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25.- La Ley de la Gravitación Universal.
§25.1. Sistemas planetarios primitivos (749); §25.2. El sistema de Copérnico (754); §25.3. Las contribuciones de Brahe, Kepler y Galileo (756); §25.4. La ley de la Gravitación Universal (759); §25.5. La constante G de la Gravitación Universal (765); §25.6. Masa inercial y masa gravitatoria (767); §25.7. El Principio de Equivalencia (771); §25.8. Teoría gravitatoria de Einstein (776); Problemas (781)
El movimiento de los cuerpos celestes, y muy especialmente el movimiento planetario, ha despertado el interés del hombre desde lo más remoto de los tiempos. Sin lugar a dudas, la evolución de nuestra comprensión de los movimientos de los cuerpos celestes ha constituido uno de los procesos más interesantes de la historia de la Ciencia y que más ha contribuido en la conformación de lo que hoy llamamos el método científico.
§25.1. Sistemas planetarios primitivos.- Aunque existe una amplia evidencia
Figura 25.
de que el hombre neolítico disponía ya de unos ciertos conocimientos astronómicos, de los que se servía para construir calendarios y monumentos basados en la periodicidad de la mecánica celeste, para determinar direcciones y localizar lugares sobre la superficie terrestre, ... podemos fijar un punto de partida situándonos en la Antigüedad Clásica Griega, unos 400 años antes de nuestra Era.
En aquella época, los griegos consideran que las leyes que gobiernan el movimiento de los astros habrían de ser totalmente diferentes de las que gobiernan el movimiento de los cuerpos sobre la superficie terrestre. La tendencia de los cuerpos al caer hacia la Tierra se consideraba como una propiedad inherente de todos los cuerpos que se encuentran en el dominio terrestre^1 o sublunar
(^1) A RISTÓTELES (384-322 a.C.) postuló que la materia contenida en el dominio terrestre sería
la mezcla de cuatro elementos: tierra, agua aire y fuego.
Manuel R. Ortega Girón 749
750 Lec. 25.- La Ley de la Gravitación Universal.
(bajo la Luna), propiedad que no necesitaba mayor explicación puesto que para ellos la Tierra era el centro del Universo. Así, la Tierra, una gran esfera^2 , permanecía fija, inmóvil, en el centro del Universo, que estaría formado por una materia celeste^3 , pura e inmutable, que giraría alrededor de la Tierra. La materia celeste tendría su propio movimiento natural, movimiento perfecto, sin principio ni fin, inmutable; esto es, el movimiento circular. En definitiva, se tenía una concepción geocéntrica del Universo.
En la Antigüedad Clásica se conocían siete astros que se movían sobre el fondo estrellado: el Sol , la Luna , Mercurio , Venus , Marte , Júpiter y Saturno. Con excepción de los dos primeros, los otros cinco presentaban un movimiento irregular cuando se les observaba durante periodos de tiempo muy largos. El brillo de esos cinco astros, superior al de las estrellas, experimentaba notables variaciones en el transcurso del tiempo, lo que indicaba que sus distancias a la Tierra eran cambiantes.
En la Figura 25.2 repre-
Figura 25.
sentamos el movimiento aparente de Marte respec- to a las estrellas; en un determinado momento, Marte parece invertir la dirección de su movi- miento. El movimiento errático de estos cuerpos celestes despertó la curio- sidad de los hombres; se les llamó planetas (πλα- νητηζ = errante), y el estudio de sus movimien- tos fue una de las princi- pales ocupaciones de los astrónomos hasta el siglo XVII.
Reducir los movimientos aparentemente caóticos de los cuerpos celestes a un esquema ordenado fue objeto de gran preocupación para los astrónomos de la Antigüedad Clásica. Se cuenta que P LATÓN (427-347 a.C.) planteaba el problema a sus alumnos en los siguientes términos:
"Las estrellas, consideradas como eternas, divinas e inmutables, se mueven alrededor de la Tierra dando una vuelta por día, como puede verse, según la figura de mayor perfección, el círculo. Pero hay algunos cuerpos celestes que, si los observamos durante un año, parecen como errando, casi en desorden, por el cielo, recorriendo trayectorias anuales de una irregularidad desconcertante. Estos son los planetas. Seguramente deben moverse realmente de algún modo, según círculos ordenados o combinaciones de círculos. Tomando este movimiento circular como axioma, ¿cómo podemos interpretar las observaciones del movimiento planetario?"
(^2) E RATÓSTENES de Alejandría (273-192 a.C.) determinó con notable exactitud el radio de la
Tierra a partir de la medida del arco de circulo máximo entre las ciudades de Siena y Alejandría.
(^3) Esta "materia celeste" recibió el nombre de éter (αιθηρ = inflamar) y también el de quinta
esencia (= quinto elemento).
752 Lec. 25.- La Ley de la Gravitación Universal.
ésta. Aunque Aristóteles se dio cuenta de esta incongruencia, prefirió pasarla por alto. En la Figura 25.4 reproducimos un grabado de 1508, en el que se representa la concepción aristotélica del Universo.
Naturalmente, el problema quedaba sin resolver. A la muerte de Aristóteles comenzaron a enfrentarse dos modos de enfocar el problema: la teoría heliocéntrica y la teoría geocéntrica modificada. La primera de ellas tuvo como paladín a A RISTARCO de Samos (310-230 a.C.), quién influido por H ERÁCLIDES de Ponto (388- 315 a.C.), sugirió un esquema más simple del Universo en el que el Sol se encontraba en el centro del mismo, de modo que la Tierra, la Luna y los otros cinco planetas giraban en torno al Sol, con distintas velocidades y en órbitas de distintos radios; la Tierra giraba también alrededor de sí mismas y colocaba el sistema total dentro de la esfera de las estrellas, que no gozaba de rotación alguna, de modo que su movimiento aparente era una mera consecuencia del movimiento de rotación de la Tierra sobre sí misma. Por suponer en movimiento el "centro del Universo" (la Tierra), Aristarco fue considerado impío por sus contemporáneos, y el modelo helio- céntrico no prevaleció sobre el geocéntrico, aunque dio pábulo, dieciocho siglos más adelante, a las especulaciones de Copérnico. En el siglo III a.C. comenzaron a introducirse modificaciones en el sistema geocéntrico primitivo de las esferas concéntricas; se pretendía poder explicar las distancias cambiantes entre la Tierra y los Planetas, manteniendo inmóvil de aquélla. Entre los astrónomos y matemáticos que más sobresalieron en la creación del nuevo sistema geocéntrico destacaron APOLONIO de Perga (262-180 a.C.) e HIPARCO de Nicea (s. II a.C.). Finalmente, el gran astrónomo y geógrafo Claudio P TOLOMEO de Alejandría (90-168) comentó y sintetizó los conocimientos de sus antecesores en su obra " Composición Matemática " (que fue conocida en la Europa Medieval a través de las traducciones árabes con el nombre de " Almagesto ") y desarrolló un sistema que lleva su nombre. En este sistema se incorporaron los artificios que describimos someramente a continuación.
(1) Movimiento excéntrico .- Se consideraba la Tierra en reposo; pero no exacta-
Figura 25.
mente en el centro de rotación uniforme del Sol, de la Luna y de los planetas. Estos astros describían trayectorias ligeramente excéntricas en torno a la Tierra; así se explicaba la variación de las distancias de esos astros respecto a la Tierra. Este artificio se ilustra en la Figura 25.5 izq..
(2) Movimiento en epiciclos .- Se supone que cada planeta recorre con movimien- to uniforme una trayectoria circular de pequeño radio ( epiciclo ), cuyo centro se desplaza, a su vez sobre otra circunferencia de mayor radio y centrada en la Tierra
§25.1.- Sistemas planetarios primitivos. 753
( deferente ). Los dos movimientos pueden tener velocidades, direcciones y radios
Figura 25.
independientes. En la Figura 25.5 dcha. se ilustra el movimiento epicíclico de un planeta. Con el artificio del movimiento epicíclico pueden explicarse en gran medida las irregularidades observadas en las trayectorias de los planetas sobre el fondo estrellado cuando se les observa durante largos periodos de tiempo desde la Tierra. Eligiendo adecuadamente los radios, direcciones y velocidades sobre el epiciclo y la deferente pueden generarse trayectorias ovaladas y excéntricas (sin necesidad de sacar a la Tierra del centro del Universo), como se muestra en las Figura 25.6ab ; y pueden expli- carse los aparentes cambios de dirección en el movimiento de los planetas ( movi- miento retrógrado ), como se ilustra en la Figura 25.6c.
(3) El ecuante .- El artificio del ecuante de
Figura 25.
Ptolomeo se esquematiza en la Figura 25.7. El astros P realiza un movimiento circular centrado en el punto O; de este modo se tiene una trayectoria excéntrica respecto a la Tierra. Sin embargo, dicho movimiento circular no es uniforme respecto a O, sino que el astro P gira uniformemente respecto al punto Q, llamado ecuante ; esto es, el ángulo θ varía uniformemente con el tiempo. Obsérvese que no existe ningún punto del espacio con respecto al cual el movimiento del astro P sea a la vez circular y uniforme; el movimiento es circular visto desde O y uniforme visto desde Q. Con la adopción del ecuante puede explicarse el que el Sol parezca moverse más rápidamente durante el invierno que durante el verano; en invierno tarda seis días menos que en verano en cubrir la misma distancia angular (medida respecto a la bóveda celeste).
Combinando los tres artificios que acabamos de comentar, Ptolomeo estableció un esquema de sistema geocéntrico que fue útil para los astrónomos y navegantes durante más de catorce siglos. En la Figura 25.8 presentamos un esquema del Sistema de ptolomeo, con los cinco planetas entonces conocidos. Sin embargo, y a pesar de que describía con una exactitud razonable el movimiento de los cuerpos celestes. La complejidad de tal esquema era extraordinaria y no podía explicar cuantitativamente el creciente número de observaciones, aun cuando se reajustasen los radios, direcciones y velocidades sobre los epiciclos y deferentes y se añadiesen epiciclos sobre epiciclos.
§25.2.- El sistema de Copérnico. 755
En su "De Revolutionibus" , Copérnico se anticipó con argumentos apodícticos
Figura 25.
a algunas de las objeciones que esperaba que hiciesen a su sistema heliocéntrico, como anteriormente se las habían hecho a Aristarco. Así, a la objeción de que la Tierra al girar sobre si misma se calentaría y estallaría como una rueda a gran velocidad, contestaba "¿por qué no temen los defensores de la teoría geocéntrica que ocurra otro tanto con la esfera celeste en rotación mucho más rápida a causa de su mayor radio?". A la objeción de que las nubes y los pájaros en vuelo quedarían atrás debido a la rápida rotación de la Tierra, contestaba que la atmósfera se mueve y es arrastrada por la rotación terrestre. En la Figura 25.10 reproducimos un esquema del sistema heliocéntrico que aparece ilustrando " De Revolutionibus ". El sistema de Copérnico representó
Figura 25.
I. Esfera inmóvil de las es- trellas. II. Saturno, giro en 30 años. III. Júpiter, giro en 12 años. IV. Marte, giro en 2 años. V. Tierra, giro en 1 año, con la órbita de la Luna. VI. Venus, giro en 9 meses. VII. Mercurio, en 80 días.
el total desmantelamiento de la cosmo-
logía aristotélica; arrojaba por la borda todo el armazón de la Ciencia existente. La cuestión de si la Tierra estaba inmó- vil o no, de si era o no el centro del Universo, era de trascendental importancia. Toda la cosmología medieval y la Física (?) estaban basadas en esa concepción del Universo, y abandonarla parecía "filosóficamente falso y absurdo", fantástico y peligroso. Entonces, ¿qué reacción cabía esperar?
La teoría de Copérnico no fue hecha pública en vida de su autor y se limitó a ser expuesta en círculos restringidos de sabios y científicos. Se dice que Copérnico retrasó voluntariamente la impresión de su obra, y que ésta sólo fue dada a conocer pocos días después de la muerte de su autor. La prudencia de Copérnico estaba más que justificada, ya que fueron muy violentas las reacciones que se produjeron. La
756 Lec. 25.- La Ley de la Gravitación Universal.
Iglesia Católica puso las "Revoluciones" en el
Figura 25. Nicolás C OPÉRNICO (1473-1543)
" Index librorum prohibitorum ", como obra falsa y opuesta a las Sagradas Escrituras; el mismo Martín Lutero acusó a Copérnico de loco y hereje; algunas comunidades judías prohibieron la enseñanza de la teoría copernicana, ... Los defensores del punto de vista heliocéntrico se vieron expuestos a persecuciones; Giordano B RUNO (1548-1603) murió en la hoguera de la Inquisición; GALILEO Galilei (1564-1642), tras un proceso en el que tuvo que adjurar del sistema de Copérnico, fue condenado de por vida a prisión, ... Por supuesto, las ideas de Copérnico habrían de triunfar con el paso del tiempo.
§25.3. Las contribuciones de Brahe, Kepler y Galileo.- La aceptación del
Figura 25. Tycho B RAHE (1546-1601)
sistema heliocéntrico propuesto por Copérnico no fue ni inmediata ni universal; tan sólo fue aceptado por unos pocos astrónomos que comprendieron las ventajas que ofrecía para sus cálculos, pero que pasaron por alto sus implicaciones en los órdenes físico y filosófico. Durante más de cien años continuaron las discusiones en torno a tan atrevida concepción del Universo. La controversia, cada vez más enconada, estimuló a los astrónomos a obtener datos de observación cada vez más precisos sobre el movimiento de los astros. De entre esos astró- nomos destacó el danés Tycho BRAHE (1546- 1601), que pasó gran parte de su vida dedicado a la observación de los astros desde su observa- torio en la isla de Hven, cercana a Copenhague. Para ello, utilizó grandes sextantes u brújulas que le permitieron registrar las posiciones angulares de los planetas y de las estrellas con unas precisiones asombrosas, del orden de medio minuto de arco, si tenemos en cuenta que aún no se había inventado el telescopio. Su descubrimiento y estudio de una nueva estrella (conocida como estrella de Brahe , y que hoy sabemos que fue una supernova ) alteró el concepto griego de la inmutabilidad de los cielos.
Tycho Brahe no aceptó las teorías de Copérnico, y pretendió demostrar a partir de sus observaciones rigurosas de los movimientos celestes que el sistema geocéntrico era el correcto. Haciendo un alarde de sincretismo cosmológico, Brahe propuso su propio modelo del Universo, en el que la Tierra se encuentra en el centro del Universo, la Luna y el Sol giran alrededor de ella, y los demás planetas giran alrededor del Sol, como se ilustra en la Figura 25.13. Aunque estaba equivocado, el método seguido por Brahe para comprobar el acierto de sus afirmaciones constituye un ejemplo del buen hacer científico. A su muerte, dejó un catálogo en el que se
758 Lec. 25.- La Ley de la Gravitación Universal.
A continuación, los esfuerzos de Kepler se dirigieron a reproducir los movimientos observados de los planetas, de acuerdo con los datos de Brahe, en un esquema heliocéntrico. Comenzó trabajando del modo tradicional, recurriendo a las trayectorias excéntricas, a los movimientos en epiciclos y al ecuante. Al intentar ajustar la órbita de Marte a los datos de Brahe, se encontró con que eso no era posible; los datos de brahe colocaban a Marte justamente ocho minutos de arco fuera del esquema de Copérnico. Esta pequeña discrepancia le hizo abandonar el método de trabajo tradicional, descartando las últimas premisas que seguían ligando el sistema de Copérnico con las doctrinas de la Grecia Clásica: el movimiento circular uniforme. Sobre la base de esos ocho minutos de arco, Kepler construiría la teoría del Universo. Así, Kepler demostraba una confianza absoluta en la meticulosidad de las observaciones de su maestro.
Kepler recomenzó el análisis de los
Figura 25.
datos recopilados por Brahe y descubrió que la velocidad de los planetas no es constante, sino que el radio vector que une cada uno de los planetas con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales, de modo que la velocidad de los planetas es mayor en el perihelio que en el afelio ( Figura 25.15 ). Abandonada la trayectoria circular, comen- zó a ensayar las posibles formas de las órbitas; terminó descubriendo que eran elipses y que el Sol se encontraba situado en uno de sus focos. En la Figura 25.15 se ilustran estos dos descubrimientos. Por último estableció una conexión entre el tamaño de las órbitas y el periodo de revolución de los planetas alrededor del Sol. Estos descubrimientos se sistematizan en tres leyes, que hoy conocemos como leyes de Kepler del movimiento planetario : dicen así
Primera ley .- Todos los planetas se mueven en órbitas elípticas que tienen al Sol en uno de sus focos.
Segunda ley .- El vector de posición de cada planeta respecto al Sol barre áreas iguales en tiempos iguales (constancia de la velocidad areolar).
Tercera ley .- La relación entre el cuadrado del periodo de revolución de cada uno de los planetas en su movimiento alrededor del Sol y el cubo de los semiejes mayores de sus respectivas órbitas elípticas es la misma para todos los planetas; esto es, T^2 / a^3 = cte. Las dos primeras leyes que acabamos de enunciar fueron publicadas por Kepler en su " Astronomia Nova ", cuyo subtítulo declara como objetivo el crear "una física celeste basada en las causas". Sin embargo, a pesar de esta buena intención, hemos de resaltar que las leyes de Kepler son tan sólo leyes empíricas , esto es, se deducen directamente de las observaciones, que no explican las causas de las regularidades observadas. Las leyes de Kepler constituyen una descripción cinemática del Sistema Solar; habría que esperar aún casi medio siglo para que se formulase una descripción dinámica del movimiento planetario.
§25.3.- Las contribuciones de Brahe, Kepler y Galileo. 759
GALILEO GALILEI (1564-1642) fue uno de
Figura 25. G ALILEO GALILEI (1564-1642)
los pocos amigos y colegas con los que Kepler mantuvo correspondencia e intercambio de ideas. Galileo estaba convencido de que la teoría de Copérnico era correcta y dedicó gran esfuerzo en convencer a sus contemporáneos de sus opiniones. En el año 1610 publicó un pequeño libro, titulado "Siderus Nuncius" , en el que presenta los descubrimientos que había hecho con la ayuda del telescopio. Entre ellos destacan el descubrimiento de los cuatro gran- des satélites^5 que giraban en torno al planeta Júpiter (de modo que la Tierra no era el centro de rotación de todos los cuerpos del Universo) y el descubrimiento de los cráteres y rugosidades presentes en la superficie de la Luna y de las manchas solares (de modo que los cuerpos celestes no eran perfectos ). Los descubrimientos de Galileo suministraban pruebas indiscutibles de la exactitud del sistema de Copérnico. Sin embargo, la contribución científica de Galileo a la teoría del movimiento planetario no fue desde un punto de vista cuantitativo tan importante como la de Kepler^6. Fueron sus trabajos en el campo de la Mecánica (ley de inercia, relatividad del movimiento, ...) los que resultaron decisivos para desmantelar la estructura de la Física Escolástica en la que se fundamentaba la antigua cosmología.
§25.4. La ley de la Gravitación Universal.- Durante el tiempo que transcurre entre la muerte de Galileo (en 1642) y la publicación de los " Principia " (en 1687) de Isaac N EWTON (1642-1727) tiene lugar un cambio sorprendente en el pensamiento científico. El método experimental se convierte en un instrumento de trabajo respetado y respetable en manos de hombres hábiles y de espíritu curioso, proliferan ingeniosos investigadores, se crean las primeras sociedades científicas y se produce una avalancha de invenciones, descubrimientos y teorías. Los hombres de ciencia son valorados por la sociedad y dejan de estar aislados. Los trabajos de Galileo habían suscitado la creencia en la existencia de leyes universales que gobernarían tanto los movimientos de los cuerpos terrestres como de los celestes. La vieja pregunta de Platón (¿qué hipótesis de movimientos circulares uniformes y ordenados pueden explicar los movimientos de los astros?) había perdido todo su significado en la "Nueva Filosofía" de la Ciencia. En su lugar, las discusiones en la Royal Society de Londres (fundada en 1666) se centraban ahora en lo que podemos considerar los dos problemas críticos del siglo XVII:
(^5) El los llamaba "planetas".
(^6) Galileo prestó poca atención a los trabajos de Kepler; nunca adoptó las trayectorias elípticas
de Kepler en sustitución de los círculos tradicionales.
§25.4.- La ley de la Gravitación Universal. 761
centro, apartándolo de la trayectoria inercial. En componentes deberán encontrarse en tal proporción que ni la Luna se aleje de la Tierra siguiendo un camino tangencial, ni se precipite sobre ella describiendo una espiral ( Figura 25.18 ). En definitiva, debe existir una aceleración centrípeta, y una fuerza centrípeta (dirigida hacia la Tierra) que la engendre. En palabras del mismo Newton:
"Sin tal fuerza, la Luna no puede mantenerse en
Figura 25.
su órbita. Si esta fuerza fuese demasiado pequeña, su curso rectilíneo no se alteraría; si fuese demasiado grande, la alteración sería excesiva y la Luna se precipitaría hacia la Tierra." Pero, ¿cuál es el origen de esa fuerza? Pensó entonces que la fuerza que la tierra ejerce sobre los cuerpos en caída libre podría ejercerse también sobre la Luna. Se trataba entonces de comparar los valores de la aceleración en caída libre de los cuerpos sobre la superficie terrestre (9.8 m/s 2 ) con el valor de la aceleración centrípeta de la Luna (Figura 25.19 ). A partir del radio de la órbita lunar ( R L = 384 400 km) y del periodo de rotación de la Luna alrededor de la Tierra ( T = 27.3 días) se puede calcular la aceleración centrípeta de la Luna:
a L ω^2 R L^4 π [25.1]
2 T^2
R L 0.002 72 m s 2 Este valor viene a ser unas 3 600 veces más pequeño que la aceleración con que caen los cuerpos sobre la superficie terrestre. Entonces, si se admite que la Tierra atrae a la Luna en la misma forma general con que atrae a los objetos situados cerca de su superficie, ¿por qué es tan pequeña la aceleración "de caída" de la Luna? Newton tuvo que admitir que esa fuerza debería disminuir en intensidad a medida que los cuerpos están más alejados de la Tierra. Entonces, ¿que relación existe entre la intensidad de dicha fuerza y la distancia de separación? Buscando la respuesta a esta última pregunta, Newton pasó a analizar el movimiento planetario, considerando las fuerzas centrípetas que mantienen a los planetas en sus órbitas alrededor del Sol. Esas órbitas son elípticas, pero las excentricidades son tan pequeñas (salvo la de la órbita de Mercurio) que bien pueden considerarse como circulares, con el Sol como centro común. Si se considera un planeta en una órbita circular de radio R y con un periodo de revolución T ( Figura 25.20 ), la aceleración centrípeta es
a v^ [25.2]
2 R
ω^2 R 4 π^2 R T^2
y la fuerza centrípeta que actúa sobre el planeta es
F ma 4 π^2 m R [25.3] T^2
donde m es la masa del planeta.
762 Lec. 25.- La Ley de la Gravitación Universal.
La tercera ley de Kepler establece una
Figura 25.
proporcionalidad entre el cubo de los semiejes mayores de las órbitas de los planetas y el cuadrado del periodo de rotación en torno al Sol. Para una órbita circular:
R^3 KT^2 [25.4] donde K es una constante para todos los plane- tas del Sistema Solar, cuyo valor es 3.354×10^18 m 3 /s 2. Podemos utilizar la expresión [25.4] para eliminar el periodo T en la expresión ] [25.3] de la fuerza centrípeta; resulta
F 4 π^2 K m [25.5] R^2 de modo que dicha fuerza resulta
Figura 25.
ser proporcional a la masa del planeta e inversamente proporcional al cuadrado de sus distancias al Sol. Puesto que la expresión [25.5] es válida para cualquier planeta del sistema solar, el factor K que en ella aparece sólo dependerá de alguna cualidad inherente al Sol; con más propiedad la escribiremos así
F 4 π^2 K S^ m [25.6] R^2 Análogamente, las fuerzas que ejerce la Tierra sobre la Luna y sobre un cuerpo de masa m cercano a su superficie son
F L 4 π^2 K T [25.7]
m L R (^) L^2
F 4 π^2 K T^ m R^2
donde K T estará relacionada con alguna propiedad de la Tierra y R L y R se miden desde el centro de la Tierra, como se muestra en la Figura 25.19. Aunque el centro de la Tierra parece ser el lugar más idóneo para medir la distancia de separación entre la Tierra y la Luna, o entre aquélla y los objetos cercanos a su superficie, Newton no estaba seguro de que esa elección fuese correcta. En su momento, esta elección no representó más que una hipótesis bastante atrevida; y se cree que la insatisfacción de Newton ante tal suposición fue la causa de que retrasase la publicación de sus "Principia" durante más de veinte años. Antes de resolver exactamente el problema, Newton tuvo que inventar lo que hoy llamamos el "Cálculo".
A partir de las expresiones [25.7] se pueden calcular las aceleraciones centrípeta de la Luna y de caída libre de los cuerpos:
764 Lec. 25.- La Ley de la Gravitación Universal.
tivas entre el Sol y los planetas? Evidentemente, si la atracción gravitatoria entre el Sol y un planeta (de masa m ) ha de ser recíproca, tenemos que admitir que el factor 4 π^2 K S es proporcional a la masa ( M ) del Sol; esto es
4 π^2 K S GM [25.10]
donde G es un factor de proporcionalidad. Entonces, la fuerza gravitatoria entre el Sol y los planetas queda expresada en la formas
F G Mm [25.11] R^2
donde M es la masa del Sol y m es la masa del planeta. Newton pone de relieve el papel crucial que jugó la tercera ley del movimiento en el descubrimiento de la ley de la gravitación en el siguiente pasaje de su "El Sistema del Mundo" :
"Y puesto que la acción de la fuerza centrípeta sobre el cuerpo atraído, para distancias iguales, es proporcional a la materia de este cuerpo, es también razonable que sea proporcional a la materia del cuerpo que atrae. Puesto que la acción es mutua, hace que los cuerpos se acerquen el uno al otro por un mismo comportamiento mutuo (según la tercera ley) y, consiguientemente, debe ser la misma en ambos cuerpos."
Y más adelante añade:
"El Sol atrae a Júpiter y a los otros planetas. Júpiter atrae a sus satélites y, análogamente, lo hacen los satélites entre sí y sobre Júpiter, y todos los planetas entre sí."
y, finalmente, concluye:
"según esta ley todos los cuerpos deben atraerse entre sí."
de modo que la ley de la gravitación es universal. Puesto que para los cuerpos de masas pequeñas estas fuerzas atractivas resultaban inobservables, Newton dedujo que deberían ser muy débiles y que "sólo es posible observar estas fuerzas en los cuerpos enormes de los planetas".
En general, y de acuerdo con la ley de la gravitación universal de newton, podemos enunciar:
la fuerza entre dos partículas materiales, de masas m 1 y m 2 , que están separadas por una distancia r es una atracción que actúa a lo largo de la línea que las une y cuya magnitud viene dada por
F G m^1 m^2 [25.12] r^2
donde G es una constante universal que tiene el mismo valor para cualquier pareja de partículas. Hemos de resaltar en el enunciado anterior que la ley se refiere a las fuerzas entre partículas materiales. Si se desea determinar la fuerza gravitatoria existente entre dos cuerpos extensos, como la Tierra y la Luna, de uno de los cuerpos sobre las del otro y determinar la resultante de todas esas fuerzas. El problema se reduce, en definitiva, al cálculo de una integral; abordaremos este problema en la próxima
§25.4.- La ley de la Gravitación Universal. 765
lección. De momento, sólo diremos que en general es incorrecto suponer que toda la masa de un cuerpo pueda considerarse concentrada en su centro de masa a efectos gravitatorios; sin embargo, dicha suposición resulta ser correcta cuando se trata de cuerpos de forma esférica (homogéneos o con una simetría radial en su distribución de masa).
Existe otro aspecto de la ec. [25.12] que también es conveniente resaltar. La ecuación [25.12] no define ninguna de las magnitudes físicas (fuerza, masa y longitud) que en ella intervienen; por consiguiente, la constante G exige una determinación experimental. Una vez determinado experimentalmente el valor de la constante G , podemos utilizar dicho valor para calcular las fuerzas gravitatorias entre dos porciones cualesquiera de materia.
Por último, es conveniente expresar la ley
Figura 25.
de la gravitación en forma vectorial. Lo hare- mos de acuerdo con la notación que aparece en la Figura 25.21 :
F 21 G [25.13]
m 1 m 2 r (^) 212
e 21
donde r 21 = r 21 e 21 es el vector de posición de la partícula de masa m 2 respecto a la de masa m 1 , siendo e 21 el versor correspondiente. El signo negativo indica que la fuerza gravitatoria sobre m 2 está siempre dirigida hacia m 1. Análogamente, la fuerza gravitatoria sobre m 1 es
F 12 G [25.14]
m 1 m 2 r (^) 122
e 12 G
m 1 m 2 r (^) 122
e 12
de modo que F 12 = - F 21 , y estas dos fuerzas constituyen una pareja de acción- reacción.
§25.5. La constante G de la Gravitación Universal.- Newton había llegado
Figura 25.
a la conclusión de que la atracción gravitatoria entre dos cuerpos de tamaño ordinario era demasiado pequeña como para ser observable y que, en consecuencia, el valor de la constate G debía de ser muy pequeño. Newton hizo una estimación del valor de G a partir del valor de la aceleración de caída libre de los cuerpos sobre la superficie terrestre. A partir de la segunda ley del movimiento, podemos escribir para un cuerpo en caída libre
F G Mm [25.15] R^2
mg
o sea g G M [25.16] R^2
§25.5.- La constante G de la Gravitación Universal. 767
imperceptible corriente de aire, ...) hubiera enmascarado la fuerza gravitatoria. En la Figura 25.
Figura 25.
reproducimos el esquema del aparato que aparece en la publicación original. Cavendish repitió muchas veces el experimento hasta convencerse de que sus medidas eran reproducibles y determinar la exactitud de las mismas. De este modo determinó el valor de G ; expresó el resultado en función de la densidad media de la Tierra, que resultó ser de 5.5 veces la del agua, valor muy próximo al estimado por Newton. Muy posteriormente, en el siglo XIX, POYNTING y BOYS introdujeron considerables mejoras en el dispositivo de Cavendish. El valor de G que se acepta actualmente es el obtenido por P. R. H EYL y P. C HIAZANOWSKY en 1942:
G (6.673 ± 0.003) × 10 11 N m^ [25.18]
2 kg 2
§25.6. Masa inercial y masa gravitatoria.- En la lección 7 vimos como la segunda ley del movimiento, junto con la elección arbitraria de la unidad de masa o masa patrón, nos permite definir la unidad de fuerza (§7.1), establecer una escala de fuerzas (calibrando un dinamómetro, por ejemplo) y medir la masa de otro cuerpo cualquiera. De ese modo llegábamos a establecer una definición operacional del concepto de masa. La masa de un cuerpo, determinada como el cociente entre la fuerza que actúa sobre él y la aceleración que le produce ( Figura 25.25 ), representa
una medida cuantitativa de la oposición, resistencia o inercia que dicho cuerpo ofrece para acelerarse,
esto es, para modificar su estado de movimiento bajo la acción de las fuerzas. Por esta razón la llamamos masa inercial. En esta lección estamos discutiendo una interacción particular entre dos porciones cualesquiera de materia: la interacción gravitatoria. La ley de la gravitación establece que la fuerza atractiva entre dos partículas materiales es proporcional al producto de sus masas. Entonces, podemos considerar la masa como
768 Lec. 25.- La Ley de la Gravitación Universal.
aquella propiedad de la materia en virtud de la cual toda partícula material interacciona gravitatoriamente en cualquier otra partícula material. Denominamos a esta propiedad masa
Figura 25.
gravitatoria , que es conceptualmente distinta de aquella otra propiedad de la materia que medimos mediante la masa inercial. Como consecuencia de la propor- cionalidad existente entre la masa de un cuerpo y la fuerza gravitatoria que actúa sobre él, podemos determinar la masa (gravitatoria) a partir de una medida de la fuerza gravitatoria. Así, la fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra sobre un cuerpo de masa gravitatoria m g situado en/o próximo a su superficie es lo que llamamos peso P del cuerpo, y viene dado por
P G M g m g [25.19] R^2
GM g R^2
m g m g g
donde R y M g representan, respectivamente, el radio y la masa (gravitatoria) de la Tierra. Obsérvese que el factor entre paréntesis es constante para un lugar determinado sobre la superficie terrestre, si bien cambia de un lugar a otro debido principalmente al achatamiento de la Tierra y a su falta de homogeneidad. Designaremos dicho factor por la letra " g ". Dado que el peso de un cuerpo viene dado por el producto de su masa ( m g) por el factor g , se deduce que si en un mismo lugar de la Tierra dos cuerpos tienen el mismo peso, también tendrán la misma masa gravitatoria. Podemos determinar el peso de un cuerpo mediante una balanza de resorte (dinamómetro) previamente calibrada (Figura 25.26 ); dividiendo dicho peso por el valor de g en el lugar, determinaremos la masa gravitatoria del cuerpo. La balanza de brazos iguales ( Figura 25.27 ) nos permite determinar con gran precisión y sencillez cuando son iguales los pesos de dos cuerpos. Cuando se consigue el equilibrio de la balanza, de modo que sus brazos permanecen horizontales, el peso de la masa desconocida estará equilibrado por el peso combinado de las masas patrones, de modo que m g1 g = m g2 g , y puesto que g es el mismo en ambos miembros de esta igualdad (ya que ambos platillos de la balanza se encuentran prácticamente en el mismo lugar), podemos simplificar dicha igualdad y tendremos que m g1 = m g2. Debemos reflexionar sobre esa propiedad de la materia que hemos llamado masa y que se manifiesta de dos formas muy distintas. Por una parte, la masa se manifiesta como una resistencia o inercia de la materia a los cambios de movimiento; es nece- sario ejercer una fuerza (no necesariamente gravitatoria) sobre una partícula para acelerarla. Por otra parte, la masa se manifiesta como una propiedad de la materia por la cual se produce la interacción gravitatoria entre dos partículas materiales cualesquiera. Vemos la conveniencia de distinguir entre la masa inercial y la masa gravitatoria de los cuerpos. No es evidente, ni mucho menos, que la masa gravitatoria de la partícula haya de ser igual a su masa inercial. Las leyes de la mecánica se refieren a las masas inerciales, y conservarían su validez aún cuando no existiese la interacción gravitatoria. El hecho de que exista una atracción gravitatoria, al igual
