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34.- Flujo viscoso.
§34.1. Concepto de capa limite (1015); §34.2. Flujo laminar y flujo turbulento (1019); §34.3. Flujo interno (1021); §34.4. Flujo en tuberías. Ley de Hagen-Poiseuille (1025); §34.5. Ecuación de Bernoulli para el flujo viscoso. Pérdida de carga (1029); §34.6. Calculo de las perdidas de carga en tuberías (1031); §34.7. Flujo externo (1037); §34.8. Arrastre y sustentación (1039); §34.9. Arrastre (1039); §34.10. Sustentación. Efecto Magnus (1044); §34.11. Sustentación de un perfil aerodinámico (1046); Problemas (1048)
Como complemento de la lección precedente, que ha estado dedicada al estudio de los fundamentos teóricos del movimiento de los fluidos viscosos, esta lección está dedicada a resolver algunos casos prácticos interesantes. Los objetivos de esta lección serán la determinación del campo de velocidades, de la distribución de esfuerzos cortantes, del caudal y de la caída de presión en conducciones y tuberías y la evaluación del arrastre y de la sustentación sobre cuerpos que se mueven en el seno de un fluido. Para ello emplearemos básicamente la formulación general desarrollada en la lección anterior e introduciremos algunos conceptos nuevos.
§34.1. Concepto de capa limite.- Todos los fluidos poseen viscosidad; por consiguiente, el flujo viscoso es de gran importancia en el estudio de la dinámica de los fluidos reales. Sin embargo, existen situaciones en las que los efectos viscosos son despreciables y en las que el flujo puede considerarse como no-viscoso. Estudiaremos ahora esta cuestión. Como se recordará, las leyes de la viscosidad de Newton y Stokes establecen la existencia de dos factores fundamentales con los que está relacionada la distribución de esfuerzos cortantes en el seno de un fluido en movimiento; estos factores son la viscosidad del fluido y el gradiente del campo de velocidades. En consecuencia, incluso para fluidos poco viscosos (como los gases), los esfuerzos cortantes serán importantes en aquellas regiones del flujo donde exista un gradiente de velocidad elevado. Como ya sabemos, en cualquier flujo de un fluido real, el fluido en contacto directo con un contorno sólido posee la misma velocidad que el contorno sólido mismo; i.e. , se produce una adherencia del fluido al contorno sólido. Puesto que la velocidad del fluido en contacto con el contorno sólido es cero, respecto al mismo, en tanto que el fluido en su conjunto se mueve respecto al contorno sólido, aparece un gradiente de velocidad en el flujo, lo que da lugar a la aparición de esfuerzos cortantes que, a su vez, afectan al flujo.
Manuel R. Ortega Girón 1015
1016 Lec. 34.- Flujo viscoso.
Analizaremos la naturaleza del flujo sobre una lámina plana estacionaria, como
Figura 34.
se ilustra en la Figura 34.1 , en el que el fluido que se aproxima a la lámina posee una velocidad de flujo no perturbado v ∞ ( velocidad de corriente libre ). Estamos interesados en obtener una descripción cualitativa de la distribución de velocidad de flujo en los puntos de una recta perpendicular a la lámina ( perfil de velocidad ), en diversas posiciones a lo largo de ésta. Para ello centraremos nuestra atención en dos posiciones, de abscisas x 1 y x 2 , como se muestra en la Figura 34..
Comenzaremos considerando la posición x 1. La condición de adherencia impone que la velocidad en el punto A debe ser cero; así tenemos un punto en el perfil de velocidad correspondiente. Como la lámina permanece fija, ejerce una fuerza retardadora sobre el movimiento del fluido, de modo que éste se frena en la proximidad de la superficie de la lámina. Sin embargo, en un punto tal como el B situado a una distancia suficientemente grande de la lámina, el flujo no estará influenciado por la presencia de ésta. Entonces, si estipulamos que la presión no varía en la dirección del flujo (eje x ), como ocurre en el caso de una lámina plana semiinfinita, la velocidad en el punto B debe ser v ∞. En estas condiciones, parece razonable aceptar que la velocidad v (^) x aumenta continuamente desde el valor v (^) x =0 en y =0 hasta vx = v ∞ en y = y B, de modo que el perfil de velocidad en la posición x 1 tendrá el aspecto que se muestra en la Figura 34.1. En consecuencia, en la región 0≤ y ≤ y B, en la que existe un gradiente transversal de velocidad, existirán esfuerzos cortantes importantes en el seno del fluido; fuera de esta región, para y ≥ y B, el gradiente transversal de velocidad es nulo y no existirán esfuerzos cortantes.
La situación en la posición x 2 es análoga, pero no exactamente la misma, a la que hemos descrito para la posición x 1. Es razonable esperar que la influencia de la lámina se deje sentir en una mayor región del flujo a medida que éste avanza sobre la lámina. Puesto que en la posición x 1 las capas fluidas más lentas ejercen una fuerza tangencial de frenado sobre las capas más rápidas situadas inmediatamente encima, cabe esperar que la distancia y B′, correspondiente al punto B′ donde la velocidad de flujo es v ∞, debe incrementarse en la posición x 2 ; esto es, y B′> y B. En consecuencia, también será razonable que v C> v C′, para una misma distancia a la lámina ( y C= y C′) en las posiciones x 1 y x 2.
1018 Lec. 34.- Flujo viscoso.
rápidamente y los perfiles de velocidad son similares a los que se muestran en la
Figura 34.
Figura 34.2. Si el gradiente de presión adverso es suficientemente grande, se presentará una separación del flujo respecto del contorno, apareciendo una región de flujo invertido. El punto situado sobre el contorno en el cual es (∂ vx /∂ y ) y =0=0 recibe el nombre de punto de separación. A partir del punto de separación, la dirección del flujo en la región separada es opuesta a la del flujo principal; el fluido de baja velocidad contenido en la región separada es forzado a incorporarse al flujo principal impelido por el aumento de presión "corriente abajo". El efecto del gradiente longitudinal de presión es de suma importancia en el
Figura 34.
establecimiento del flujo en difusores y boquillas y alrededor de objetos. Así, en el caso de un difusor (Figura 34.3a ) está involucrado un gradiente de presión adverso, de modo que la capa límite crece muy rápidamente y hay una fuerte tendencia a la separación del flujo cuando el ángulo de divergencia del difusor es grande. Por el
§34.1.- Concepto de capa limite. 1019
contrario, en una boquilla (Figura 34.3b ) se presenta un gradiente de presión favorable, de modo que la capa límite crece gradualmente y no es posible la separación, por lo que el diseño de estos dispositivos es relativamente sencillo. La separación del flujo alrededor de objetos (como el ala de un avión, ...) tiene suficiente interés como para que le dediquemos un estudio más detenido más adelante.
§34.2. Flujo laminar y flujo turbulento.- En la lección anterior, al referirnos a la ley de viscosidad de Newton, ya hemos utilizado el concepto de flujo laminar , entendiendo por tal un flujo en el que el fluido fluye en láminas o capas que se deslizan unas respecto a otras sin que haya mezcla macroscópica del fluido perteneciente a diferentes láminas o capas fluidas. Un fino filamento de tintura inyectado en un flujo laminar aparecerá como un línea simple, sin que ésta se disperse en el flujo, salvo la pequeña dispersión debida al movimiento molecular. El flujo laminar, también llamado flujo puramente viscoso , es un flujo bien ordenado a escala macroscópica. Por el contrario, cuando se inyecta un filamento de tintura en un flujo turbulento , el tinte se dispersa rápidamente en multitud de hilillos enmarañados que se van mezclando con el fluido a medida que éste avanza. Este comportamiento se debe a las pequeñas fluctuaciones macroscópicas de velocidad que se superponen a la velocidad media del flujo en cada punto del mismo, lo que produce una mezcla macroscópica de fluido perteneciente a diferentes capas, dando lugar a la rápida dispersión del tinte en el flujo. El flujo turbulento es un flujo desordenado a escala macroscópica.
Para examinar estos dos regímenes de flujo
Figura 34.
viscoso es conveniente recordar la clásica experiencia de Reynolds, en la que se hace fluir agua a través de una tubería de vidrio, como se muestra en la Figura 34.4 , controlando el caudal por medio de una válvula de salida. En el interior de la tubería se inyecta un fino filamento de tintura de la misma densidad que el agua y se investiga su comportamiento para distintas velocidades de flujo. Se observa que el flujo es laminar para pequeñas velocidades de flujo. Sin embargo, cuando se aumenta progre- sivamente la velocidad de flujo, llega un mo- mento en que se alcanza un estado en el que el tinte, al avanzar con el flujo, adopta un movimiento fluctuante; esto es, tiene lugar una transición desde el régimen de flujo laminar a un régimen de flujo inestable. Al aumentar aún más la velocidad del flujo, se producen fluctuaciones en el flujo y el filamento de tinte se dispersa totalmente; este flujo irregular se denomina flujo turbulento. El experimento de Reynolds pone de manifiesto la dependencia del régimen de flujo laminar o turbulento con la velocidad del mismo. En general, el que el flujo sea laminar o turbulento depende de las características del fluido (ρ y η), de la velocidad de flujo y de la configuración y tamaño del conducto por el que fluye o del objeto alrededor del cual fluye el fluido.
§34.2.- Flujo laminar y flujo turbulento. 1021
temporales, de modo que debemos trabajar basándonos en la experimentación y en teorías semiempíricas.
§34.3. Flujo interno.- El flujo interno es aquél en el que el fluido fluye
Figura 34.
confinado en el interior de una estructura sólida, como el que se produce en el interior de tuberías, difusores, boquillas, canales y maquinarias. Al considerar un flujo interno debemos tener en cuenta el comportamiento de la capa límite. En la Figura 34. se ilustra un flujo laminar en la región de entrada de una tubería. Inmediatamente después de la entrada perfectamente redondeada, el flujo es prácticamente uniforme, con una velocidad v 0. La condición de adherencia en las paredes de la tubería impone que la velocidad del fluido en contacto con éstas debe ser cero a lo largo de toda la tubería; en consecuencia, se desarrolla una capa límite a lo largo de las paredes. Al principio, esta capa límite es muy delgada; pero es de esperar que vaya aumentando de espesor a medida que se avanza en la tubería, delimitándose una zona central de flujo no viscoso (irrotacional), a veces llamada núcleo , que se va estrechando flujo abajo.
Para un fluido incompresible, la ecuación de continuidad nos indica que el fluido contenido en el núcleo del flujo debe acelerarse, de modo que la velocidad media de flujo en una tubería, esto es
V^1 [34.3]
S ⌡
S
v d S
debe ser igual a la velocidad de entrada; es decir, v = v 0 =cte. En consecuencia, al escribir la ecuación de Bernoulli a lo largo de un línea de corriente en la región de flujo no-viscoso (núcleo) se ve que la presión debe decrecer en la dirección del flujo.
A partir de una distancia suficientemente grande de la entrada de la tubería, la capa límite ocupa completamente toda la sección de la misma, desapareciendo la región de flujo no viscoso; esta distancia recibe el nombre de longitud de entrada ( L e). Más allá de la longitud de entrada, el perfil de velocidad no cambia a lo largo de la tubería y decimos que tenemos un flujo completamente desarrollado.
En un flujo laminar, la longitud de entrada es función del número de Reynolds (ℜ=ρ DV /η) y del diámetro de la tubería. Las investigaciones teóricas realizadas por B OUSSINESQ nos llevan a la relación
L e 0.03 D ℜ [34.4]
1022 Lec. 34.- Flujo viscoso.
que concuerda satisfactoriamente con los resultados experimentales. Puesto que el número de Reynolds crítico en una tubería es 2300, tenemos que
(flujo laminar) L e ≤ 69 D [34.5]
No existe una relación general semejante a la de Boussinesq para el régimen de flujo turbulento en una tubería. La longitud de entrada en régimen turbulento es unas veces mayor y otras menor, dependiendo de las condiciones locales, que la correspondiente al flujo laminar. Se ha podido comprobar experimentalmente que la longitud de entrada en régimen turbulento en una tubería suele estar comprendida en el siguiente intervalo de valores
(flujo turbulento) 25 < L e [34.6] D
En muchos problemas de interés práctico, la longitud de entrada es pequeña en comparación con la longitud total del conducto o tubería en la que se presenta el flujo completamente desarrollado, de modo que la importancia de aquélla es despreciable en cuestiones tales como el cálculo de la pérdida de carga. Estamos ahora en condiciones de abordar el estudio analítico del flujo interno, estacionario, incompresible, laminar y completamente desarrollado. En realidad, son relativamente pocos los problemas de este tipo en los que podemos obtener soluciones analíticas exactas, pero el método para resolverlos es interesante en sí mismo. Utilizaremos básicamente la ecuación de Navier-Stokes y la de continuidad para determinar el campo de velocidades; el conocimiento de éste nos permitirá obtener abundante información adicional (esfuerzos, caída de presión, caudal, ...). Como ejemplo, analizaremos el flujo entre dos placas paralelas estacionarias y el flujo de Couette; después, haremos un estudio más detenido del flujo en tuberías.
Ejemplo I.- Analizar el flujo laminar completamente desarrollado entre dos láminas planas y paralelas, ambas estacionarias. Supondremos que ambas láminas son muy largas en la dirección del eje z , de modo que el
Figura 34.
flujo sea unidimensional. Suponiendo el flujo incompresible, las ecuaciones del movimiento pueden obtenerse a partir de la ec. de Navier-Stokes para el flujo estacionario; esto es, en la dirección del flujo, tenemos
0 ∂ p [34.7] ∂ x
η d
(^2) v d y^2 Integrando una vez se obtiene
d v [34.8] d y
1 η
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
∂ p ∂ x
y C 1
y mediante una segunda integración
v^1 [34.9] 2 η
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
∂ p ∂ x
y^2 C 1 y C 2
1024 Lec. 34.- Flujo viscoso.
se presenta, en este caso, para ℜcrít =1200. Por consiguiente, antes de utilizar las expresiones anteriores para un problema concreto deberemos asegurarnos de que el régimen de flujo es laminar (ℜ<1200).
Ejemplo II.- Analizar el flujo laminar completamente desarrollado entre dos grandes láminas planas y paralelas, una de las cuales se mantiene fija, en tanto que la otra se mueve paralelamente a la primera con velocidad constante. Este flujo recibe el nombre de flujo de Couette. Obviamente, la ecuación del movimiento corres-
Figura 34.
pondiente a este flujo es la misma que ya hemos establecido en el ejemplo anterior [34.7], que nos llevará por integración, al igual que antes, a
v^1 [34.20] 2 η
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
∂ p ∂ x
y^2 C 1 y C 2
debiéndose evaluar las constantes de integración C 1 y C 2 a partir de las condiciones de contorno o adherencia específicas para el flujo de Couette; esto es, v =0 para y =0 y v = U para y = h. De este modo se obtiene
C 1^ U [34.21] h
h 2 η
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
∂ p ∂ x
C 2 0
y por tanto (^) v U [34.22] h
y h^
2 2 η
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
∂ p ∂ x
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
y h
(^2) y h que corresponde a un perfil de velocidades de forma
Figura 34.
parabólica. Sin embargo, es conveniente observar que en ausencia de gradiente de presión en la dirección del flujo ( i.e. , para ∂ p /∂ x =0) el perfil de velocidades es lineal, ya que v =( U / h ) y. La ecuación [34.22] sugiere que el perfil de velocidad puede ser considerado como una combi- nación de dos perfiles: uno lineal y otro parabólico. El resultado es un familia de perfiles de velocidad que depende de los valores de U y (1/η)(∂ p /∂ x ), tres de los cuales han sido representados en la Figura 34.9 Obsérvese como la presencia de un gradiente de presión adverso puede provocar la inversión del flujo.
Distribución de esfuerzos cortantes.-
σ yx η d v^ [34.23] d y
η U h
h ⎛⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
∂ p ∂ x
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
y h
1 2
Caudal.- (^) ⌡⌠ [34.24] S
v d S l (^) ⌡⌠
h 0
v d y l (^) ⌡⌠
h 0
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
U h
y^1 2 η
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
∂ p ∂ x
( y^2 hy ) d y
§34.3.- Flujo interno. 1025
o sea [34.25] l
hU 2
h^3 12 η
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
∂ p ∂ x
Velocidad media de flujo.- (^) V [34.26] S hl
U 2
h^2 12 η
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
∂ p ∂ x
Velocidad máxima de flujo.- Determinaremos la derivada d v /d y , la igualaremos a cero y resolveremos para el valor correspondiente de y. Obtenemos
d v [34.27] d y
U h
h^2 2 η
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
∂ p ∂ x
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
2 y h^2
1 h
0
o sea y h [34.28] 2
U / h (1/η) (∂ p /∂ x )
v máx^ U 2
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
1 U h^2 (∂ p /∂ x )
h^2 8 η
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
∂ p ∂ x
no existiendo una relación sencilla entre v máx y V. Los resultados anteriores sólo son válidos para el flujo de Couette en régimen laminar completamente desarrollado. Se comprueba experimentalmente que el número de Reynolds crítico para el flujo de Couette es ℜcrít≈1500 para (∂ p /∂ x =0), estando definido el número de Reynolds por ℜ=ρ hU /η.
§34.4. Flujo en tuberías. Ley de Hagen-Poiseuille.- Dada la importancia
Figura 34.
práctica que tiene la conducción de fluidos mediante tuberías cilíndricas, dedicaremos una atención especial al análisis del flujo en éstas. En realidad, ya hemos prestado una atención especial al flujo en tuberías al referirnos en el epígrafe anterior a la longitud de entrada en el flujo interno. Ahora, profundizaremos el análisis del flujo en tuberías para flujo completamente desarrollado. En primer lugar nos referiremos al flujo laminar; luego, al flujo turbulento.
Para comenzar, determinaremos la distribu- ción o perfil de velocidad para el caso de un flujo laminar, incompresible y estacionario en una tubería de sección transversal circular y constante. Como el flujo puede considerarse axilsimétrico respecto al eje de la tubería, todas las variables que lo caracterizan resultan ser función exclusivamente de la distancia al eje de simetría, siempre que puedan despreciarse las variaciones hidrostáticas. En consecuencia, resultará conveniente utilizar coordenadas cilíndricas. La componente de la ecuación de Navier-Stokes en la dirección del flujo es
ρ d v [34.29] d t
∂ p ∂ x
η ∇^2 v
siendo nula la derivada total d v /d t (=local+convectiva) en este caso, por tratarse de un flujo estacionario y paralelo. Entonces, sustituyendo en la ecuación del movi-
§34.4.- Flujo en tuberías. Ley de Hagen-Poiseuille. 1027
sección recta de la tubería (zona oscura en la Figura 34.11). cuya área será d S =2π r d r , a través del cual el fluido fluye con una velocidad v ( r ); tenemos
[34.36] ⌡
S
v d S π 2 η
∂ p ∂ x ⌡
D 2 0
r^2 D^
2 4
r d r
o sea π D^ [34.37]
4 128 η
∂ p ∂ x En un flujo completamente desarrollado, el gradiente de
Figura 34.
presión longitudinal (∂ p /∂ x ) es constante; por tanto, podemos escribir
∂ p [34.38] ∂ x
p 2 p 1 L
Δ p L
Δ′ p L
siendo Δ′ p = p 1 - p 2 la caída de presión en la dirección del flujo. Sustituyendo esta expresión en [34.36] se tiene
π D (^) [34.39] 4 128 η
Δ′ p L
expresión que fue descubierta experimentalmente en 1839 por el fisiólogo francés Jean Louis Marie POISEUILLE (1799-1869) y en 1840 por el ingeniero hidráulico alemán Gotthif Heinrich Ludwig H AGEN (1797-1884), independientemente, y es conocida como ley de Hagen-Poiseuille. Esta ley establece que el flujo volúmico o caudal a través de una tubería de un fluido viscoso en régimen laminar (ℜ<2300) es inversamente proporcional a la viscosidad del fluido, directamente proporcional a la diferencia de presiones entre los extremos de la tubería y proporcional a la cuarta potencia del diámetro de la misma Así, por ejemplo, si se duplica el diámetro, el caudal aumenta en un factor 16; lo que es muy de tener en cuenta cuando se diseña una instalación.
Ejemplo III.- Viscosímetro de Ostwald .- La ley de Hagen-Poiseuille nos permite diseñar un viscosímetro , relativamente simple pero muy preciso, sin más que medir el caudal a través de un tubo de sección constante y la diferencia de presiones entre sus extremos. En el viscosímetro de Ostwald^2 (Figura 34.12), la diferencia de presiones Δ p es de origen hidrostático. Describiremos brevemente el modo de operar. Se mide el tiempo t que emplea en pasar entre las marcas A y B un volumen de líquido ∀, bajo la diferencia de presiones Δ p =ρ gh debida al desnivel del líquido entre las dos ramas del viscosímetro, que se mantiene verticalmente. Englobando en un factor de proporcionalidad k todas las magnitudes que son constantes en la expresión [34.39], tenemos
(^2) Wilhelm O STWALD (1853-1932), físico y químico alemán. Premio Nobel en Química en
1909, por el mérito de sus trabajos sobre catálisis, así como por sus fundamentales investigaciones acerca del equilibro químico y de la velocidad de reacción.
1028 Lec. 34.- Flujo viscoso.
Figura 34.
∀ k ρ^ t η El mismo volumen ∀ de otro líquido de densidad ρ′ y viscosidad η′ empleará un tiempo t ′ en pasar por el capilar y tendremos una expresión análoga a la anterior. Entonces, dividiéndolas miembro a miembro, tendremos
η′ η
ρ′ ρ
t ′ t de modo que puede determinarse la viscosidad del líquido problema si se conoce la de otro líquido de referencia.
La velocidad media de flujo se determina como el cociente del caudal por el área de la sección recta de la tubería; esto es,
V [34.42]
S (^) π R^2
D^2
32 η
∂ p ∂ x
Para encontrar el punto en que la velocidad es máxima, igualaremos a cero d v /d r y resolveremos para el correspondiente valor de r ; así se obtiene
d v [34.43] d r
2 η
∂ p ∂ x
r 0
de modo que
para r 0 es v máx^ D^ [34.44]
2 16 η
∂ p ∂ x
2 V
Resulta interesante expresar el perfil de velocidad en unidades de la velocidad máxima; para ello dividiremos miembro a miembro las expresiones [34.34] y [34.44] y, después de simplificar la expresión resultante, tendremos
v [34.45] v máx
r D /
2
Todas las expresiones anteriores son válidas para el flujo laminar completamente desarrollado en tuberías. Sin embargo, excepto en el caso de fluidos muy viscosos circulando por tuberías de pequeño diámetro, el flujo en tuberías tiene lugar generalmente en régimen turbulento. Como ya hemos indicado anteriormente, la naturaleza del flujo turbulento es tan poco conocida que todavía no se ha establecido una teoría adecuada para analizarlo; por eso es necesario recurrir a la experimenta- ción y elaboración de fórmulas semiempíricas sobre los resultados experimentales obtenidos. NIKURADSE ha realizado un extenso trabajo experimental acerca de la distribución de velocidades en el flujo turbulento completamente desarrollado en una tubería. En la Figura 34.13 mos- tramos varias distribuciones de velocidad, obtenidas en esos experimentos, para el caso de una tube- ría lisa ; cada perfil de velocidad corresponde a un valor determinado del número de Reynolds. A
[34.41]
1030 Lec. 34.- Flujo viscoso.
viscoso son las responsables de esta disipación de energía mecánica, de modo que parte del trabajo realizado por las fuerzas de presión y gravitatorias, y que en el caso de un flujo ideal se manifiesta como un aumento de energía cinética, ahora aparece como energía calorífica. En estas condiciones, la energía mecánica no permanece constante a lo largo de un tubo de corriente, sino que va disminuyendo conforme se evalúa en puntos más avanzados del flujo. Naturalmente, la energía total se conserva, pero la energía calorífica que aparece a expensas de la energía mecánica que desaparece es de poca aplicación. Esto es así en virtud de que, en las situaciones reales de transporte de fluidos mediante tuberías, cualquier aumento de la energía interna suele perderse en el almacenamiento posterior y de que generalmente resulta antieconómico contribuir a calentar el medio ambiente (la atmósfera). Por eso, resulta conveniente agrupar las "pérdidas de energía" en un solo término, que llamamos pérdida de carga y representamos por H ; esto es,
H ( u 2 u 1 ) q [34.49]
y la ecuación de Bernoulli para el flujo viscoso se escribe en la forma
[34.50]
p 1 ρ
v (^) 12 2
g z 1
p 2 ρ
v (^) 22 2
g z 2 H
Cuando tratamos de extender la relación anterior a un volumen de control que abarque toda la sección recta de una tubería, nos encontramos con que la velocidad no es uniforme en todos los puntos de una misma sección recta; i.e. , varía de unos tubos de corriente a otros. El modo correcto de proceder sería utilizar el promedio exacto de energía cinética en cada sección de la tubería; sin embargo, lo que suele hacerse es elegir una velocidad media V = / S que se eleva al cuadrado para formar el término de energía cinética que aparece en la ecuación [34.50]. Puede demostrarse que el error que se comete con esta forma de proceder es despreciable, tanto en el flujo laminar como en el turbulento. Así pues, reescribiremos la ecuación de Bernoulli para el flujo viscoso en una tubería como
[34.51]
p 1 p 2 ρ
V 12
V 22
g ( z 1 z 2 ) H
donde V 1 y V 2 representan las velocidades medias de flujo en las secciones respectivas. Consideremos ahora un flujo viscoso incompresible completamente desarrollado
Figura 34.
en una tubería recta de sección constante colocada horizontalmente (Figura 34.15 ). En estas condiciones es V 1 = V 2 (condición de continui- dad) y z 1 = z 2 , de modo que al aplicar la ecuación [34.51] tenemos
[34.52]
p 1 p 2 ρ
H
§34.5.- Ecuación de Bernoulli para el flujo viscoso. Pérdida de carga. 1031
Si no existiese fricción en este flujo, no habría caída
Figura 34.
de presión; en consecuencia, podemos interpretar la pérdida de carga ( H ) en este flujo como la pérdida de carga de presión (Δ′ p /ρ) debida a la fricción.
Consideremos ahora el mismo flujo anterior, pero con la tubería inclinada ( Figura 34.16 ). De nuevo es V 1 = V 2 , pero z 1 ≠ z 2 ; de modo que tenemos
[34.53]
p 1 p 2 ρ
g ( z 2 z 1 ) H
siendo la diferencia z 2 - z 1 la misma para todos los
Figura 34.
tubos de corriente. Ahora, a la pérdida de carga de presión (Δ′ p /ρ) contribuye el incremento de altura ( g Δ z ) además de la pérdida de carga por fricción ( H ).
Por último, supongamos que la tubería experi- menta un cambio de dirección y otro de sección transversal, como se ilustra en la Figura 34.17. Apli- cando la ec. [34.51] se obtiene
[34.54]
p 1 p 2 ρ
V 22
V 12
g ( z 2 z 1 ) H
de modo que la pérdida de carga de presión incluye ahora el efecto del cambio de velocidad, además del cambio de altura y de la pérdida de carga por fricción. En este ejemplo vemos que la pérdida de carga ( H ) tiene lugar en tres tramos bien diferen- ciados. Las pérdidas de carga correspondientes a los tramos L 1 y L 2 son las de mayor cuantía; por eso reciben el nombre de pérdidas mayores y las designaremos por ( H ) 1 y ( H ) 2 , respectivamente. La pérdida de carga en el codo de reducción es de menor cuantía; estas pérdidas se llaman pérdidas menores y se designan por H (^) m.
§34.6. Calculo de las perdidas de carga en tuberías.- La pérdida de carga total ( H (^) t ) es la suma de las pérdidas mayores ( H ) debidas a los efectos de fricción en el flujo totalmente desarrollado en una tubería de sección constante y de las pérdidas menores ( H (^) m ) debidas a las transiciones de régimen, entradas, salidas, curvaturas y accesorios en general. Consideraremos por separado ambos casos. 1) PÉRDIDAS MAYORES .- Las pérdidas mayores de carga para un flujo en una tubería horizontal es igual a la pérdida de carga de presión, como ya hemos visto en el epígrafe anterior [34.52] ; esto es,
p 1 p (^2) [34.55] ρ
Δ′ p ρ
H
La pérdida de carga para un flujo en una tubería de sección constante depende exclusivamente del régimen de flujo, ya que representa el montante de energía
- §34.6.- Calculo de las perdidas de carga en tuberías.
1034 Lec. 34.- Flujo viscoso.
Tabla 34.1.- Rugosidad de algunas tuberías comerciales. TIPO DE TUBERÍA (^) (mm) TIPO DE TUBERÍA (^) (mm)
tubería estirada 0.000 15 madera 0.183 - 0. acero comercial o hierro forjado
0.045 72 fundición 0.
fundición asfaltada 0.122 hormigón 0.305 - 3. hierro galvanizado 0.152 acero remachado 0.914 - 9.
Tabla 34.2.- Pérdidas menores en accesorios comerciales.
Tipo de accesorio
Coeficiente K de pérdidas menores
Entrada/salida reentrante
Entrada/salida angular
Entrada/salida bien perfilada
Contracción gradual
Expansión súbita
Codos 90˚/45˚ 0.90 0.
