
Δ t
0
r × F d t r ×
Δ t
0
F d t r × Π
donde r es el vector de posición del punto
Figura 24.
de aplicación de la fuerza respecto al ori-
gen considerado. Vemos que la percusión
angular (Λ) es sencillamente el momento
de la percusión (Π) respecto al origen de
momentos elegido.
Obviamente, un sistema de percusio-
nes actuando sobre un sólido rígido (Figu-
ra 24.2) constituye un sistema de vectores
deslizantes al que podemos aplicarle el
tratamiento general que ya hemos
estudiado en la Lección 2. Así, tendremos
conceptos tales como percusión
resultante , percusión angular resultante ,
sistemas de percusiones equivalentes , eje central del sistema de percusiones, ... cuyas
definiciones, por ser inmediatas, dejamos al cuidado del lector.
§24.3. Ecuaciones fundamentales de la dinámica impulsiva.- Considere-
mos un sólido rígido sometido a un sistema de percusiones; los teoremas del centro
de masa, de la cantidad de movimiento y del momento angular nos permiten
enunciar:
a 1 ) El centro de masa de un sólido rígido sometido a un sistema percusiones
se mueve como si sobre él actuase la resultante de todas las percusiones y
en él estuviese concentrada toda la masa del cuerpo.
lo que equivale a decir:
700 Lec. 24.- Dinámica impulsiva del sólido rígido.
Continua está implicado el método diferencial (diferencias infinitesimales); en la
Dinámica Impulsiva se opera por el método de diferencias finitas.
Por último, resaltaremos que el movimiento discontinuo, característico de la
Dinámica Impulsiva, entraña, en general, una disipación de energía. Deberemos tener
en cuenta esa disipación de energía cuando apliquemos el principio de conservación
de la energía a problemas de Dinámica Impulsiva, tales como los problemas de
choque, de explosiones, de desintegraciones, ...
§24.4. Movimiento plano. Teorema del centro de percusión.- Conside-
Figura 24.
remos un sólido rígido, inicialmente en reposo, al que se le aplica una percusión cuya
línea de acción pasa a una distancia h de su centro de masa (Figura 24.3 ). Como
acabamos de ver, podemos escribir
Π m v [24.9]
cm Λ^ I cm ω
o bien Π mv cm h Π I cm ω [24.10]
de modo que, eliminando Π entre estas dos expresiones,
[24.11]
v cm
I cm
m h
Se trata de un movimiento de rotación y traslación combinadas,
más concretamente de un movimiento plano. En un movimiento
de estas características siempre existe un punto "perteneciente" al cuerpo que se
encontrará instantáneamente en reposo. Sea O′ dicho punto; podemos encontrar fácil-
mente la distancia h ′ del punto O′ al c.d.m.. En efecto, puesto que
v [24.12]
O′ v cm ω h ′^0 ⇒^ h ′^
v cm
de modo que de [24.11] y [24.12] se sigue
h ′ [24.13]
I cm
m h
⇒ m h h ′ I cm ⇒ h h ′ K
2 cm
siendo K cm el radio de giro respecto a un eje perpendicular al plano del movimiento
y que pasa por el centro de masas.
Si suponemos que el cuerpo pueda girar alrededor de un eje que siendo perpen-
dicular al plano del papel pase por el punto O′, al aplicar la percusión en O no se
producirá reacción alguna en el eje, ya que éste no tiende a moverse. En estas
condiciones, el punto O recibe el nombre de centro de percusión respecto al punto
O′ y la expresión [24.13] constituye el T EOREMA DEL C ENTRO DE PERCUSIÓN, también
conocido como T EOREMA DE HUYGENS ( vide §21.7)
La distancia (λ) entre los puntos O y O′ es
λ h h ′ h [24.14]
I cm
mh
I cm mh^2
mh
I O
mh
I O′
mh ′
§24.4.- Movimiento plano. Teorema del centro de percusión. 701
que son las mismas expresiones que obtuvimos para la
Figura 24.
longitud reducida (λ) de un péndulo físico ( vide §21.7); esta
longitud nos permitió definir y localizar el llamado centro de
oscilación del péndulo físico. En el caso del péndulo físico, el
punto O′ es el centro de suspensión ; como ya sabemos, ambos
puntos son conjugados porque tienen la propiedad de
intercambiar entre sí sus papeles.
Cuando una fuerza impulsiva actúa sobre el centro de
percusión (O) con respecto a un punto O′, este punto no
presenta tendencia a moverse, de modo que si por O′ pasa un
eje alrededor del cual puede rotar el cuerpo, dicho eje no
experimenta reacción percusional alguna. Los jugadores de
béisbol saben bien que a menos que la pelota pegue justamen-
te en el sitio correcto del bate (el centro de percusión respecto del punto donde se
sujeta el bate), el impacto producirá una sensación molesta en sus muñecas y una
cierta imprecisión en el disparo. Las mismas consideraciones podemos hacer en el
manejo de algunas herramientas (martillo, pico, ...).
Ejemplo I.- Una varilla homogénea, que se encuentra en reposo sobre un
Figura 24.
tablero horizontal liso, recibe una percusión frontal Π cuya línea de acción pasa a una distancia h del centro de la varilla. Determinar el movimiento de la varilla si la percusión se aplica: i) en el centro de masa de la varilla; ii) en su extremo inferior.
Aplicamos las ec. fundamentales de la dinámica impulsiva:
Π mv cm Λcm h Π I cmω
ml^2 ω
de las que se sigue inmediatamente
Figura 24.
v cm
m
ω 12 h ml^2
12 h l^2
v cm
i) Para h =0, será ω=0, y la varilla tendrá un movi- miento de traslación pura.
ii) Para h = l /2, será
ω 12 l 2 ml^2
ml
v cm l
y la varilla posee un movimiento de rotación pura alrededor del punto O′ (Figura 24.6) que se encuentra a una distancia h ′ del centro de masa, dada por
mhh ′ I cm ⇒ h ′
ml^2
l 2
l 6
§24.5.- Percusiones sobre un sólido ligado. 703
Πeje mv cm Π 3 [4] 2
λ l
3 λ 2 l
i) Para λ = l /2 es Πeje ii) Para λ = l es
Π Πeje
b) De la expr. [4] se sigue que la reacción percusional en el eje será nula cuando la percusión Π se aplique a una distancia del eje dada por
3 λ [5] 2 l
1 0 ⇒ λ
l
i.e. , en el centro de percusión de la varilla con respecto al eje de suspensión.
Podemos obtener el mismo resultado [5] aplicando el teorema del centro de percusión, bien sea en su forma [24.13]:
mhh ′ I cm ⇒ h
I cm mh ′
ml^2
m l 2
l ⇒ λ h h ′ l 6
l 2
l
o en su forma [24.14]: (^) λ
I O′
mh ′
ml^2
m l 2
l
§24.6. Percusiones sobre un sólido con un punto fijo.- Consideremos un
Figura 24.
cuerpo rígido cuyo movimiento esté restringido de modo que uno de sus puntos, el
O, permanezca fijo en un cierto referencial. Se comprende que el cuerpo sólo podrá
girar en torno a un eje que pase por dicho punto O; la orientación de ese eje en el
espacio podrá ser cualquiera. Este sistema tiene tan sólo tres grados de libertad; dos
ángulos fijarán la orientación del eje en el espacio y un tercer ángulo determinará la
rotación del sólido respecto a dicho eje. Supongamos que sobre el sólido actúa un
sistema de percusiones Π i , con i = 1, 2, ... n. Las ecuaciones del movimiento impulsi-
vo se escriben en la forma
i [24.16]
Π i Π ˜ m Δ v cm
i
Λ i Λ ˜ II Δω
donde Π ˜ es la reacción percusional en el punto fijo O
y Λ ˜ es la correspondiente percusión angular.
Llamaremos Π = Π i y Λ = Λ i a la resultante y
al momento resultante de las percusiones activas y
tomaremos el punto O como centro de reducción (de
modo que será Λ ˜ =0). Además, para simplificar,
supondremos que los ejes coordenados xyz son los ejes
704 Lec. 24.- Dinámica impulsiva del sólido rígido.
principales de inercia del sólido en el punto O, de modo que la matriz de inercia es
diagonal en dicho punto. Entonces, teniendo en cuenta que
v cm ω × r cm
ω x
ω y
ω z
×
x cm
y cm
z cm
z cmω y y cmω z
x cmω z z cmω x
y cmω x x cmω y
las ec. [24.16] quedan en la forma
(a) [24.17]
Π x Π ˜x mz cmΔω y my cmΔω z
Π y Π ˜y mx cmΔω z mz cmΔω x
Π z Π ˜z my cmΔω x mx cmΔω y
(b)
Λ x I xx Δω x
Λ y I yy Δω y
Λ z I zz Δω z
esto es, seis ecuaciones escalares, de las que sólo las tres de [24.17b] son indepen-
dientes de las reacciones percusionales y representan, por tanto, las ecuaciones del
movimiento correspondientes a los tres grados de libertad del sistema. La resolución
de este sistema de ec. nos permitirá determinar las componentes Δω x , Δω y y Δω z del
cambio impulsivo que experimenta la velocidad angular del sólido. Entonces, las
componentes de la reacción percusional en O se calcularán a partir de las tres ecua-
ciones de [24.17a]^.
Figura 24.
Ejemplo III.- Una peonza simétrica está constituida por un disco homogéneo, de masa m y radio R , unido a un eje ligero que mantiene fijo su extremo inferior, como se ilustra en la figura. Inicialmente, la peonza está en rotación, con una velocidad angular ω, manteniendo su eje vertical. Aplicamos una percusión horizontal en el eje de la peonza, a la mitad de la distancia entre el extremo fijo del eje y el disco. a) Analizar el movimiento impulsivo de la peonza. b) Determinar la reacción percusional en el apoyo del eje. a) Puesto que nos encontramos exactamente en la situación descrita
Figura 24.
anteriormente, aplicaremos directamente las ec. [24.17b]:
Λ x I (^) xx Δω x l 2
Λ y I (^) yy Δω y 0
Λ z I (^) zz Δω z 0
Δω x l 2 I (^) xx
Δω y 0
Δω z 0
con I (^) xx
mR^2 ml^2
de modo que, finalmente, la peonza precesa alrededor del eje vertical que pasa por el punto de apoyo del eje, como se ilustra en la Figu- ra 24.10. b) Podemos determinar la reacción percusional en el apoyo a partir de las ec. [24.17a]:
706 Lec. 24.- Dinámica impulsiva del sólido rígido.
puede resolverse teniendo en cuenta el sentido de la componente Π z de la resultante
de las percusiones aplicadas y el tipo de apoyos del eje.
Podemos determinar ahora las condiciones que debe cumplir una percusión
aplicada al sólido para que el eje de rotación no sufra reacciones percusionales en sus
apoyos. Para ello, anularemos todas las componentes de las reacciones percusionales
en las ecuaciones [24.20] , con lo que nos quedará
(a) [24.21]
Π x my cm Δω
Π y mx cm Δω
Π z 0
(b)
Λ x Ixz Δω
Λ y Iyz Δω
Λ z Izz Δω
1ª condición.- La percusión debe ser perpendicular al eje, aunque no concu-
rrente con él.
En efecto, esta condición es consecuencia de la tercera ec. de [24.21a], ya que la percusión Π no deberá tener componente a lo largo del eje.
En lo que sigue, consideraremos que la percusión aplicada, Π, es perpendicular
al plano xz ( y =0), de modo que las ec. [24.21] se convierten en
(a) [24.22]
Π x my cm Δω 0
Π y mx cm Δω
Π z 0
(b)
Λ x Ixz Δω 0
Λ y Iyz Δω 0
Λ z Izz Δω
2ª condición.- El centro de masa debe encontrarse fuera del eje fijo, en un
plano que pase por el eje fijo y que sea perpendicular a la percusión.
En efecto, si el centro de masa se encontrase sobre el eje de
Figura 24.
rotación fijo, sus coordenadas serían (0,0, z cm ), por lo que las tres ecuaciones [24.22a] exigirían que Π x = Π y = Π z = 0 (ausencia de percusión aplicada). Además, de la primera ec. [24.22a] se sigue que y cm =0, por lo que el centro de masa debe encontrarse en el plano y =0, como se ilustra en la Figura 24.12.
3ª condición.- El eje de rotación fijo deberá ser
un eje principal de inercia en O1.
En efecto, de las dos primeras ec. [24.22b] se sigue I (^) xz =0 y Iyz =0, por lo que el eje z (eje de rotación) debe ser un eje principal de inercia.
4ª condición.- La percusión deberá aplicarse en
el centro de percusión del sólido con respecto al
eje fijo de rotación.
Como ya sabemos, se denomina centro de percusión al punto donde debe
aplicarse la percusión Π para que no existan reacciones percusionales en los apoyos
del eje. Determinaremos, a continuación, las coordenadas del centro de percusión (P,
en la Figura 24.12 ).
De la segunda ec. [24.22a] y de la tercera ec. [24.22b] se sigue
Π Π [24.23]
y m x cm Δω^ Λ z x P Π^ I^ zz Δω
de las que se deduce la distancia x P de la línea de acción de la percusión Π al eje de
rotación fijo; i.e. ,
§24.7.- Percusiones sobre un sólido con un eje fijo. 707
x [24.24]
p
I zz
m x cm
o bien m x cm x P I zz
Obsérvese que esta expresión es la misma ec. [24.?] que obtuvimos con anterioridad
con un razonamiento simplificado. Por consiguiente, la 4ª condición no es más que
el TEOREMA DEL CENTRO DE P ERCUSIÓN.
§24.8. Colisiones. Coeficiente de restitución.- Consideremos dos sólidos
libres (no ligados) que se mueven de una forma cualquiera. En el instante en que
chocan entre sí, se ponen en contacto y aparecen entre ellos sendas percusiones
iguales y opuestas que dan lugar a un cambio brusco en el estado de movimiento de
cada uno de los sólidos. En general, los sólidos se separan después de la colisión,
continuando con movimiento libre.
En la Figura 24.13 hemos representado dos
Figura 24.
sólidos en el instante en que chocan, poniéndose
en contacto los puntos A 1 y A 2 pertenecientes
respectivamente a cada uno de ellos. Elegiremos
unos ejes coordenados en la forma en que se
indica en la figura: el origen en el punto de
contacto A 1 ≡A 2 (coinciden en el mismo punto
del espacio), los eje y y z contenidos en el plano
tangente común a ambos sólidos en dicho punto
y el eje x perpendicular a dicho plano.
Supongamos que conocemos las magnitudes
referentes a la geometría de masas de ambos cuerpos, así como sus posiciones y
velocidades (de traslación y rotación) justamente antes del choque. Nuestro propósito
es determinar el estado de movimiento de cada sólido justamente después del choque,
así como la magnitud de la percusión de choque.
Si llamamos Π a la percusión de choque que actúa sobre en cuerpo 2, en virtud
del principio de acción-reacción, la percusión de choque que actúa sobre el cuerpo
1 será -Π. Así, aplicando la primera ec. fundamental de la dinámica impulsiva a cada
uno de los dos cuerpos tendremos
Π m [24.25]
1 ( v cm,1^ v cm,1^ )^ Π^ m 2 ( v cm,2^ v cm,2^ )
y, tomando momentos con respecto a los centros de masa, G 1 y G 2 , de los cuerpos
respectivos, escribiremos
r [24.26]
1 ×^ Π^ II 1 (^ ω^1 ω^1 )^ r 2 ×^ Π^ II 2 (^ ω^2 ω^2 )
Las expr. [24.25] y [24.26] constituyen un sistema de 12 ecuaciones escalares con
15 incógnitas: tres componentes para cada una de las magnitudes v
cm,1,^ v
cm,2,^ ω
1 ,^ ω
2
y Π. Obviamente necesitamos más información acerca de las características del
choque para poder resolver el problema.
En primer lugar, observaremos que si las superficies de los cuerpos colisionantes
son lisas, sin rozamiento, la percusión de choque (Π) será perpendicular al plano
§24.8.- Colisiones. Coeficiente de restitución. 709
Por otra parte, de la definición del coeficiente de
Figura 24.
restitución,
e
v A v 0
⇒ v A e v 0
siendo v A la velocidad del punto A de la varilla inme- diatamente después del choque y que está relacionada con la velocidad v cm del centro de masa y con la veloci- dad angular ω; esto es,
v A v cm ω l [3] 4
e v 0
Resolviendo el sistema de dos ecuaciones [2]-[3] con respecto de las incógnitas v cm y ω se obtiene
v cm^3 4 e [4] 7
v 0 ω
(1 e )
v 0 l
como el lector comprobará fácilmente.
b) De la primera ecuación de [1], sustituyendo el valor de v cm , se sigue
Π m ( v 0 v cm ) ...
(1 e ) mv 0
c) Calculamos los momentos angulares antes ( L -^ ) y después ( L +^ ) del choque en el punto A:
[5]
L mv 0 l 4
L mv cm l 4
ml^2 ω m 3 4 e 7
v 0 l 4
ml^2
(1 e )
v 0 l
... mv 0 l 4
de modo que Δ L = L +^ - L -^ = 0, con independencia del valor del coeficiente de restitución.
d) Las energía cinéticas justamente antes y después del choque son
[6]
E k
mv 2 0
E k
mv 2 cm
ml^2 ω^2
de modo que, sustituyendo los resultados [4], tenemos
E k
m
3 4 e 7
2 v 2 0
ml^2
(1 e ) 2
v 2 0 l^2
mv 2 0
4 e^2 7
4 e^2 7
E k
o sea Δ E k E k E k [7]
(1 e^2 ) E k ≤ 0
ya que e ≤1, por lo que siempre habrá pérdida de energía cinética, salvo en el caso particular en que la colisión sea perfectamente elástica ( e =1).
e) Si ponemos e =0 en las expresiones [4], obtenemos
v cm
v 0 ω
v 0 l
710 Lec. 24.- Dinámica impulsiva del sólido rígido.
verificándose
Figura 24.
v cm ω l 4
como es obvio, ya que la varilla queda fijada instantá- neamente en el punto A y rota alrededor de dicho punto (Figura 24.15 arriba). La reacción percusional en A será
mv 0
f) Si ponemos e =1 (choque perfectamente elástico), serán
v cm
v 0 ω
v 0 l
y la situación después del choque es la que se ilustra en la Figura 24.15 (abajo).
La reacción percusional en A será
mv 0
Ejemplo V.- Cuando abandonamos la varilla (Figura 24.16) desde la posición horizontal, al llegar
Figura 24.
a la posición vertical colisiona elásticamente contra el bloque de masa m. a) Determinar la velocidad angular de la varilla y la velocidad del bloque inmediatamente después de la colisión. b) Determinar la reacción percusional en el eje de suspensión de la varilla.
Calcularemos el momento de inercia de la varilla con respecto al eje de suspensión:
I O
(3 m ) l^2 ml^2
Aplicando el Principio de Conservación de la Energía en las posiciones horizontal y vertical, obtenemos la velocidad angular de la varilla, ω 0 , justamente antes de la colisión:
3 mg l 2
I Oω 0
ml^2 ω 0
o sea (^) ω 0
3 g l
a) Las percusiones que actúan sobre la varilla y sobre el bloque son las indicadas en la Figura 24.16. En consecuencia, tomando momentos con respecto al eje, el momento percusional es nulo y el momento angular del sistema (varilla+bloque) se conserva:
I Oω 0 I Oω mvl [1]
donde ω y v son la velocidad angular de la varilla y la velocidad del bloque, respectivamente, justamente después de la colisión.
712 Lec. 24.- Dinámica impulsiva del sólido rígido.
En el caso ordinario de que las ligaduras sean bilaterales (reversibles), las
percusiones de ligadura serán normales a los desplazamientos que permiten, i.e. ,
Π^ ˜
i ⊥δ r i , por lo que el^ trabajo virtual
1 correspondiente será nulo y, en consecuencia,
también lo será el segundo sumatorio de la expr. [24.30] , de modo que podemos
escribir
[24.31] i
[Π i m i Δ v i ] δ r i 0
conocida como ecuación simbólica de la dinámica impulsiva.
§24.10. Teorema de Carnot.- Consideremos un sistema material cuyo movi-
miento está condicionado por ligaduras independientes del tiempo (esclerónomas).
Supongamos que, en un instante dado, se introducen bruscamente nuevas ligaduras.
Puesto que sobre el sistema tan sólo actúan percusiones de ligadura, la ecuación
simbólica de la dinámica impulsiva [24.31] se reduce a
[24.32] i
m i Δ v i δ r i 0
En la que los desplazamientos virtuales δ r i deberán ser compatibles con todas las
ligaduras, tanto las iniciales como las nuevas.
Podemos considerar los δ r i como los desplazamientos realmente experimentados
por las partículas del sistema inmediatamente después de las percusiones de ligadura;
obviamente, estos desplazamientos serán proporcionales a las respectivas velocidades
de las partículas inmediatamente después de dicha percusiones, i.e. ,
δ r [24.33]
i v^ i^ δ^ t
de modo que podemos sustituir los δ r i por las v i^ +^ en la expr. [24.32] ;
[24.34] i
m i ( v i v i ) v i 0
o sea [24.35]
i
m iv
2 i i
m i v i v i
Por otra parte,
[24.36] i
m i ( v i v i ) 2
i
m iv
2 i i
m iv
2
i^2
i
m i v i v i
en la que sustituiremos la expr. [24.35] para obtener
[24.37] i
m i ( v i v i ) 2
i
m iv
2 i i
m iv
2 i
(^1) Obsérvese que los términos de la expr. [24.30] no son trabajos virtuales , sino acciones ( i.e. ,
trabajo × tiempo).
§24.10.- Teorema de Carnot. 713
que escribiremos en una forma más conveniente
[24.38] i
m iv
2 i i
m iv
2 i i
m i ( v i v i ) 2
que expresaremos en forma simbólica
E ( ) [24.39]
k E^
( )
k E^
(p) k
y que constituye el
TEOREMA DE CARNOT^2 .- Cuando en un sistema material rígido en movi-
miento se introducen bruscamente nuevas ligaduras persistentes, se producen
reacciones percusionales que determinan una disminución de su energía ciné-
tica, cuyo valor es igual a la energía cinética que poseería el sistema si sus
puntos se moviesen con las velocidades perdidas.
Ejemplo VI.- Acoplamiento de discos.- Un disco homogéneo, de masa m y radio r , está girando
Figura 24.
libremente alrededor de su eje con una velocidad angular ω 0. Un segundo disco, cuyo eje es parale-
lo al del primero, también homogéneo, de masa 4 m y radio 2 r , se encuentra inicialmente en reposo. Acercamos el segundo disco al primero, manteniendo los eje paralelos entre sí, de modo que se ponen en contacto por sus bordes; entonces, el mayor comienza a girar y el pequeño se frena. De- terminar las velocidades angulares de ambos discos cuando acoplen sus velocidades, dejando de resbalar, uno con respecto a otro, en el punto de contacto.
Los momentos de inercia del disco pequeño ( I p ) y del disco grande ( I g) con respecto a sus ejes respectivos son:
I p
mr^2 I g
(4 m ) (2 r ) 2 8 mr^2
de modo que I g 16 I p [1]
La energía cinética perdida por el sistema es
1 2
I p (ω^20 ω^2 )
I g (0 Ω^2 )
y la energía debida a las velocidades perdidas es
I p (ω 0 ω ) 2
I g (0 Ω ) 2
de modo que aplicando el teorema de Carnot resulta
[2]
I p (ω^20 ω^2 )
I g (0 Ω^2 )
I p (ω 0 ω ) 2
I g (0 Ω ) 2
que, después de algunas operaciones y teniendo en cuenta [1], se reduce a
(^2) Lazare C ARNOT (1753-1823); matemático francés.
Problemas 715
dicular al plano deter-
Prob. 24.
minado por la varilla y el eje. Supongamos que la colisión sea perfecta- mente elástica. a) Ana- lizar el movimiento del proyectil y de la varilla justamente después de la colisión en función de valor del parámetro l (distancia del punto de impacto al eje de suspensión de la vari- lla). b) Ídem la percu- sión suministrada por el eje. ¿Para que valor de l no se produce reacción percusiva en el eje?
24.6.- Repetir el Problema 24.5 para el caso en que la colisión sea parcialmente elástica; i.e. , caracterizada por un coeficiente de restitución 0< e <1. i) Particularizar los resultados para la colisión perfectamente elástica. ii) Ídem completamente inelástica.
24.7.- Un proyectil, de masa m , colisiona
Prob. 24.
elásticamente con una barra homogénea, de masa M y longitud L , que puede girar alrede- dor de un eje fijo horizontal que pasa por uno de sus extremos. El proyectil incide sobre el centro de masa de la barra, en una dirección que forma un ángulo θ 0 con la horizontal, como se ilustra en la figura. Supongamos despreciable el roza- miento entre el proyec- til y la barra. a) Deter- minar el movimiento del proyectil y de la barra un instante des- pués de la colisión. b) Determinar la percu- sión en el eje.
24.8.- Repetir el Pro- blema 24.7 en el su- puesto de que el pro- yectil quede incrustado en la barra.
24.9.- Repetir el Problema 24.7 en el supuesto de que la barra se encontrase inicialmente en reposo sobre un plano horizontal, sin más ligadura que la impuesta por dicho plano.
24.10.- Una varilla homogénea, de masa m y
Prob. 24.
longitud l cae desde una cierta altura. En el instante en el que uno de sus extremos toca el suelo, la varilla forma un ángulo de 60° con el mismo, su centro de masa tiene una velocidad v y está rotando con una velocidad angular ω,
c o m o s e ilustra en la figura. Su- p o n g a m o s que la coli- s i ó n s e a perfectamente e l á s t i c a. a ) D e t e r - m i n a r l a s nuevas velo- cidades de traslación y de rotación de la varilla después del choque. b) Calcular la percusión sobre el suelo.
24.11.- Una viga uniforme, de longitud 2 l y
Prob. 24.
masa m , está sostenida horizontalmente por dos apoyos, A y B, a una distancia x del centro G de la viga. Determinar la distancia x para que, al suprimirse súbitamente uno de los apoyos, no varíe en ese instante la reacción en el otro.
24.12.- Una varilla
Prob. 24.
AB, de longitud l , está sujeta al techo, en posición horizontal, en la forma que se indi- ca en la figura, mediante unos hilos ligeros. Un hilo DA, ligero, de longitud 2 h , está unido al techo y a un extremo de la varilla. En un ins- tante dado se rompe el hilo de suspensión en C. Analizar el movimiento impulsivo de la varilla cuando se tensa el hilo DA.
24.13.- Una varilla homogénea, de masa m y longitud l , está girando con velocidad angular constante ω alrededor de un eje fijo perpen- dicular a la varilla y que pasa por uno de sus extremos. En un instante dado, la varilla se separa del eje. Determinar el movimiento de la varilla ( i.e. , la velocidad de su centro de masa y la velocidad angular de la varilla) un momento después de que abandone al eje.
24.14.- Un bloque homogéneo de forma pris- mática, de sección cuadrada de lado l , desliza sobre un plano horizontal liso con velocidad v. Cuando choca contra el tope O que se indica
716 Lec. 24.- Dinámica impulsiva del sólido rígido.
en la figura,
Prob. 24.
gira alrededor de él. Calcular: (a) La veloci- dad angular con que se iniciará el giro; (b) el valor mínimo de la velocidad v del bloque para que se produzca el vuelco de éste, sobrepasando al tope.
24.15.- Un rodillo sólido, de masa m y radio r ,
Prob. 24.
rueda sin resbalar sobre un plano horizontal y colisiona inelásticamente contra una obstruc- ción sólida, de altura h < r. Durante el breví- simo intervalo de tiempo que dura la colisión, en el punto O del rodillo actúa una percusión definida por sus componentes Π x y Π y , como se indica en la figura, y tiene lugar un cambio sustancial en el movimiento del rodillo. Supon- dremos que existe suficiente fricción para que no haya resbalamiento en O, de modo que este punto será el nuevo centro instantáneo de rotación. a) Calcular la velocidad del c.m. del rodillo y la velocidad angular de éste un instante después de la colisión, así como las componentes Π x y Π y de la percusión. b) De- terminar la altura mínima de la obstrucción para que el rodillo no la sobrepase.
24.16.- Jugando al billar I. Una bola de bi- llar, que se encuentra inicialmente en reposo sobre la mesa, recibe un golpe de taco de modo que la línea de acción del impulso está contenida en el plano vertical que pasa por el centro de la bola, es paralela a la superficie de la mesa y está situada a una distancia h del centro de la bola. Como consecuencia de ese impulso, la bola sale lanzada hacia adelante con una velocidad v 0 y, debido a su "efecto", posteriormente adquiere una velocidad v. Sea R el radio de la bola. a) Demostrar que
v
h R
1 v 0
b) Demostrar que si queremos conseguir que la bola ruede sin resbalar sobre el tablero desde el mismo momento en que recibe el nombre el impulso, la línea de acción de éste debe estar situada a una distancia h = 2 R /5 por encima del centro de la bola. c) Demostrar que el "efecto" será hacia adelante o hacia atrás según que h sea mayor o menor que 2 R /5. d) Demos- trar que es imposible, con el "efecto de retroceso", dar a la bola una velocidad de re- troceso a menos que el impulso tenga una componente vertical hacia abajo.
24.17.- Jugando al
Prob. 24.
billar II. ¿Cuál será la altura ópti- ma de la banda de una mesa de billar? ¿En base a qué será ó p t i m a d i c h a altura? Explíquese.
24.18.- Jugando al billar III. Una bola de
Prob. 24.
billar de radio r , que se encuentra en reposo sobre la mesa, recibe una percusión horizontal a una altura r /3 sobre el tablero, a consecuen- cia de la cual ad- quiere una velo- cidad v 0. (a) Cal- cular la velocidad angular inicial de r o t a c i ó n ω 0. (b) La velocidad de la bola cuando deje de resbalar y simplemente rue- de.
24.19.- Jugando al billar IV. Una bola de billar recibe un golpe de taco de tal modo que adquiere un "efecto" caracterizado por una velocidad angular Ω alrededor de un eje verti- cal que pasa por su centro, al tiempo que rueda sobre el paño de la mesa, hasta que choca perpendicularmente con una de las ban- das de ésta. a) Describir el movimiento de la bola después de chocar con la banda. b) Cal- cular el ángulo de rebote, suponiendo que el choque con la banda sea perfectamente elástico y que la bola pierda todo su "efecto" durante el mismo.
24.20.- Una pelota de tenis, de radio R , está animada de un movimiento de rotación con una velocidad ω 0 alrededor de un diámetro horizontal, y cae verticalmente sobre un suelo muy rugoso. Un instante antes del choque con el suelo, la velocidad vertical de la pelota es v 0. Supongamos que el choque sea imperfecta- mente elástico con un coeficiente de restitu- ción e. Describir detalladamente el movimiento
