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26.- El campo gravitatorio.
§26.1. Fuerzas gravitatorias entre partículas (785); §26.2. Intensidad del campo gravitatorio (786); §26.3. Fuerzas gravitatorias entre cuerpos extensos. Centro de gravedad (793); §26.4. Energía potencial gravitatoria (795); §26.5. Autoenergía gravitatoria (798); §26.6. Potencial gravitatorio (800); §26.7. Ley de Gauss (803); §26.8. Ecuaciones diferenciales del campo gravitatorio (808); Problemas (811)
§26.1. Fuerzas gravitatorias entre partículas.- El hecho de que las partículas
Figura 26.
materiales ejerzan fuerzas recíprocas entre sí, de naturaleza gravitatoria, aun cuando estén separadas por una cierta distancia, significa que debemos considerar algún mecanismo para la transmisión de la interacción gravitatoria. Podemos interpretar la interacción gravitatoria entre dos partículas, de masas M y m (Figura 26.1 ), como una acción directa entre ambas; este punto de vista recibe el nombre de acción a distancia. Este enfoque del problema es el que estuvo presente en la mente de Newton, aun cuando él se daba cuenta de que constituía un fallo en su teoría ( vide §7.11), y prevaleció hasta finales del siglo XIX. Hoy preferimos enfocar el problema de la ac- ción a distancia introduciendo el concepto de campo. Este concepto, que fue desarrollado por F ARADAY^1 para el electromagnetismo, y que fue adoptado posteriormente para la gravitación, se ha manifestado como una de las ideas más fecundas de la Física. Cuando interpretamos la interacción gravi- tatoria a través del concepto de campo , imagi-
(^1) Michel FARADAY (1791-1867); químico y físico inglés. Investigó los movimientos de la aguja
imanada bajo la acción de las corrientes eléctricas y los de las corrientes sometidas a las acciones de los polos magnéticos, así como las acciones químicas de las corrientes eléctricas. En 1831 descubrió los fenómenos de inducción electromagnética. Estableció la ley general de la inducción e introdujo el concepto de líneas de fuerzas eléctrica y magnética. En 1832 descubrió la inducción terrestre y la inducción unipolar.
Manuel R. Ortega Girón 785
786 Lec 26.- El campo gravitatorio.
namos que la presencia de una partícula material ( M ) en el espacio físico modifica
Figura 26.
en cierto modo las propiedades de dicho espacio, creando en él una situación física que llamamos campo gravitatorio ; este campo gravitatorio se reconoce por la fuerza que experimenta una segunda partícula ( m ) colocado en ese espacio. Análogamente, la segunda partícula ( m ) crea su propio campo gravitatorio, que produce una fuerza sobre la otra partícula. De este modo, el campo gravitatorio aparece como un agente intermediario en la propagación de la interacción gravitatoria entre dos partículas distantes. Así, la interacción gravitatoria entre las dos partículas puede interpretarse como un proceso en dos etapas. En la primera etapa, cada partícula establece una condición en el espacio que la rodea; crea un campo gravitatorio. En la segunda, el campo gravitatorio creado por cada una de las partículas da lugar a la aparición de una fuerza sobre la otra partícula.
Si la interacción gravitatoria se propagase con una velocidad infinita ( i.e. , si fuese instantánea) los dos puntos de vista anteriormente expuestos serían equivalen- tes. Si repentinamente se moviese una de las partículas a una nueva posición instantáneamente se modificaría el campo creado por ella y, en definitiva, la fuerza ejercida sobre la otra partícula. En realidad, deberá transcurrir un cierto intervalo de tiempo para la perturbación en el campo gravitatorio se propague de una partícula a la otra; dicha perturbación se propaga con la velocidad de 3×10 8 m/s que es también la velocidad de la luz. Si podemos despreciar el tiempo empleado en la propagación de la perturbación en el campo también podemos ignorar este agente intermediario y considerar que la interacción tiene lugar directamente entre las dos partículas. Como se comprenderá, estas consideraciones no están contenidas en la teoría newtoniana de la gravitación, sino que son características de la moderna teoría einsteniana. La teoría newtoniana puede considerarse como una aproximación válida cuando pueda despreciarse el tiempo de propagación de la interacción. Así, por ejemplo, durante los casi ocho minutos que se emplean en la propagación del campo gravitatorio entre el Sol y la Tierra, ésta sólo se mueve 5.5 milésimas de grado sobre su órbita, de modo que podemos considerar las fuerzas entre el sol y la tierra como ejercidas directamente entre ellos.
§26.2. Intensidad del campo gravitatorio.- Supongamos que tenemos una partícula de masa m en una posición fija del espacio y que colocamos en diferentes posiciones alrededor de ella otra partícula de masa m , como ilustramos en la
788 Lec 26.- El campo gravitatorio.
Internacional de Unidades (S.I.)^2. De hecho, la intensidad del campo gravitatorio es realmente una aceleración^3 : la aceleración experimentada por una partícula situada en P sobre la que no actúen más fuerzas que la gravitatoria. Así, podemos considerar la llamada aceleración de la gravedad (no la aceleración de caída libre, que incluye los efectos derivados de la rotación terrestre) como la intensidad del campo gravitatorio terrestre. Una característica importante de la gravitación
Figura 26.
es la independencia de la interacción gravitatoria entre dos partículas de la presencia de otras partí- culas. Esto es, la fuerza gravitatoria entre dos partículas, de masas m a y m b, es totalmente inde- pendiente de la presencia de una tercera partícula, de masa m c. Entonces, si la fuerza que ejerce m b sobre m a (en ausencia de m c) es F ab, y la fuerza que ejerce m c sobre m a (en ausencia de m b ) es F ac, la fuerza resultante que actuará sobre m a cuando ambas partículas, m b y m c , estén presentes, será F a = F ab + F ac, como ilustramos en la Figura 26.5. Este es
Figura 26.
el Principio de Superposición para las fuerzas gravitatorias. De conformidad con el principio de super- posición, la fuerza gravitatoria que actuará sobre una partícula de masa m , situada en un punto P definido por el vector de una posición r respecto a un cierto origen, debida a la presencia de otras partículas de masas m (^) i ( i = 1, 2, ...), localizadas por los correspondientes vectores de posición r i ( i = 1, 2, ...), se expresará como la suma de las fuerzas que originarían sobre m cada una de esas partículas obrando por separado:
F [26.4]
i
Gmm (^) i ( r r (^) i ) r r (^) i^3 i
Gmm (^) i ( r (^) i r ) r (^) i r^3
y la intensidad el campo gravitatorio resultante en el punto P vendrá dada por la suma vectorial de los campos parciales debidos a cada una de las partículas m (^) i :
g [26.5] i
Gm (^) i ( r r (^) i ) r r (^) i^3 i
Gm (^) i ( r (^) i r ) r (^) i r^3
Si en lugar de tener una distribución de masas puntuales tenemos una distribución continua de masa, debemos proceder descomponiéndola en porciones
(^2) En el sistema c.g.s. de unidades, la unidad de intensidad del campo gravitatorio es la dyn/g
o cm/s^2 , que recibe el nombre de gal.
(^3) Esto es una consecuencia de la equivalencia entre la masa inercial y la masa gravitatoria.
§26.2.- Intensidad del campo gravitatorio. 789
elementales (infinitesimales), de masa d m ′, como se
Figura 26.
ilustra en la Figura 26.7. Obsérvese que utilizamos la notación con "prima" para referirnos a la masa y localización de la distribución de materia que crea el campo que queremos calcular en un punto definido por el vector de posición r (sin prima)^4. En definitiva, las expresiones [26.4] y [26.5] se transforman, respectivamente en
[26.6]
F ( r ) Gm (^) ⌡⌠^ ( r ′^ r^ ) d m ′ r ′ r^3
g ( r ) G (^) ⌡⌠^ ( r ′^ r^ ) d m ′ r ′ r^3
extendiéndose la integración a toda la región ocupada por la distribución continua de materia. Si consideramos la densidad ρ( r ′) de dicha distribución, las expresiones anteriores adoptan la forma:
[26.7]
F ( r ) Gm (^) ⌡⌠^ ( r ′^ r^ )^ ρ( r ′)d V ′ r ′ r^3
g ( r ) G (^) ⌡⌠^ ( r ′^ r^ )^ ρ( r ′)d V ′ r ′ r^3
El cálculo de la fuerza sobre m , o el del campo gravitatorio en P, a partir de las expresiones anteriores es difícil, salvo unos pocos casos muy particulares, debido a que las sumas y las integrales se refieren a vectores. Más adelante veremos otros procedimientos, para resolver el mismo problema, que presentan menos dificultades de cálculo.
Ejemplo I.- Corteza esférica.- Calcular el campo gravitatorio debido a una delgada corteza esférica homogénea, de radio R y masa M , en un punto P situado: a) fuera de la corteza esférica; b) dentro de la corteza. Tenemos una distribución superficial de masa, de modo que podemos definir una densidad su- perficial σ tal que
σ M [26.8] 4 π R^2
ya que 4π R^2 es la superficie de la esfera. a) Para calcular la intensidad del campo gravitatorio en un punto P exterior a la corteza, observaremos en primer lugar que cada elemento de superficie produce en P un campo gravitatorio
(^4) El punto definido por r , donde queremos calcular el campo, recibe el nombre de punto de
campo ; los puntos definidos por r ′, donde se encuentran las masas que originan el campo, son llamados puntos fuente ( source points ). Utilizaremos la notación con "prima" en aquellos casos en que pudiera haber confusión.
§26.2.- Intensidad del campo gravitatorio. 791
g GM [26.16] r^2
( r > R )
Este resultado es el mismo que correspondería a una masa puntual M situada en el centro de la corteza esférica. Acabamos de demostrar que
una esfera hueca y homogénea atrae a una partícula situada en su exterior como si toda la masa de la esfera estuviese concentrada en su centro. b) Para calcular el campo en un punto P interior a la corteza
Figura 26.
esférica, seguiremos el mismo procedimiento que en el apartado anterior, y llegaremos de nuevo a la expresión [26.14]. Pero ahora, al sumar las contribuciones de todas las esféricas elementales, la variable s varía desde s = R - r (para θ = 0), hasta s = R + r (para θ=180°), de modo que
[26.17] ⌡
⌠
R r R r
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
1 r^
(^2) R 2 s^2
d s 0
de modo que resulta
g 0 ( r < R ) [26.18]
para todos los puntos interiores a la corteza esférica. Este resultado es muy importante. Aunque no
Figura 26.
es obvio, podemos justificarlo por que los elementos de masa diametralmente opuestos, sobre la corteza esférica determinan fuerzas en sentidos opuestos, pero de igual módulo, sobre una masa puntual m colocada en un punto cualquiera en el interior de la esfera hueca. La anulación completa del campo gravitatorio en el interior de una esfera hueca y homogénea es consecuencia de la dependencia de la intensidad del mismo con la inversa del cuadrado de la distancia ( vide Problema 26.22 ). En la Figura 26.10 hemos representado gráfi- camente la intensidad del campo gravitatorio debido a una corteza esférica homogénea en función de la distancia r al centro de la corteza.
Ejemplo II.- Distribución esférica de masa.- Utilizar los resultados del ejemplo anterior para calcular la intensidad del campo gravitatorio debido a una esfera maciza, de radio R y masa M , homogénea o con una distribución de masa con simetría esférica, en un punto P situado: a) en el exterior de la esfera y b) en el interior de la esfera. a) El campo gravitatorio en el exterior de cualquier distribución de masa con simetría esférica puede considerarse como la superposición de los campos gravitatorios debidos a infinitas cortezas esféricas concéntricas y homogéneas (aun cuando puedan tener diferentes densidades), embutidas unas dentro de las otras como las sucesivas capas de una cebolla. El campo debido a cada una de esas capas, en un punto P exterior a la esfera total, es el mismo que produciría una masa puntual, igual a la masa de la capa, situada en el centro de la esfera. En consecuencia, el campo total producido en P es el mismo que el que produciría toda la masa de la esfera, supuesta puntual y situada en el centro de la misma. Esto es
792 Lec 26.- El campo gravitatorio.
Figura 26.
g GM [26.19] r^2
( r > R )
Por consiguiente, un cuerpo de gran tamaño, como la Tierra, la Luna, ..., atraerá a otro cuerpo situado en su exterior en la misma forma en que lo haría toda su masa, considerada como puntual, situada en el centro de la esfera. Así, al calcular la fuerza de atracción entre la Tierra y la Luna, la distancia debe utilizarse en la expresión de la ley de la gravitación es la que existe entre los centros de ambas esferas. b) Al calcular la intensidad del campo gravi-
Figura 26.
tatorio en un punto P interior a la esfera ( r < R ), hemos de tener en cuenta que las capas esféricas externas a dicho punto no contribuyen al campo en P, de modo que
g Gm [26.20] r^2 donde m representa la masa total de las capas internas respecto al punto P. Si consideramos el caso de una esfera homogénea, las masa m y M se encuentran en la proporción
m [26.21] M
r^3 R^3
de modo que g Gm [26.22] r^2
GM R^3
r ( r < R )
y la intensidad del campo gravitatorio aumenta linealmente con la distancia al centro de la esfera, cuando r < R. En la Figura 26.12 hemos representado gráficamente la intensidad del campo gravitatorio debido
Figura 26.
a una esfera maciza y homogénea en función de la distancia r al centro de la misma.
El campo gravitatorio es un campo vectorial, y puede representarse figurativa- mente mediante líneas vectoriales , también llamadas líneas de fuerza. Dichas líneas vectoriales o de fuerza nos indicarán la dirección del campo en cada uno de los puntos del espacio. Una partícula material abandonada en reposo en un campo gravitatorio se moverá a lo largo de una línea de fuerza, en el sentido marcado por ella. Como es natural, sería posible trazar un gran número de líneas de fuerza para representar gráfica- mente un campo gravitatorio; sin embargo, es preferible espaciarlas de tal modo que el número de ellas que atravie- sen la unidad de área de sección transversal sea proporcio- nal a la magnitud del campo gravitatorio ( g ). De ese modo, la representación del campo mediante líneas de fuerza nos
794 Lec 26.- El campo gravitatorio.
En lugar de abordar el problema general, imaginare-
Figura 26.
mos un cuerpo extenso de masa M y una partí- cula de masa m situada en un punto P ( Figu- ra 26.17). Dividamos el cuerpo extenso en elementos de masa m (^) i; cada uno de ellos será atraído hacia m con una fuerza que designare- mos por F i, y a su vez atraerá a la partícula de masa m con una fuerza - F i. Sobre el cuerpo extenso actúa un sistema de fuerzas F i, con i = 1, 2, ..., que será reducible (§2.9) a una fuerza única F , que pase por un punto arbitrario, más un par. Sea F esa fuerza
Figura 26.
F [26.24]
i
F (^) i
y P el punto arbitrario. Como las líneas de acción de todas las fuerzas F (^) i pasan por el punto P,el momento resultante respecto de P es nulo, de modo que el par se anula.el sistema de fuerzas F i tiene,por tanto, una resultante F cuya línea de acción pasa por el punto P, donde está situada la partícula de masa m. Naturalmente, la fuerza resultante que actúa sobre m es - F. Localicemos sobre la recta de acción de las fuerzas F y - F un punto G, situado a una distancia r de P tal que
F F GMm [26.25] r^2
de modo que el sistema de fuerzas gravitatorias ejercidas entre el cuerpo extenso M y la partícula m sea equivalente al de las fuerzas gravitatorias únicas F sobre M y - F sobre m , como si toda la masa del cuerpos extenso estuviese concentrada en el punto G. El punto G recibe el nombre de centro de gravedad del cuerpo extenso M respec- to al punto P. El centro de gravedad de un cuerpo extenso, respecto a un punto dado P, no coincide, en general, con el centro de masa del mismo; ni tan siquiera tiene porque estar situado sobre la recta que une el punto P con el centro de la masa. Las partes de M más alejadas de P son atraídas hacia P más débilmente que las más próximas; al determinar el centro de masa, todas las partes de M son atraídas con la misma intensidad. El centro de gravedad de M coincidirá con el centro de masa cuando el punto P esté muy alejado en comparación con las dimensiones del cuerpo, pues en- tonces el cuerpo M será prácticamente uniforme ( vide §23.5). También, en el caso de una esfera homogénea, o de una distribución de masa con la simetría esférica, el centro de gravedad coincide con el centro de masa, con independencia de la posición del punto P (ejemplos I y II). En general, no es posible definir centros de gravedad únicos para dos cuerpos extensos, ni tan siquiera relativos entre sí; salvo en muy pocos casos especiales, como
§26.3.- Fuerzas gravitatorias entre cuerpos extensos. Centro de gravedad. 795
el de los cuerpos muy alejados el uno del otro, o cuando uno de ellos tiene una distribución de masa con simetría esférica.
Ejemplo III.- Anillo.- Localizar el centro de gravedad de un anillo homogéneo, de radio R y masa M , respecto a un punto P situado sobre el eje de revolución del anillo y a una distancia de su centro: a) igual a R , b) igual a 2 R y c) mucho mayor que R. El campo gravitatorio creado por el anillo en cualquier punto de su eje de revolución estará dirigido, por razones de simetría, hacia el centro del anillo, y su magnitud será:
g GM [26.26] s^2
cosα GM s^2
r s
G M r ( r^2 R^2 ) 3/ a) Para r = R es
Figura 26.
g GMR [26.27] (2 R^2 ) 3/
GM R^2
GM ( R r g) 2
de donde se sigue fácilmente que es
r [26.28] g R^ (^
4 8 ) 0.682 R
b) Para r = 2 R , es
g GM^^2 R [26.29] (5 R^2 ) 3/
GM R^2 125/
GM (2 R r g) 2
y despejando el valor de r g , se obtiene
[26.30] r g R
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
2
4 125 4
0.364 R
c) Cuando r » R , es
g ≈ GMr [26.31] ( r^2 ) 3/
GM R^2
GM ( r r g) 2
de modo que es r g 0 [26.32]
y el centro de gravedad del anillo coincide con su centro de masa.
§26.4. Energía potencial gravitatoria.- Las fuerzas gravitatorias entre dos partículas materiales son fuerzas centrales cuyos módulos dependen solamente de la distancia que las separa. Por consiguiente, como ya hemos demostrado en los epígra- fes §10.6 y siguientes, la fuerza gravitatoria es conservativa, y podemos asociar con ella una energía potencial gravitatoria ( vide §10.7).
§26.4.- Energía potencial gravitatoria. 797
aplicada , que equilibre a la fuerza del campo ( F ap = - F ), para llevar a la partícula m desde r hasta el infinito. Aunque estamos expresándonos en términos de la energía potencial gravitatoria de una partícula de masa m en el campo gravitatorio de otra partícula de masa M , conviene insistir en que la energía potencial es una propiedad del sistema de dos (o más) partículas, y no de una u otra; cada partícula está en el campo gravitatorio de la otra (u otras). No tiene sentido alguno asignar parte de la energía potencial a m y parte a M. La energía potencial gravitatoria debe interpretarse como una energía ligada con la configuración del sistema de dos o más partículas; cuando dicha configuración se modifica, cambia la energía potencial gravitatoria, y dicho cambio, con signo negativo, es igual al trabajo realizado por las fuerzas gravitatorias. Cuando una partícula de masa m se encuentra en el campo gravitatorio creado por otras partículas, m i ( i = 1, 2, ...), localizadas por los vectores de posición r i (Figura 26.6 ), la fuerza total que actuará sobre la partícula m será F = F i, y la energía potencial asociada a dicha partícula en el punto P será
E p ( r ) [26.38] ⌡
∞
r
F d r (^) ⌡⌠^
∞
r
[
i
F (^) i ] d r i ⌡
∞
r
F (^) i d r i
Gmm (^) i r r (^) i
Y si en lugar de tener una distribución de masas puntuales m i, tuviésemos una distribución continua de materia, con una densidad ρ( r ′), la energía potencial gravitatoria de la partícula de masa m colocada en P (Figura 26.7 ) será
E p ( r ) Gm [26.39] ⌡
⌠ d m ′ r r ′
Gm (^) ⌡⌠ ρ( r ′) d V ′ r r ′
extendiéndose la integración a toda la región del espacio ocupada por la distribución de masa que crea el campo.
Consideremos ahora un desplazamiento elemental y arbitrario (d r ) de una partícula de masa m en un campo gravitatorio. La expresión [26.36] nos permite escribir (Figura 26.20 ):
d E p F d r F d s cos θ [26.40]
o sea
Figura 26.
F cos θ F (^) s^ d E p [26.41] d s
de modo que la componente de la fuerza que actúa sobre la partícula en la dirección del desplazamiento elemental es igual a la derivada de la energía potencial gravitatoria en esa dirección, cambiada de signo; esto es lo que llamamos derivada direccional. Como ya vimos en §3.6, cuando un vector es tal que su componente en una dirección cualquiera puede expresarse como la derivada direccional de una función escalar de punto en esa dirección, el vector puede expre- sarse como el gradiente de esa función. De ese modo, podemos decir que la fuerza
798 Lec 26.- El campo gravitatorio.
gravitatoria F que actúa sobre la partícula m es igual al gradiente, cambiado de signo, de la función energía potencial gravitatoria; esto es
F grad E p ∇ E p [26.42]
Como las expresiones [26.20] y [26.39] para la energía potencial gravitatoria sólo implican sumas e integraciones escalares, serán más fáciles de calcular que las expresiones [26.4] y [26.7] para la fuerza gravitatoria, que implicaban sumas e integraciones vectoriales. Así pues, cuando deseemos calcular la fuerza gravitatoria sobre m , nos resultará más sencillo encontrar primero la expresión de la energía potencial gravitatoria de la partícula m en el campo; luego, la expresión [26.42] nos permitirá calcular la fuerza sobre m de un modo simple.
§26.5. Autoenergía gravitatoria.- Consideremos dos partículas materiales, de masas respectivas m 1 y m 2 , separadas por una distancia r 1 - r 2. Como acabamos de ver en el epígrafe anterior, la energía potencial gravitatoria asociada con esa configuración del sistema de dos partículas es
E p G m^1 m^2 [26.43] r 1 r 2
tomando como configuración de referencia de energía potencial nula aquélla en la que las partículas están separadas por una distancia infinita. Esta energía potencial gravitatoria representa el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria, cambiado de signo, para constituir el sistema de dos partículas a partir de la configuración de referencia patrón. Si quisiéramos separar las dos partículas hasta una distancia infinita, deberíamos aplicar en todo instante una fuerza F ap = - F , igual y de sentido opuesto a la de atracción gravitatoria; esta fuerza realizaría un trabajo
W (^) Aap→∞ G [26.44]
m 1 m 2 r 1 r 2
Esto es, debemos suministrar energía al sistema de partículas para disgregarlo; esta energía puede considerarse como una especie de energía de enlace , que mantiene la configuración del sistema, oponiéndose a su disgregación.
Estas mismas consideraciones pueden extenderse para un sistema de N partículas. La energía potencial gravitatoria de un sistema de N partículas es igual a la suma de las energías potenciales asociadas con todos los pares de partículas
E p G [26.45] i , j
m (^) im (^) j r (^) i r (^) j
G
N
i > j
N
j 1
m (^) im (^) j r (^) i r (^) j
que podemos escribir igualmente en la forma
E p^1 [26.46] 2
G
N
i 1
N
j 1
m (^) i m (^) j r (^) i r (^) j
800 Lec 26.- El campo gravitatorio.
§26.6. Potencial gravitatorio.- Definimos el potencial gravitatorio ( r ) en un punto P, localizado mediante el vector de posición r , relativo a un cierto origen, como la energía potencial gravitatoria por unidad de masa de una partícula situada en dicho punto; esto es,
( r ) E p, m ( r ) [26.51] m El potencial gravitatorio es una magnitud física escalar; en el Sistema Internacional de Unidades (S.I.) se mide en J/kg. Además, puesto que la energía potencial gravitatoria de una partícula de masa m es directamente proporcional a la masa de ésta, resulta que el potencial gravitatorio en un punto genérico P del campo gravitatorio es función únicamente de la posición de dicho punto. En consecuencia, la función escalar de punto ( r ) define un campo escalar , al que llamaremos campo de potencial gravitatorio (o simplemente, potencial gravitatorio ).
Para una partícula de masa m situada en un campo gravitatorio g ( r ) podemos expresar la fuerza que actúa sobre ella y "su" energía potencial gravitatoria por
F m g E p m [26.52]
Podemos reescribir la expresión [26.34] del trabajo realizado por el campo gravitatorio en un desplazamiento A→B de la partícula de masa m , en la forma
W A→B [26.53] m ⌡
B
A
g d r [ (B) (A) ]
de modo que la circulación del campo gravitatorio g ( r ) entre los puntos A y B es igual al cambio que experimenta la función potencial , con signo negativo, al pasar del punto A al B. El potencial gravitatorio, al igual que la energía potencial, no tiene carácter absoluto. Únicamente podemos dar significado a la diferencia de potencial entre dos puntos. Si asignamos un valor arbitrario al potencial en el punto A, podemos calcular el potencial en el punto B:
(B) (A) [26.54]
B
A
g d r
y si convenimos en asignar un potencial nulo a un punto muy alejado, esto es, (∞) = 0, el potencial en un punto genérico P será
( r ) [26.55] ⌡
r
∞
g d r (^) ⌡⌠^
∞
r
g d r
de modo que el potencial en cualquier punto situado a una distancia finita será siempre negativo, ya que
representa el trabajo por unidad de masa que realiza el campo cuando la partícula se desplaza desde el punto P hasta el infinito.
§26.6.- Potencial gravitatorio. 801
Las expresiones anteriores nos permiten calcular el potencial gravitatorio ( r ) una vez conocido el campo gravitatorio g ( r ) y elegido un punto arbitrario al que asignamos un potencial de referencia. En la práctica resulta más conveniente calcular el potencial directamente, a partir del conocimiento de la distribución de masa que crea el campo.
En el caso de una única partícula, de masa M , el potencial gravitatorio en un punto genérico P vendrá dado por
( r ) G M [26.56] r La expresión [26.38] nos permite obtener inmediatamente la expresión del potencial gravitatorio creado por un sistema de partículas, de masas m i ( i = 1, 2, ...) y localizadas por los vectores de posición r i, en el punto genérico P:
p ( r )^ [26.57] i
G m (^) i r r (^) i
y, análogamente, si ρ( r ′) representa la densidad de una distribución continua de masa, a partir de la expr. [26.39]^ podemos escribir
p ( r )^ G^ [26.58] ⌡
⌠ d m ′ r r ′
G (^) ⌡⌠ ρ( r ′) d V ′ r r ′
extendiéndose la integración a toda la región del espacio ocupada por dicha distribución de masa.
Como el potencial gravitatorio es una función escalar de punto, y las expresiones
Figura 26.22 Figura 26.
[26.57] y [26.58] que nos permiten calcularlo sólo entrañan sumas e integrales escalares, resultará más fácil, por lo general, determinar el potencial gravitatorio ( r ) que el campo gravitatorio g ( r ). Una vez conocida la función potencial ( r ) será fácil encontrar la función vectorial g ( r ), ya que
g grad ∇ [26.59]
§26.6.- Potencial gravitatorio. 803
Figura 26.
[26.62] ⌡
⌠
r R r R
d s s rr^ RR 2 R
de modo que
G M [26.63] r
( r > R )
b) Análogamente procederemos para calcular el potencial en un punto P interior (Figura 26.9 ); los límites de integración son R - r y R + r :
[26.64] ⌡
⌠
R r R r
d s s RR^ rr 2 r
y el potencial será
G M [26.65] R
( r < R )
esto es, el mismo para todos los puntos interiores a la corteza esférica. En la Figura 26.25 hemos representado gráficamente el potencial gravitatorio debido a una corteza esférica homogénea en función de la distancia al centro de la misma. c) Conocida la función potencial, podemos calcular con facilidad el campo gravitatorio. Dada la simetría esférica del problema, la expresión del gradiente en coordenadas polares esféricas se reduce a
∇ d [26.66] d r
e (^) r
de modo que
g d [26.67] d r
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
GM r
e (^) r GM r^2
e (^) r ( r > R )
g d [26.68] d r
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
GM R
e (^) r 0 ( r < R )
de acuerdo con los resultados obtenidos en el Ejemplo I.
§26.7. Ley de Gauss.- Consideremos una partícula única, de masa m , situada en un punto P del espacio; el campo gravitatorio creado por ella en cualquier otro punto del espacio será
g G m [26.69] r^2
e (^) r
Calcularemos ahora el flujo de dicho campo gravitatorio a través de una superficie cerrada arbitraria. Comenzaremos calculando el flujo elemental dΦ que atraviesa un elemento de superficie d S. Recordemos que la dirección del vector d S
804 Lec 26.- El campo gravitatorio.
ÁNGULO SÓLIDO
Consideremos una superficie S , como se muestra en la Figura 26.26 , y unamos todos los puntos de su contorno con un punto P. De este modo obtendremos una superficie cónica, de vértice en P, que delimitará un área Ω sobre la superficie de una esfera de radio unidad y centrada en P. Dicha área constituye una medida de ángulo sólido bajo el cual se ve la superficie S desde el punto P.
D EFINICIÓN : Se define el ángulo sólido Ω bajo el cual se ve una superficie S desde el punto P como el área de la proyección cónica de dicha superficie sobre una esfera de radio unidad centrada en P. La unidad de ángulo sólido es el estereo-
Figura 26.
rradián (sr), definido como el ángulo sólido que teniendo su vértice en el centro de una esfera, delimita un área en la superficie de la misma igual a la de un cuadrado cuyos lados sean iguales a la longitud del radio. Por convenio, se dice que el ángulo sólido es positivo si desde el punto P se divisa la cara negativa ( cóncava ) de la superficie. El ángulo sólido será negativo si desde P se divisa la cara positiva (convexa) de la superficie. De acuerdo con las definiciones anteriores, es fácil comprender que el ángulo sólido bajo el cual se ve una superficie cerrada desde un punto P situado en el interior de la misma vale +4π sr. Esto es así porque toda la superficie de la esfera de radio unidad, cuya área es 4π, quedará recubierta al proyectar sobre ella la superficie cerrada que la envuelve.
En cambio, el ángulo sólido bajo el cual se ve una
Figura 26.
superficie cerrada desde un punto P exterior a la misma es nulo. En la Figura 26.27 se ilustra esta situación. Desde P vemos la cara positiva (convexa) de la superficie cerrada bajo un ángulo sólido que designaremos por -Ω. Inmediatamente detrás vemos la cara negativa (cóncava) de la superficie, bajo el mismo ángulo sólido, en valor absoluto, que designaremos por +Ω. Obviamente, resulta que Ωtotal = -Ω +Ω = 0. Busquemos ahora la expresión del elemento de ángulo sólido dΩ bajo el cual se ve un elemento de superficie d S desde un punto P, como se ilustra en la Figura 26.28. El producto escalar e r d S = d S cosθ represen- ta la proyección del vector d S en la dirección radial e r procedente de P y que pasa por el "centro" del elemento de superficie. Dicho de otro modo, e r d S es la proyección del elemento de área d S sobre un plano perpendicular
