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Trabalho 2 - Cálculo Numérico
1- Método numéricos
Método da Bisseção
É um método de busca de raízes que realiza bisseções repetidas em um intervalo e então seleciona um subintervalo contendo a respectiva raiz para o processamento adicional. Consiste em um método simples, porém relativamente lento.
Método de Newton - Raphson
O método de Newton-Raphson é muito útil para determinar raízes de funções. A sequência gerada dessa maneira converge para uma raiz de f(Tu), em que Tu1 é um valor inicialmente atribuído à raiz. Geometricamente, o método de Newton-Raphson funciona traçando tangentes à curva nas aproximações de Tu e tomando a próxima aproximação dada pela interseção da reta tangente com o eixo de Tu.
Método das secantes
Este método também é um método de busca de raízes, porém, ele utiliza uma sequência de raízes de linhas secantes para aproximar melhor a raiz de uma função. Este método é análogo a uma aproximação por diferenças finitas do método de Newton, mas foi desenvolvido independentemente do método de Newton e é utilizada a mais de três mil anos.
2- Método da Bisseção
Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a, b] e seja ξ uma raiz desta função, sendo que ξ ∈ (a, b), tal que f(ξ) = 0.
Dividindo o intervalo [a, b] ao meio, obtém-se x1, havendo, pois, dois subintervalos, [a, x1] e [x1, b], a ser considerados. Se f(x1) = 0, então ξ = x1; caso contrário, a raiz estará no subintervalo onde a função tem sinais opostos nos pontos extremos, ou seja, se f(a). f(x1) < 0 então ξ ∈ [a, x1], senão f(a). f(x1) > 0 e ξ ∈ [x1, b]. O processo se repete até que se obtenha uma aproximação para a raiz exata ξ, ou seja, que o critério de parada seja satisfeito. Então, por indução, temos:
Se f(a). f( ) < 0, então teremos b = , senão a =
Código em Python e comentários
import math print( "Método da Bisseção" ) def funcao(x): Aqui é onde deve-se colocar a função fx fx=(1/48)(693x6-945x4+315x**2-15)define uma função arbitrariamente return fx print( "Qual o intervalo [a,b] da raiz e a precisão e?" ) a=float(input( "Entre com o inicio do intervalo: " )) inicio do intervalo b=float(input( "Entre com o fim do intervalo: " )) fim do intervalo e=float(input( "Entre com a precisão desejada: " )) precisão i=0 contador k=(math.log10(b-a)-math.log10(e)/math.log10(2)) fórmula para estimar o número de interações k=math.ceil(k) função ceil arredonda pra cima print( "Numero estimado de iterações: " ,k) if b-a<e: se o intervalo a b for menor q a precisão o programa acaba pegando o valor médio de a b x=(a+b)/ print( "Raiz:" , x) else :
Chegamos a conclusão de que os métodos numéricos são amplamente úteis para a solução de problemas que envolvem análises de casos e soluções de equações difíceis de resolver pela maneira analítica. Dessa forma, podem e devem ser utilizados na engenharia e em outros campos do conhecimento com o intuito de buscar soluções para problemas reais. Porém, cada método apresenta a sua limitação, seja por restrição de casos, seja por alguma especificidade, logo, deve-se ter em mente que nenhum método aplicado é perfeito e aplicável em todos os casos, restando ao aplicador escolher o melhor dentro das características buscadas.
