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Baixe Mecanica dos Materiais - James Gere - Parte 1 e outras Notas de estudo em PDF para Cultura, somente na Docsity!
Membros Carregados Axialmente 2.1 INTRODUÇÃO Componentes estruturais submetidos apenas à tensão ou compressão são chamados de membros carregados axial- mente. Barras sólidas com eixos longitudinais retos são o tipo mais comum, embora cabos e molas espirais também suportem cargas axiais. Exemplos de barras carregadas axialmente são membros de suporte, hastes de conexão em motores, aros em rodas de bicicleta, colunas em prédios e suportes em armações de motores de avião. O comporta- mento de tensão-deformação de tais membros foi discutido no Capítulo 1, em que também obtivemos equações para as tensões agindo em seções transversais (o = P/A) e as deformações em direções longitudinais (e = 5/L) Neste capítulo consideramos outros aspectos de membros carregados axialmente, começando pela determinação de mudanças cansadas por cargas (Seções 2.2 e 2.3). O cálculo de mudanças em comprimentos é um ingrediente essencial na análise de estruturas estaticamente indeterminadas, um tópico que apresentamos na Seção 2.4. Mudanças no comprimento também devem ser calculadas todas as vezes que for necessário controlar os deslocamentos de uma estrutura, por razões estéticas ou funcionais. Na Seção 2.5 discutiremos os efeitos da temperatura no comprimento de uma barra e apresentaremos os conceitos de tensão térmica e deformação térmica. Também está incluída nessa seção uma discussão dos efeitos de lacunas e pré-deformações. Uma visão generalizada das tensões em barras carregadas axialmente será apresentada na Seção 2.6, em que dis- cutiremos as tensões em seções inclinadas (distintas de seções transversais) de barras. Embora apenas tensões nor- mais ajam em seções transversais de barras carregadas axialmente. tensões normais e de cisalhamento agem em seções inclinadas. Então apresentaremos vários tópicos adicionais de importância em mecânica dos materiais: energia de deforma- ção (Seção 2.7), carregamento de impacto (Seção 2.8), fadiga (Seção 2.0), concentrações de tensão (Seção 2.10) e comportamento não-linear (Seções 2.11 e 2.12). Embora esses assuntos sejam discutidos no contexto de membros com cargas axiais, as discussões fornecem a base para aplicar os mesmos conceitos a outros elementos estruturais, como barra em torção e vigas em flexão. 2.2 MUDANÇAS NOS COMPRIMENTOS DE MEMBROS CARREGADOS AXIALMENTE | Ao se determinar as mudanças nos comprimentos de membros carregados axialmente, é conveniente começar pela mola espiral (Figura 2.1). Molas desse tipo são usadas em grande número em vários tipos de máquinas e dis- positivos — por exemplo, existem dúzias delas em todo veículo. Quando uma df Trem carga é aplicada ao longo do eixo de uma mola, como mostrado na Figura pc Pp 2.1, a mola é alongada ou encurtada dependendo do sentido da aplicação da o carga. Se a carga age para fora da mola, a mola sofre alongamento e dize- mos que ela está carregada em tração. Se a carga age para dentro da mola, Figura 2,1 Mola submetida a uma dizemos que ela está em compressão. Porém, não se deve dizer que as espi- carga axial P ras individuais da mola estão submetidas a tensões de compressão ou tração; em vez disso, as espiras agem basicamente em cisalhamento direto e torção. 51 52 MECÂNICA DOS MATERIAIS Entretanto, o alongamento ou encurtamento total de uma mola é análogo ao = comportamento de uma barra em tração ou compressão, e por isso a mesma terminologia é usada. Molas O alongamento de uma mola é mostrado na Figura 2.2, na qual a parte supe- rior da figura mostra a mola em seu comprimento natural L (também cha- mado de comprimento não-tensionado, comprimento relaxado ou comprimento livre) e a parte inferior da figura mostra os efeitos de se aplicar vg uma carga de tração. Sob a ação da força P, o comprimento da mola aumenta um de valor d e seu comprimento final é L + 6, Se o material da Figura 2.2 Alongamento de uma mola mola é elástico linear, a carga e o alongamento serão proporcionais: carregada axialmente P=k8 6=fP (2.1a, b) sendo k e f constantes de proporcionalidade, A constante k é chamada de rigidez da mola e é definida como a força exigida para produzir uma uni- dade de alongamento, isto é, k = P/ô. Similarmente, a constante f é conhe- cida como flexibilidade e é definida como o alongamento produzido por uma carga de valor unitário, isto é, f = à/P. Embora tenhamos usado uma mola em tração nessa discussão. é óbvio que as Equações (2.1a) e (2.1b) também se aplicam para molas em compressão, Da discussão anterior está claro que a rigidez e a flexibilidade estão relacionadas de forma recíproca: 1 F (224, b) Figura 2.3 Barra prismática de seção A flexibilidade de uma mola pode ser determinada facilmente medindo-se o frame versal creu: alongamento produzido por uma carga conhecida, e a rigidez pode ser calcu- lada a partir da Equação (2.2a). Outros termos para a rigidez e a flexibilidade de uma mola são constante da mola e compliância, respectivamente. As propriedades da mola dadas pelas Equações (2.1) e (2.2) podem ser usadas na análise c dimensionamento de vários dispositivos mecânicos envolvendo molas. como descrito posteriormente no Exemplo 2.1. Barras Prismáticas As barras carregadas axialmente sofrem alongamento sob cargas de tração e encurtamento sob cargas de compressão, exatamente como as molas. Para analisar esse comportamento, vamos considerar a barra prismática mostrada na Figura 2,3, Uma barra prismática é um membro estrutural com um eixo longitudinal retilíneo e uma seção transversal constante ao longo de seu com- primento. Embora usemos geralmente barras circulares em nossas ilustrações. devemos ter em mente que membros estruturais podem ter uma variedade de formas de seção transversal, como aquelas mostradas na Figura 2.4. O alongamento é de uma barra prismática submetida a uma carga de tração P é mostrada na Figura 2.5. Se a carga age através do centróide da seção transversal da extremidade, a tensão normal uniforme nas seções transversais longe das extremidades é dada pela fórmula o = PIA, em que A é a área de seção transversal. Além disso, se a barra é feita de um material homogêneo, a deformação axial é e = 6/L, em que à é o alongamento e L é o comprimento da barra. Vamos também assumir que o material é elástico Seções transversais de perfis padronizados linear, o que significa que ele segue-a lei de Hooke. A tensão e a deformação longitudinal estão relacionadas pela equação o = Ee, em que E é o módulo Figura 2.4 Seções transversais típicas de elasticidade. Combinando essas relações básicas, obtemos a seguinte de membros estruturais equação para o alongamento da barra: E» Seções transversais rigidas SS Si Seções transversais vazadas ou tubulares Co CN MECÂNICA DOS MATERIAIS A área de seção transversal de um cabo é igual à soma das áreas de seção transversal de cada um dos fios que for- “em o cabo é é chamada de área efetiva ou área metálica. Essa área é menor do que a área de um círculo tendo o “mesmo diâmetro que o cabo porque existem espaços entre cada um dos fios. Por exemplo, a área de seção transversal de sm cabo de | in. de diâmetro é apenas 0,471 in.*. ao passo que a área de um círculo de 1,0 in. de diâmeiro é 0,785 in'. Sob a mesma carga de tração. o alongamento de um cabo é maior do que o alongamento de uma barra sólida de mesmo material e de mesma área de seção transversal metálica, porque os fios em um cabo “esmagam-se” da mesma maneira que as fibras em uma corda. Dessa forma. o módulo de elasticidade (chamado de módulo efetivo) de um cabo é menor do que o módulo de elasticidade do material do qual ele é feito. O módulo efetivo de cabos de aço está em tomo de 20.000 ksi (140 GPa), ao passo que o aço propriamente dito tem um módulo de elasticidade de aproxi- madamente 30.000 ksi (210 GPa). Ao determinar o alongamento de um cabo através da Equação (2.34, o módulo efetivo deve ser usado para E e a área efetiva deve ser usada para A. Na prática, as dimensões da seção transversal e outras propriedades dos cabos são obtidas com os fabricantes. Entretanto, para uso na resolução de problemas neste livro (e não para aplicação de engenharia), listamos as proprie- dades de um tipo particular de cabo na Tabela 2.1. Note que a última coluna contém a carga última, que é a carga que causaria a ruptura do cabo. A carga admissível é obtida através da carga última aplicando-se um fator de segurança que pode variar de 3 até 10, dependendo de como o cabo será usado. Os fios individuais em um cabo são geralmente feitos de aço de alta resistência, e a tensão de tração calculada pode chegar a valores tão altos quanto 200.000 psi (1.400 MPa). Os exemplos a seguir ilustram técnicas para analisar dispositivos simples comendo molas c barras. As soluções exigem o uso de diagramas de corpo livre. equações de equilíbrio e equações para mudanças no comprimento. Os problemas no final do capítulo fornecem exemplos adicionais, TABELA 2.1 PROPRIEDADES DE CABOS DEAÇO | Diâmetro Peso Área Carga nominal aproximado efetiva última im fm) bit (Nim) im (mm? b (kN) 050 (ID | 042 (61) | 019 (767) 23.100 (102) 0,75 (20) 0,95 (139) 0.268 (173) 51.900 (231) 100 es 1,67 44 0471 (304) 91,300 (406) 25 GD UM (385) | 0745 (481) 14,000 (641) | 150 (38) | 383 055,9 Los (697 | 209000 (930) , 175º (4) SM O (069 147 (948) | 285000 (1260) 200 (50) 684 4998) 1,92 (1230) | 372000 (1650) Exemplo 2.1 Uma armação rígida ABC de perfil L consiste de um braço horizontal AB (compri- mento b = 11,0 in.) e um braço vertical BC (comprimento c = 9,5 in.) c está presa por um pino no ponto B. como mostrado ns Figura 2. 7a. O pino está fixo na armação extema BCD, que fica em uma bancada de laboratório. A posição do ponteiro cm € é controlada por uma mola (rigidez k = 4,2 Thin.) que cstá fixada a uma haste com mosca. À posição da haste com rosca é ajustada girando-se a porca serrilhada. O passo das roscas fisto é, a distância de uma rosca para a próxima) é p = 1/6in., o que significa que uma revolução completa da porca movcrá a barra da mesma quantidade. Inicialmente, quando não há peso no braço, a porca é girada até que o apontador na extremidade do braço BC esteja diretamente sobre a marca de referên- cia na barra mais extema, Se um peso w = 2 Ih é colocado no braço em A, quantas revoluções da porca são necessárias para trazer o apontador de volta para a marca? (Deformações das partes de metal do dispositivo podem ser desconsideradas, pois elas são desprezíveis comparadas à variação no comprimento da mola. CAPÍTULO 2 Membros Carregados Axlalmente 55 Wa — ha ao 4B F rd "w | e F Es c O) fa) 2.7 Exemplo 2.1. (a) Armação ABC em perfil L fixada à armação externa BCD por um pino em 5 e (b) diagrama de corpo da armação ABC À inspeção do instrumento (Figura 274) most que o peso W agindo pra ban irá fazer o potiro em € mover para a sita, Quando o ponteiro se move para a direita, a mola estira-se por uma quantidade adicional, a qual podemos determinar pela na mola, Para determinar a força na mola, construímos um diagrama de corpo livre da armação ABC (Figura 2.7h). Nesse diagrama, W f à força aplicada pelo suporte e E representa a força aplicada pela mola. As reações no pino estão indicadas com traços és das flechas (veja à discussão das reações na Seção 1,8). Tomando-se momentos em relação ao ponto B temos igual ao alosgamento da mola. Uma vez que cada volta completa da porca move a haste em uma distância igual Ep. O movimento total da haste é igual a np, onde n é o número de voltas. Dessa forma, = mp heud [63] obtemos a seguinte fórmula para o número de revoluções da porca: LU) =— (d) a (a Resultados numéricos. Como passo final na solução, substituímos os dados numéricos na Equação (d), como segue: MD MO) "dp" OSina2ibinyiioim) — Ss revoluções * e resultado mostra que se rotacionarmos a porca em 8,8 revoluções, a haste com rosca irá se mover para a esquerda em uma ntidade igual ao alongamento da mola causado pela carga de 2 1, dessa forma retornando o ponteiro à marca de referência. ——— 56 MECÂNICA DOS MATERIAIS Exemplo 2.2 O instrumento na Figura 2.8a consiste de uma viga horizontal ABC suportada por duas barras verticais BD e CE. A barra CE é fixada por pinos em ambas as extremi- dades. mas a barra BD está fixada na fundação pela extremidade inferior. A distância de À até 8 é 450 mm c de B até C é 225 mm. Às barras BD e CE têm comprimentos de 480 mm e 600 mm, respectivamente, e suas áreas de seção transversal são de 1.020 mm? é 520 mm, respectivamente. As barras são feitas de aço tendo módulo de elast dade E = 205 GPa. Assumindo que a viga ABC é rígida, encontre a múxima carga admitida Pa, SC o deslocamento do ponto A está limitado em 1,0 mm. toy Figura 2.8 Exemplo 2.2. Viga horizontal ABC suportada por duas barras verticais Solução Para encontrar o deslocamento do ponto A, precisamos conhecer os deslocamentos dos pontos B e C, Por isso, devemos encontrar as mudanças nos comprimentos das barras BD e CE, usando a equação geral à = PL/EA (Equação 2.3). Começamos encontrando as forças nas barras através de um diagrama de corpo livre da viga (Figura 2.8b). Como a barra CE está presa por pinos em ambas as extremidades, ela transmite apenas uma força vertical Fry à viga. Entretanto, a barra BD pode trans- mitir tanto uma força vertical Foo quanto uma força horizontal H. Do equilíbrio da viga ABC na direção horizontal, vemos que a força horizontal desaparece. Duas equações adicionais de equilíbrio nos possibilitam expressar as forças Fap € Fo; em termos da carga P. Dessa forma, tomando-se os momentos em relação ao ponto E e então somando as forças na direção vertical, obtemos Feç=2P Fro=3P te) Note que a força Fey age para baixo na barra ABC ea força Fyp age para cima. Por isso, o membro CE está em tração é o membro BD está em compressão. O encurtamento do membro BD é FgnL ômp = Tso eo (3P)(480 mm) - — CCom esspx10s P = (205 GPa(1.020 mm?) En (8: = newton) tt) Note que o encurtamento 3,, está expresso em milímetros dado que a carga P está expressa em newtons. De forma similar, o estiramento de CE é CAPÍTULO 2 Membros Carregados Axialmente — Fole dez Eh = (2PW600 mm) (205 GPaK520 mm”) Novamente o deslocamento está expresso em milímetros dado que a carga P está expressa em newtons. Conhecendo as mudanças nos comprimentos das duas barras. podemos encontrar agora 0 deslocamento do ponto A. Diagrama de deslocamento. Um diagrama de deslocamento mostrando a posição relativa dos pontos 4, B'e C está desenhado na Figura 2.8c, A linha ABC representa o alinhamento inicial dos três pontos. Depois que a carga P é aplicada, o membro BD encurta pela quantidade 8,5 € O ponto B move-se para B'. O membro CE alonga-se pela quantidade 8, e o ponto € se move para C'. Como a viga ABC foi assumida como rígida, os pontos 4', B' e C' estão em uma linha reta. Para maior clareza. os deslocamentos estão altamente exagerados no diagrama. Na realidade, a linha ABC rotaciona através de um ângulo muito pequeno para sua nova posição A'B'C' (veja Nota 2 no final deste exemplo). Usando similaridade de triângulos, podemos agora encontrar as relações entre os deslocamentos nos pontos A, e C. Dos triângulos A'A'C' e B'BºC obtemos = 1126P x 10*mm (P=newtons) =] ar BB dB tãr But der NC CEO “ oras 23 dm em que todos os termos são expressos em milímetros. Substituindo para dg € dc» das Equações (f) e [g) temos & + 26Px OS GSSP x I0S+ 1126P x 105 sons =s Finalmente, substituímos para à, seu valor limite de 1,0 mm c resolvemos a equação para a carga P. O resultado é P= Pass = 23.300 N (00232 kN) - Quando a carga atinge esse valor, o deslocamento para baixo no ponto A é igual a 1.0 mm. Noia |: Uma vez que a estrutura comporta-se de uma maneira elástica lincar. os deslocamentos são proporcionais à magmi- Tude da carga. Por exemplo. se a carga é igual à metade de Pp... isto É P = 11,6 kN, o deslocamento para baixo do ponto A É igual a 0,5 mm. Nota 2: Para venificar nossa premissa de que a linha ABC rotaciona através de um Ângulo bem pegueno, podemos calcular o “ângulo de rotação a do diagrama de deslocamento (Figura 2.8c da seguinte maneira: ada &+ 8a é tuna ao 67smm o deslocamento 5, do ponto A € 1,0 mm. e o alongamento 5, da barra CE é encontrado pela Equação (g) substituindo-se P = 23.200 N; o resultado é dy = 0,261 mm, Por isso, da Equação (i) obtemos 1.0 mm + 0,261 mm me=" Gsm = eo = 0,0018685 «= 0,11º, Esse ângulo é tão pequeno que. se tentássemos desenhar o diagrama de deslocamento cm escala, não seríamos Es de distinguir entre a linha inicial ABC e a linha rotacionada A'B'C". — Dessa forma, ão trabalhar com diagramas de deslocamento. geralmente podemos considerar os deslocamentos como quanti- ago nene, pio can sfcre Soraeã a santa. Nano Paco aim Copiar de Semp co a apenas verticalmente; por outro lado, se 05 deslocamentos fossem grandes teriamos de considerar que eles se Rios de coenos correr MUDANÇAS NO COMPRIMENTO DE BARRAS NÃO-UNIFORMES uma barra prismática de material elástico linear É carregada apenas nas extremidades, podemos usar à m seu comprimento através da equação é = PL/EA, como está descrito na seção anterior. Nesta seção ire- “como essa mesma equação pode ser usada em situações mais gerais. por exemplo, que uma barra prismática é carregada por uma ou mais cargas axiais agindo em pontos ios ao longo do cixo (Figura 2,99), Podemos determinar a mudança no comprimento dessa barra adicio- algebricamente os nlongamentos e encurtamentos dos segmentos individuais, O procedimento é o seguinte: CAPÍTULO2 Membros Carregados Axialmente 59 Em que o índice | indica os vários segmentos da barra € n é o número total de segmentos. Note especialmente que N,; mão é uma carga externa, mas sim a força axial no segmento é Barra com Variações Constantes de Cargas ou Dimensões Algumas vezes a força axial N e a área da seção transversal À variam continuamente ao longo do eixo de uma barra, como ilustrado pela barra afilada da Figura 2.1 1a. Essa barra não tem apenas uma área de seção transversal variando Contintamente, mas também uma força axial variando continuamente. Nessa ilustração, a carga consiste de duas par- fes, uma força P, agindo na extremidade B da barra e forças distribuídas p(x) agindo ao longo do eixo. (Uma força distribuída tem unidade de força por distância, como libras por polegada ou newtons por metro.) Uma carga axial dis- Emibuída pode ser produzida por tais fatores como forças centrífugas, forças de atrito ou o peso de uma barra pendu- ada em uma direção vertical. Sob essas condições não podemos mais usar à Equação (2.5) para obter a variação no comprimento. Em vez disso, devemos determinar a variação no comprimento de um elemento diferencial da barra é então integrar sobre o Comprimento da barra. Escolhemos um elemento diferencial a uma distância x da extremidade esquerda da barra (Figura 2.1 1a). A força — axial interna N(y) agindo nessa seção transversal (Figura 2.11b) pode ser determinada pelo equilíbrio usando ou o segmento AC ou o segmento CB como um corpo livre. Em geral, essa força é uma função de x. Conhecendo as dimensões da barra, podemos expressar a área de seção transversal A(x) como uma função de x. á fa a; Po pm Po Ma) mofo Mía) ii 4 Ni) | || | % + bed (aj «by (cy Figura 2.11 Barra com área de seção transversal e força axial variantes O alongamento d'ô do elemento diferencial (Figura 2.11c) pode ser obtido através da equação 8 = PL/EA substi- tuindo-se Ma) por P, dx por L e Atx) por À, da seguinte maneira: JdE Nx dr 2.6) EA(x) O alongamento de toda a barra é obtido integrando-se sobre o comprimento: ô= E ass |, Pt (27) ) nv EA() Se as expressões para Mix) e A(x) não forem complicadas demais, a integral pode ser desenvolvida analiticamente e uma fórmula para à pode ser obtida, como ilustrado mais adiante no Exemplo 2.4. Entretanto, sé uma integração for- mal é difícil ou impossível, um método numérico deve ser usado. Limitações As Equações (2.5) e (2.7) aplicam-se apenas a barras feitas de materiais elásticos lineares, como mostrado pela pre- sença do módulo de elasticidade E nas fórmulas. A lórmula é = PL/EA foi obtida usando-se a suposição de que a distribuição de tensão é uniforme sobre tada seção transversal (porque é baseada na fórmula o = P/A). Essa suposi- ção é válida para barras prismáticas, mas não para barras afiladas, e por isso a Equação (2.7) fornece resultados satis- fatórios para uma barra afilada apenas se os ângulos entre os lados da barra forem pequenos. Como uma ilustração, se o ângulo entre os lados é 20º, a tensão calculada pela expressão « = P/A (em uma seção transversal selecionada arbi- trariamente) é 3% menor do que a tensão exata para aquela mesma seção transversal (calculada por métodos mais avançados). Para ângulos menores, o erro é ainda menor. Consegiientemente, podemos dizer que a Equação (2.7) é o] MECÂNICA DOS MATERIAIS ssssimória se o ângulo de afilamento é pequeno. Se o afilamento é grande, são necessários métodos de análise mais | pssosos (Ref. 2.1). Os exemplos a seguir ilustram a determinação das variações nos comprimentos de barras não-uniformes. Exemplo 2.3 Uma barra vertical de aço é suportada por um pino em sua extremidade superior e cartegada por uma força P, em sua extremidade inferior (Figura 2.122). Uma viga horizontal BDE é presa por um pino à barra vertical na junção B e sustentada no ponto D. A »iga está submetida a uma força P; na extremidade E. A parte superior da barra vertical (segmento AB) tem comprimento L, = 20,0 in. e área de seção transversal A, = 0,25 parte inferior (segmento 2€) tem comprimento L; = 34,8 im. e área A; = 0,15 in. O módulo de elasticidade E do aço é 29,0 x 10 psi. As partes esquerda e direita da viga BDE têm comprimentos a = 28 im. e b = 25in., respectivamente. Calcule o deslocamento vertical d- no ponto € se a carga P, = 2,100 Ibe a carga P: 5.600 Ib. (Desconsidere os pesos da barra c da viga) Ra bi 5 | E — b— e ga )— 3 + a] sD E) (65 SD Es) $ | B, A [7 P Es ec tai tb) cl id] P te) Figura 2.12 Exemplo 2.3. Mudança no comprimento de uma barra não-uniforme (barra ABC) Solução Forças axiais na barra ABC. Da Figura 2.12a, vemos que o deslocamento vertical do ponto € é igual à mudança no compri- mento da barra ABC, Por isso, devemos encontrar as forças axiais em ambos os segmentos dessa barra. A força axial Ny no segmento inferior é igual à carga P,. À força axial N, no segmento superior pode ser encontrada se conhe- cermos ou a reação vertical em A ou a força aplicada na barra pela viga. A última pode ser encontrada através de um diagrama de corpo livre da viga (Figura 2.12b), no qual a força agindo na viga (da barra vertical) é denotada P, e a reação vertical no suporte D é denotada Ro. Nenhuma força horizontal age entre a barra € a viga, como pode ser visto por um diagrama de corpo livre da pró- pria barra vertical (Figura 2.12c). Por isso, não há nenhura reação horizontal no suporte D da viga. Tomando os momentos em relação ao ponto D para o diagrama de corpo livre da viga (Figura 2, 12b) temos — Pb (5.6001bX25,0 in.) Did “a R0im. = 5.000 1b Essa força age para baixo na viga (Figura 2.12b) é para cima na barra vertical (Figura 2.12€). Agora podemos determinar a reação para baixo no suporte À (Figura 2.12€): Ri=P,— P, = 5.000 lb — 2.100 lb = 2.900 lb A porção superior da barra vertical (segmento AB) está submetida a uma força axial de compressão NM, igual a R,, ou 2.900 lb. O segmento inferior (segmento BC) suporta uma força axial de tração Nº igual a P,, ou 2.100 Ih. Nota: Como uma alternativa para os cáleulos anteriores, podemos obter à reação R, a partir de um diagrama de corpo livre de toda a estrutura (em vez de um diagrama de corpo livre da viga BDE). Mudanças no comprimento, Com a tração considerada positiva, a Equação (2.5) nos dá [54 MECÂNICA DOS MATERIAIS s | Mayde [ * Pla EA(x) 0 Edi) a Realizando à integração (veja apêndice C para fórmulas de integração) e substituindo os limites. dblntos APL; Edi [ te) Essa expressão para à pode ser simplificada notando-se que E A Lo dy Ly Edy Dessa forma, a equação para ô fica É, = Eu fi) tg Finalmente, substituímos Ly/Ly — dy/dy (veja a Equação a) e obtemos EA (28) em Essa fórmula fornece o alongamento de uma barra afilada de seção transversal circular sólida, Substituindo os valores numéricos, podemos determinar a variação no comprimento para qualquer barra em particular. Nota 1: Um engano comum é assumir que o alongamento de uma barra afilada pode ser determinado calculando-se o alonga- mento de uma barra prismática que tenha a mesma área de seção transversal que a área de seção transversal mediana de uma barra afilada, Um exame da Equação (2.8) mostra que essa idéia não é válida. Nota 2: À fórmula anterior para uma barra afilada (Equação 2.8) pode ser reduzida ao caso especial de uma barra prismática substituindo-se d, = dg = d. O resultado é 4PL PE mEq” EA à= que sabemos estar correto. Uma fórmula geral tal como a Equação (2.8) deve ser averiguada sempre que possível verificando-se que ela sempre se reduz a resultados conhecidos para casos especiais. Se a redução não produzir um resultado correto, a fórmula inicial está errada. Se um resultado correto for obtido, a fórmula inicial pode ainda estar incorreta, mas aumentamos nossa credibilidade nela. Em outras palavias, esse tipo de averiguação é uma condição necessária, mas não suficiente para a validade da fórmula inicial. 2.4 ESTRUTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS p As molas, barras e cabos que discutimos nas seções anteriores têm uma carac- terística em comum — suas reações e forças internas podem ser determinadas A unicamente à partir de diagramas de corpo livre e equações de equilíbrio. Estruturas desse tipo são classificadas como estaticamente determinadas. Ps Devemos notar especialmente que as forças em uma estrutura estaticamente | E determinada podem ser encontradas sem saber as propriedades dos materiais. Considere, por exemplo, a barra AB mostrada na Figura 2.14. Os cálculos para as forças axiais em ambas as partes da barra, bem como para a reação R na base, são independentes do material do qual a barra é feita. A maioria das estruturas é mais complexa do que a barra da Figura 2.14, B e suas reações e forças internas não podem ser encontradas apenas através da estática. Essa situação é ilustrada na Figura 2.15, que mostra a barra AB tr fixada em ambas as extremidades. Agora há duas reações verticais (R, e Re), mas apenas uma equação de equilíbrio — a equação da somatória das Figura 2,14 Barra estaticamente forças na direção vertical. Uma vez que essa equação contém duas incógni- determinada CAPÍTULO 2 Membros Carregados Axialmente 6 | tas, ela não é suficiente para encontrar as reações. As estruturas desse tipo ta, são classificadas como estaticamente indeterminadas. Para analisar tais estruturas devemos suplementar as equações de equilíbrio com equações A adicionais de deslocamentos da estrutura. Para vermos como uma estrutura estaticamente indeterminada é anali- P sada. considere o exemplo da Figura 2.164. À barra prismática AB está fixada em suportes rígidos em ambas as extremidades e está carregada axialmente por uma força P em um ponto intermediário C. Como já foi discutido ante- riormente, as reações R, Rs, não podem ser encontradas apenas através da SFa=0 Ro P+R=0 (a Uma equação adicional é necessária para encontrarmos as duas reações des- fas conhecidas. A equação adicional é baseada na observação de que uma barra com Figura 2.15 Barra estaticamente ambas as extremidades fixadas não apresenta variação no comprimento. Se indeterminada separamos a barra de seus suportes (Figura 2.16b), obtemos uma barra que está livre em ambas as extremidades e carregada pelas três forças, R,, Ra € P. Essas forças fazem a barra sofrer uma variação ô,s de comprimento, que deve ser igual a zero: Bu=0 d) Essa equação, chamada de equação de compatibilidade, expressa o fato de que a variação no comprimento da barra deve ser compatível com as condi- ções nos suportes, Para resolver as Equações (a) e (b), devemos agora expressar a equação de compatibilidade em termos das forças desconhecidas R, e Rp. As relações Rá entre as forças agindo em uma barra e suas variações no comprimento são conhecidas como relações de força-deslocamento. Essas relações têm A várias formas dependendo das propriedades do material, Se o material é elástico linear, a equação 3 = PL/EA pode ser upando para obter as relações de força-deslocamento. | Vamos assumir que a barra da Figura 2.16 tenha área de seção transver- sal À e seja feita de um material com módulo E, Então as variações nos com- e primentos dos segmentos superior e inferior da barra são, respectivamente, e R b em que o sinal menos idica o encurtamento da barra. As equações (c) e (d) são as relações de força-deslocamento. Estamos agora prontos para resolver simultaneamente os três conjuntos | de equações (a equação de equilíbrio, a equação de compatibilidade e as “4 relações de força-deslocamento). Nessa ilustração, começamos combinando Bs as relações de força-deslocamento com a equação de compatibilidade: pr bo Be = Se + &y= RE a (e) (a) U] Figura 2,16 Análise de uma barra estati- epa eo na IE incógnitas. camente indeterminada O próximo passo é resolver simultaneamente a equação de equilíbrio (Equação a) e a equação anterior (Equação e). Os resultados são CA safa E Ro L (2.9, b) Com essas reações conhecidas. todas as outras quantidades de força e deslocamento podem ser determinadas. Suponha, por exemplo, que descja- mos encontrar o deslocamento para baixo 6 do ponto C. Esse deslocamento, é igual ao alongamento do segmento AC; R= CAPÍTULO2 Membros Carregados Axialmente [= Exemplo 2.5 Um cilindro circular sólido S feito de aço está encerrado em um tubo circular vazado € de cobre (Figuras 2.174 e bj. O cilindro e tubo são comprimidos entre as placas rígidas de uma máquina de teste por forças de compressão P. O cilindro de aço tem área de seção transversal As e módulo de elasticidade E,. o tubo de cobre tem área Ap e módulo E,-. é ambos têm comprimento L. Determine as seguintes quantidades: (a) as forças de compressão P, no cilindro de aço e Pç no tubo de cobre; (b) as tensões de compressão correspondentes q, é 7 e (c) 0 encurtamento à do conjunto. Figura 2.17 Exemplo 2.5. Análise de uma estrutura estaticamente indeterminada | “MM | 1a) Forças de compressão no cilindro de aça e no tubo de cobre. Começamos removendo a placa superior do conjunto para Expor as forças de compressão P, e P, agindo no cilindro de aço e no tubo de cobre, respectivamente (Figura 2.17c). A força P, é a resultante das tensões distribuídas uniformemente agindo sobre a seção transversal do cilindro de aço, e a força P, é a resultante “fas tensões agindo sobre a seção transversal do tubo de cobre. Equação de equilíbrio. Um diagrama de corpo livré da placa superior é mostrado na Figura 2.17d, Essa placa está submetida — a força Pe às forças de compressão desconhecidas P, e P,; dessa forma. a equação de equilíbrio é h EFa=0 P+R-P=0 ( Essa equação, que é a única equação de equilíbrio não-trivial disponível, contém duas incógnitas. Por isso, concluímos que a estrutura é estaticamente indeterminada. Equação de compatibilidade. Como as placas na extremidade são rígidas, o cilindro de aço e o tubo de cobre devem encurtar mesma quantidade. Denotando-sc os encurtamentos das partes de aço e de cobre por ô, c ô,. respectivamente, obtemos a Seguinte equação de compatibilidade: | = (8) Relações de força-deslocamento. As variações nos comprimentos do cilindro e do tubo podem ser obtidas a partir da equação al 8 = PL/EA, Por isso, nesse exemplo as reiações de força-deslocamento são a =P — PL CEA “OEA | Solução das equações. Agora resolvemos simultaneamente os três conjuntos de equações. Primeiro, substituímos as relações “de força-deslocamento na equação de compatibilidade, que nos fornece BL BL EA, EM Essa equação expressa a condição de compatibilidade em termos das forças desconhecidas. — Depois resolvemos simultaneamente a equação de equilíbrio (Equação f) e a equação anterior de compatibilidade (Equação j) obtemos as forças axiais no cilindro de aço e no tubo de cobre: É SETE Bra Er) Cllad) es (hd) tj 6 MECÂNICA DOS MATERIAIS Essas equações mostram que as forças de compressão nás partes de aço e de cobre são diretamente proporcionais às suas respecti- vas nigidezes axiais e inversamente proporcionais à soma de suas rigidezes. (b) Tensões de compressão no cilindro de aço e no bo de cobre. Conhecendo as forças axiais, podemos agora obter as ten- sões de compressão nos dois materiais: PE quBo PE EA, + EA, “A EA+TEA, Note que a razão q,/o, das tensões é igual à razão E,/E, do módulo de elasticidade. mostrando que em geral o material “mais rigido” sempre tem a maior tensão. (c) Encurtamento do conjunto. O encurtamemo à de todo o conjumo pode scr obxido a partir da Equação (h) ou da Equação ti). Dessa forma. substituindo as forças (das Equações 2.1 la e b). obtemos BL PL PL EA EATEA Esse resultado mostra que o encurtamento do conjunto é igual à carga total dividida pela soma das rigidezes das duas partes (lem- bre-se da Equação 2.4a que a rigidez de uma barra carregada axialmente é k = EA/I) Solução alternativa das equações. Em vez de substituir as relações de força-deslocamemto (Equações h e i) na equação de compatibilidade. poderíamos novamente escrever essas relações na forma (Dad) em 2) BA po EA nsDos 584 [a e substituí-las na equação de equilíbrio (Equação 1) Essa equação expressa a condição de equilíbrio em termos dos deslocamentos desconhecidos. Então resolvemos simultaneamente a equação de compatibilidade (Equação g) e a equação anterior, obtendo dessa forma os deslocamentos: PL Tr tm) que está de acordo com a Equação (2.131. Finalmente, substituímos a expressão (n) nas Equações (k) e (1) e obtemos as forças de compressão P, e P, (veja Equações 2.1 la e b). Nota: O método altermativo de resolver as equações É uma versão simplificada do método de análise da rigidez (ou do deslocamento), € o primeiro método de resolver as equações é uma versão simplificada do método de análise da Mexibili- dade (ou da força). Os nomes desses dois métodos surgem a partir do fao de que a Equação (m) tem deslocamentos como incóg- nitas € rigidezes como coeficientes (veja Equação 2.44), ao passo que a Equação (j) tem as forças como incógnitas e as flexibilidades como cocficientes (veja Equação 2.4%). Exemplo 2.6 Uma barra horizontal rígida AB está presa por pinos na cxiremidade A c suportada por dois cabos (CD « EF) nos pontos De F (Figura 2.189). Uma carga vertical P age na extremidade B da barra. À barra tem comprimento 3b e os cabos CD e EF têm compri- mentos L, e L,, respectivamente. O cabo CD tem diâmeuo d, e módulo de elasticidade E,: o cabo EF tem diâmetro d; e módulo E. (a) Obtenha fórmulas para a carga admissível P sc as tensões admissíveis nos cabos CD e EF são, respectivamente, d; € ou. (Desconsidere o peso da barra.) (b) Calcule a carga admissível P para as seguintes condições: O cabo CD é feito de alumínio com módulo E, = 72 GPa, diá- metro d, = 4.0 mm e comprimento L, = 0,40 m. O cabo EF é feito de magnésio com módulo E, = 45 GP, diâmetro d, = 3,0 mm e comprimento L; = 0,30 m. As tensões admissíveis nos cabos de alumínio e de magnésio são 0; = 200 MPa and o. = 175 MPa, respectivamente, Solução Equação de equilíbrio. Começamos a análise desenhando um diagrama de corpo livre da barra AB (Figura 2.18b). Nesse dia- grama 7, e T, são us forças de tração desconhecidas nos cabos e R, e Ry são as componentes horizontal e vertical no apoio. Vemos imediatamente que a estrutura é estaticamente indeterminada porque existem quatro forças desconhecidas (T,, Ty Ry € Ry) mas apenas três equações de equilíbrio independentes. 65 MECÂNICA DOS MATERIAIS = 3h = fp dhtho oap+A Conhecendo as forças T, € T,, podemos facilmente encontrar os alongamentos dos fios das relações de força-deslocamento. (a) Carga admissível P. Agora que a análise estaticamente indeterminada está completa e as forças nos fios são conhecidas, podemos determinar o valor permissível da carga P A tensão 0; no fio CD é a tensão q; no fio EF são prontamente obtidas a partir das forças (Equações v e w): T (vw) aci EE asa DEP aà ) CA DMA +h CA AMA A partir da primeira dessas equações determinamos para a carga admissível P, baseada na tensão admissível o no fio CD: = mAdSh +) P= afs (2.143) em De forma análoga. a partir da segunda equação obtemos a força admissível P, bascada na tensão admissível o; no fio EF: cAstdf + fo) p,= SStntio [6 E - Sh A menor dessas duas cargas é a máxima carga admissível Pag. (b) Cálculos numéricos para a carga admissível, Usando os dados fornecidos e as equações anteriores, obtemos os seguintes valores numéricos: ma Ommp 4 (30 mm" go mmê 4 L, 0,40m RE EP 1 a ATA TEORadasT mn = 04420 X 104 mM 0,30m Es uu — — MV. moi 4 EE Gan 06s mm É 08481 210 mA As tensões admissíveis são o = 200 MPa va = [75 MPa Assim, substituindo nas Equações (2. 14a e h), temos Pj=24 kN Ps = 1,26kN O primeiro resultado está baseado na carga admissível q; no fio de alumínio e o segundo está bascado na carga admissível 0, no fio de magnésio. À carga admissível é a menor dos dois valores; Psm = 1,26EN é Para essa carga, a tensão no magnésio é 175 MPa (a tensão admissível) c a tensão no alumínio é (1,26/2,41 (200 MPa) = 105 MPa. Como esperado, essa tensão é menor do que a tensão admissível de 200 MPa. 2.5 EFEITOS TÉRMICOS, DESAJUSTES E PRÉ-DEFORMAÇÕES Cargas externas não são as únicas fontes de tensões e deformações em uma estrutura. Outras fontes incluem efeitos térmicos que surgem de diferenças de temperatura, desajustes resultantes de imperfeições na construção e pré- deformações que são produzidas por deformações iniciais. Outros casos ainda são os assentamentos (ou movimen- tos) de apoios, cargas inerciais resultantes de movimentos acelerados e fenômenos naturais como terremotos. Efeitos térmicos, desajustes e pré-deformações são geralmente encontrados em sistemas mecânicos e estruturais e são descritos nesta seção. Como regra geral, eles são muito mais importantes no projeto de estruturas estaticamente indeterminadas do que nas estaticamente determinadas. CAPÍTULO 2 Membros Carregados Axialmente Efeitos Térmicos Variações na temperatura produzem expansão ou contração de materiais estruturais, resultando em deformações térmicas e tensões térmicas. Uma ilustração simples de expansão térmica é mostrada na Figura 2.19, em que o bloco do material está sem restrições e por isso livre para expandir. Quando o bloco é aquecido, todo elemento do material sofre deformações térmicas em todas as direções, e consegientemente as dimensões do bloco aumen- tam. Se tomarmos o canto À como um ponto de referência fixado e fizermos o lado AB manter seu alinhamento original, o bloco terá um novo formato designado pelas linhas tracejadas. Para a maioria des materiais estruturais, a deformação térmica e; É pro- porcional à diferença de temperatura AT: isto é, Figura 2.19 Bloco de material subme- tido a um aumento de temperatura e = at(AT) (215) em que a é uma propriedade do material chamada de coeficiente de expan- são térmica. Uma vez que a deformação é uma quantidade adimensional, o coeficiente de expansão térmica tem unidades inversas àquelas da variação de temperatura. Nas unidades SI as dimensões de « podem ser expressas por 1YK (o inverso de kelvins) ou 1/20 (o inverso de graus Celsius). O valor de « é o mesmo em ambos Os casos porque a variação na temperatura é numeri- camente à mesma tanto em kelvins quanto em graus Celsius. Nas unidades USCS, as dimensões de o são 1/ºF (o inverso de graus Fahrenheit).* Valores típicos de a estão listados na Tabela H.4 do Apêndice H. Quando uma convenção de sinal é necessária para deformações térmicas, usualmente assumimos que a expansão é positiva e a contração É negativa. Para demonstrar a importância relativa de deformações térmicas, vamos comparar deformações térmicas com deformações induzidas por cargas da seguinte maneira: suponha que temos uma barra carregada axialmente com deformações longitudinais dadas pela equação e — o/E, em que v é a tensão e E é o módulo de elasticidade. Então suponha que temos uma barra idêntica submetida a uma variação de temperatura AT, o que significa que a barra tem deformações térmicas dadas pela Equação (2.15). Equacionando as duas deformações tem-se a equação o = EatAT). A partir dessa equação podemos calcular a tensão axial o que produz a mesma deformação que a variação de temperatura AT. Por exemplo, considere uma barra de aço ino- xidável com E = 30 x 10º psie a = 9,6 x 10ºF. Um cálculo rápido para ga partir da equação anterior mostra que uma variação de temperatura de 100ºF produz a mesma deformação que uma tensão de 29.000 psi. Essa ten- são está no intervalo de tensões admissíveis típicas para aço inoxidável. Dessa forma, uma variação relativamente modesta na temperatura produz deformações de mesma magnitude de deformações causadas por cargas comuns, o que mostra que os efeitos de temperatura podem ser importantes nos projetos de engenharia, Materiais estruturais comuns expandem quando aquecidos e contraem quando esfriados, e por isso um aumento na temperatura produz uma defor- mação térmica positiva. Deformações térmicas geralmente são reversíveis, significando que o membro retorna à sua forma original quando sua tempera- tura retorna ao seu valor original. Entretanto, algumas ligas metálicas espe- ciais que foram recentemente desenvolvidas não se comportam da maneira usual. Em vez disso, sobre certos intervalos de temperatura, suas dimensões * Para discussão de escalas « unidades de temperatura, veja Seção A 4 do Apêndice A. 
