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Teoremas relacionados con el centro de masa y momentos de inercia de sistemas de partículas y sólidos rígidos. Se explican conceptos como centro de masa, teoremas del centro de masa distributivo y teoremas relacionados con momentos y productos de inercia.
Tipologia: Manuais, Projetos, Pesquisas
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Não perca as partes importantes!
§16.1. Distribuciones discretas y continuas de materia (457); §16.2. Centro de masa (458); §16.3. Teoremas concernientes al centro de masa (461); §16.4. Momentos de inercia (470); §16.5. Radio de giro (472); §16.6. Productos de inercia (472); §16.7. Matriz de inercia (473); §16.8. Teoremas concernientes a los momentos y productos de inercia (474); §16.9. Teoremas de Steiner (477); §16.10. Momento de inercia respecto a un eje cualquiera (479); Problemas (484)
En las lecciones que siguen, que estarán dedicadas a la Dinámica de los Sistemas de Partículas y del Sólido Rígido , veremos la conveniencia de definir los conceptos de centro de masa y de momento de inercia. Comprenderemos la importancia y significado de tales conceptos cuando aparezcan de una forma natural al desarrollar la Dinámica de los Sistemas de Partículas. En esta lección tan solo nos ocuparemos de los aspectos formales y técnicas matemáticas asociadas con la definición "geométrica" de tales conceptos.
Aun cuando sea razonable la aproximación de un sistema material mediante una distribución continua de materia, nos encontramos con una complicación de tipo conceptual cuando tratamos de utilizar el proceso matemático de paso al límite , propio del Cálculo Diferencial e Integral. En efecto, al disminuir gradualmente el tamaño del elemento material, reencontramos la estructura discreta de la materia. Evitaremos este inconveniente entendiendo por elemento infinitesimal de materia una cantidad muy pequeña de ésta, pero suficientemente grande, en comparación con las distancias intermoleculares, como para no tener que considerar la estructura discreta de la materia. Estos elementos se llaman macroscópicos , pero serán considerados como infinitesimales en el sentido matemático, a fin de poder utilizar los recursos del Cálculo Diferencial e Integral.
Figura 16.
N
i 1
N
i 1
En efecto, de acuerdo con el carácter vectorial de la definición [16.2] del centro de masa, y puesto que no hemos hecho referencia alguna a ningún conjunto particular de ejes, la posición del centro de masa no dependerá de la orientación del sistema de ejes, con origen en O, que elijamos. Pero, además, debemos demostrar que la posición del centro de masa no depende tampoco de la elección del origen. Para demostrar esto último, consideraremos dos puntos O y O′, orígenes de dos referenciales (Figura 16.2), y sean r i y r i ′ los vectores de posición de una partícula genérica, m (^) i , respecto a cada uno de esos orígenes. La relación existente entre los vectores r i y r i ′ es
(^1) El centro de gravedad de un cuerpo se define como el punto de aplicación de la resultante
de las fuerzas gravitatorias que actúan sobre él. Así pues, el centro de masa y el centro de gravedad son conceptualmente diferentes y no debemos confundirlos. Sin embargo, las posiciones de ambos centros suelen coincidir en la mayor parte de las situaciones prácticas. Insistiremos en este asunto en §20.5.
Figura 16.
R
R
R
R
R
R
R
R
V
V
S
S
s
s
V
V
S
S
s
s
[16.13]
V
S
s
C OORDENADAS POLARES ESFÉRICAS ( r , θ, φ)
Figura 16.
ec. de transformación:
x r sen θ cos φ y r sen θ sen φ z r cos θ
r x^2 y^2 z^2
θ arctg x^
(^2) y 2 z
φ arctg y x
elemento de volumen:
d V = r^2 senθ d r dθ dφ
elementos de superficie:
d S (^) r = r^2 senθ dθ dφ d S θ = r senθ d r dφ d S φ = r d r dθ
elemento de longitud:
d s = d r e r + r dθ e θ + r senθ dφ e φ d s^2 = d r^2 + r^2 dθ^2 + r^2 sen 2 θ dφ^2
El momento estático ( μ ) de un sistema de partículas respecto a un plano^2 se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por sus distancias respectivas, con signo incluido, al plano (Figura 16.9); esto es,
Figura 16.
N
i 1
m (^) i δ i
Para demostrar el teorema, consideremos un plano que pase por el centro de masas del sistema de partículas, expresado por su ecuación normal :
x cos α y cos β z cos γ δ 0 [16.15]
donde α, β y γ son los ángulos directores del vector normal al plano y δ es la distancia de éste al origen de coordena- das. Las coordenadas de una partícula genérica del sistema son ( x (^) i , yi , z (^) i ) y su distancia al plano es
δ (^) i x (^) i cos α y (^) i cos β z (^) i cos γ δ [16.16]
El momento estático del sistema de partículas respecto al plano es
[16.17]
μ
N
i 1
m (^) i ( x (^) i cos α y (^) i cos β z (^) i cos γ δ )
cos α
N
i 1
m (^) ix (^) i cos β
N
i 1
m (^) iy (^) i cos γ
N
i 1
m (^) iz (^) i δ
N
i 1
m (^) i
(^2) Análogamente se define el momento estático con respeto a un eje o a un punto.
de modo que, teniendo en cuenta las expresiones
N
i 1
m (^) i M x cm
N
i 1
m (^) i x (^) i M y cm
N
i 1
m (^) i y (^) i M z cm
N
i 1
m (^) i z (^) i
se obtiene finalmente
μ M ( x cm cos α y cm cos β z cm cos γ δ ) [16.19]
y como, por hipótesis, el centro de masa está contenido en el plano [16.15], es
x cm cos α y cm cos β z cm cos γ δ 0 [16.20]
de donde se sigue que (^) μ 0 c.q.d. [16.21]
En efecto, si μ = 0, la expresión [16.19] nos asegura que las coordenadas del centro de masa satisfacen la ec. [16.20], por ser M ≠ 0, lo que significa que el centro de masa está situado sobre el plano dado.
La simetría respecto a un plano significa que para cada partícula situada a un lado del plano existe otra de la misma masa que está situada en su imagen especular respecto al plano. Si se trata de una distribución continua de masa, la simetría respecto a un plano significa que la densidad en cualquier punto es igual a la densidad en su imagen especular respecto al plano.
Para demostrar el teorema, basta observar que un plano de simetría es un plano respecto al cual es nulo el momento estático del cuerpo; entonces, de acuerdo con el T EOREMA III, el centro de masa estará situado sobre dicho plano de simetría.
En efecto, el momento estático del cuerpo será nulo respecto a cualquier plano que pase por un eje de simetría, de donde se sigue el teorema.
Basta observar que el momento estático del cuerpo será nulo respecto a cualquier plano que pase por el centro de simetría, de donde se sigue el teorema.
de modo que S 2 π⌡⌠ [16.26] s
y d s
y la longitud de la circunferencia descrita por el centroide de la curva es
L 2 π y cm [16.27]
Pero, de acuerdo con la definición del centroide de una curva,
y cm^ ⌡ [16.28]
s
y d s
s
d s
s
y d s
s
2 π s
de donde se sigue el teorema: S 2 π y cm s L s [16.29]
Figura 16.
En efecto, suponiendo como antes que el eje de giro sea el x (Figura 16.11), el volumen engendrado por el elemento de área d S = d x d y al girar alrededor del eje x es
d V 2 π y d S [16.30]
de modo que V 2 π ⌡⌠ [16.31] S
y d S
y la longitud de la circunferencia descrita por el cen- troide de la superficie plana es
L 2 π y cm [16.32]
Ahora bien, de acuerdo con la definición del centroide de una superficie plana es
y cm [16.33]
S
y d S
S
d S
S
y d S
S
2 π S
de donde se sigue el teorema: V 2 π y cm S L S [16.34]
Ejemplo II.- Determinar el centro de masa de una
Figura 16.
varilla rectilínea, de sección transversal constante, va aumentando linealmente conforme nos distanciamos de uno de sus extremos. Tomemos el eje x a lo largo de la varilla; la densidad lineal vendrá expresada en la forma
λ λ 0 kx
donde k es una constante y λ 0 es la densidad en el extremo x = 0. Teniendo en cuenta que d m = λ d x , la posición del centro de masa vendrá dada por
x cm^ ⌡
L 0
x d m
0
d m
L 0
λ x d x
0
λ d x
resultando que (^) ⌡⌠
L
0
λ d x (^) ⌡⌠
L
0
(λ 0 kx ) d x λ 0 L^1 2
kL^2
L
0
λ x d x (^) ⌡⌠
L
0
(λ 0 kx ) x dx^1 2
λ 0 L^2 3
kL^3
de modo que x cm
3 λ 0 L 2 kL^2 6 λ 0 3 kL
3 λ 0 2 kL 6 λ 0 3 kL
Si k = 0 (varilla homogénea), será x cm = L /2.
Si λ 0 = 0, será x cm = 2 L /3.
Ejemplo III.- Determinar el centro de masa
Figura 16.
(centroide) de un arco completo de cicloide, como el representado en la Figura 16.13.
Las ecuaciones paramétricas de la cicloi- de son:
x a (φ senφ ) y a (1 cosφ )
de modo que
d x a (1 cosφ )dφ d y a senφ dφ
y el elemento de longitud d s es
d s d x^2 d y^2 a 2 (1 cosφ ) dφ 2 a sen φ 2
dφ
de donde se sigue (^) ⌡⌠ s
d s (^) ⌡⌠
2 π
0
2 a sen φ 2
dφ 8 a
s
x d s (^) ⌡⌠
2 π
0
2 a^2 (φ senφ ) sen φ 2
dφ 8 π a^2
s
y d s (^) ⌡⌠
2 π
0
2 a^2 (1 cosφ ) sen φ 2
dφ 32 3
a^2
y el centroide del arco completo de cicloide está localizado en
Sy^ d x^ d y^ ⌡
a
a
d x ⌡⌠
b (^) ⎯ (^1) ⎯ x^2 ⎯^ / a^2 ⎯ 0
y d y (^) ⌡⌠^
a
a
b^2 2
1 x^
2
a^2
d x^2 3
ab^2
de modo que
y cm
2 3 ab^
2
1 2 π ab
3 π
b
Ejemplo VI.- Determinar el centroide de un cascarón hemiesférico de radio R.
Figura 16.
Las coordenadas polares esféricas se adaptan perfectamente a la geometría del cuerpo. El elemento de superficie sobre la esfera de radio R viene expresado en coordenadas polares esféricas por:
d S R^2 senθ dθ dφ
El centroide del cascarón hemiesférico estará situado sobre su eje de simetría, de modo que, de acuerdo con la elección de los ejes en la Figura 16.16, es x cm = 0 e y cm = 0. Para la coordenada z cm tenemos
z cm^ ⌡
S
z d S
S
d S
con (^) z R cos θ
Al resolver las integrales anteriores, resulta:
S
d S (^) ⌡⌠⌡⌠ S
R^2 senθ dθ dφ R^2 ⌡⌠^
π/
0
senθ dθ ⌡⌠
2 π
0
dφ 2 π R^2
S
z d S (^) ⌡⌠⌡⌠ S
( R cosθ) ( R^2 senθ dθ dφ) R^3 ⌡⌠^
π/
0
senθ cosθ dθ ⌡⌠
2 π
0
dφ π R^3
o sea (^) z cm^ π R^
3
2 π R^2
Ejemplo VII.- Aplicar el primer teorema de Pappus-Guldin para determinar el centroide de una semicircunferencia de radio R.
Tomando los ejes cartesianos xy como se indica en la Figura 16.17, el centroide del arco de circunferencia se encontrará situado sobre el eje y (o sea, x cm = 0), por ser dicho eje un eje de simetría; bastará con determinar y cm.
El área de la superficie de revolución engendrada por la semicircunferencia al girar alrededor del eje x es la de una esfera; esto es,
Figura 16.
S 4 π R^2
y la longitud de la línea es
s π R
de modo que, sustituyendo en la expresión [16.29], tenemos
4 π R^2 2 π y cmπ R ⇒ y cm^2 π
Ejemplo VIII.- Aplicar el segundo teorema de Pappus-Guldin para determinar el centroide del área
Figura 16.
sombreada en la Figura 16.18, limitada por la semicircunferencia de radio a y la semielipse de semiejes a y b.
Obviamente, el centroide de esa figura se encontrará situado sobre el eje y (o sea, x cm = 0); bastará con determinar y cm.
El volumen de cuerpo de revolución engendrado por el área sombrada al girar alrededor del eje x es el de una esfera menos el de un elipsoide de revolución;
π a^3 3
π ab^2 3
π a ( a^2 b^2 )
y el área de la superficie sombrada es
π a^2 2
π ab^1 2
π a ( a b )
de modo que, sustituyendo en la expresión [16.34], tenemos
4 3
π a ( a^2 b^2 ) 2 π y cm^1 2
π a ( a b ) ⇒ y cm^4 3 π
a^2 b^2 a b
3 π
( a b )
C
S
V
C
S
V
[16.43]
i
Figura 16.
[16.45]
i
i
i
R
[16.47]
R
R
R
En efecto, sumando miembro a miembro las tres expresiones [16.37] concernientes a los momentos de inercia respecto a los tres ejes coordenados (ortogonales) se obtiene
I (^) xx I (^) yy I (^) zz 2 [16.50] i
m (^) i ( x (^) i^2 y (^) i^2 z (^) i^2 ) 2 i
m (^) ir (^) i^2 2 I O
de modo que dicha suma es isótropa, i.e. , independiente de la orientación del cuerpo respecto a los ejes coordenados. Obsérvese que el sumatorio del segundo miembro de [16.50] es el momento de inercia del cuerpo respecto al origen de coordenadas o momento de inercia polar , de donde se sigue el teorema.
En efecto, de acuerdo con la definición del momento de inercia de un cuerpo respecto de un plano, los momentos de inercia respecto de los planos coordenados yz (de ecuación x = 0), xz (de ecuación y = 0) y xy (de ecuación z = 0), que designaremos respectivamente por I (^) x , Iy y I (^) z , son
I (^) x [16.51] i
m (^) i x (^) i^2 I (^) y i
m (^) i y (^) i^2 I (^) z i
m (^) i z (^) i^2
Sumando miembro a miembro dos cualesquiera de los momentos de inercia respecto a los planos coordenados se obtiene
[16.52]
I (^) y I (^) z i
m (^) i ( y (^) i^2 z (^) i^2 ) I (^) xx I (^) z I (^) x i
m (^) i ( z (^) i^2 x (^) i^2 ) I (^) yy
I (^) x I (^) y i
m (^) i ( x (^) i^2 y (^) i^2 ) I (^) zz
Figura 16.
Tomemos un sistema de ejes ortogonales de forma que la lámina se encuentre situada en el plano xy (Figura 16.22). Los momentos de inercia de la lámina con respecto a cada uno de los ejes coordenados son
I (^) xx^ [16.53] i
m (^) i y (^) i^2 I (^) yy i
m (^) i x (^) i^2 I (^) zz i
m (^) i ( x (^) i^2 y (^) i^2 )
de modo que, evidentemente, se cumple
I (^) xx I (^) yy I (^) zz [16.54]
Figura 16.23 Figura 16.
En efecto, si elegimos como plano xy el de simetría (Figura 16.23), a todo elemento de masa mi de coordenadas ( x (^) i , yi , z (^) i ) le corresponde otro elemento de la misma masa de coordenadas ( x (^) i , yi ,- z (^) i ), de modo que al extender las sumas
I (^) xz I (^) zx i
m (^) i x (^) i z (^) i 0 I (^) yz I (^) zy i
m (^) i y (^) i z (^) i 0
a todo el cuerpo, el resultado será cero.
Figura 16.
En efecto, si el sólido tienen simetría de revolución alrededor del eje z (Figura 16.25), entonces será Ixz = 0 y I (^) yz = 0, puesto que para cualquier elemento de masa m (^) i situado en ( xi , yi , z (^) i ) existe otro elemento de la misma masa situado en (- x (^) i ,- yi , zi ) de modo que al efectuar las sumas
I (^) xz I (^) zx i
m (^) ix (^) iz (^) i 0 I (^) yz I (^) zy i
m (^) iy (^) iz (^) i 0