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20.- Estática del sólido rígido.
§20.1. Estática (587); §20.2. Equilibrio del sólido rígido (588); §20.3. Fuerzas aplicadas a un sólido rígido (589); §20.4. Ecuaciones cardinales de la estática (590); §20.5. Centro de gravedad (592); §20.6. Sistemas con ligaduras. Grados de libertad (594); §20.7. Estática del sólido rígido sujeto a ligaduras (596); §20.8. Diagrama del cuerpo libre (600); §20.9. Estática de un sistema de cuerpos rígidos (602); §20.10. Concepto de desplazamiento virtual (604); §20.11. Principio de los trabajos virtuales (605); Problemas (611)
§20.1. Estática.- La Dinámica es la parte de la Mecánica en la que se estudia la relación existente entre el movimiento de un cuerpo y sus causas. Nos enseña que dicho movimiento depende de la masa del cuerpo y de las acciones o fuerzas que ejercen sobre él otros cuerpos que constituyen su medio ambiente. Los efectos de dichas fuerzas pueden contrarrestarse entre sí, dando lugar a una situación análoga a la que se presentaría si no actuase fuerza alguna sobre el cuerpo. El capítulo de la Mecánica que estudia sólo aquellos sistemas en los que las fuerzas actuantes se contrarrestan, recibe el nombre de Estática.
La Estática está íntimamente relacionada con el concepto de equilibrio, y puede definirse como aquella parte de la Mecánica que trata del equilibrio de los sistemas materiales, entendiéndose por equilibrio aquella configuración del sistema material que permanece invariable bajo la acción de un sistema de fuerzas. Esta definición nos presenta a la Estática como la parte de la Mecánica que estudia las condiciones que deben satisfacer los sistemas de fuerzas para que al actuar sobre un sistema material no se alteren los parámetros que determinan la posición y configuración de éste.
En una lección anterior nos ocupábamos de la Estática de la partícula y decíamos que ésta se encuentra en equilibrio en un referencial cuando es nula su aceleración en ese referencial. Esta definición de equilibrio implica que la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula debe ser nula; esto es
R (^) [20.1] i
F (^) i 0
En definitiva, la partícula se encuentra en equilibrio, bajo la acción de un sistema de fuerzas, si su estado de movimiento es el que corresponde a una partícula libre (ausencia de fuerzas); esto significa que su movimiento es rectilíneo y uniforme (aceleración nula).
Manuel R. Ortega Girón 587
588 Lec. 20.- Estática del sólido rígido.
¿Qué entendemos por equilibrio de un sólido rígido? ¿Cuáles deberán ser las condiciones que satisfagan las fuerzas que actúen sobre él para que el equilibrio sea posible? La respuesta a estas dos preguntas es el objetivo fundamental de esta lección.
§20.2. Equilibrio del sólido rígido.- Contestaremos a la primera de las dos preguntas anteriores estableciendo una analogía entre el equilibrio de la partícula y el del sólido rígido, hasta donde ello sea posible. De ese modo, diremos que el sólido rígido se encuentra en equilibrio bajo la acción de un sistema de fuerzas si su estado de movimiento es el que correspondería a un sólido rígido libre de acción exterior; pero ¿qué tipo de movimiento presenta el sólido rígido libre?
Sabemos que el movimiento más general de un sólido rígido es el rototraslatorio; esto es, compuesto de una rotación y una traslación. Sabemos, además, que el centro de masa del sólido rígido (al igual que el de cualquier sistema material) se mueve como si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el sólido rígido estuviesen aplicadas en él. En ausencia de fuerzas, el centro de masa del sólido rígido se mueve con velocidad constante (movimiento rectilíneo y uniforme). Así pues, el sólido rígido se encuentra en equilibrio de traslación en un referencial cuando la aceleración de su centro de masa es nula en ese referencial.
En cuanto al equilibrio de rotación no podemos seguir con la misma analogía (ya que la partícula no rota). Veremos en las lecciones siguientes que cuando un sólido rígido utiliza uno de sus ejes principales de inercia como eje de rotación no muestra tendencia alguna a abandonar ese eje y no ejerce reacciones sobre los apoyos del mismo. Por esa razón los ejes principales del sólido reciben también el nombre de ejes libres. Veremos también que en esas condiciones el movimiento de rotación del sólido continúa sin necesidad de la intervención de momentos externos; su momento angular permanece constante y, al serlo también su momento de inercia, su velocidad angular también será constante. Así, podemos definir el equilibrio de rotación del sólido rígido como la ausencia de aceleración angular con respecto a cualquier eje libre y fijo (en cuanto a su orientación en el espacio, sin descartar la posibilidad de que dicho eje se traslade paralelamente a sí mismo) en un cierto referencial.
Las definiciones dadas anteriormente para los equilibrios de traslación y de rotación no exigen que el cuerpo se encuentre en reposo en el referencial elegido, sino solamente que no tenga aceleración (de traslación y angular, respectivamente) en dicho referencial. Así, el sólido rígido en equilibrio puede estar moviéndose de modo que su centro de masa lo haga con velocidad constante ( v cm = cte) y que la rotación tenga lugar en torno a un eje libre de orientación fija en el espacio con velocidad angular constante (ω = cte). Si el sólido está realmente en reposo en el referencial elegido, esto es si v cm = 0 y ω = 0, diremos que su equilibrio es estático. Sin embargo, como veremos posteriormente, las condiciones que deben satisfacer los sistemas de fuerzas que actúen sobre el cuerpo son las mismas ya sea que el cuerpo se encuentre en equilibrio estático o no-estático.
Por otra parte, conviene destacar que en principio la Estática no presupone la elección de un referencial inercial, ya que un observador situado en un referencial no- inercial detectaría unas fuerzas que actuarían sobre el cuerpo y que provienen de la falta de inercialidad de su referencial (las fuerzas de inercia) que para él son tan
590 Lec. 20.- Estática del sólido rígido.
las fuerzas F y - F , aplicadas respectivamente en los puntos A y B, neutralizan sus efectos y el resultado
Figura 20.
neto es que nos queda sólo la fuerza F aplicada en el punto B, que podemos considerarla como el resultado de deslizar la fuerza original F aplicada en A a lo largo de su recta de acción. Los dos postulados en los que hemos cimentado la Estática apoyan su validez en el hecho de que todas las consecuencias que de ellos se derivan son corroboradas por la experiencia. En virtud de ellos y de la conclusión que de ellos hemos obtenido referente al carácter deslizante de los vectores que representan a las fuerzas, todas las propiedades estudiadas en la Lección 2 para los vectores deslizantes serán igualmente aplicables a los sistemas de fuerzas que actúen sobre un sólido rígido; por ello excu- samos aquí la repetición de aquellas propiedades.
En definitiva,
el sistema de fuerzas aplicadas a un sólido rígido está representado por un sistema de vectores deslizantes respecto al cuerpo al que están aplicadas. Es más, admitimos que sistemas de vectores equivalentes representan a sistemas de fuerzas equivalentes; esto es, que modifican de igual modo el estado de equilibrio o de movimiento de los sistemas rígidos sobre los que se aplican.
§20.4. Ecuaciones cardinales de la estática.- Consideremos un sólido rígido sobre el cuál actúa un sistema de fuerzas. De la definición dada anteriormente para el equilibrio del sólido rígido y del carácter vectorial y deslizante de las fuerzas aplicadas al sólido se sigue que:
La condición necesaria y suficiente para que un sólido rígido se encuentre en equilibrio bajo la acción de un sistema de fuerzas es que dicho sistema de fuerzas sea equivalente a cero. El enunciado anterior significa que la resultante general y el momento resultante general (con respecto a cualquier punto del espacio) deben ser nulos. Esto es, las condiciones de equilibrio del sólido rígido pueden expresarse por las llamadas ecuaciones cardinales de la Estática :
§20.4.- Ecuaciones cardinales de la estática. 591
R [20.3]
i
F (^) i 0 M i
M (^) i 0
La ec. [20.3a] se refiere al equilibrio de traslación del sólido. Al ser nula la resultante del sistema de fuerzas aplicado al sólido, el centro de masa del mismo estará en reposo o moviéndose con velocidad constante.
La condición expresada por la ec. [20.3b] se refiere al equilibrio de rotación. Al ser nulo el momento de las fuerzas, con respecto a cualquier punto del espacio, se garantiza que el momento angular del sólido permanecerá constante, de modo que el cuerpo está o bien en reposo o bien girando con velocidad angular constante en torno a un eje principal que mantiene su orientación fija en el espacio.
El momento resultante M en la ec. [20.3b] , que debe ser nulo para que exista equilibrio, deberá calcularse con respecto a un cierto centro de reducción O. Nos podemos preguntar si es indiferente el centro de reducción que escojamos. Recordemos que la resultante general de un sistema de vectores deslizantes es independiente del centro de reducción elegido, pero que no sucede lo mismo con el momento resultante general, que varía de un punto a otro. La relación existente entre M O y M O′ es
M O′ M (^) O O′O × R [20.4]
de modo que si R = 0 (primera condición de equilibrio), entonces M O′ = M O , y si el momento resultante es nulo con respecto a un centro de reducción O, también lo será con respecto a cualquier otro punto O′. Por tanto, la condición [20.3b] bastará verificarla para un solo punto del espacio, toda vez que se haya verificado la condición [20.3a].
Las ecuaciones [20.3] son vectoriales, de modo que nos conducen a seis ecuaciones escalares (tres por cada una de ellas), independientes, que deben satisfacer las fuerzas aplicadas al sólido rígido para que éste se encuentre en equilibrio. Estas ecuaciones son
R (^) x [20.5] i
F (^) i , x 0 R (^) y i
F (^) i , y 0 R (^) z i
F (^) i , z 0
M (^) x [20.6] i
M (^) i , x 0 M (^) y i
M (^) i , y 0 M (^) z i
M (^) i , z 0
que establecen que la suma de las componentes de las fuerzas y de los momentos de las fuerzas (con respecto a un punto cualquiera) sobre cada uno de los ejes coorde- nados deben ser nulos para que haya equilibrio. Estas seis condiciones independientes entre sí se corresponden con los seis grados de libertad del sólido rígido (tres de traslación y tres de rotación).
Frecuentemente nos encontramos con problemas en los que todas las fuerzas actuantes son coplanarias. No habrá entonces inconveniente en tomar como plano xy el de coplanaridad, ya que de ese modo será Rz ≡ 0 (por ser nulas las componentes de las fuerzas en la dirección normal al plano de coplanaridad). Por otra parte, también serán nulos todos los momentos de las fuerzas con respecto a los ejes x e y (por ser coplanarias con ellos), de modo que Mx ≡ 0 y M (^) y ≡ 0, al igual que R (^) z ≡ 0, se cumplen idénticamente, y las condiciones de equilibrio se reducen a tres
§20.5.- Centro de gravedad. 593
encuentra dicha partícula. La fuerza total que
Figura 20.
actúa sobre las N partículas que constituyen el cuerpo es, obviamente,
P (^) [20.8] i
m (^) i g (^) i
i.e. , la resultante general de ese sistema de fuer- zas. Pero, ¿dónde está aplicada esa resultante?
Si la intensidad del campo gravitatorio, g , tiene el mismo valor en todos los puntos de una cierta región del espacio, decimos que el campo gravitatorio es uniforme en dicha región. Para un cuerpo situado en un campo gravitatorio unifor- me, g tiene el mismo valor para todas las partícu- las que lo constituyen, de modo que las fuerzas gravitatorias individuales forman un sistema de vectores paralelos entre sí cuya resultante es P = M g , i.e. , el peso del cuerpo. El centro de ese sistema de vectores paralelos (§2.7) recibe el nombre de centro de gravedad y viene determinado por
OG i [20.9]
F (^) i OP (^) i
i
F (^) i
i
F (^) i r (^) i
i
F (^) i
r (^) G
y puesto que F i = mi g , o sea Fi = mi g , resulta
r (^) G^ i [20.10]
m (^) i g r (^) i
i
m (^) i g
i
m (^) i r (^) i
i
m (^) i
ecuación vectorial que nos determina la posición del centro de gravedad y que equivale a tres ecuaciones escalares
x [20.11] G
i
m (^) i x (^) i
M
y G^ i
m (^) i y (^) i
M
z G^ i
m (^) i z (^) i
M
de modo que todas las fuerzas gravitatorias que actúan sobre las partículas que constituyen un cuerpo pueden reemplazarse por una fuerza única, M g , aplicada en el centro de gravedad del cuerpo. Esto equivale a decir que los efectos de todas las fuerzas gravitatorias individuales (sobre las partículas) pueden contrarrestarse por una sola fuerza, - M g , con tal de que sea aplicada en el centro de gravedad del cuerpo, como se indica en la Figura 20.. En efecto, puesto que el momento de un sistema de vectores paralelos con respecto al centro del sistema es cero (por definición), el sistema es equivalente a un vector único (la resultante) aplicado en dicho centro; entonces, para equilibrar el sistema bastará aplicar una fuerza en el centro de gravedad del cuerpo, de igual módulo, misma dirección y sentido opuesto a la resultante M g.
Observaremos que las ecuaciones [20.10] y [20.11] son también las que determinan la posición del centro de masa del cuerpo; sin embargo, no debemos confundir o utilizar indiferentemente los términos de centro de masa y de centro de gravedad, ya
594 Lec. 20.- Estática del sólido rígido.
que entre ellos existe una distinción no sólo conceptual sino también
Figura 20.
práctica. El centro de masa o de inercia es una propiedad intrínseca de la materia, que siempre tiene significado; en cambio, el centro de gravedad solo tiene significado cuando el cuerpo se encuentra en un campo gravitatorio externo. Además, la coincidencia del centro de gravedad y del centro de masa no es general, sino que proviene de la suposición que hemos hecho de que el campo gravitatorio sea uniforme en el volumen ocupado por el cuerpo. Esta situación se presenta, en el caso del campo gravitatorio terrestre, sólo si el cuerpo no es demasiado extenso. De otro modo no podemos considerar g = cte en toda la extensión del cuerpo ya que, como sabemos, la dirección de g es radial y su módulo decrece con el cuadrado de la distancia al centro de la Tierra. Bajo unas condiciones generales el centro de gravedad y el centro de masa de un cuerpo no tienen porqué coincidir. Para comprenderlo, imaginemos una barra homogénea, de muchos kilómetros de longitud (Figura 20.4), en posición vertical sobre la superficie terrestre. Si consideramos el peso por unidad de longitud de la barra, es obvio que a medida que nos alejamos del extremo inferior de la barra dicho peso por unidad de longitud irá disminuyendo (por disminuir la intensidad del campo gravitatorio terrestre). Las posiciones del centro de masa (cm) y del centro de gravedad (G) de la barra están indicadas en la Figura 20.4; se comprenderá fácilmente la no coincidencia de ambos centros.
En la mayor parte de los problemas de la
Figura 20.
Mecánica nos referiremos a cuerpos cuyas dimen- siones son pequeñas en comparación con las distan- cias que se requieren para que la intensidad del campo gravitatorio terrestre cambie de un modo significativo; bajo esas condiciones podemos aceptar la coincidencia del centro de masa y del centro de gravedad de un cuerpo en un mismo punto. De hecho, utilizamos esa coincidencia cuando determinamos la posición del centro de masa de un cuerpo irregular o no-homogéneo utilizando el método de suspenderlo por dos puntos distintos ( Figura 20.5 ).
§20.6. Sistemas con ligaduras. Grados de libertad.- Frecuentemente nos encontramos con sistemas materiales cuyo movimiento está restringido por ciertas limitaciones físicas que reciben el nombre de ligaduras. El concepto de ligadura , así como el modo de abordar los problemas en los que estas aparecen, ya fue desarrollado en una lección anterior (véase, §8.13) y si ahora lo mencionamos de nuevo es para relacionarlo con otro concepto importante; el de grados de libertad de un sistema material. También hemos hecho referencia, con anterioridad, a los seis grados de libertad del sólido rígido libre, pero en ningún momento hemos definido el concepto de grados de libertad y su relación con las ligaduras.
Entendemos por grados de libertad de un sistema material el número mínimo de coordenadas independientes que son necesarias para especificar la configuración del sistema material.
Así, para el caso de una partícula no sujeta a ligaduras, necesitamos tres coordenadas [las cartesianas ( x , y , z ), por ejemplo] para especificar su posición con
596 Lec. 20.- Estática del sólido rígido.
r 12 c 12 r 23 c 23 r 31 c 31
esto es, por tres ecuaciones de ligadura, con lo que el número de grados de libertad se reduce a seis. Así pues, necesitamos seis coordenadas libres para especificar la posición de un sólido rígido en el espacio, con independencia del número de partículas que lo constituyan y de que sea continuo o discreto.
Podemos clasificar los sistemas materiales de acuerdo con el número de grados de libertad que tengan; así, hablaremos de sistemas materiales con 1, 2, 3, ... grados de libertad. Tendremos ocasión de ir comprendiendo en lo que sigue que, desde el punto de vista de la Estática, sólo estamos interesados en el estudio de aquellos sistemas materiales que tienen algún grado de libertad positivo. Un sistema con un número de grados de libertad negativo es un sistema sobreabundante en vínculos y se denomina sistema hiperestático ; el estudio de tales sistemas queda fuera del campo de la Estática, ya que requiere aplicar no solamente las leyes de la Mecánica de los cuerpo rígidos sino también las leyes de la Elasticidad ( vide §20.7.c).
§20.7. Estática del sólido rígido sujeto a ligaduras.- Como ya hemos visto, el sólido rígido constituye, ya de por sí, un ejemplo de sistema restringido holonómicamente, en el que las ecuaciones de ligadura expresan que la distancia entre dos cualesquiera de sus puntos permanece constante. Pero, además de a esas ligaduras intrínsecas, el sólido rígido puede estar sujeto a otras ligaduras que constriñan su movimiento de conjunto; así, por ejemplo, puede estar obligado a girar alrededor de un eje fijo solidario con el cuerpo.
De acuerdo con el Principio de Liberación de LAGRANGE , podemos sustituir las ligaduras o vínculos por las fuerzas de ligadura que producen el mismo efecto que aquellas. Entonces, cuando busquemos la resultante de todas las fuerzas que obran sobre el cuerpo, deberemos tener en cuenta las fuerzas de ligadura o de reacción vincular. Así, si llamamos F i ( i = 1, 2, ... n ) a las fuerzas activas que obran sobre el cuerpo y F˜ j ( j = 1, 2, ... h ) a las fuerzas de ligadura, las condiciones de equilibrio [20.3] pueden escribirse en la forma
[20.14] i
F (^) i j
F^ ˜
j^0 i^ M^ i (^) j
M^ ˜
j^0
donde M i y M˜^ j representan los momentos de F i y F˜ j , respectivamente, con respecto a un punto cualquiera del espacio. Las ecuaciones [20.14] nos muestran que,
en el equilibrio, las fuerzas activas y las de ligadura constituyen sendos sistemas de fuerzas opuestos entre sí. Normalmente las fuerzas F i se dan como datos en los problemas de Mecánica; en tanto que las F˜ j aparecen entre las incógnitas, i.e. , se desconocen inicialmente. Imponer ligaduras a un sistema material es una forma de reconocer la presencia de unas fuerzas cuyo valor no podemos determinar directamente, sino que su evaluación exige resolver completamente el problema, ya que esas fuerzas sólo las conocemos a través de sus efectos sobre el movimiento del sistema. En ocasiones, no nos interesará conocer los valores de las fuerzas de ligadura y las eliminaremos de las ecuaciones del equilibrio (o del movimiento) en una etapa inicial; pero, si se desea,
§20.7.- Estática del sólido rígido sujeto a ligaduras. 597
se puede proceder a su determinación. En ciertos casos podremos calcular el valor de las fuerzas de ligadura a partir de las ecuaciones [20.14] que establecen las condiciones de equilibrio del sólido rígido sujeto a ligaduras.
A continuación estudiaremos con algún detalle ciertos casos interesantes de la Estática del sólido rígido vinculado.
§20.7.a. Sólido rígido con un punto fijo.- Consideremos un cuerpo rígido cuyo
Figura 20.
movimiento esté restringido de modo que uno de sus puntos, el O, permanezca fijo en un cierto referencial. Se comprende que el cuerpo sólo podrá girar en torno a un eje que pase por dicho punto O; la orientación de ese eje en el espacio podrá ser cualquiera. Este sistema tiene tan sólo tres grados de libertad; dos ángulos fijarán la orientación del eje en el espacio y un tercer ángulo determinará la rotación del sólido respecto a dicho eje. Supongamos que sobre el sólido actúa un sistema de fuerzas F i , con i = 1, 2, ... n. Las condiciones de equilibrio [20.14] se escriben en la forma
i [20.15]
F (^) i F˜ 0
i
M (^) i M˜ 0
de modo que, llamando R = F i y M = M i a la resultante y al momento resultante de las fuerzas activas y tomando el punto O como centro de reduc- ción, queda
(a) [20.16]
R (^) x F˜ (^) x 0 R (^) y F˜ (^) y 0 R (^) z F˜ (^) z 0
(b)
M (^) x 0 M (^) y 0 M (^) z 0
esto es, seis ecuaciones escalares, de las que sólo las tres de [20.16b] son indepen- dientes de las reacciones vinculares y representan, por tanto, las condiciones de equilibrio correspondientes a los tres grados de libertad del sistema. Las ecuaciones [20.16b] exigen que la resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre el sólido rígido con un punto fijo pasen por dicho punto.
Conocidas las fuerzas exteriores, las componentes de la reacción vincular en O se calcularán a partir de las tres ecuaciones de [20.16a].
§20.7.b. Sólido rígido con dos puntos fijos.- Consideremos, ahora, un sólido rígido que tenga dos puntos fijos en un referencial dado; esto equivale a decir que son fijos todos los puntos de la recta que une esos dos puntos, o sea que el movimiento del sólido está restringido a una rotación en torno a un eje fijo. Este sistema tiene, evidentemente, un solo grado de libertad.
Supongamos que obre sobre el sólido un sistema de fuerzas, F i con i = 1, 2, ... n , y llamemos F˜ 1 y F˜ 2 a las reacciones vinculares en los puntos fijos O 1 y O 2 , respec- tivamente. Llamaremos R a la resultante y M al momento resultante de las fuerzas exteriores. Tomando el punto O 1 como centro de reducción, las ecuaciones de equilibrio son
§20.7.- Estática del sólido rígido sujeto a ligaduras. 599
siendo h el número de apoyos, y donde hemos tomado momentos con respecto a un punto arbitrario O. Las ecuaciones [20.19] nos muestran que la resultante de las reacciones en los apoyos deben tener (en el equilibrio) el mismo módulo, la misma dirección y recta de acción, pero distinto sentido que el peso de un cuerpo apoyado. Esto equivale a enunciar
Para que un cuerpo apoyado esté en equilibrio es necesario que la proyec- ción vertical de su centro de gravedad caiga en el interior del polígono de apoyo. Tomando como plano xy el de apoyo y tomando momentos con respecto al origen O de dicho sistema coordenado, al desarrollar el producto vectorial que aparece en [20.19b] , tenemos
M
h
j 1
OO (^) j × F˜ (^) j M
h
j 1
x (^) j
y (^) j
0
×
F^ ˜
j
de modo que las condiciones de equilibrio [20.19] toman la forma
[20.20]
P (^) x 0
P (^) y 0
P (^) z
h
j 1
F^ ˜
j^0
M (^) x
h
j 1
y (^) j F˜ (^) j 0
M (^) y
h
j 1
x (^) j F˜ (^) j 0
M (^) z 0
esto es, seis ecuaciones de las que
Figura 20.
sólo tres, Px = 0, P (^) y = 0 y M (^) z = 0, son independientes de las reaccio- nes en los apoyos y que represen- tan las condiciones de equilibrio correspondientes a los tres grados de libertad del sistema. Las otras tres ecuaciones permiten calcular el valor de las reacciones en los apoyos siempre que h no sea superior a tres, lo que haría que el problema estuviese estáticamente indeterminado. En efecto, un cuer- po con cuatro o más punto de apoyo constituye un sistema hiperestático , por ser sobreabundante en vínculos, y el cálculo de las reacciones vinculares exige no sólo aplicar las leyes de la Estática sino recurrir a la teoría de la Elasticidad.
Como ejemplo, pensemos en una silla de cuatro patas apoyada sobre un suelo plano horizontal. En realidad bastarían tres para la finalidad que tiene la silla; la cuarta pata, en principio, está de más. Puede ocurrir que la silla cojee cuando no soporte más carga que su propio peso; sin embargo, si una persona se sienta sobre ella, quizás la silla deje de cojear. La silla se ha deformado (por efecto de la carga) de modo que las cuatro patas, finalmente, tocan el suelo simultáneamente. Evidentemente, este ejemplo corresponde a un cuerpo que no es rígido, sino deformable (cuerpo
600 Lec. 20.- Estática del sólido rígido.
real), y para calcular las reacciones en los apoyos no podemos servirnos de las leyes de la Estática del sólido rígido a menos que las completemos con otras que den cuenta de las deformaciones que experimentan los cuerpos reales cuando están sometidos a las acciones de las fuerzas.
Podemos considerar, ahora, el caso más general en el que el plano de apoyo no sea horizontal. Entonces, resulta evidente que deberá existir rozamiento para evitar que el cuerpo deslice plano abajo. Las condiciones de equilibrio deberán expresar, como antes, la imposibilidad de vuelco y la de deslizamiento. Dejamos al cuidado del alumno expresar analíticamente esas condiciones.
§20.8. Diagrama del cuerpo libre.- Cuando el sólido rígido está vinculado, utilizamos el Principio de Liberación de LAGRANGE para sustituir las ligaduras o vínculos por las llamadas fuerzas de ligaduras o de reacción vincular que producen los mismos efectos que las ligaduras o vínculos. Esto es, en el sistema de fuerzas que actúa sobre el sólido deberemos incluir no sólo las fuerzas activas sino también las fuerzas de ligadura o de reacción vincular. De ese modo podemos obtener un diagrama en el que se incluyen el cuerpo y todas las fuerzas que actúan sobre él, incluidas las de ligadura (una vez suprimidas las propias ligaduras); dibujaremos así el llamado diagrama para el sólido rígido libre (de ligaduras), que constituye un primer paso en la resolución de los problemas de la Estática.
Imaginemos una vari-
Figura 20.
lla rectilínea y homogénea que se encuentra en equi- librio apoyada en el fondo y en el borde de una oquedad hemiesférica perfectamente lisa, como se muestra en la Figu- ra 20.11a. La varilla está sometida a ligaduras que limitan sus posibilidades de movimiento. En la Figura 20.11b hemos dibujado el diagrama de la varilla libre , en el que hemos sustituido las ligaduras (fondo y borde de la oquedad) por las fuerzas de ligadura ( N 1 y N 2 ) que producen los mismos efectos que aquéllas.
Ejemplo I.- Una varilla lisa y uniforme, de longitud l y masa m , se apoya en el fondo y en el borde de una oquedad hemiesférica perfectamente lisa, de radio R tal que 2 R < l < 4 R , como se muestra en la Figura 20.11a. a) Determinar la posición de equilibrio. b) Calcular las reacciones en los apoyos. a) Comenzamos dibujando el diagrama de la varilla libre , sustituyendo las ligaduras por las fuerzas de ligadura o de reacción en los apoyos ( N 1 y N 2 ) que producen los mismos efectos que aquéllas, como se muestra en la Figura 20.12, que resulta suficientemente autoexplicativa. La varilla está sometida a la acción de tres fuerzas que deberán ser concurrentes en el punto D situado sobre la circunferencia de trazos, ya que el ángulo ACD es recto y la dirección de N 1 es diametral. Así, el problema de determinar la posición de equilibrio de la varilla se reduce a una cuestión puramente geométrica. Observemos que los ángulos GAE y GAD son iguales, ya que son ángulos inscritos en una circunferencia que subtienden arcos iguales, y que en los triángulos ΔAEG y ΔAED se verifica
602 Lec. 20.- Estática del sólido rígido.
F cf ω^2 λ senθ ⌡⌠
l 0
x ′ d x ′ 1 2
ω^2 λ senθ l^2 2
m ω^2 l senθ
M cf,O ω^2 λ senθ cosθ ⌡⌠
l 0
x ′^2 d x ′ 1 3
ω^2 λ l^3 senθ cosθ 1 3
m ω^2 l^2 senθ cosθ
En virtud del Teorema de Varignon, podemos escribir
M cf,O h F cf ⇒ h
M cf,O F cf
2 3
l cosθ
lo que nos permite determinar el punto de aplicación (cf) de la fuerza centrífuga resultante ( centro centrífugo ). Puesto que en el referencial solidario hay equilibrio estático, el momento resultante debe ser nulo; i.e. ,
mg l 2
senθ 1 3
m ω^2 l^2 senθ cosθ ⇒ ω 3 g 2 l senθ
§20.9. Estática de un sistema de cuerpos rígidos.- Consideremos un conjunto deformable de cuerpos rígidos ( v.g. , un montón de piedras). Podemos clasificar las fuerzas que actúan sobre cualquiera de los cuerpos que componen el sistemas en las siguientes categorías:
a) Fuerzas interiores al sistema. Son las fuerzas ejercidas por los demás cuerpos que componen el sistema sobre el cuerpo en cuestión. b) Fuerzas exteriores al sistema , que pueden clasificarse en: i) Fuerzas activas : el peso, por ejemplo. ii) Fuerzas de reacción en los apoyos.
Para que el sistema de cuerpos rígidos esté en equilibrio deberán estarlo por separado cada uno de los N cuerpos que lo componen. Esa es la idea contenida en el llamado Principio de Fragmentación que se enuncia así:
Si un sistema de cuerpos rígidos está en equilibrio y lo dividimos en varios subsistemas, cada uno de ellos está en equilibrio por separado.
El Principio de Fragmentación nos permite reducir el problema al estudio del equilibrio de cada uno de los N cuerpos por separado. Esto es, para el cuerpo i - ésimo, de los N que componen el sistema, se deberán satisfacer (en el equilibrio) las ecuaciones cardinales de la Estática; o sea
R (^) i 0 M (^) i 0 [20.21]
§20.9.- Estática de un sistema de cuerpos rígidos. 603
donde R i y M i representan la resultante y el momento resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo i -ésimo. De ese modo se obtienen 2 N ecuaciones vectoriales que sumadas nos conducen a
R (^) [20.22] i
R (^) i 0 M i
M (^) i 0
de modo que la condición necesaria
Figura 20.
para el equilibrio de un sistema de cuerpos rígidos es que sean nulos la resultante y el momento resultante de todas las fuerzas exteriores al sistema (las fuerzas interiores al sistema se contrarrestan automáticamente en virtud de la ley de acción y reacción). Las condiciones expresadas por [20.22] no son suficientes ya que al no ser rígido el sistema en su conjunto, las fuerzas a él aplicadas no constituyen un sistema de vectores deslizantes, sino N de tales sistemas (uno para cada cuerpo).
Ejemplo III.- a) Determinar el ángulo θ de la cuña que deberemos utilizar para calzar al cilindro inferior para que el sistema, compuesto por dos cilindros idénticos, homogéneos y lisos, dispuestos como se indica en la Figura 20.15, permanezca en equilibrio. b) Determinar el valor mínimo del coeficiente de rozamiento de la cuña con el suelo. a) Aplicamos la primera condición de equilibrio al cilindro superior:
Figura 20.
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ N 1 N 12 2 2 P N 12 2 2
⇒
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
N 1 P
N 12 2 P
y al cilindro inferior:
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ N 2 senθ N 12 2 2 N 2 cosθ N 12 2 2
P
de donde, elevando al cuadrado y sumando miembro a miembro, se sigue que
N (^) 22
N (^) 122 2
N (^) 122 2
P^2 2 N 12 P 5 P^2 ⇒ N 2 5 P
y dividiendo miembro a miembro obtenemos
§20.10.- Concepto de desplazamiento virtual. 605
Entendemos por desplazamiento virtual de un sistema toda variación instantánea de su configuración, como resultado de cualquier cambio infinitesimal arbitrario en las coordenadas de algunas (o todas) las partículas que lo componen, compatible con las fuerzas y ligaduras impuestas al sistema en el instante t. Un ejemplo de desplazamiento virtual nos lo ofrece una bolita que
Figura 20.
pueda correr por un carril circular situado en un plano vertical, como muestra la Figura 20.17. La bolita puede moverse a lo largo del carril y, también, en dirección perpendicular a él hacia adentro, pero no hacia afuera por impedirlo el carril (ligadura de rigidez). El conjunto de todos lo movimientos infinitesimales imaginables de la bolita (compati- bles con las ligaduras) constituyen el conjunto de los desplazamientos virtuales de ella.
Clasificaremos los desplazamientos virtuales en reversibles e irreversibles. Son reversibles aquellos desplazamientos virtuales que pueden realizarse en un cierto sentido (δ r i ) y en su opuesto (-δ r i ). Son irreversibles aquellos desplazamientos virtuales que se pueden realizar en un cierto sentido pero no en su opuesto, por impedirlo las ligaduras. En el ejemplo anterior, son irreversibles los desplazamientos virtuales en dirección normal al carril; en cambio, son reversibles los desplazamientos virtuales tangentes al carril.
Las ligaduras bilaterales sólo permiten desplazamientos reversibles; las ligaduras unilaterales (el ejemplo anterior lo es de una de ellas) permiten desplazamientos virtuales reversibles e irreversibles.
§20.11. Principio de los trabajos virtuales.- Consideremos un sistema material en equilibrio; como ya sabemos, será condición necesaria y suficiente que se encuentren en equilibrio cada una de las N partículas que lo componen, lo que equivale a decir que deben ser nulas las resultantes de las fuerzas que actúan sobre cada una de las partículas. Esto es
R (^) i 0 ( i 1,2,3, N ) [20.23]
Resulta obvio que, bajo esas condiciones, se anulará el producto R i δ r i , que representa el trabajo virtual de la fuerza R i en el desplazamiento virtual δ r i ; es decir
δ W (^) i R (^) i δ r (^) i 0 [20.24]
La suma de todos esos trabajos virtuales, extendida a todas las partículas, será asimismo nula
δ W [20.25]
N
i^1
R (^) i δ r (^) i 0
Hasta aquí no hemos dicho nada que tenga un contenido físico nuevo; las resultados [20.24] y [20.25] son deducciones triviales que parten de la definición de equilibrio. Sin embargo, si las fuerzas R i son funciones continuas de la posición de las partículas, la expresión [20.25] adquiere un nuevo significado físico que puede enunciarse del modo siguiente:
606 Lec. 20.- Estática del sólido rígido.
El trabajo realizado en un desplazamiento virtual arbitrario de un sistema material, a partir de la posición de equilibrio, vale cero.
El enunciado anterior se conoce como Principio de los Trabajos Virtuales , en su forma más general. Veamos ahora si podemos encontrar un enunciado más restrictivo y que resulte más interesante en cuento a las aplicaciones.
La fuerza resultante R i que actúa sobre la partícula i -ésima del sistema puede separarse en dos partes: La resultante F i de las fuerzas activas y la resultante F˜ i de las fuerzas de ligadura. O sea
R [20.26]
i F^ i
F˜
i
de modo que la ec. [20.25] toma la forma
[20.27]
N
i 1
F (^) i δ r (^) i
N
i 1
F^ ˜
i δ r^ i^0
El segundo sumatorio de la esta expresión representa el trabajo virtual de las fuerzas de ligadura en un desplazamiento virtual compatible con las ligaduras.
Si las ligaduras son bilaterales (reversibles) las fuerzas de ligadura serán normales a los desplazamientos que permitan, esto es F˜ i ⊥ δ r i , de modo que el trabajo virtual correspondiente será nulo y, en consecuencia, será
[20.28]
N
i 1
F^ ˜ (^) i δ r (^) i 0
Pero si las ligaduras son unilaterales, los desplazamientos virtuales podrán ser reversibles e irreversibles. En el primer caso se cumplirá [20.28]. En el segundo caso, cuando el desplazamiento sea irreversible, la partícula se libera del vínculo (las ecuaciones de la ligadura desaparecen) y las fuerzas de ligadura realizarán un trabajo esencialmente positivo, ya que el desplazamiento tendrá lugar en la misma dirección y sentido que la fuerza de ligadura; así, en la situación más general, resulta
[20.29]
N
i 1
F^ ˜
i δ r^ i ≥^0
Combinando las ecuaciones [20.27] y [20.29] tenemos
[20.30]
N
i 1
F (^) i δ r (^) i ≤ 0
donde intervienen solamente las fuerzas aplicadas (activas), que pueden suponerse continuas en el espacio. El signo de igualdad (=) corresponde a la situación, que es la más frecuente, de que los desplazamientos virtuales sean reversibles, cosa que puede presentarse tanto con ligaduras bilaterales como unilaterales. El Principio de los Trabajos Virtuales establece, entonces, que:
El trabajo realizado por las fuerzas activas durante un desplazamiento virtual reversible, compatible con las ligaduras, de un sistema material, a partir de la posición de equilibrio, vale cero.
