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Guias e Dicas
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Teoremas del centro de masa y momentos de inercia, Manuais, Projetos, Pesquisas de Matemática

Teoremas relacionados con el centro de masa y momentos de inercia de sistemas de partículas y sólidos rígidos. Se explican conceptos como centro de masa, teoremas del centro de masa distributivo y teoremas relacionados con momentos y productos de inercia.

Tipologia: Manuais, Projetos, Pesquisas

2010

Compartilhado em 17/02/2010

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16.- Geometría de masas.
§16.1. Distribuciones discretas y continuas de materia (457); §16.2. Centro de masa (458);
§16.3. Teoremas concernientes al centro de masa (461); §16.4. Momentos de inercia (470);
§16.5. Radio de giro (472); §16.6. Productos de inercia (472); §16.7. Matriz de inercia
(473); §16.8. Teoremas concernientes a los momentos y productos de inercia (474);
§16.9. Teoremas de Steiner (477); §16.10. Momento de inercia respecto a un eje cualquiera
(479); Problemas (484)
En las lecciones que siguen, que estarán dedicadas a la Dinámica de los Sistemas de Partículas
y del Sólido Rígido, veremos la conveniencia de definir los conceptos de centro de masa yde
momento de inercia. Comprenderemos la importancia y significado de tales conceptos cuando
aparezcan de una forma natural al desarrollar la Dinámica de los Sistemas de Partículas. En esta
lección tan solo nos ocuparemos de los aspectos formales y técnicas matemáticas asociadas con la
definición "geométrica" de tales conceptos.
§16.1. Distribuciones discretas y continuas de materia.- Una distribución
discreta de materia es aquélla en la que las partículas están netamente diferenciadas
por la existencia de espacios vacíos entre ellas. Una distribución discreta de materia
quedará definida mediante las coordenadas de posición de todas y cada una de las
partículas que la integran, como se ilustra en la Figura 16.1. Desde un punto de vista
microscópico esa es la situación real, puesto que la materia presenta una estructura
esencialmente discreta.
Sin embargo, desde un punto de vista macroscópico, podemos y debemos
considerar el caso de una distribución continua de materia, i.e., una distribución de
materia sin espacios vacíos o soluciones de continuidad. En este caso, veremos que
en muchas ocasiones será necesario descomponer el sistema material en un número
infinito de porciones elementales (infinitesimales), de masa dm, como se ilustra en
la Figura 16.4.
Para caracterizar una distribución continua de materia, definimos la densidad
volúmica ρ,ladensidad superficial σyladensidad lineal λ, correspondientes a una
distribución cúbica, superficial y lineal de materia, respectivamente, por
[16.1]
ρdm
dVσdm
dSλdm
ds
Manuel R. Ortega Girón 457
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pf9
pfa
pfd
pfe
pff
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Baixe Teoremas del centro de masa y momentos de inercia e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Matemática, somente na Docsity!

16.- Geometría de masas.

§16.1. Distribuciones discretas y continuas de materia (457); §16.2. Centro de masa (458); §16.3. Teoremas concernientes al centro de masa (461); §16.4. Momentos de inercia (470); §16.5. Radio de giro (472); §16.6. Productos de inercia (472); §16.7. Matriz de inercia (473); §16.8. Teoremas concernientes a los momentos y productos de inercia (474); §16.9. Teoremas de Steiner (477); §16.10. Momento de inercia respecto a un eje cualquiera (479); Problemas (484)

En las lecciones que siguen, que estarán dedicadas a la Dinámica de los Sistemas de Partículas y del Sólido Rígido , veremos la conveniencia de definir los conceptos de centro de masa y de momento de inercia. Comprenderemos la importancia y significado de tales conceptos cuando aparezcan de una forma natural al desarrollar la Dinámica de los Sistemas de Partículas. En esta lección tan solo nos ocuparemos de los aspectos formales y técnicas matemáticas asociadas con la definición "geométrica" de tales conceptos.

§16.1. Distribuciones discretas y continuas de materia.- Una distribución

discreta de materia es aquélla en la que las partículas están netamente diferenciadas

por la existencia de espacios vacíos entre ellas. Una distribución discreta de materia

quedará definida mediante las coordenadas de posición de todas y cada una de las

partículas que la integran, como se ilustra en la Figura 16.1. Desde un punto de vista

microscópico esa es la situación real, puesto que la materia presenta una estructura

esencialmente discreta.

Sin embargo, desde un punto de vista macroscópico, podemos y debemos

considerar el caso de una distribución continua de materia, i.e. , una distribución de

materia sin espacios vacíos o soluciones de continuidad. En este caso, veremos que

en muchas ocasiones será necesario descomponer el sistema material en un número

infinito de porciones elementales (infinitesimales), de masa d m , como se ilustra en

la Figura 16..

Para caracterizar una distribución continua de materia, definimos la densidad

volúmica ρ, la densidad superficial σ y la densidad lineal λ, correspondientes a una

distribución cúbica, superficial y lineal de materia, respectivamente, por

ρ d m [16.1]

d V

d m

d S

d m

d s

Manuel R. Ortega Girón 457

458 Lec. 16.- Geometría de masas.

donde d V , d S y d s representan, respectivamente, los elementos de volumen, de

superficie y de longitud, correspondientes al elemento de masa d m. En general, la

densidad del sistema material (ρ, σ o λ) variará de una zona a otra del sistema

material; esto es, la densidad será una función de punto ρ( x , y , z ), σ( x , y , z ) o λ( x , y , z ),

y deberemos conocer dicha función para que el sistema material quede bien definido.

Aun cuando sea razonable la aproximación de un sistema material mediante una distribución continua de materia, nos encontramos con una complicación de tipo conceptual cuando tratamos de utilizar el proceso matemático de paso al límite , propio del Cálculo Diferencial e Integral. En efecto, al disminuir gradualmente el tamaño del elemento material, reencontramos la estructura discreta de la materia. Evitaremos este inconveniente entendiendo por elemento infinitesimal de materia una cantidad muy pequeña de ésta, pero suficientemente grande, en comparación con las distancias intermoleculares, como para no tener que considerar la estructura discreta de la materia. Estos elementos se llaman macroscópicos , pero serán considerados como infinitesimales en el sentido matemático, a fin de poder utilizar los recursos del Cálculo Diferencial e Integral.

§16.2. Centro de masa.- Consideremos un sistema de partículas, compuesto

Figura 16.

por N de ellas, cuyas masas designaremos por m i ( i = 1, 2, ... N ) y sea r i el vector de

posición de la partícula i -ésima respecto al

origen O de un referencial dado. Definimos

el centro de masa^1 de un tal sistema de

partículas como el punto del espacio, que

designamos por CM (o por G, cuando así

convenga), cuyo vector de posición

respecto a O es

r cm [16.2]

N

i 1

m i r i

N

i 1

m i

donde M = mi representa, evidentemente,

la masa total del sistema de partículas.

T EOREMA I.- La posición del centro de masa de un sistema es independiente

del referencial que utilicemos y depende solamente de las masas de las

partículas y de las posiciones de unas respecto a otras.

En efecto, de acuerdo con el carácter vectorial de la definición [16.2] del centro de masa, y puesto que no hemos hecho referencia alguna a ningún conjunto particular de ejes, la posición del centro de masa no dependerá de la orientación del sistema de ejes, con origen en O, que elijamos. Pero, además, debemos demostrar que la posición del centro de masa no depende tampoco de la elección del origen. Para demostrar esto último, consideraremos dos puntos O y O′, orígenes de dos referenciales (Figura 16.2), y sean r i y r i ′ los vectores de posición de una partícula genérica, m (^) i , respecto a cada uno de esos orígenes. La relación existente entre los vectores r i y r i ′ es

(^1) El centro de gravedad de un cuerpo se define como el punto de aplicación de la resultante

de las fuerzas gravitatorias que actúan sobre él. Así pues, el centro de masa y el centro de gravedad son conceptualmente diferentes y no debemos confundirlos. Sin embargo, las posiciones de ambos centros suelen coincidir en la mayor parte de las situaciones prácticas. Insistiremos en este asunto en §20.5.

460 Lec. 16.- Geometría de masas.

Las expresiones [16.2] y [16.6] sólo son

Figura 16.

utilizables para el cálculo de la posición del

centro de masa de una distribución discreta de

materia. En el caso de una distribución continua

de materia, el cálculo del centro de masa exige

la descomposición de la distribución de materia

en un número infinito de porciones elementales

(infinitesimales), de masa d m , como se ilustra

en la Figura 16.4. En estas condiciones, los

sumatorios que aparecen en las expresiones

[16.2] y [16.6] se convierten en integrales, resul-

tando

r cm^ ⌡ [16.9]

R

r d m

R

d m

x cm^ ⌡^ [16.10]

R

x d m

R

d m

y cm

R

y d m

R

d m

z cm

R

z d m

R

d m

extendiéndose las integraciones a toda la región R ocupada por la distribución

continua de materia.

Si tenemos en cuenta las definiciones dadas anteriormente para la densidad

volúmica ρ, la densidad superficial σ y la densidad lineal λ, correspondientes a

distribuciones cúbica, superficial y lineal de la masa, la expresión [16.9] se escribirá

en las respectivas formas:

r cm^ ⌡ [16.11]

V

ρ r d V

V

ρ d V

r cm

S

σ r d S

S

σ d S

r cm

s

λ r d s

s

λ d s

y para la componente x cm se tendrá

x cm^ ⌡ [16.12]

V

ρ x d V

V

ρ d V

x cm^ ⌡

S

σ x d S

S

σ d S

x cm^ ⌡

s

λ x d s

s

λ d s

con expresiones similares para y cm y z cm.

En general, la densidad del sistema material (ρ, σ o λ) variará de un punto a otro

del sistema; esto es, la densidad será una función de punto ρ( x , y , z ), σ( x , y , z ) o

λ( x , y , z ), y deberemos conocer dicha función para poder evaluar las integrales de

[16.11] o [16.12].

Cuando el sistema es homogéneo, de modo que la densidad tiene un valor

constante en todo el recinto de integración, las expresiones [16.11] se reducen a

§16.2.- Centro de masa. 461

[16.13]

r cm

V

r d V

V

r cm

S

r d S

S

r cm

s

r d s

s

donde V , S y s representan el volumen, la superficie y la longitud, respectivamente,

del recinto de integración, o sea, de la región del espacio ocupada por el sistema

material. En estas condiciones (cuerpos homogéneos), la posición del centro de masa

depende tan sólo de la forma geométrica del cuerpo, y el centro de masa recibe el

nombre de centroide.

§16.3. Teoremas concernientes al centro de masa.- El estudio de las

técnicas matemáticas necesarias para el cálculo del centro de masa de una

distribución continua de materia encuentra su lugar adecuado en un curso de Cálculo

Diferencial e Integral , y tales problemas constituyen excelentes ejercicios de esa

rama del Cálculo. En general, la evaluación de una integral de algunos de los tipos

de [16.11] nos conducirá a una integración de línea , doble o triple , según que la masa

esté distribuida sobre una línea, sobre una superficie o en un volumen. En ocasiones,

será suficiente la elección de coordenadas cartesianas ( x , y , z ) para valorar dichas

integrales. Sin embargo, en muchos casos se conseguirá una notable simplificación

del problema mediante la adopción de un sistema de coordenadas curvilíneas

(coordenadas polares, cilíndricas, ...) adaptadas lo mejor posible a la geometría del

cuerpo cuyo centro de masa queremos determinar. No es nuestro propósito hacer una

digresión sobre el significado y las técnicas de evaluación de integrales dobles y

triples, ni sobre los distintos sistemas de coordenadas curvilíneas; el alumno deberá

consultar una obra de Cálculo Diferencial e Integral. En la página 462 se resumen

las propiedades más importantes, en lo que aquí nos interesa, de los sistemas de

coordenadas cartesianas, cilíndricas, polares esféricas y polares planas, y al final de

este artículo resolveremos algunos problemas que ilustrarán el uso de las técnicas de

cálculo asociadas con la determinación del centroide de algunas formas geométricas

notables.

Aparte de las técnicas matemáticas generales, a las que acabamos de hacer

referencia, existen varios teoremas que facilitan, en ocasiones, la localización del

centro de masa de una distribución discreta o continua de materia, a partir de las

ecuaciones [16.6] o [16.10]. Entre estos teoremas figura, evidentemente, el ya

demostrado al comienzo de este artículo, que nos permite elegir libremente los ejes

coordenados y el origen. Estos teoremas se demuestran tanto para una distribución

discreta de materia como para una distribución continua caracterizada por una

densidad (volúmica, superficial o lineal) que es una función de las coordenadas ( x , y , z ,

por ejemplo) de cada elemento de masa de la distribución. Cualquiera que sea el

punto de vista que adoptemos para demostrarlos, siempre podremos hacer una

demostración paralela, con simples cambios en la notación, desde el otro punto de

vista. En lo que sigue, adoptaremos el punto de vista de una distribución discreta de

materia para la demostración de los teoremas.

TEOREMA II.- El momento estático de un sistema de partículas respecto a

cualquier plano que pasa por su centro de masa es nulo.

§16.3.- Teoremas concernientes al centro de masa. 463

C OORDENADAS POLARES ESFÉRICAS ( r , θ, φ)

Figura 16.

ec. de transformación:

x r sen θ cos φ y r sen θ sen φ z r cos θ

r x^2 y^2 z^2

θ arctg x^

(^2) y 2 z

φ arctg y x

elemento de volumen:

d V = r^2 senθ d r dθ dφ

elementos de superficie:

d S (^) r = r^2 senθ dθ dφ d S θ = r senθ d r dφ d S φ = r d r

elemento de longitud:

d s = d r e r + re θ + r senθ dφ e φ d s^2 = d r^2 + r^2 dθ^2 + r^2 sen 2 θ dφ^2

El momento estático ( μ ) de un sistema de partículas respecto a un plano^2 se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por sus distancias respectivas, con signo incluido, al plano (Figura 16.9); esto es,

Figura 16.

μ [16.14]

N

i 1

m (^) i δ i

Para demostrar el teorema, consideremos un plano que pase por el centro de masas del sistema de partículas, expresado por su ecuación normal :

x cos α y cos β z cos γ δ 0 [16.15]

donde α, β y γ son los ángulos directores del vector normal al plano y δ es la distancia de éste al origen de coordena- das. Las coordenadas de una partícula genérica del sistema son ( x (^) i , yi , z (^) i ) y su distancia al plano es

δ (^) i x (^) i cos α y (^) i cos β z (^) i cos γ δ [16.16]

El momento estático del sistema de partículas respecto al plano es

[16.17]

μ

N

i 1

m (^) i ( x (^) i cos α y (^) i cos β z (^) i cos γ δ )

cos α

N

i 1

m (^) ix (^) i cos β

N

i 1

m (^) iy (^) i cos γ

N

i 1

m (^) iz (^) i δ

N

i 1

m (^) i

(^2) Análogamente se define el momento estático con respeto a un eje o a un punto.

464 Lec. 16.- Geometría de masas.

de modo que, teniendo en cuenta las expresiones

M [16.18]

N

i 1

m (^) i M x cm

N

i 1

m (^) i x (^) i M y cm

N

i 1

m (^) i y (^) i M z cm

N

i 1

m (^) i z (^) i

se obtiene finalmente

μ M ( x cm cos α y cm cos β z cm cos γ δ ) [16.19]

y como, por hipótesis, el centro de masa está contenido en el plano [16.15], es

x cm cos α y cm cos β z cm cos γ δ 0 [16.20]

de donde se sigue que (^) μ 0 c.q.d. [16.21]

Resulta fácil demostrar el teorema recíproco del anterior; esto es,

TEOREMA III.- Si el momento estático de un sistema de partículas respecto

a un plano dado es nulo, entonces, el centro de masa del sistema está situado

sobre dicho plano.

En efecto, si μ = 0, la expresión [16.19] nos asegura que las coordenadas del centro de masa satisfacen la ec. [16.20], por ser M ≠ 0, lo que significa que el centro de masa está situado sobre el plano dado.

Como consecuencia de estos dos teoremas se siguen inmediatamente los llamados

teoremas de Arquímedes :

TEOREMA IV.- Si un cuerpo tiene un plano de simetría, su centro de masa

está en dicho plano.

La simetría respecto a un plano significa que para cada partícula situada a un lado del plano existe otra de la misma masa que está situada en su imagen especular respecto al plano. Si se trata de una distribución continua de masa, la simetría respecto a un plano significa que la densidad en cualquier punto es igual a la densidad en su imagen especular respecto al plano.

Para demostrar el teorema, basta observar que un plano de simetría es un plano respecto al cual es nulo el momento estático del cuerpo; entonces, de acuerdo con el T EOREMA III, el centro de masa estará situado sobre dicho plano de simetría.

COROLARIO .- Si un cuerpo tiene dos planos de simetría, su centro de masa

está en la recta de intersección de ambos planos.

TEOREMA V.- Si un cuerpo tiene un eje de simetría, su centro de masa está

en dicho eje.

En efecto, el momento estático del cuerpo será nulo respecto a cualquier plano que pase por un eje de simetría, de donde se sigue el teorema.

TEOREMA VI.- Si un cuerpo tiene un centro de simetría, ese punto coincide

con su centro de masa.

Basta observar que el momento estático del cuerpo será nulo respecto a cualquier plano que pase por el centro de simetría, de donde se sigue el teorema.

Los teoremas anteriores nos permiten localizar inmediatamente, sin necesidad del

cálculo, el centro de masa en algunos casos (una varilla homogénea, una lámina

rectangular, un cilindro, una esfera, ...) o bien reducir el problema al cálculo de sólo

466 Lec. 16.- Geometría de masas.

de modo que S 2 π⌡⌠ [16.26] s

y d s

y la longitud de la circunferencia descrita por el centroide de la curva es

L 2 π y cm [16.27]

Pero, de acuerdo con la definición del centroide de una curva,

y cm^ ⌡ [16.28]

s

y d s

s

d s

s

y d s

s

S

2 π s

de donde se sigue el teorema: S 2 π y cm s L s [16.29]

TEOREMA IX.- El volumen V engendrado por una superficie plana al girar

Figura 16.

alrededor de un eje de su plano que no la corta es igual al producto del área

S de la superficie por la longitud L de la circunferencia descrita por su

centroide.

En efecto, suponiendo como antes que el eje de giro sea el x (Figura 16.11), el volumen engendrado por el elemento de área d S = d x d y al girar alrededor del eje x es

d V 2 π y d S [16.30]

de modo que V 2 π ⌡⌠ [16.31] S

y d S

y la longitud de la circunferencia descrita por el cen- troide de la superficie plana es

L 2 π y cm [16.32]

Ahora bien, de acuerdo con la definición del centroide de una superficie plana es

y cm [16.33]

S

y d S

S

d S

S

y d S

S

V

2 π S

de donde se sigue el teorema: V 2 π y cm S L S [16.34]

Ejemplo II.- Determinar el centro de masa de una

Figura 16.

varilla rectilínea, de sección transversal constante, va aumentando linealmente conforme nos distanciamos de uno de sus extremos. Tomemos el eje x a lo largo de la varilla; la densidad lineal vendrá expresada en la forma

§16.3.- Teoremas concernientes al centro de masa. 467

λ λ 0 kx

donde k es una constante y λ 0 es la densidad en el extremo x = 0. Teniendo en cuenta que d m = λ d x , la posición del centro de masa vendrá dada por

x cm^ ⌡

L 0

x d m

⌠ L

0

d m

L 0

λ x d x

⌠ L

0

λ d x

resultando que (^) ⌡⌠

L

0

λ d x (^) ⌡⌠

L

0

(λ 0 kx ) d x λ 0 L^1 2

kL^2

L

0

λ x d x (^) ⌡⌠

L

0

(λ 0 kx ) x dx^1 2

λ 0 L^2 3

kL^3

de modo que x cm

3 λ 0 L 2 kL^2 6 λ 0 3 kL

3 λ 0 2 kL 6 λ 0 3 kL

L

Si k = 0 (varilla homogénea), será x cm = L /2.

Si λ 0 = 0, será x cm = 2 L /3.

Ejemplo III.- Determinar el centro de masa

Figura 16.

(centroide) de un arco completo de cicloide, como el representado en la Figura 16.13.

Las ecuaciones paramétricas de la cicloi- de son:

x a (φ senφ ) y a (1 cosφ )

de modo que

d x a (1 cosφ )dφ d y a senφ dφ

y el elemento de longitud d s es

d s d x^2 d y^2 a 2 (1 cosφ ) dφ 2 a sen φ 2

de donde se sigue (^) ⌡⌠ s

d s (^) ⌡⌠

2 π

0

2 a sen φ 2

dφ 8 a

s

x d s (^) ⌡⌠

2 π

0

2 a^2 (φ senφ ) sen φ 2

dφ 8 π a^2

s

y d s (^) ⌡⌠

2 π

0

2 a^2 (1 cosφ ) sen φ 2

dφ 32 3

a^2

y el centroide del arco completo de cicloide está localizado en

§16.3.- Teoremas concernientes al centro de masa. 469

Sy^ d x^ d y^ ⌡

a

a

d x ⌡⌠

b (^) ⎯ (^1) ⎯ x^2 ⎯^ / a^2 ⎯ 0

y d y (^) ⌡⌠^

a

a

b^2 2

1 x^

2

a^2

d x^2 3

ab^2

de modo que

y cm

2 3 ab^

2

1 2 π ab

3 π

b

Ejemplo VI.- Determinar el centroide de un cascarón hemiesférico de radio R.

Figura 16.

Las coordenadas polares esféricas se adaptan perfectamente a la geometría del cuerpo. El elemento de superficie sobre la esfera de radio R viene expresado en coordenadas polares esféricas por:

d S R^2 senθ dθ dφ

El centroide del cascarón hemiesférico estará situado sobre su eje de simetría, de modo que, de acuerdo con la elección de los ejes en la Figura 16.16, es x cm = 0 e y cm = 0. Para la coordenada z cm tenemos

z cm^ ⌡

S

z d S

S

d S

con (^) z R cos θ

Al resolver las integrales anteriores, resulta:

S

d S (^) ⌡⌠⌡⌠ S

R^2 senθ dθ dφ R^2 ⌡⌠^

π/

0

senθ dθ ⌡⌠

2 π

0

dφ 2 π R^2

S

z d S (^) ⌡⌠⌡⌠ S

( R cosθ) ( R^2 senθ dθ dφ) R^3 ⌡⌠^

π/

0

senθ cosθ dθ ⌡⌠

2 π

0

dφ π R^3

o sea (^) z cm^ π R^

3

2 π R^2

R

Ejemplo VII.- Aplicar el primer teorema de Pappus-Guldin para determinar el centroide de una semicircunferencia de radio R.

Tomando los ejes cartesianos xy como se indica en la Figura 16.17, el centroide del arco de circunferencia se encontrará situado sobre el eje y (o sea, x cm = 0), por ser dicho eje un eje de simetría; bastará con determinar y cm.

El área de la superficie de revolución engendrada por la semicircunferencia al girar alrededor del eje x es la de una esfera; esto es,

470 Lec. 16.- Geometría de masas.

Figura 16.

S 4 π R^2

y la longitud de la línea es

s π R

de modo que, sustituyendo en la expresión [16.29], tenemos

4 π R^2 2 π y cmπ Ry cm^2 π

R

Ejemplo VIII.- Aplicar el segundo teorema de Pappus-Guldin para determinar el centroide del área

Figura 16.

sombreada en la Figura 16.18, limitada por la semicircunferencia de radio a y la semielipse de semiejes a y b.

Obviamente, el centroide de esa figura se encontrará situado sobre el eje y (o sea, x cm = 0); bastará con determinar y cm.

El volumen de cuerpo de revolución engendrado por el área sombrada al girar alrededor del eje x es el de una esfera menos el de un elipsoide de revolución;

V^4

π a^3 3

π ab^2 3

π a ( a^2 b^2 )

y el área de la superficie sombrada es

S^1

π a^2 2

π ab^1 2

π a ( a b )

de modo que, sustituyendo en la expresión [16.34], tenemos

4 3

π a ( a^2 b^2 ) 2 π y cm^1 2

π a ( a b ) ⇒ y cm^4 3 π

a^2 b^2 a b

3 π

( a b )

§16.4. Momentos de inercia.- De un modo completamente general

se define el momento de inercia de una distribución de materia con respecto

a un punto , a un eje o a un plano como la suma de los productos obtenidos

multiplicando la masa de cada una de las partículas que constituyen el

sistema material por el cuadrado de su distancia a dicho punto , eje o plano ,

respectivamente.

Estos momentos de inercia suelen recibir los nombres de polar , axial y

planario , respectivamente; están siempre representados por un número positivo, y sus

unidades en el sistema S.I. son kg m^2.

El momento de inercia de una distribución discreta de materia con respecto a un

punto, a un eje o a un plano cualquiera se calculará utilizando la expresión

472 Lec. 16.- Geometría de masas.

tendremos en cuenta la masa del elemento de línea, de superficie o de volumen,

respectivamente

d m λ d s d m σ d S d m ρ d V [16.40]

donde λ, σ y ρ son la densidad lineal, superficial y cúbica y d s , d S y d V los

elementos de longitud, de área y de volumen, correspondientes. Así, tendremos

I ⌡ [16.41]

C

λ δ^2 d s I

S

σ δ^2 d S I

V

ρ δ^2 d V

En el caso de que la distribución continua de materia sea homogénea, la densidad

será constante y podemos escribir

I λ ⌡ [16.42]

C

δ^2 d s I σ

S

δ^2 d S I ρ

V

δ^2 d V

de modo que la integral se reduce a un factor geométrico para todos los cuerpos

homogéneos de la misma forma y tamaño.

§16.5. Radio de giro.- Una magnitud estrechamente relacionada con el

momento de inercia respecto a un eje es el radio de giro K , definido por

[16.43]

I mK^2 → K I

m

donde I es el momento de inercia del cuerpo respecto al eje considerado y m es la

masa del cuerpo. El radio de giro K representa la distancia del eje a la que debería

encontrarse una masa igual a la del cuerpo para que tuviera el mismo momento de

inercia que el cuerpo respecto a dicho eje.

§16.6. Productos de inercia.- De un modo completamente general,

se definen los productos de inercia de un sistema material respecto a dos

planos ortonormales como la suma, cambiada de signo , de los productos

obtenidos multiplicando la masa de cada una de las partículas que constitu-

yen el sistema material por sus distancias (con signo) a dichos planos.

Los productos de inercia pueden tener valores positivos o negativos y sus

unidades en el sistema S.I. son kg m^2.

El producto de inercia de una distribución discreta de materia con respecto a dos

planos ortonormales, π 1 y π 2 (Figura 16.21 ), se calcula utilizando la expresión

I 12 [16.44]

i

m i δ1, i δ2, i

donde δ1, i y δ1, i son las distancias de la partícula i -ésima, de masa m i , a los planos π 1

y π 2 , incluyéndose el signo negativo en la definición.

§16.6.- Productos de inercia. 473

En particular, los productos de inercia de un

Figura 16.

sistema material con respecto a los planos cartesia-

nos x =0 (plano yz ), y =0 (plano xz ) y z =0 (plano xy )

los representaremos por I xy , Iyz e I zx y se calculan

mediante las expresiones:

[16.45]

I xy I yx

i

m i x i y i

I xz I zx

i

m i x i z i

I yz I zy

i

m i y i z i

En el caso de una distribución continua de

materia, los sumatorios de las expresiones anteriores serán sustituidos por integrales

extendidas a todo el recinto R ocupado por el cuerpo. Esto es

I 12 [16.46]

R

δ 1 δ 2 d m

y las expresiones [16.45] se escriben en la forma

[16.47]

I xy I yx

R

x y d m I xz I zx

R

x z d m

I yz I zy

R

y z d m

Así, pues, tendremos que resolver, como para los momentos de inercia, una integral

de línea, de superficie o de volumen según tengamos una distribución lineal,

superficial o cúbica de la masa del cuerpo. Si, además, el sistema material es

homogéneo, las integraciones se reducen a un factor geométrico.

Podemos decir que dos planos son planos principales de inercia de un cuerpo

cuando son perpendiculares entre sí y el producto de inercia respecto de ellos es nulo.

La intersección de dos planos principales de inercia es un eje principal de inercia.

Si se verifica que todos los productos de inercia con respecto de los planos

coordenados son nulos, entonces los planos coordenados son los plano principales

de inercia relativos al punto O. Las intersecciones de dichos planos, dos a dos ( i.e. ,

los ejes coordenados), son entonces los ejes principales de inercia en el punto O.

§16.7. Matriz de inercia.- La notación con doble subíndice para los momentos

y productos de inercia de una distribución de masas nos sugiere organizar dichos

elementos en la forma de una matriz cuadrada de 3 × 3. En efecto, en un sistema de

coordenadas cartesianas xyz , con origen en el punto O, podemos disponer los

momentos de inercia respecto de los ejes cartesianos como los elementos diagonales

de una matriz y los productos de inercia con respecto de los planos coordenados

como los elementos no diagonales; i.e. ,

§16.8.- Teoremas concernientes a los momentos y productos de inercia. 475

TEOREMA II.- La suma de los momentos de inercia con respecto a tres ejes

perpendiculares que se interceptan en un punto es igual al doble del

momento de inercia con respecto a dicho punto de intersección.

En efecto, sumando miembro a miembro las tres expresiones [16.37] concernientes a los momentos de inercia respecto a los tres ejes coordenados (ortogonales) se obtiene

I (^) xx I (^) yy I (^) zz 2 [16.50] i

m (^) i ( x (^) i^2 y (^) i^2 z (^) i^2 ) 2 i

m (^) ir (^) i^2 2 I O

de modo que dicha suma es isótropa, i.e. , independiente de la orientación del cuerpo respecto a los ejes coordenados. Obsérvese que el sumatorio del segundo miembro de [16.50] es el momento de inercia del cuerpo respecto al origen de coordenadas o momento de inercia polar , de donde se sigue el teorema.

En muchos problemas nos resultará útil el llamado Teorema de los Planos

Perpendiculares , que se enuncia así:

TEOREMA III.- El momento de inercia con respecto a un eje es igual a la

suma de los momentos de inercia con respecto a dos planos normales que

contengan al eje.

En efecto, de acuerdo con la definición del momento de inercia de un cuerpo respecto de un plano, los momentos de inercia respecto de los planos coordenados yz (de ecuación x = 0), xz (de ecuación y = 0) y xy (de ecuación z = 0), que designaremos respectivamente por I (^) x , Iy y I (^) z , son

I (^) x [16.51] i

m (^) i x (^) i^2 I (^) y i

m (^) i y (^) i^2 I (^) z i

m (^) i z (^) i^2

Sumando miembro a miembro dos cualesquiera de los momentos de inercia respecto a los planos coordenados se obtiene

[16.52]

I (^) y I (^) z i

m (^) i ( y (^) i^2 z (^) i^2 ) I (^) xx I (^) z I (^) x i

m (^) i ( z (^) i^2 x (^) i^2 ) I (^) yy

I (^) x I (^) y i

m (^) i ( x (^) i^2 y (^) i^2 ) I (^) zz

lo que demuestra el teorema.

Una variante del teorema anterior, llamada Teorema de los Ejes Perpendiculares

Figura 16.

es muy útil para el cálculo de momentos de inercia de láminas planas delgadas.

T EOREMA IV.- La suma de los momentos de

inercia de una lámina plana respecto a dos

ejes perpendiculares entre sí y contenidos en

el plano de la lámina es igual al momento de

inercia de la lámina respecto a un eje

perpendicular a su plano y que pasa por el

punto de intersección de los dos ejes

anteriormente citados.

Tomemos un sistema de ejes ortogonales de forma que la lámina se encuentre situada en el plano xy (Figura 16.22). Los momentos de inercia de la lámina con respecto a cada uno de los ejes coordenados son

476 Lec. 16.- Geometría de masas.

I (^) xx^ [16.53] i

m (^) i y (^) i^2 I (^) yy i

m (^) i x (^) i^2 I (^) zz i

m (^) i ( x (^) i^2 y (^) i^2 )

de modo que, evidentemente, se cumple

I (^) xx I (^) yy I (^) zz [16.54]

En relación con los planos y ejes principales de inercia, tenemos los siguientes

Figura 16.23 Figura 16.

teoremas:

TEOREMA V.- Si un cuerpo posee un plano de simetría, el producto de iner-

cia respecto de dicho plano y de otro perpendicular es nulo. Dichos planos

son planos principales de inercia del cuerpo.

En efecto, si elegimos como plano xy el de simetría (Figura 16.23), a todo elemento de masa mi de coordenadas ( x (^) i , yi , z (^) i ) le corresponde otro elemento de la misma masa de coordenadas ( x (^) i , yi ,- z (^) i ), de modo que al extender las sumas

I (^) xz I (^) zx i

m (^) i x (^) i z (^) i 0 I (^) yz I (^) zy i

m (^) i y (^) i z (^) i 0

a todo el cuerpo, el resultado será cero.

COROLARIO 1.- Si un cuerpo posee dos

Figura 16.

planos de simetría, la intersección de dichos

planos es un eje principal de inercia del

cuerpo ( Figura 16.24 ).

COROLARIO 2.- Todo plano de simetría de un

cuerpo es perpendicular a un eje principal del

mismo.

TEOREMA VI.- Si un cuerpo posee un eje de

simetría de revolución, dicho eje es eje

principal de inercia.

En efecto, si el sólido tienen simetría de revolución alrededor del eje z (Figura 16.25), entonces será Ixz = 0 y I (^) yz = 0, puesto que para cualquier elemento de masa m (^) i situado en ( xi , yi , z (^) i ) existe otro elemento de la misma masa situado en (- x (^) i ,- yi , zi ) de modo que al efectuar las sumas

I (^) xz I (^) zx i

m (^) ix (^) iz (^) i 0 I (^) yz I (^) zy i

m (^) iy (^) iz (^) i 0