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22.- Trabajo y energía en el movimiento
general del sólido rígido.
§22.1. Energía cinética del sólido rígido (655); §22.2. Energía cinética de rotación (657); §22.3. Eje instantáneo de rotación y deslizamiento (660); §22.4. Rodadura (661); §22.5. Resistencia a la rodadura (663); §22.6. Expresión del trabajo (666); §22.7. Teorema de la energía cinética (667); §22.8. Conservación de la energía (668); Problemas (672)
§22.1. Energía cinética del sólido rígido.- Entendemos por energía cinética
del sólido rígido la suma de las energía cinéticas del todas las partículas que lo
constituyen. Como ya sabemos, la energía cinética es una magnitud física escalar
relativa al observador en el referencial fijo XYZ.
Quedó demostrado en la Lección 5 ( Cinemática del sólido rígido ) que el
movimiento más general del sólido rígido puede reducirse a una rotación de
velocidad angular ω con respecto a un eje que pasa por un punto arbitrario o , más
una traslación cuya velocidad v o es la correspondiente a dicho punto. Así, la veloci-
dad, en el referencial fijo, de un punto genérico P i del sólido viene dada por
Figura 22.
v [22.1]
i v^ o ω^ ×^ r^ i
donde r i = oP i es el vector de posición
del punto genérico P i respecto del
punto arbitrario o perteneciente al
sólido.
Si consideramos una partícula
genérica de las que constituyen el cuer-
po, digamos la partícula i -ésima ( Figu-
ra 22.1), su energía cinética en el refe-
rencial fijo XYZ es
E [22.2]
k, i
m i v
2 i
Manuel R. Ortega Girón 655
656 Lec. 22.- Trabajo y energía en el movimiento general del sólido rígido.
de modo que la energía cinética total del cuerpo E k , teniendo en cuenta la relación
[22.1] , es
E [22.3]
k i
m i v
2 i
2 i
m i ( v o ω × r i )^2
y desarrollando
E [22.4]
k
2 i
m i v
2 o
2 i
m i (ω × r i )^2
i
m i v o (ω × r i )
y puesto que ni v o ni ω son propias de la partícula i -ésima, podemos escribir
E k [22.5]
mv
2 o
2 i
m i (ω × r i )^2 ( v o × ω )
i
m i r i
donde m es la masa del cuerpo. Esta es la expresión general de la energía cinética del
sólido rígido y es válida cualquiera que sea el punto o perteneciente al sólido con
respecto al cual se mide r i.
En la expresión [22.5] vemos que la energía cinética del sólido rígido, medida en
el referencial fijo XYZ , puede separarse en tres partes.
El primer término corresponde a la energía cinética asociada con el movimiento
del punto o , como si en dicho punto estuviese concentrada toda la masa del cuerpo.
El segundo término representa la energía cinética del sólido rígido asociada con
su movimiento con respecto al punto o perteneciente al mismo, ya que ω × r i =
v i - v o.
El tercer término no tiene una interpretación tan fácil como los dos anteriores e
interesa anularlo mediante una elección conveniente del punto o del sólido respecto
al que se mide r i. Esto será posible en los tres casos siguientes:
a) Si elegimos el punto o coincidiendo con el centro de masa del sólido
rígido, ya que entonces se anulará el sumatorio.
Esto es, por representar la posición del centro de masa de un cuerpo en el referencial i
m (^) i r (^) i 0
que tiene su origen, precisamente, en dicho centro de masa.
b) Si elegimos el punto o de modo que su velocidad sea nula en el
referencial inercial ( XYZ ); en estas condiciones también será nulo el primer
término de la expresión [22.5].
Esta elección será evidente cuando el sólido rígido esté girando alrededor de un eje fijo respecto al sólido y que mantiene fijo al menos uno de sus puntos en el referencial inercial XYZ.
c) Si elegimos el punto o de tal modo que su velocidad sea paralela al vector
de velocidad angular ω; i.e. , si el punto o está situado sobre el eje
instantáneo de rotación y deslizamiento.
En cualquiera de los tres casos anteriores se consigue una simplificación
considerable. Concretando al caso en que o ≡ CM, tenemos
658 Lec. 22.- Trabajo y energía en el movimiento general del sólido rígido.
Resulta muy conveniente expresar la energía cinética de rotación en función de
los momentos y productos de inercia del sólido rígido en un referencial móvil, xyz ,
ligado al cuerpo, al que llamaremos referencial solidario ( Figura 22.2 ). Poniendo v i ′ =
v i - v cm = ω × r i , dicha energía puede expresarse en la forma
E k,r [22.9]
2 i
m i v ′ i (ω × r i )
que, permutando los vectores del producto mixto, se convierte en
E k,r [22.10]
2 i
( m i r i × v ′ i )
Se comprende fácilmente que la suma corresponde al momento angular del cuer-
po respecto al origen o del referencial móvil, de modo que
E [22.11]
k,r
ω L ⇒ E k,r
ω II ω
Haciendo las operaciones indicadas en la expresión anterior, tenemos
E k,r
ω II ω
ω x ω y ω z
I xx I xy I xz
I yx I yy I yz
I zx I zy I zz
ω x
ω y
ω z
1 [22.12]
I xx ω
2 x
I yy ω
2 y
I zz ω
2
z I^ xy ω^ x ω^ y I^ yz ω^ y ω^ z I^ zx ω^ z ω^ x
que es la expresión de la energía cinética de rotación.
Si utilizamos el sistema de ejes principales de inercia ligado al cuerpo
(Figura 22.4 ), la expresión anterior toma una forma más sencilla
E [22.13]
k,r
I 1 ω
2 1
I 2 ω
2 2
I 3 ω
2 3
Obsérvese que podemos obtener las componentes del momento angular a partir de las expresiones [22.12] o [22.13] de la energía cinética; esto es,
L [22.14]
x
∂ E k,r ∂ω (^) x
L (^) y
∂ E k,r ∂ω (^) y
L (^) z
∂ E k,r ∂ω (^) z
o bien L 1 [22.15]
∂ E k,r ∂ω 1
L 2
∂ E k,r ∂ω 2
L 3
∂ E k,r ∂ω 3
En todo caso, siempre podemos encontrar una expresión más simple que la [22.12]
o la [22.13] para la energía cinética de rotación. Nos bastará considerar el versor e en
la dirección de la velocidad angular ω, de modo que
§22.2.- Energía cinética de rotación. 659
ω ω e [22.16]
y entonces la expresión [22.11] puede escribirse en una forma que, sin duda, nos
resultará más familiar
E [22.17]
k,r
ω^2
e II e
I ω^2
ya que I = e II e , como ya vimos en §16.10 (expr. [16.69]), siendo I el momento de
inercia del sólido rígido respecto al eje de rotación, sea éste principal o no.
Podemos deducir la expresión [22.17] de un modo más
Figura 22.
elemental y rápido sin más que sumar las energías cinéticas de todas la partículas del sólido rígido dotado de una rotación pura con una velocidad angular ω alrededor de un eje (Figura 22.3). En efecto,
[22.18] E k,r
N
i 1
m (^) i v 2 i
N
i 1
m (^) i δ 2 i ω
I ω^2
ya que mi δ i^2 , donde δ i es la distancia de la partícula i -ésima al eje, es el momento de inercia del sólido con respecto a dicho eje.
La expresión [22.17] de la energía cinética de rotación
es análoga a la expresión de la energía cinética de una
partícula, mv^2 /2. Ya sabemos que la velocidad angular ω
es análoga a la velocidad v ; ahora vemos que el momento de inercia es análogo a la
masa m. Como la masa representa la resistencia o inercia del cuerpo a los cambios
de movimiento (de traslación), el significado físico del momento de inercia queda
bien claro: el momento de inercia de un cuerpo con respecto a un eje dado representa
la resistencia o inercia del cuerpo a los cambios de movimiento (de rotación) en torno
a dicho eje. Notemos que en tanto que la masa es una constante característica del
cuerpo, el momento de inercia depende del eje considerado.
El momento angular del sólido rígido, en el
Figura 22.
sistema de ejes principales ligado al cuerpo ( Figu-
ra 22.4), viene dado por
L II ω [22.19]
I 1 ω 1
I 2 ω 2
I 3 ω 3
e 1 e 2 e 3
donde ( e 1 , e 2 , e 3 ) son los versores en las direcciones
de los ejes principales y (ω 1 , ω 2 , ω 3 ) son las
componentes de ω en las direcciones de dichos
ejes. Así pues, tenemos que
L [22.20]
1 I 1 ω 1 L 2 I 2 ω 2 L 3 I 3 ω 3
§22.3.- Eje instantáneo de rotación y deslizamiento. 661
Obsérvese que los puntos del eje instantáneo de rotación tienen, en lo que respecta
a la energía cinética, propiedades idénticas a las del centro de masa del cuerpo, pero
nótese también que, a diferencia del centro de masa, los puntos del eje instantáneo
de rotación no son siempre los mismos.
Si el invariante escalar es nulo, o sea ω v i = 0, sin ser nulo ω, entonces deberá
ser v i ⊥ ω de modo que cada partícula del cuerpo se moverá en un plano
perpendicular al eje instantáneo de rotación (o sea al vector ω). Como para los puntos
del eje instantáneo de rotación debe ser, además, v i ω, la velocidad de dichos
puntos deberá ser nula. Por consiguiente, el sólido pasará en cada instante por un
estado de rotación pura, con velocidad angular ω, alrededor del eje instantáneo de
rotación, pero sin que exista (en este caso) deslizamiento a lo largo de dicho eje. Este
movimiento se denomina movimiento de rodadura , y en él los puntos del eje
instantáneo de rotación se encuentran "instantáneamente" en reposo en el referencial
fijo.
§22.4. Rodadura.- En el caso de que el movimiento del cuerpo sea una
rodadura , será nulo el primer término del segundo miembro de [22.23] (al no existir
deslizamiento a lo largo del eje instantáneo de rotación), de modo que
la energía cinética del sólido rígido corresponderá a la energía cinética de
una rotación pura alrededor del eje instantáneo de rotación (sin desliza-
miento).
Dicho eje se encontrará instantáneamente en reposo en el referencial fijo; i.e. ,
E [22.24]
k E k,r
2 i
m i (ω × r i )^2
que es la misma ec. [22.8] establecida anteriormente. Obviamente, esta energía cinética
de rotación puede expresarse en función del momento de inercia del cuerpo respecto
al eje instantáneo de rotación y obtendremos de nuevo la expr. [22.17], que es válida
para cualquier eje de rotación. Esto es
E k E k,r [22.25]
I oω^2
donde el subíndice o indica que estamos considerando un eje de rotación que pasa
por el punto o.
Podemos completar el enunciado del T EOREMA DE KŒNIGS:
el movimiento de rodadura, los efectos combinados de la traslación del
centro de masa y de la rotación en torno a un eje que pasa por él son
equivalentes a una rotación pura, con la misma velocidad angular, alrededor
del eje instantáneo de rotación.
Ilustraremos los resultados anteriores con un ejemplo sencillo: el de un cilindro que rueda sobre una superficie plana.
Destacaremos, en primer lugar, que la condición de "rodar" impone unas determinadas relacio- nes cinemáticas entre el movimiento lineal y el movimiento angular del móvil. La Figura 22. muestra un cilindro que rueda sobre una superficie horizontal. Cuando el cilindro gira un cierto
662 Lec. 22.- Trabajo y energía en el movimiento general del sólido rígido.
ángulo θ, el centro del mismo experimenta un desplaza-
Figura 22.
miento x ; la relación existente entre estas dos magnitu- des es
x θ R [22.26]
siendo R el radio del cilindro. A partir de esta relación encontramos fácilmente, por derivación respecto del tiempo, la relación existente entre la velocidad del centro del cilindro y la velocidad angular
v ω R [22.27]
Una segunda derivación nos permite relacionar la aceleración lineal del centro del cilindro con la aceleración angular;
a α R [22.28]
La condición de rodadura significa que, en un
Figura 22.
instante cualquiera, los puntos del cilindro que están en contacto con la superficie se encuentran momen- táneamente en reposo. Dichos puntos determinan el eje instantáneo de rotación pura del cilindro. Los demás puntos del cilindro tendrán en ese instante una cierta velocidad, perpendicular al eje instantá- neo de rotación y a la línea que une dicha partícula con dicho eje y de módulo proporcional a dicha distancia. Esto equivale a decir que el cilindro está girando en cada instante alrededor de la generatriz del cilindro que está en contacto con la superficie, con una cierta velocidad angular ω. Por consiguien- te, en un instante dado, el movimiento del cilindro equivale a una rotación pura, y su energía cinética será
E k^1 [22.29] 2
I oω^2
donde I o representa el momento de inercia del cilindro con respecto al eje de rotación instantáneo.
El teorema de Steiner nos permite escribir
I [22.30]
o I cm mR^
2
siendo I cm el momento de inercia del cilindro, de masa m y radio R , con respecto a un eje paralelo al eje instantáneo de rotación pura y que pasa por el centro de masa del cuerpo. Entonces la ec. [22.29] puede ponerse en la forma
E k^1 [22.31] 2
I cmω^2
mR^2 ω^2
Pero la cantidad ω R es la velocidad v cm de traslación del centro de masa del cilindro, de modo que
E [22.32]
k
I cmω^2
mv 2 cm
Podemos interpretar la expr. [22.32], que fue obtenida partiendo de un movimiento de rotación pura, analizando separadamente el significado de cada uno de los términos: el primero, ½ I cmω^2 ,
664 Lec. 22.- Trabajo y energía en el movimiento general del sólido rígido.
Si ahora aplicamos una fuerza F sobre el eje
Figura 22.
del cilindro, paralelamente al plano y perpendicu-
larmente al eje, aparecerá una fuerza de rozamiento,
f , en A , en dirección opuesta a la fuerza aplicada F.
El momento de la fuerza de rozamiento respecto
del eje del cilindro, M = fR hace girar el cilindro
alrededor de su eje.
Así, en el caso de cuerpos indeformables sopor-
tados por superficies indeformables, por pequeña
que sea la fuerza F se producirá la rodadura
(siempre que exista suficiente rozamiento estático para evitar el deslizamiento). En
estas condiciones no tienen sentido hablar de resistencia a la rodadura.
Sin embargo, en las situaciones reales, los cuerpos se deforman, por poco que
sea. El contacto no se realiza entonces a lo largo de una generatriz (en el ejemplo
anterior) sino a lo largo de una estrecha banda A ′ A ″, como se muestra en la Figu-
ra 22.11. Ello da lugar a que aparezcan reacciones en los apoyos; reacciones que dan
lugar a la aparición de un par que se opone la rodadura. Con la finalidad de simplifi-
car el problema, podemos imaginar que en cada instante el cilindro debe rotar sobre
la generatriz que pasa por A ″ para poder rodar superando el pequeño obstáculo que
se opone a ello. Eso equivale a considerar desplazada la línea de acción de la
reacción normal N una distancia que designaremos por μ r , como se muestra en la Figu-
ra 22.11. El par de resistencia a la rodadura y el par aplicado valen, respectivamente
Figura 22.
M [22.33]
res μ^ r N^ M apl R F
En las condiciones críticas, cuando está a punto de
comenzar la rodadura, esos dos momentos serán
iguales, de modo que
M [22.34]
arranque R F^ μ^ r N
de modo que el cilindro comenzará a rodar si M apl
> M arr = μ r N. De la ec. [22.34] se deduce
F μ^ r [22.35] R
N
que nos da el valor de la fuerza mínima necesaria para el arranque. La magnitud μ r ,
que tiene dimensiones de una longitud, es el llamado coeficiente de resistencia a la
rodadura^2. De la ec. [22.34] se deduce que el par de arranque es proporcional a la
reacción normal N. De la ec. [22.35] se sigue que la fuerza de tracción necesaria para
el arranque es inversamente proporcional al radio del cilindro; esa es la ventaja de
las ruedas grandes sobre las pequeñas.
El valor del coeficiente μ r depende de la naturaleza de los cuerpos en contacto
(fundamentalmente de su rigidez). En general, la relación μ r / R (adimensional) tiene
un valor muy inferior al del coeficiente de rozamiento por deslizamiento (estático y
(^2) Obsérvese que se ha evitado mencionar la idea de "rozamiento de rodadura".
§22.5.- Resistencia a la rodadura. 665
cinético); así pues, es mucho más conveniente, al efecto de disminuir las pérdidas
energéticas, sustituir en los mecanismos y máquinas los deslizamientos por las
rodaduras; esa es la ventaja del carro sobre el trineo.
Ejemplo I.- En una bolera, lanzamos una de las bolas a lo largo de la pista de modo que inicial-
Figura 22.
mente resbala sin rodar (traslación pura), con una velocidad v 0. Gradualmente se va produciendo la transición de la traslación pura a la rodadura. a) Demostrar que la bola comenzará a rodar sin resbalar cuando su velocidad se haya reducido a 5 v 0 /7. b) Calcular el tiempo empleado, el desplaza- miento horizontal y el ángulo girado por la bola durante la transición de la traslación pura a la rodadura. Expresar los resultados en función del coeficiente de roza- miento μ entre la bola y la pista y de la velocidad inicial v 0 de la bola.
Las fuerzas que actúan sobre la bola son: el peso de la bola ( m g ), la reacción ( N ) y el rozamiento ( f ), como se indica en la Figura 22.12. La única fuerza que posee compo- nente horizontal ( i.e. , en la dirección del movimiento) y que proporciona momento , es la fuerza de rozamiento (estático) cuyo módulo puede expresarse en función de la masa de la bola:
f μ N μ m g
a) Las ecuaciones para el movimiento de traslación y para el movimiento de rotación, tomando momentos con respecto al centro de la bola, son
f m a
f R I α
mR^2 α
a f m
μ g
α
f mR
μ g R
a α
R
siendo R el radio de la bola, de modo que tanto la aceleración del centro de masa ( a ) como la aceleración angular de la bola (α) son constantes. Por consiguiente, podemos escribir:
a α
v v 0 ω ω 0
v v 0 ω
R ⇒ v 0 v
ω R
con la condición inicial ω 0 =0.
Cuando finalmente la bola rueda (sin resbalar), con una velocidad v f y una velocidad angular ωf , la condición de rodadura se expresa en la forma
v f ω (^) f R
de modo que combinando las dos últimas ecuaciones resulta
v 0 v f
v f ⇒ v f
v 0
§22.6.- Expresión del trabajo. 667
relacionado con la traslación elemental del centro de masa (bajo la acción
de la resultante de dicho sistema de fuerzas) y del trabajo asociado con la
rotación elemental del sólido (bajo la acción del momento resultante respecto
al c.m. de dicho sistema de fuerzas) alrededor de un eje instantáneo que pasa
por el centro de masa.
Obsérvese la analogía formal
Figura 22.
existente entre la expresión del tra-
bajo elemental de traslación ( F d r )
y el trabajo elemental de rotación
( M dθ).
Para obtener la rapidez con que
se realiza trabajo en el movimiento
general del sólido rígido bajo la ac-
ción de un sistema de fuerzas,
dividiremos ambos miembros de
[22.38] por el intervalo de tiempo
infinitesimal durante el cual el
centro de reducción ( o ) experimenta
el desplazamiento d R o y el cuerpo
gira un ángulo dθ; así, obtenemos
para la potencia la expresión
P d W [22.39]
d t
F v o M ω
donde podemos observar, una vez más, la analogía existente entre la dinámica tras-
lacional y rotacional.
§22.7. Teorema de la energía cinética.- El sólido rígido constituye un caso
especial de los sistemas de partículas en el que las condiciones de rigidez permiten
asegurar que el trabajo interno (realizado por las fuerzas internas) será nulo en
cualquier movimiento del sistema.
La fuerza resultante que actúa sobre el sólido rígido puede considerarse
compuesta de dos partes: la resultante de las fuerzas externas y la de las fuerzas
internas, dadas por
F ext [22.40]
i
F i ,ext F int
i
F i ,int
de modo que F F ext F int [22.41]
Consideraciones análogas podemos hacer para el momento resultante de las
fuerzas que actúan sobre el sólido:
M o,ext [22.42]
i
r i × F i ,ext M o,int
i
r i × F i ,int
con M o M o,ext M o,int [22.43]
668 Lec. 22.- Trabajo y energía en el movimiento general del sólido rígido.
Sustituyendo las expresiones [22.41] y [22.43] en la expresión [22.38] del trabajo
elemental, donde ya están incluidas implícitamente las condiciones de rigidez (¿por
qué?), tenemos
d W F [22.44]
ext d R^ o M o,ext dθ^ F int d R^ o M o,int dθ^ d W ext d W int
y puesto que, en general, para un sistema de partículas es
F [22.45]
int 0 M o,int 0
resulta que el trabajo interno es siempre nulo, en el caso de un sólido rígido, en un
movimiento arbitrario y general (d R o , dθ) del mismo.
En consecuencia, el teorema de la energía cinética se reduce a
d W [22.46]
ext d E k d E k,t d E k,r
que podemos enunciar diciendo que
el cambio en la energía cinética (total) de un sólido rígido es igual al trabajo
realizado sobre el mismo por las fuerzas externas.
§22.8. Conservación de la energía.- En un sólido rígido, puesto que las
partículas que lo constituyen mantienen fijas sus posiciones relativas unas respecto
a otras en cualquier proceso en el que esté implicado el sólido, la energía potencial
interna (que depende tan sólo de esas posiciones relativas) permanecerá constante,
de modo que no la tendremos en cuenta cuando calculemos la energía total del
sistema (recordaremos que tan sólo tienen significado los cambios en la energía
potencial, ya que la elección de un nivel de energía potencial nula es arbitrario).
Si las fuerzas externas que actúan sobre el sólido rígido son conservativas,
tendremos
d W d E [22.47]
p
donde hemos prescindido de los subíndices ext , ya que al ser nulo el trabajo interno
y al ignorar la energía potencial interna no hay necesidad de especificar que nos
referimos al trabajo y energía potencial externos.
Combinando las expresiones [22.46] y [22.47] tenemos
d W d E [22.48]
k d E p
de modo que d E d ( E k E p ) 0 [22.49]
donde E E k E p cte [22.50]
es la energía total del sólido rígido. La expresión anterior constituye la ley de la
conservación de la energía , en el supuesto de que las fuerzas (externas) sean
conservativas.
Si algunas de las fuerzas externas que actúan sobre el sólido rígido no son
conservativas, entonces deberemos escribir
670 Lec. 22.- Trabajo y energía en el movimiento general del sólido rígido.
L 0 I p ω 0
L I p ω I g Ω I p
ω 0 5
I g
ω 0 10
I pω 0
I pω 0
esto es, Δ L L L 0
I pω 0
de modo que el momento angular no se conserva.
Puesto que el centro de masa de cada uno de los discos permanece estacionario (ejes fijos), la reacción en el eje de cada disco ( F ) es igual y opuesta a la fuerza de rozamiento cinético ( f ) en el borde del disco, como se ilustra en la Figura 22.14. Por consiguiente, el sistema constituido por
los dos discos está sometido a un par externo ( F ,- F ) cuyo momento es -3 rf. Entonces, igualando la impulsión del momento externo con el cambio que experimenta el momento angular del sistema, obtenemos:
M ext Δ t Δ L ⇒ 3 r f Δ t
I pω 0 ⇒ r f Δ t
I pω 0
que es la misma ec. [1a], ya que
rf Δ t I p α (^) p Δ t I p (ω ω 0 ) I p (
ω 0 5
ω 0 )
I pω 0
Así pues, el momento angular del sistema no se conserva porque sobre el actúa un par externo ( F ,- F ) proporcionado por los apoyos de los ejes (fijos) de los discos.
c) Calculamos las energías cinéticas inicial ( E k,0) y final ( E k) del sistema:
E k,
I pω 2 0
E k
I pω^2
I g Ω^2 ...
I pω 2 0
o sea Δ E k E k E k,
I pω 2 0
E k,
de modo que la energía cinética no se conserva, ya que durante la transición entre el estado inicial
(ω 0 ,0) y el final (ω,Ω) se produce resbalamiento entre los dos disco, lo que entraña una disipación de energía cinética.
Ejemplo III.- En el problema enunciado en el Ejemplo I, ... : c) Calcular el cambio que experi- menta la energía cinética de la bola durante la transición del movimiento de traslación pura a la rodadura. d) Calcular el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento y compararlo con el cambio en la energía cinética.
c) Las energías cinéticas inicial ( E k,0 ) y final ( E k,f ) de la bola son
E k,
m v 2 0
E k,f
m v 2 f
mR^2 ω 2 f
m v 2 f
m v 2 f
m v 2 f
m v 2 0
E k,
§22.8.- Conservación de la energía. 671
de modo que el cambio que experimenta la energía cinética de la bola es
Δ E k
E k,f E k,
E k,
m v 2 0
d) Tan sólo la fuerza de rozamiento realiza trabajo sobre la bola, por lo que los trabajos asociados con la traslación y con la rotación valen
f Δ x μ mg
v (^) 02 μg
mv (^) 02
E k,
fR Δθ μ mgR
v 2 0 μgR
mv 2 0
E k,
y el trabajo neto total es
W ext
E k,
E k,
E k,
mv 2 0
lo que confirma que W ext Δ E k
Ejemplo IV.- Un bloque homogéneo está soportado
Figura 22.
por dos cilindros idénticos, también homogéneos, como se ilustra en la figura. Aplicamos al bloque una fuerza horizontal constante y suponemos que existe rozamiento suficiente como para que los cilindros rueden sin resbalar con respecto al suelo y al bloque. Determinar la aceleración del bloque en el instante que se indica en la figura, cuando los dos rodillos están situados simétricamente con respecto al bloque.
Consideremos un desplazamiento arbitrario x del bloque en la dirección de su movimiento, partiendo del reposo (para facilitar el razonamiento, aunque ello sea irrelevante). Puesto que la única fuerza que trabaja es la fuerza aplicada F , será
W Fx Δ E k [i]
esto es, (^) Fx^1 [ii] 2
Mv^2
mv 2 O
mR^2 ω^2
Mv^2 mv 2 O
mR^2 ω^2
donde v y v O son las velocidades de traslación del bloque y de los cilindros, respectivamente, cuando ya se ha recorrido la distancia x.
Derivando la expr. [ii] con respecto al tiempo obtenemos las aceleraciones correspondientes; i.e. ,
F v Mva 2 mv O a O mR^2 ωα [iii]
La condición de rodadura con respecto al suelo exige que la velocidad del punto Q del rodillo sea nula; i.e. ,
§22.8.- Conservación de la energía. 673
¨x 2 k 3 m
x 0
que es la ec. dif. de un movimiento armónico simple cuya frecuencia angular y periodo son
ω 2 k 3 m
T 2 π 3 m 2 k
Problemas
22.1.- Una varilla homogénea AB está guiada
Prob. 22.
por dos pasadores, A y B, que deslizan libre- mente por las guías situadas en un plano ver- tical que se indican en la figura adjunta. Se abandona la varilla, partiendo del reposo, en la posición 1 indicada. Determinar las veloci- dades de los pasadores A y B, así como la velocidad de traslación y la velocidad angular de la varilla, en las posiciones 2 y 3 indicadas.
22.2.- Una varilla de longitud L se sostiene verticalmente apoyada sobre el suelo por un extremo y se la deja caer. Suponiendo que el extremo apoyado no resbala, determinar la velocidad angular de la varilla en función del ángulo que forma con la vertical y la veloci- dad del extremo libre cuando pega contra el suelo.
22.3.- Los extremos de una varilla rectilínea y homogénea, de longitud l , están apoyados sin rozamiento en un suelo horizontal y en una pared vertical. a) Determinar la aceleración angular de la varilla en función del ángulo θ que forma en cada instante con la vertical. b) Si abandonamos la varilla, partiendo del
reposo, cuando forma un ángulo θ 0 , expresar la velocidad angular de la varilla en función del ángulo θ. c) En el supuesto del apartado anterior, determinar el valor del ángulo θ para el cual la varilla pierde contacto con la pared vertical.
22.4.- Las varillas homogéneas AB y BC que
Prob. 22.
se muestran en la figura están articuladas en B, sus masas son 6 kg y 1.5 kg y sus longitudes 40 cm y 10 cm, respectivamente. El sistema se abandona, partiendo del reposo, de la posición horizontal (indicada con trazo continuo). Calcular la velocidad angular que tendrá la varilla BC cuando pase por la vertical (indicada con trazo discontinuo).
22.5.- Las dos varillas homogéneas, de la mis- ma masa m y longitud l , que se muestran en la figura, están articuladas entre sí en el punto A. El extremo O de la varilla superior está articulada a un punto fijo y el extremo B de la inferior lo está a una corredera que puede deslizar sin fricción a lo largo de un eje verti- cal. Se abandona el sistema, partiendo del re- poso, de la posición horizontal (θ=0). Determi- nar: a) la velocidad angular de cada varilla en función del ángulo θ; b) la velocidad de la
674 Lec. 22.- Trabajo y energía en el movimiento general del sólido rígido.
c o r r e d e r a e n
Prob. 22.
función de θ.
22.6.- Un cilin- dro macizo y homogéneo, de r a d i o r y generatriz 2 r , descansa apoyado en una de sus bases sobre un plano horizontal rugoso que no p e r m i t e e l deslizamiento. Le aplicamos una fuerza horizontal, a una altura conveniente sobre el plano, hasta que, apoyado en el borde de su base inferior se desequilibra e inicia la caída. a) Calcular el momento de inercia del cilindro con respecto al eje AA′ tangente a la periferia de la base. b) Determinar la velocidad angular del cilindro en el instante en que su generatriz llega al plano horizontal.
Prob. 22.
22.7.- Un disco de 10 cm de radio y 5 kg de masa está girando a razón de 1200 rpm. Al aplicarle la zapata del freno, se detiene en 6 s. El coeficiente de rozamiento entre la zapata y el disco vale 0.25. a) Calcular la fuerza con que debe aplicarse la zapata para conseguir el efecto anterior y el número de vueltas que da el disco hasta detenerse. b) Repetir el cálculo de la fuerza del apartado anterior a partir de consideraciones energéticas.
22.8.- Una rueda de fuegos artificiales de 1 m de radio y 4 kg de masa lleva sujetos en los extremos de un diámetro dos cohetes, de 3 kg cada uno, que ejercen fuerzas tangenciales iguales y opuestas. Sabiendo que cada cohete desarrolla una fuerza de 10 N, y prescindiendo de los rozamientos y de la pérdida de masa de los cohetes, calcular la velocidad angular de la rueda al cabo de 10 s de iniciarse el movi- miento y el trabajo producido por la com- bustión de la pólvora durante ese tiempo.
22.9.- Una varilla homogénea de longitud L y masa M puede girar sin rozamiento alrededor
de un eje vertical que pasa por su centro y que es perpendicular a la varilla. A lo largo de la varilla pueden moverse dos esferillas idénticas, de masa m cada una, unidas entre sí por un hilo inextensible de longitud d < L. Ini- cialmente, la varilla está girando con una frecuencia ν 0 y las esferillas se encuentran en posiciones simétricas con respecto al eje de rotación. En un instante determinado, el hilo se rompe y las esferillas se desplazan hacia los extremos de la varilla, que dando detenidas en los topes que existen en dichos extremos. a) Calcular la frecuencia de rotación final del sistema. b) ¿Se conservará la energía cinética en el proceso?
22.10.- En la figu-
Prob. 22.
ra adjunta se r e p r e s e n t a u n r e g u l a d o r d e centrífuga en el que cada una de las varillas tiene una longitud de 10 cm y masa despreciable frente a las de las bolas, que pesan 500 g cada una. El sistema está girando inicialmente con una velocidad angular tal que el ángulo que forma cada varilla con el eje de rotación es de 80°. a) Calcular la velocidad angular del sistema. b) Con el sistema siempre en rotación, se obliga al collar C a desplazarse hacia abajo hasta que el ángulo anteriormente citado se reduce a 30°. ¿Cuál será la nueva velocidad angular? c) ¿Qué fuerza deberemos mantener aplicada en C para evitar que las bolas se separen de nuevo? d) ¿Qué trabajo se ha realizado al desplazar el collar?
22.11.- Un aro, un cilindro macizo y una esfera bajan rodando sin resbalar por un mismo plano inclinado. Los tres cuerpos partieron simultáneamente del reposo desde una misma altura en el plano. a) Ordenarlos de acuerdo con el orden de llegada al pie del plano. b) ¿Intervienen las masas o los radios de los cuerpos en el orden de llegada? c) ¿En- tonces, qué criterio se ha seguido para hacer la clasificación? Explíquese.
22.12.- Dadas dos esferas de la misma masa y del mismo radio, pero una maciza y la otra hueca, describir detalladamente un experimento que, sin dañar las esferas, nos permita averi- guar cual es la maciza y cual la hueca.
22.13.- Determinar la frecuencia de las peque- ñas oscilaciones del sistema que se muestra en
