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Métodos Quantitativos

2.3- Programação Linear e Seus teoremas

Denilson C. Resende

resendedc@gmail.com

Conteúdos do Capítulo

 Programação Linear e Convexidade

 Teoremas Fundamentais

 Caso LCL Produtos Farmacêuticos S.A.

Programação Linear e Convexidade

 Conjunto Convexo em R^2

 Podemos observar graficamente um exemplo de conjunto convexo e não convexo nas figuras abaixo.

Conjunto Convexo

Conjunto não Convexo

Método Simplex

Teoremas Fundamentais

 Teorema I

 O conjunto de todas as soluções viáveis de um modelo de Programação Linear formam um conjunto convexo.

 Teorema II

 Toda solução compatível básica, do sistema de equações lineares de um modelo de Programação linear, é um ponto extremo do conjunto de soluções viáveis, isto é, do conjunto de convexo de soluções.

Método Simplex Teoremas Fundamentais

 Teorema III

 Se a função-objetivo possui um ótimo finito, então pelo menos uma solução ótima é um ponto extremo do conjunto convexo de soluções viáveis.  Se a função-objetivo assume o ótimo em mais de um ponto extremo do conjunto de soluções viáveis, então ela toma o mesmo valor para qualquer ponto do segmento da reta que une esses pontos extremos.

Verificação Geométrica do Teorema III 1 a^ parte

 O valor da função-objetivo varia quando esta se desloca. Logo,

o valor ótimo (mínimo ou máximo) será obtido deslocando-se o máximo ou o mínimo a função-objetivo.

x 2

x 1

Mínimo =A B

C = máximo

D E

Solução Viável

Método Simplex Teoremas Fundamentais

 Considere a solução gráfica do problema

x 2

x 1

z

pontos extremos

A B C D^ E

A B

C

D E

Solução Viável

Caso LCL Produtos Farmacêuticos

 As indústrias LCL Produtos Farmacêuticos Ltda. desejam produzir dois medicamentos, um analgésico e um antibiótico, que dependem de duas matérias primas A e B , que estão disponíveis em quantidades de 5 e 8 toneladas, respectivamente. Na fabricação de uma tonelada de analgésico são empregadas uma tonelada da matéria A e uma tonelada da matéria B , e na fabricação de uma tonelada de antibiótico são empregadas uma tonelada de A e quatro toneladas de B. Sabendo que cada tonelada de analgésico é vendida a $8,00 e de antibiótico a $5,00, encontre, através da determinação dos pontos extremos do conjunto de soluções viáveis, a quantidade de toneladas de medicamentos a serem produzidas pelas indústrias LCL de maneira a maximizar seu lucro.

Caso LCL Produtos Farmacêuticos

 Função-Objetiva – Maximizar o

Lucro

 Restrições de Matéria Prima

 Restrições de não negatividade

Max 5 x 1 + 8 x 2

1 x 1 +^1 x 2  5

1 x 1 +^4 x 2  8

x 1 ^0 ; x 2  0

Caso LCL Produtos Farmacêuticos Solução Gráfica

1 , 4 37

0 , 5 40

2 , 0 10

0 , 0 0

5 8

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

= =  =

= =  =

= =  =

= =  =

= +

x x z

x x z

x x z

x x z

z x x